湖北省恩施州高中教育联盟2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

恩施州高中教育联盟2025年春季学期高一年级期中考试 数学试题参考答案 命题单位：恩施州高中教育联盟巴东一中 试卷满分：150分 考试用时：120分钟 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数（为虚数单位）为纯虚数，则（ ） A. 4i B. C. D. 4 【解析】 ，由复数z为纯虚数，得，所以.故选D. 2. 将函数的图象向右平移，再将横坐标伸长为原来的3倍，得到的图象，则的解析式为（ ） A. B. C. D. 【解析】，故选B. 3. 是三个平面向量，则“”是“”的（ ） A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.即不充分也不必要条件 【解析】因为，所以；反之，，则或或，故选B. 4. 记△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，向量与满足，且，则BC边上的中线长为（ ） A. B. C. D. 【解析】由得，向量，故有. 由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得中线长为，故选A. 5. 公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了黄金分割问题，并建立起相关理论.黄金分割率的值也可以用表示，即，设，则（    ） A. B. C. D. 【解析】 ，故选C. 6. 已知，，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【解析】由题意，在恒成立，所以，即，故选B. 7. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，边BC上一点D满足，,则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【解析】由，得，即，又由余弦定理，得，所以.因为，即，故为角平分线，且，则有，故，即，所以（当且仅当时等号成立）.故选C. 8. 对于任意的，函数满足，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 的个位数字为7 【解析】令，可得； 令，可得，即， 所以，则，. 令，可得，再令，得，所以, 则，,所以. 当x是正奇数时，的个位数字依次为：，周期为5，故的个位数字为7 ，故选D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求,全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知,，设，，则下列说法正确的是（ ） A. 若 与垂直，则 B. 若 与平行，则 C. 若与的夹角为钝角，则 D.若，则 【解析】 ，，由，得,所以A错误; 由,得，B正确；由，得，所以，所以C错误；，，所以，，D正确.故选BD. 10. 已知，，为偶函数，且在上为增函数，则下列说法正确的是（ ） A. B．若，在的值域为 C．的取值范围为 D. 函数在区间上单调递增 【解析】因为为偶函数，所以，又，则，故A正确； 对于B，若，，时，，则，故B错误； 对于C， 所以，由知，因为在上单调递增，故， 解得，时，，故C正确； 对于D，，时，，而，则，，即，故D正确. 故选ACD. 11. 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列能判断△ABC为钝角三角形的有（ ） A. B. C. D. ， 【解析】A选项，由得，为钝角，A正确. B选项，因为，设，即，所以，故C为钝角，B正确. C选项，，如图所示，当时，以C为圆心，a为半径作圆，与射线AB交于B1和B2点，分别对应B为钝角和锐角. △ABC为钝角或锐角三角形，C错误. D选项，由题意可得，故，所以，，所以， ，，因为，所以，所以，所以为钝角，D正确.故选ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 写出函数的图象的一个对称中心 .（任写一个即可） 【答案】 【详解】利用辅助角公式计算，,则其对称中心横坐标满足,解得，故对称中心为 13.已知，平面上的任意点M关于点A的对称点为S，点S关于点B的对称点为N，则的最小值为 . 【解析】如图所示： 因为AB是△SMN的中位线，所以，因为，所以. 14. 已知函数，若方程在有4个解，则的取值范围为 . 【解析】，则的图象关于轴对称，且， 所以有唯一解，则， 即，， 即，如图所示： 所以，. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分）在中，，，，设，，，. (Ⅰ)用表示，并求. (Ⅱ)已知点M在线段AE上，且，若MD//FE，求k的值. 【解析】(Ⅰ)因为，，……………………………… 2分 所以，…………………………… 4分 所以. ……………………………… 6分 (Ⅱ) 所以，………………… 7分 因为，所以， ……… 9分 因为MD//FE，所以存在非零实数，使得， 所以，…………………11分 所以， ………………… 12分 解得，所以. ………………… 13分 16.（15分） 已知△ABC的角A，B，C所对边分别为a，b，c. 已知. （Ⅰ）求A； （Ⅱ）如图所示，D在△ABC外，且AD=DC=2，若a=b，求四边形ABCD面积的最大值. 【解析】（Ⅰ）由， 得， ……………………………… 2分 由正弦定理可得，，……………………………… 3分 所以， ……………………………… 4分 故， ……………………………… 5分 故， ……………………………… 6分 因为， 所以，. ……………………………… 7分 （Ⅱ）设，则等腰三角形的面积可表示为. ……… 8分 在中，由余弦定理得， ……………… 9分 由（Ⅰ）结合知为等边三角形，得，………………………… 11分 故四边形的面积，……………… 14分 当时，S取最大值.……………… 15分 17.（15分）函数的最小正周期为T，且. （Ⅰ）若，求函数的单调递增区间； （Ⅱ）若，，且的最小值为.当时，方程有四个不等的实数解，求实数m的取值范围． 【详解】（Ⅰ）由得，则， 因为，所以，即. ……………………………… 2分 因为，所以，令， 解得， ………………… 4分 所以函数的单调递增区间为. ……………………………… 5分 （Ⅱ）因为，所以， 则， 解得， 故，所以， 即，所以.. ……………………………… 8分 因为，所以， 当，每个均有两个x值与之对应， 设，. 方程化为，方程有4个不等实根，等价于有两个不同的零点，且. 因为，所以在有两个不同的零点或在有两个不同的零点. ………10分 当在有两个不同的零点时，，解得. ……………12分 当在有两个不同的零点时，，此不等式无解. ……… 14分 综上所述，m的取值范围为. ………………………………15分 18.（17分）巴张高速公路（巴东至张家界）于2025年1月开工，计划于2030年正式建成. 该高速公路在巴东境内横跨长江，需要重新修建一座桥梁，称为巴东长江二桥（以下简称二桥），目前二桥的起点和终点已经确定. 如图1所示，设二桥起点为C，终点为D，为了测量二桥CD的长度（南北走向），小明同学选择了长江南岸的A，B两个观测点，AB相距2千米. 在A处测得二桥北岸D位于其北偏东60°的方向，二桥南岸C位于其南偏东75°的方向，观测点B位于其南偏东60°. 在观测点B处测得南岸C处位于其北偏东60°，北岸D位于其北偏东15°的方向. （Ⅰ）求二桥CD的长度. （Ⅱ）为了优化二桥周边环境，政府部门将对扇形区域CBH进行改造.如图2所示，点P、Q在弧上，点M、N分别在BH、BC上，且PQ//CH，四边形MNPQ为矩形.拟将矩形MNPQ所在区域建成一所主题公园，求公园面积的最大值. 图1 图2 【解析】（Ⅰ）根据题干条件可知在中，， 由正弦定理可得，，解得. ……………………… 2分 在中，， 由正弦定理可得，，解得. ……………………… 4分 在中，， 由余弦定理可得，，解得，……………………… 7分 所以二桥的长度是2千米. ……………………… 8分 （Ⅱ） 由（Ⅰ）知扇形所在区域半径，圆心角，如图所示，取的中点，连接交于，连接.设，根据对称性可知，在中，.……………………… 10分 在中，由可得，， 所以，……………………… 13分 则矩形的面积 ，当时等号成立，……………………… 16分 故公园面积的最大值为平方千米. ……………………… 17分 19.（17分）对于定义在D上的函数，若存在实数m，使得为偶函数，则称函数为型函数，若存在实数m，使得为奇函数，则称函数为型函数. （Ⅰ）已知的定义域为R，且的图象关于直线对称.证明：若为型函数. （Ⅱ）若，，且为型函数. （i）证明：； （ii）若，对于，，求a的取值范围. 【解析】（Ⅰ）若关于对称，所以，……………………………… 2分 即， 故为偶函数，即为型函数. ……………………………… 4分 （Ⅱ）（i）设，则为奇函数， 所以在R上恒成立； ，……………………………… 6分 所以在R上恒成立， 则，即， ……………………………… 8分 因为，所以. ……………………………… 10分 （ii）由（i）知，，则不等式化为： ， ……………………………… 12分 所以 ……………………………… 14分 令，则， ， ……………………………… 16分 当时，取到最小值，所以. 故a的取值范围为.……………………………… 17分 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 恩施州高中教育联盟2025年春季学期高一年级期中考试 数学试题 命题单位：恩施州高中教育联盟巴东一中 试卷满分：150分 考试用时：120分钟 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数（为虚数单位）为纯虚数，则（ ） A. 4i B. C. D. 4 2. 将函数的图象向右平移，再将横坐标伸长为原来的3倍，得到的图象，则的解析式为（ ） A. B. C. D. 3. 是三个平面向量，则“”是“”的（ ） A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.即不充分也不必要条件 4. 记△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，向量与满足，且，则BC边上的中线长为（ ） A. B. C. D. 5. 公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了黄金分割问题，并建立起相关理论.黄金分割率的值也可以用表示，即，设，则（    ） A. B. C. D. 6. 已知，，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，边BC上一点D满足，,则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 对于任意的，函数满足，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 的个位数字为7 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求,全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知,，设，，则下列说法正确的是（ ） A. 若 与垂直，则 B. 若 与平行，则 C. 若与的夹角为钝角，则 D.若，则 10. 已知，，为偶函数，且在上为增函数，则下列说法正确的是（ ） A. B．若，在的值域为 C．的取值范围为 D. 函数在区间上单调递增 11. 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列能判断△ABC为钝角三角形的有（ ） A. B. C. D. ， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 写出函数的图象的一个对称中心 .（任写一个即可） 13.已知，平面上的任意点M关于点A的对称点为S，点S关于点B的对称点为N，则的最小值为 . 14. 已知函数，若方程在有4个解，则的取值范围为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分）在中，，，，设，，，. (Ⅰ)用表示，并求. (Ⅱ)已知点M在线段AE上，且，若MD//FE，求k的值. 16.（15分） 已知△ABC的角A，B，C所对边分别为a，b，c. 已知. （Ⅰ）求A； （Ⅱ）如图所示，D在△ABC外，且AD=DC=2，若a=b，求四边形ABCD面积的最大值. 17.（15分）函数的最小正周期为T，且. （Ⅰ）若，求函数的单调递增区间； （Ⅱ）若，，且的最小值为.当时，方程有四个不等的实数解，求实数m的取值范围． 18.（17分）巴张高速公路（巴东至张家界）于2025年1月开工，计划于2030年正式建成. 该高速公路在巴东境内横跨长江，需要重新修建一座桥梁，称为巴东长江二桥（以下简称二桥），目前二桥的起点和终点已经确定. 如图1所示，设二桥起点为C，终点为D，为了测量二桥CD的长度（南北走向），小明同学选择了长江南岸的A，B两个观测点，AB相距2千米. 在A处测得二桥北岸D位于其北偏东60°的方向，二桥南岸C位于其南偏东75°的方向，观测点B位于其南偏东60°. 在观测点B处测得南岸C处位于其北偏东60°，北岸D位于其北偏东15°的方向. （Ⅰ）求二桥CD的长度. （Ⅱ）为了优化二桥周边环境，政府部门将对扇形区域CBH进行改造.如图2所示，点P、Q在弧上，点M、N分别在BH、BC上，且PQ//CH，四边形MNPQ为矩形.拟将矩形MNPQ所在区域建成一所主题公园，求公园面积的最大值. 图1 图2 19.（17分）对于定义在D上的函数，若存在实数m，使得为偶函数，则称函数为型函数，若存在实数m，使得为奇函数，则称函数为型函数. （Ⅰ）已知的定义域为R，且的图象关于直线对称.证明：若为型函数. （Ⅱ）若，，且为型函数. （i）证明：； （ii）若，对于，，求a的取值范围. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$