上海市向明中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷

向明中学高二期中数学试卷

一．填空题（第1—6题每题4分，第7—12题每题5分，满分54分）

1. 已知集合，，则___________.

2. 已知全集，，，则_____．

3. 不等式的解集为，则_____．

4. 设函数的导函数为，若，则_____．

5. 已知圆与圆内切，则______.

6. 若双曲线的一条渐近线与直线平行，则_____．

7. 若函数的导函数为，则_____．

8. 双曲线以椭圆的焦点为焦点，它的离心率是椭圆离心率的2倍，求该双曲线的方程为________．

9. 已知集合，记，，若在上为严格增函数，则实数的取值范围是______.

10. 探照灯，汽车灯等很多灯具的反光镜是抛物面（其纵断面是抛物线的一部分），正是利用了抛物线的光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射之后沿对称轴方向射出．根据光路可逆图，在平面直角坐标系中，抛物线，一条光线经过点，与轴平行射到抛物线上，经过两次反射后经过点射出，则光线从点到点经过的总路程为_____．

11. 已知函数，若函数只有一个零点，则实数的取值范围为________.

12. 已知满足方程，则的取值范围为_____．

二．单选题（本大题共4题，满分20分）

13. 已知两条直线“”是“直线与直线的夹角为”的（    ）

A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

14. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（    ）

A. 曲线在点处的切线斜率小于零

B. 函数在区间上单调递增

C. 函数在处取得极大值

D. 函数在区间内至多有两个零点

15. 双曲线和的离心率分别为和，若满足，则下列说法正确

是（    ）

A. 的渐近线斜率的绝对值较大，的开口较开阔

B. 的渐近线斜率的绝对值较大，的开口较狭窄

C. 的渐近线斜率的绝对值较大，的开口较开阔

D. 的渐近线斜率的绝对值较大，的开口较狭窄

16. 设曲线在点处的切线为l.则以下说法正确的个数是（    ）

①l与曲线可能没有交点 ； ②l与曲线一定只有一个交点；③l与曲线不可能有且仅有两个交点；④l与曲线可能有无穷多个交点

A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个

三．解答题（本大题共有5题，满分76分）

17. 已知曲线．

（1）求曲线在处的切线方程；

（2）求的极值．

18. 已知圆，动直线过点.

（1）当直线与圆相切时，求直线的方程

（2）若直线与圆相交于两点，求中点的轨迹方程.

19. 已知函数

（1）若是函数的驻点，求实数的值；

（2）当时，求函数的单调区间.

20. 如图，某市在城市东西方向主干道边有两个景点、，它们距离城市中心的距离均为是正北方向主干道边上的一个景点，且距离城市中心的距离为，为改善市民出行，准备规划道路建设，规划中的道路，如图所示，道路段上的任意一点到景点的距离比到景点的距离都多，其中道路起点到东西方向主干道的距离为，线路段上的任意一点到的距离都相等，以为原点，线段所在直线为轴建立平面直角坐标系．