精品解析：江西省南昌市第二中学2024-2025学年高二下学期第二次阶段性考试（5月）数学试题

南昌二中2024-2025学年度下学期高二年级第二次阶段性考试 数学试题 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1. 已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：，，令，解得． 考点：导数的几何意义． 2. 已知数列的前项和为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接裂项求和即可得解. 【详解】由题意，所以. 故选：C. 3. 已知函数，其导函数为，下列说法不正确的是（ ） A. 函数的单调减区间为 B. 函数的极小值是 C. 函数的图象有条切线方程为 D. 点是曲线的对称中心 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数求出函数的单调区间结合极小值的定义即可判断AB；根据导数的几何意义即可判断C；求出即可判断D. 【详解】由，得， 令，则，令，则或， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为， 所以函数的极小值是，故AB正确； 对于C，设切点为， 则，解得或， 当时，，切线方程为， 当时，，切线方程为， 所以函数的图象没有一条切线方程为，故C错误； 对于D，因为 ， 所以点是曲线的对称中心，故D正确. 故选：C. 4. 已知数列满足，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用时，，推得，代入，求出答案． 【详解】由题意可得①， 所以时，②， ①②得，所以，所以． 故选：C． 5. 计算机是将信息转换成二进制进行处理的，二进制即“逢二进一”．如表示一个二进制数，将它转换成十进制的数就是，那么将二进制数转换成十进制数就是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 本题的考查点为二进制与十进制数之间的转换，只要根据二进制转换为十进制方法逐位进行转换，即可得到答案. 【详解】. 故选：B. 【点睛】二进制转换为十进制方法：按权相加法，即将二进制每位上的数乘以权（即该数位上的1表示2的多少次方），然后相加之和即是十进制数，是基础题. 6. 函数的大致图象如图所示，则函数的单调递增区间是（ ） A. B. 和 C. 和 D. 和 【答案】D 【解析】 【分析】利用复合函数的导数求导法则可得，结合函数图象以及函数的导数的意义求解即可. 【详解】由题可知，由图可知当时，， 当，，所以的解集为. 故选：D. 7. 已知定义在上的函数的导函数为，任意，有，且，设，，，则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意构造函数，得到，得到是增函数，再根据题干得到g(x)是偶函数，代入解析式可得到最终结果. 【详解】构造函数，所以函数是增函数，因为，即， 故函数是偶函数，上函数是增函数，故 代入解析式得到<<，故. 故答案为A. 【点睛】这个题目考查了导数在研究函数的单调性中的应用，以及函数奇偶性的应用，考查了利用单调性解决不等式问题，这道题目属于抽象函数解不等式；除此之外，如果题目中给出函数的解析式，但是通过直接解不等式非常麻烦的题目，也可以通过研究函数的单调性，奇偶性等来得到不等式的解集. 8. 已知，若存在实数（），当（）时，满足，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由函数性质，得，，将问题转化为求的取值范围，构造函数求函数值域. 【详解】作出的图象如图， 由题，，， 所以， 令（），则当时，；当时，. ，当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增. 所以，且， 所以的取值范围为. 故选：D. 【点睛】利用正弦型函数的周期性和对称性，将问题转化为求函数（）的值域，求值域时，除函数的单调性外还要注意函数的取值特点. 二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．) 9. 下面说法不正确的是（ ） A. 若不存在，则曲线在点处没有切线 B. 若曲线在点处有切线，则必存在 C. 若不存在，则曲线在点处的切线斜率不存在 D. 若曲线在点处没有切线，则有可能存在 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据导数的几何意义，结合题意，对每个选项逐项判定可得答案. 【详解】对于A，若不存在，则曲线在点不一定没有切线， 例如，函数，可得在的导数不存在， 但曲线在该点处的切线方程为，故A错误； 对于B，若曲线在点处有切线，则不一定存在， 例如，函数，可得在的切线方程为， 但不存在，故B错误； 对于C，若不存在，根据曲线在某点处的导数的几何意义， 可得曲线在点处的切线斜率不存在，故C正确； 对于D，若曲线在点处没有切线，则一定不存在，故D错误. 故选：ABD. 10. 我国古代数学著作《算法统宗》中有如下问题：“今有善走者，日增等里，首日行走一百里，九日共行一千二百六十里，问日增几何?”其大意是：现有一位善于步行的人，第一天行走了一百里，以后每天比前一天多走里，九天他共行走了一千二百六十里，求的值.关于该问题，下列结论正确的是（ ） A. B. 此人第三天行走了一百二十里 C. 此人前七天共行走了九百一十里 D. 此人有连续的三天共行走了三百九十里 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据等差数列的知识进行分析，从而确定正确答案. 【详解】由题意设此人第一天走里，第天走里，是等差数列， ，，A选项错误. 里，B选项正确. 里，C选项正确. ，所以D选项正确. 故选：BCD 11. 双曲函数是一类与三角函数类似的函数.最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲正弦函数是奇函数，双曲余弦函数是偶函数 B. C. 函数的值域为 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由函数的奇偶性即可验证A；结合指数运算计算化简即可判断B；化简指数运算及指数函数值域即可判断C.首先判断函数的单调性，再设，判断出在的单调递增，且，得出，即可判断D； 【详解】对于A，，定义域为，， 所以为奇函数， ，定义域为，， 所以为偶函数，故A正确； 对于B： ，故B错误； 对于C：，， ，所以，， 所以，C选项正确； 对于D：因为， 所以在上单调递增， 设，， 则， 因为，所以， 所以在上单调递增， 所以，即， 所以，，故D正确； 故选：ACD. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分．) 12. 已知函数在区间上不单调，则实数a的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】由于函数在区间上不单调，等价于函数在区间上存在极值点.对函数求导，对进行分类讨论，求出极值点，根据极值点在区间内，可得关于的不等式，即可求解. 【详解】∵，∴. 当时，，∴函数在上单调递增，不符合题意； 当时，令，解得；令，解得， ∵函数在上不单调，∴，解得. 故答案为：. 13. 某软件研发公司对某软件进行升级，主要是软件程序中的某序列重新编辑，编辑新序列有两种，分别为，，若序列的所有项都是2，且，，则等于______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，设，再由等比数列的通项公式可得数列的通项公式，再由即可求得. 【详解】设. 由题意可知，数列是公比为2的等比数列，，所以. 所以 ，所以. 故答案为： 14. 已知函数对定义域内任意，都有，则正实数的取值范围为___________. 【答案】 【解析】 【分析】设，由题设可得的单调性，从而得到 ，利用同构可得，参变分离后可求参数的取值范围. 【详解】因为，所以 令函数，则在上单调递减， 所以在上恒成立，所以， 即.令函数，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 当时，，当时，， 且由题干可知，，即， 若，则恒成立， 当时，恒成立等价于当时，， 故时，恒成立，故. 令函数，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的最大值，所以； 综上所述，正实数的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 15. 已知函数.讨论的单调性； 【答案】答案见解析 【解析】 【分析】求出函数的定义域，再求出导函数，对参数分类讨论即得. 【详解】由题可得的定义域为，且， 当时，成立，所以在上单调递增； 当时，由，可得，所以在上为增函数； 由，可得，所以在上为减函数. 综上，时，函数在上为增函数；时，函数在上为增函数，函数在上为减函数. 16. 如图，在四棱锥中，，，，底面，是上一点． （1）求证：平面平面； （2）若是的中点，求平面与平面的夹角的正弦值． 【答案】（1） 在四棱锥中，，，则， ，在中，，则， 即，于是，由平面，平面， 得，又平面，则平面，又平面， 所以平面平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，借助余弦定理及勾股定理的逆定理证得，再利用线面垂直的性质判定推理得证. （2）由（1）的信息得二面角的平面角，再利用几何法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，平面，而平面，则，又， 因此是二面角的平面角， 在中，，则，由是的中点， 得，于是， 所以平面与平面的夹角的正弦值为. 17. 已知椭圆的中心为O，右顶点为A，在线段OA上任意选定一点，过点M作与x轴垂直的直线交C于P，Q两点. （1）设，在OM的延长线上求一点N，使得，，成等比数列，试证明直线PN，QN都是C的切线； （2）通过解答（1），先猜想求过椭圆上一点的切线方程的一种方法，再加以证明. 【答案】（1）证明见解析 （2）猜想切线方程为，其中，证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据条件求点的坐标，再求直线的方程，利用方程联立，判断直线与椭圆的位置关系；（2）首先取点，猜想直线为椭圆的切线，再联立方程，利用判别式，判断直线与椭圆的位置关系. 【小问1详解】 由已知条件得，，， 设，得，所以， 因为成等比数列， 所以，即，即， 则直线的方程为， 将直线的方程代入椭圆， 整理为，， 所以直线与椭圆相切，利用对称性可知，直线也为椭圆的切线. 【小问2详解】 由（1）可知， 所以在轴上取点，连结，则直线为点处的切线， 猜想其方程为，其中，以下证明， 把代入， 整理得：， ，① 因为点在椭圆上，所以，② ，③， 将②③代入①得，， ， 所以直线为所求的切线. 18. 已知常数且，在数列中，首项，是其前项和，且，. （1）设，，证明数列是等比数列，并求出的通项公式； （2）设，，证明数列是等差数列，并求出的通项公式； （3）若当且仅当时，数列取到最小值，求的取值范围． 【答案】（1）证明：当时，有，即，； 当时，由，可得，将上述两式相减得， ，， 且， 所以，数列是以，以为公比的等比数列，； （2）证明：由（1）知， ，由等差数列的定义得， 且，所以，数列是以为首项，以为公差的等差数列， 因此，； （3）. 【解析】 【分析】（1）令，求出的值，再令，由，得出，将两式相减得，再利用等比数列的定义证明为常数，可得出数列为等比数列，并确定等比数列的首项和公比，可求出； （2）由题意得出，再利用等差数列的定义证明出数列为等差数列，确定等差数列的首项和公差，可求出数列的通项公式； （3）求出数列的通项公式，由数列在时取最小值，可得出当时，，当时，，再利用参变量分离法可得出实数的取值范围. 【详解】（1）略 （2）略 （3）由（2）知，，， 由数列在时取最小值，可得出当时，，当时，， 由，得， 得在时恒成立， 由于数列在时单调递减，则，此时，； 由，得， 得在时恒成立， 由于数列在时单调递减，则，此时，. 综上所述：实数的取值范围是. 【点睛】本题考查利用定义证明等比数列和等差数列，证明时需结合题中数列递推式的结构进行证明，同时也考查数列最值问题，需要结合题中条件转化为与项的符号相关的问题，利用参变量分离法可简化计算，考查化归与转化思想和运算求解能力，综合性较强，属于难题. 19. 已知函数，． （1）当时，求曲线与的公切线的方程； （2）若有两个极值点和，且，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件及导数的几何意义即可求解； （2）根据已知条件及函数极值点的定义，构造函数，利用导数法研究函数的最值即可求解. 【小问1详解】 当时，，所以， 因为，所以， 设曲线上的切点为，则切线方程为， 设曲线上的切点为，则切线方程为， 由两条切线重合得，解得， 所以曲线与的公切线的方程为， 【小问2详解】 由题意可知，， 所以， 因为有两个极值点和， 所以有两个零点和， 所以，即， 令，则，解得， 设则 ， 又令，则， 所以在上单调递减， 所以，所以 所以在上单调递减， 所以， 易知所以， 令，则， 当时，， 所以在上单调递增， 又 所以， 故实数的取值范围为. 【点睛】关键点睛：解决本题第一问的关键是利用导数的几何意义及公切线，第二问是构造函数，求出的范围，再利用导数研究的值域即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南昌二中2024-2025学年度下学期高二年级第二次阶段性考试 数学试题 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1. 已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 已知数列的前项和为，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，其导函数为，下列说法不正确的是（ ） A. 函数的单调减区间为 B. 函数的极小值是 C. 函数的图象有条切线方程为 D. 点是曲线的对称中心 4. 已知数列满足，则（ ） A. 2 B. C. D. 5. 计算机是将信息转换成二进制进行处理的，二进制即“逢二进一”．如表示一个二进制数，将它转换成十进制的数就是，那么将二进制数转换成十进制数就是（ ） A. B. C. D. 6. 函数的大致图象如图所示，则函数的单调递增区间是（ ） A. B. 和 C. 和 D. 和 7. 已知定义在上的函数的导函数为，任意，有，且，设，，，则 A. B. C. D. 8. 已知，若存在实数（），当（）时，满足，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．) 9. 下面说法不正确的是（ ） A. 若不存在，则曲线在点处没有切线 B. 若曲线在点处有切线，则必存在 C. 若不存在，则曲线在点处的切线斜率不存在 D. 若曲线在点处没有切线，则有可能存在 10. 我国古代数学著作《算法统宗》中有如下问题：“今有善走者，日增等里，首日行走一百里，九日共行一千二百六十里，问日增几何?”其大意是：现有一位善于步行的人，第一天行走了一百里，以后每天比前一天多走里，九天他共行走了一千二百六十里，求的值.关于该问题，下列结论正确的是（ ） A. B. 此人第三天行走了一百二十里 C. 此人前七天共行走了九百一十里 D. 此人有连续的三天共行走了三百九十里 11. 双曲函数是一类与三角函数类似的函数.最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲正弦函数是奇函数，双曲余弦函数是偶函数 B. C. 函数的值域为 D. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分．) 12. 已知函数在区间上不单调，则实数a的取值范围为______. 13. 某软件研发公司对某软件进行升级，主要是软件程序中的某序列重新编辑，编辑新序列有两种，分别为，，若序列的所有项都是2，且，，则等于______. 14. 已知函数对定义域内任意，都有，则正实数的取值范围为___________. 四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 15. 已知函数.讨论的单调性； 16. 如图，在四棱锥中，，，，底面，是上一点． （1）求证：平面平面； （2）若是的中点，求平面与平面的夹角的正弦值． 17. 已知椭圆的中心为O，右顶点为A，在线段OA上任意选定一点，过点M作与x轴垂直的直线交C于P，Q两点. （1）设，在OM的延长线上求一点N，使得，，成等比数列，试证明直线PN，QN都是C的切线； （2）通过解答（1），先猜想求过椭圆上一点的切线方程的一种方法，再加以证明. 18. 已知常数且，在数列中，首项，是其前项和，且，. （1）设，，证明数列是等比数列，并求出的通项公式； （2）设，，证明数列是等差数列，并求出的通项公式； （3）若当且仅当时，数列取到最小值，求的取值范围． 19. 已知函数，． （1）当时，求曲线与的公切线的方程； （2）若有两个极值点和，且，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $