精品解析：湖南省长沙市雅礼中学2025届高三下学期模拟（一）数学试卷

雅礼中学2025届模拟试卷（一） 数学 命题人：刘晖 周芳芳 常君 屈检嗣 李斑 郝楠楠 审题人：李云皇 汤灏 张博 伊波 肖海错 陈智 刘志涛 赵志会 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由绝对值不等式的求解及交集运算可得结果. 【详解】因为，故. 故选：D. 2. 记复数的共轭复数为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用共轭复数的意义及复数乘法求解. 【详解】由，得，所以. 故选：A 3. 设，则，，的大小关系是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意得，当时，，因此，故选B. 4. 已知数列满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用递推关系和迭代法，依次求出前五项，通过归纳法可得通项公式，并进行检验，然后作出判断即可. 【详解】由，可得： 以此类推，可归纳， 经检验，当时，有，所以仍然满足，故， 故选：B. 5. 已知平面内三点，则向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先表示出、的坐标，即可求出及，再根据投影向量的定义计算可得. 【详解】因为， 所以，，所以，， 所以向量在上的投影向量为. 故选：A 6. 当时，曲线与的交点个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】分别画出与在上的函数图象，根据图象判断即可. 【详解】因为函数的最小正周期为，所以函数在上有1个周期的图象， 因为函数的最小正周期为， 所以函数在上有3个周期的图象， 在平面直角坐标系中，作出两函数在上的图象，如图所示： 由图可知，曲线与有6个交点. 故选：C. 7. 已知函数，若，则（ ） A. B. C. D. 以上都不对 【答案】B 【解析】 【分析】利用求导判断单调性，再借助，然后通过数形结合，即可作出判断. 【详解】求导得， 当时，，所以在区间上单调递增， 当时，，所以在区间上单调递减， 根据，， 当时，，可作出图象： 所以当时，， 根据图象可知，， 所以恒有，故B正确， 由于，，所以，故C错误， 故选：B. 8. 已知双曲线的上焦点为，过的直线与的两条渐近线分别交于第一，四象限的两点，满足，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用渐近线方程和垂线联立方程组来求解两个交点的横坐标，再结合两点弦长公式，可利用得到方程求解，则即可求离心率. 【详解】 由双曲线可得渐近线方程为， 即， 因为所以可设， 联立：，解得， 联立：，解得， 由于这个交点在第四象限，所以，即 所以， 化简得：， 再化简得：， 因为，所以，解得， 所以， 即离心率， 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 抛物线的焦点为，准线为为上两个动点，则下列结论正确的有（ ） A. 焦点的坐标为 B. 准线的方程为 C. 若直线经过点，则的最小值为 D. 以为直径的圆与准线最多有1个公共点 【答案】BCD 【解析】 【分析】由抛物线方程求出焦点坐标与准线方程，即可判断A、B，根据焦点弦的性质判断C，设的中点为，、、到准线的距离分别为、、，根据抛物线的定义得到，即可判断D. 【详解】对于A、B：抛物线的焦点为，准线方程为，故A错误，B正确； 对于C：直线经过点，当轴时，取得最小值，且最小值为，故C正确； 对于D：设的中点为，、、到准线的距离分别为、、， 所以，又，所以， 所以以为直径的圆与准线最多有1个公共点，故D正确. 故选：BCD. 10. 已知函数定义域为，且的图象关于点对称，函数关于直线对称，则下列说法正确的是（ ） A. 为奇函数 B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意结合函数的对称性可推出函数的周期以及对称轴，逐项判断即可. 【详解】由函数关于直线对称，可得， 即，则函数关于直线对称，故选项C正确； 由的图象关于点对称，可得， 即，以2x代换x，则， 所以函数关于点对称，可得，即， 结合可得， 所以，故选项B正确. 所以是周期函数，且周期为4，其图象不仅关于直线对称还关于点对称， 所以不关于点和对称，所以不是奇函数，，故选项A、D错误； 故选：BC 11. 球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图，球的半径为，，，为球面上三点，劣弧的弧长记为，设表示以为圆心，且过，的圆，同理，圆，的劣弧，的弧长分别记为，，曲面（阴影部分）叫做曲面三角形，若，则称其为曲面等边三角形，线段，，与曲面围成的封闭几何体叫做球面三棱锥，记为球面.设，，，则下列结论正确的是（ ） A. 若平面是面积为的等边三角形，则 B. 若，则 C. 若，则球面的体积 D. 若平面为直角三角形，且，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据弧长公式即可求解A，根据勾股定理以及弧长公式即可求解B，根据球的截面性质可得求解C，根据余弦定理，取反例即可求解D. 【详解】若平面是面积为的等边三角形，则，则，.A不正确. 若，则，则.B正确. 若，则，， 则平面的外接圆半径为，则到平面的距离， 则三棱锥的体积， 则球面的体积.C正确. 由余弦定理可知因为，所以，则. 取，，则，， 则.D不正确. 故选：BC 【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下： （1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径； （2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的； （3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的图象在点处的切线方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数的几何意义求切线斜率，再用点斜式写出切线方程即可. 【详解】求导得，则有， 又因为， 所以在点处的切线方程为：， 整理得：， 故答案为： 13. 已知等差数列的第5项是的展开式中的常数项，则该数列的前9项和__________. 【答案】15 【解析】 【分析】先根据二项式通项计算得出，进而得出，再结合等差数列求和公式计算即可. 【详解】二项式的通项为：， 令，得， 所以展开式中的常数项为， 即．由等差数列的性质得． 故答案为：15. 14. 定义正方形数阵满足，其中且，设的值为奇数的概率，则______，______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据题设新定义，当时，列举出的取值，分别计算的值，再根据古典概型的概率计算公式可得； 再分析的值若为奇数，则和必定一奇一偶，分类讨论为奇数和偶数两种情况，分别计算满足条件的的取值情况数，从而计算出，再代入数值计算即可. 【详解】当时，，所以的取值有种， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，. 其中的值为奇数的情况有4种，所以. 根据上述分析，，和具有相同的奇偶性， 要使的值为奇数，需使和都是奇数，则和必定一奇一偶. 当3且为奇数时，中有个奇数，个偶数， 故满足一奇一偶的的取值情况有种，则. 当3且为偶数时，中有个奇数，个偶数， 故满足一奇一偶的的取值情况有种，则. 所以，故. 故答案为：；. 四、解答题 15. 已知的内角所对的边分别为，，. （1）求角的大小； （2）若，且，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据同角关系以及正弦定理边角互化可得，即可利用余弦定理求解； （2）依题意可得为的中点，从而得到，将两边平方，结合余弦定理求出，，即可求出，从而得解. 【小问1详解】 ，，， 所以可化为， 由正弦定理得，由余弦定理得， ， 【小问2详解】 因为，所以为的中点， 所以， 所以， 即， 由余弦定理，即， 所以，，所以， 所以的周长为. 16. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的中心为原点，焦点在坐标轴上，，为上两点，为椭圆上三个动点. （1）求椭圆的标准方程； （2）是否存在点使为的重心？若存在，请探究的面积是否为定值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）存在，的面积是定值，定值为. 【解析】 【分析】（1）设椭圆的方程为，代入，可得标准方程； （2）分直线的斜率不存在和存在两种情况进行讨论，斜率不存在时取特殊点易得的面积为，斜率存在时联立直线和椭圆方程，得到韦达定理，结合重心的性质可表示出点的坐标，将的坐标代入椭圆方程，化简可得，由三角形面积公式表示出的面积并化简可得结果. 【小问1详解】 设椭圆为，，，， 由题意得，解得，，故椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 当直线的斜率不存在时，取，，符合题意， 故存在点使为的重心，且此时的面积为. 当直线的斜率存在时，设，联立得， 设，，则，，， 由条件得，得， 则， ， 综上，的面积为定值，其值为. 17. 某篮球运动员进行定点投篮训练，据以往训练结果，第一次投篮命中的概率为．若前一次投篮命中，那么下次投篮命中的概率为；若前一次投篮未命中，那么下次投篮命中的概率为． （1）求该运动员第二次投篮命中的概率； （2）记该运动员前两次投篮命中的次数为，求的分布列和数学期望； （3）设第次投篮命中的概率为，求证：． 【答案】（1） （2） 0 1 2 数学期望为 （3） 由题意得，； 当时， 即， 变形为，所以数列是以为公比的等比数列， 又，于是， 即，所以． 【解析】 【分析】（1）设事件“第次投篮命中”，再根据全概率公式求解即可； （2）由题意的所有取值为0,1,2，再求分布列与数学期望即可； （3）由题意得，；再根据题意得出递推公式，进而构造数列求解即可. 【小问1详解】 设事件“第次投篮命中”，则“第次投篮未命中”，， 易知与是互斥事件， 所以由全概率公式得 该运动员第二次投篮命中的概率为． 【小问2详解】 由题意得，， 的所有取值为0,1,2， , 所以的分布列为 0 1 2 ……所以． 【小问3详解】 略 18. 如图，四棱锥中，平面，，，. （1）证明：平面平面； （2）若，动点在内（含边界）且. （ⅰ）求线段的轨迹形成的面积； （ⅱ）设直线与平面所成角为，求的取值范围. 【答案】（1）证明：由，可知， 三角形为等腰直角三角形，，， 又因为，由余弦定理得：， 即得，， 因为平面，平面，所以， 又因为，平面，所以平面. 又因为平面，所以平面平面. （2）（ⅰ）；（ⅱ）. 【解析】 【分析】（1）通过线线垂直证明平面，即可完成证明； （2）（ⅰ）如图建立空间直角坐标系，设的坐标为，由可得动点的轨迹，即可求解； （ⅱ）由（ⅰ）可设，据此可表示出平面的法向量，然后由空间向量结合三角函数知识可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （ⅰ）依题意，建立如图坐标系， 设的坐标为，， 由， 化简得：，即， 则动点的轨迹是以线段的中点为圆心，以1为半径的圆弧， 由于线段的中点，所以该圆弧经过点， 故动点的轨迹是四分之一圆弧， 线段的轨迹形成的面积为圆锥侧面的，面积为； （ⅱ）由（ⅰ）可设，，，， ，，， 设平面的一个法向量为，则即 取，则， 则 因为，所以，所以， 所以，所以， 综上所述，. 19. 已知函数. （1）当时，判断的零点个数，并说明理由； （2）设为在区间内的零点，令，，. （ⅰ）求证：； （ⅱ）求证：. 【答案】（1）1个，理由： 因为，， 所以，则在区间内单调递减， 又，故， 所以当时，有且仅有一个零点． （2） （ⅰ）因为， ， ， 因为，则，则． （ⅱ）因为. 故要证，即证， 因为， 又， 则只需证：， 设函数， 则， 因为，， 而在区间上单调递减，故， 故，故在区间上单调递增， 又，则，从而， 故， 故． 【解析】 【分析】（1）直接求导得，再合理赋值，利用零点存在性定理即可判断； （2）（ⅰ）分析得，，，再根据和不等式性质即可证明； （ii）先转化为证明，再利用基本不等式放缩转化为证明，再设新函数，求导即可证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （ⅰ）略 (ii)略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 雅礼中学2025届模拟试卷（一） 数学 命题人：刘晖 周芳芳 常君 屈检嗣 李斑 郝楠楠 审题人：李云皇 汤灏 张博 伊波 肖海错 陈智 刘志涛 赵志会 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 记复数的共轭复数为，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 设，则，，的大小关系是（ ）． A. B. C. D. 4. 已知数列满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知平面内三点，则向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 当时，曲线与的交点个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 7. 已知函数，若，则（ ） A. B. C. D. 以上都不对 8. 已知双曲线的上焦点为，过的直线与的两条渐近线分别交于第一，四象限的两点，满足，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 抛物线的焦点为，准线为为上两个动点，则下列结论正确的有（ ） A. 焦点的坐标为 B. 准线的方程为 C. 若直线经过点，则的最小值为 D. 以为直径的圆与准线最多有1个公共点 10. 已知函数定义域为，且的图象关于点对称，函数关于直线对称，则下列说法正确的是（ ） A. 为奇函数 B. C. D. 11. 球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图，球的半径为，，，为球面上三点，劣弧的弧长记为，设表示以为圆心，且过，的圆，同理，圆，的劣弧，的弧长分别记为，，曲面（阴影部分）叫做曲面三角形，若，则称其为曲面等边三角形，线段，，与曲面围成的封闭几何体叫做球面三棱锥，记为球面.设，，，则下列结论正确的是（ ） A. 若平面是面积为的等边三角形，则 B. 若，则 C. 若，则球面的体积 D. 若平面为直角三角形，且，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的图象在点处的切线方程为______. 13. 已知等差数列的第5项是的展开式中的常数项，则该数列的前9项和__________. 14. 定义正方形数阵满足，其中且，设的值为奇数的概率，则______，______. 四、解答题 15. 已知的内角所对的边分别为，，. （1）求角的大小； （2）若，且，求的周长. 16. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的中心为原点，焦点在坐标轴上，，为上两点，为椭圆上三个动点. （1）求椭圆的标准方程； （2）是否存在点使为的重心？若存在，请探究的面积是否为定值；若不存在，请说明理由. 17. 某篮球运动员进行定点投篮训练，据以往训练结果，第一次投篮命中的概率为．若前一次投篮命中，那么下次投篮命中的概率为；若前一次投篮未命中，那么下次投篮命中的概率为． （1）求该运动员第二次投篮命中的概率； （2）记该运动员前两次投篮命中的次数为，求的分布列和数学期望； （3）设第次投篮命中的概率为，求证：． 18. 如图，四棱锥中，平面，，，. （1）证明：平面平面； （2）若，动点在内（含边界）且. （ⅰ）求线段的轨迹形成的面积； （ⅱ）设直线与平面所成角为，求的取值范围. 19. 已知函数. （1）当时，判断的零点个数，并说明理由； （2）设为在区间内的零点，令，，. （ⅰ）求证：； （ⅱ）求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $