广东省湛江市第二十中学2024-2025学年高二下学期第二次阶段性考试（5月）数学试题

2025年春季学期高二级第二次阶段性考试 数学试卷 (试卷满分150分,考试时间120分钟) 命题人:林颖 做题人:刘晓宏 第I卷(选择题) 一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中 只有一项是符合题目要求的。 A B._ C._ D 2.设f(x)=xlnx,若f'(xo)=2,则xo等于( ) Cn A.e2 Be D.ln2 3 将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项 目进行培训,每名志愿者只分配到1个项目,每个项目至少分配1名志愿者 则不同的分配方案共有() B.120种 C.240种 A.60种 D.480种 4.数列(an3中,a=2,am+n=amn,若ak+1+a+2+.-+ak+10=215-25, 则k=( ) B.3 C.4 A.2 D.5 5.甲、乙,丙3人各自从A.B.C这3个景点中随机选1个去旅游,设事件 M=“3个人都没去A景点”,事件N=“甲独自去一个景点”,则 P(MM)=( ) A2 B. C D. 6.对于数列[a],若存在正数M,使得对一切正整数n,都有lanl<M,则称 数列fa)是有界的,若这样的正数M不存在,则称数列fa)是无界的.记数列 (a的前n项和为Sn,则下列说法不正确的是() A.若an=1+3,则数列fanJ是无界的 B.若an=()"cosn,则数列(S.]是有界的 CS 扫描全能王 3亿人在用的日痛^pp C.若an=(-1)”,则数列(S.3是有界的 D.若an-,则数列(S.J是有界的 7.已知函数f(x)=sin(2x+)在区间(0.m)上存在唯一一个极大值点,则m 的最大值为() A.77 C. B.t D._ 8. 记fo(x)=e¥sinx,f(x)=f'(x),f2(x)=f'(x),fa(x)=f$*($). ...fn+1(x)=f'(x),nEN,则f2o2(0)= A.2508 B.-2507 C.0 D. 2507 二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合 题目要求。 9.设等差数列[an]的公差为d,前n项和s..若a3=16,S12>0.S13<0,则下 列结论正确的是() A.数列fa)是递增数列 B.S5=80 D.S,S2.S,..,S2中最大的是S6 10.函数f(x)的导函数y=f'(x)在区间(a.b)上的图象如图所示,则下列结 论正确的是() {# A.函数f(x)在x处有极小值 B.函数f(x)在x2处有极小值 C.函数f(x)在区间(a.b)内有4个极值点 D.导函数f'(x)在x处有极大值 11.若f(x)=(1-2x)2023=ao+ax+ax2+.+2022x2022+a2023x2023, 则下列结论正确的是( A.ao--1 B. laol+lal+la2l+.+láo2al=32023 C.++-+.+--1 D.f(8)被16除的余数是15 CS 扫描全能王 3亿人在用的日痛App 第II卷(非选择题) 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。 12.记s.为数列(anJ的前n项和,若Sn=2an+1,则S6=__. 13.(1-x)(2+)6的展开式中常数项为.(用数字作答) 14.若函数f(x)的导数f'(x)存在导数,记f'(x)的导数为f^(x).如果f(x)对 任意xE(a.b),都有f^(x)<0成立,则f(x)有如下性质; f(x)=sinx,则f”(x)=_;根据上述性质推断:当x1+x2+x3=n且x x2.x3E(0.π)时,根据上述性质推断:sinx+sinx2+sinxa的最大值为__ 四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明,证明过程或演 算步骤。 15.(本小题15分) 2022年是共青团建团一百周年,为了铭记历史、缅怀先烈、增强爱国主义 情怀,某学校组织了共青团团史知识竞赛活动.在最后一轮晋级比赛中,甲、 乙、丙三名同学回答一道有关团史的问题,已知甲回答正确的概率为2,甲、 丙两人都回答正确的概率是,乙、丙两人都回答正确的概率是.每个人回答 是否正确互不影响. (1)若规定三名同学都需要回答这个问题,求甲、乙、丙三名同学中至少1 人回答正确的概率; (2)若规定三名同学需要抢答这道题,已知甲抢到答题机会的概率为{},乙抢 到答题机会的概率为,丙抢到的概率为{},求这个问题回答正确的概率. 16.(本小题15分) 设数列(an]的前n项和为S,已知at=1.S6=21,且为等差数列. (1)求数列faJ的通项公式; ann为奇数 求(bJ的前2n项和T2n. CS 扫描全能王 3亿A在用的扫痛^pp 17.(本小题15分) 如图,正四校柱ABCD-ABC.D.中,AA:=2AB=4,点E在CC上,且C$F= 3EC. C (1)证明:A.C1平面BED: (2)求二面角A,一DF一B的大小的正切值 18.(本小题15分) 已知函数f(x)=x3-3x2+3x. (1)求函数f(x)的图象在点x=0处的切线方程; (2)若f(x)-1<x3+m在xE[0.2]上有解,求m的取值范围; (3)设f(x)是函数f(x)的导函数,f”(x)是函数f(x)的导函数,若函数f”(x) 的零点为xo,则点(xo.f(xo)恰好就是该函数f(x)的对称中心.试求f(-oi)+ f(1o1)+.+f(200+f(01的值 19.(本小题17分) 设满足以下两个条件的有穷数列a,a2. ..a.为n(n2.3,4,..)阶“期待 数列”: n+a2+a3+.+an=0; ②al+la2l+laal+.+lal=1. (①分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”; (II若某21阶“期待数列”是递增等差数列,求该数列的通项公式 (II)记n阶“期待数列”的前k项和为S(k1.2.3...n),试证:1Sxl< CS 扫描全能王 3亿人在用的日痛App 答案和解析 1.D2.B 3.C解:5名志愿者选2个1组,有c^{种方法,然后4组进行全排列,有A2种, 共有c2At-240种 4.C 取m=1,则án+ì=a,又a=2,所以2n+ì=2,所以(a)是首项和公比均为2的 #。 1-2 =2 1(210-1)-215-25-25(210-1),得k=4. 一0_ 所以P(MIN)一 6.A【解析】解:对于A,由a=1+,得ll=11+=1+<2,即存在正数M=2、 使得lal<M恒成立,因此数列[a。J是有界的,A错误: 7.A因为0<x<m,所以<2x+<2m+,由f(x)在区间(0.m)上存在唯.一个极大值 点,得<2+{<5故<=”# 所以m的最大值为乙n 8.C解:由题意可得:fo(x)=e{sinx,f(x)=(sinx+cosx)e{.f(x)=2cosxe. f(x)=2(cosx-sinx).ex,f(x)=-4sinx:e,., 可知:ft(x)=(-4)*sin x-e,kEN. 则f2o24(x)=(-4)5o6sinx.e* 注意到sin0=0,所以f2o24(0)=0. 故选:C. 9.【答案】BCD依题意,有S12=12a+12x11.d>0. 即a+az>0,az<0,所以a>az>0 由ag=16,得a;=16-2d,由(2a:+11d=32+7do a:+6d<o (d<-4 故C正确; 则an1一a.=d<0,所以等差数列(a)是单调递减的,故A不正确; _ CS 扫描全能王 3亿人在用的日痛App .(a+)5-5a;=80,故B正确; 则Ss= 又n$6时,a>0,n>7时,<0 所以S。.SS....S中最大的是S,故D正确. 10.【答案】BD 解:对于A,f(x)在x=x:左右两侧的f(x)<0,则x,不是f(x)的极值点,故A错误; 对于B,f[x)在x=x左右两侧,左侧f (x)<0.右侧f(x)>0 2.函数f(x)在x三x处有极小值,故B正确: 对于C,由图象得f(x)有3个极值点,x=0左右两侧的f(x)>0, .x一0不是f(x)的极值点,故C错误: 对于D,f'(x)的图象在x三x3左右两侧,左侧单调递增,右侧单调递减, .f(x)在x三x3处有极大值,故D正确 11.BC选项A:令x=0,即可判断:选项B:二项式(142x)2023的展开式的各项系数和与(1- 即可求解: 由f(8)=(1一16)2023的展开式求余数 12.【答案】-63 13.-128 13.【解析】解:由已知得:(2+)6的展开式的通项为:Tk+1=26-*cgx-*,k=0,1、.. 6.而原式可化为:(2+)6-x(2+)6,(2+)^的展开式中的常数项和x-1项分别为 2C2.25C,所以原式的常数项为:26C-25c=-128. 14.【答案】-sinx; 解:设f(x)=sinx,xE(o.π),则f'(x)=cosx,则f”(x)=-sinx,xE(0.) (f()有如下性质:(-)(x)/()1() 则stnx+ stnxz+ tirx; 3stn(&+)-3xsin-203. . sinA+sinB+sinc的最大值为23. 15.【答案】解:(1)设甲,乙,丙独自答对这道题分别为事件A,B,C; 则P(A)-P(AC-P(BC)= 件A.B.c(有互独立,(C_一O0.(p)-- _ CS 扫描全能王 3亿A在用的扫痛^pp .甲、乙、丙三名同学中至少1人回答正确的概率为1-P(A)P(B)P(C)=1-(1-2)x(1- )x(1-)1-1-1 (2)设这个问题回答正确为事件E 甲,乙,丙抢到答题机会分别为事件A,Az.Ag,则P(Ao)-}.P(A)=.P(As)=} P(EA)-# P(ElA2)- P(ElA)- .P(E)=P(A )P(E|A)+P(A)P(E]A)+P(A)P(ElA) ##3{-0 16.【答案】解:(1)设等差数列[Sn]的公差为d,因为a;=S=1; 所以{--5d -11=5.}# 所以n=1+(n-1),即s.-n(n+1) 当n>2时,a=$n-$n-1=n(n+1)n(n-1)-n. 当n=1时,a1=1,满足上式,所以a=n. n.n为奇数. 则Tn=(b +bs+bs+ +b2n-1)+(tb+b4+b6++b2n) =(1+3+5+.+2-1)+ ((() #2-14-→+-++--)→n→+1-_ 17.【答案】解:(1)证明: 以D为坐标原点,DA,DC,DD.所在直线为x,y,2轴,建立如图所示直角坐标系D一xy2 _ CS 扫描全能王 3亿A在用的扫痛^pp 依题设,B(2.2.0),C(0.2.0),E(0.2.1):A(2.0.4). DB=(0.2.1).DB=(2.2.0).AC=(-2.2.-4).DA=(2.0.4). 因为AC·DB=0,AC.DE=0,故AC1BD,AC 1DE,又DBnDE=D,所以A$ C1 平面DBE: (2)设向量n=(X.y.z)是平面DAE的法向量,则π1DE,π1DA. 故2y+z=0,2x+4z-0,令y=1,则z=-2,x=4. 故平面DA,F的一个法向量为n=(4.1.-2). 由图知二面角A-DE-B为锐二面角,所以二面角A.-DE-B的大小的正切值为55 18.解:(1)因为f'(x)=3x2-6x+3 所以所求切线的斜率k=f(0)=3又因为切点为(0.0) 所以所求的切线方程为y三3x. (2)因为f(x)-1<x3+m,所以-3x2+3x-1<m 因为f(x)-1<x3+m在xE[0.2]上有解, 所以m不小于-3x2+3x-1在区间[0.2]上的最小值 因为xE[0.2]时,-3r2+3x-1=-3(x-)-[-7-1 所以m的取值范围是[-7,+]. (3)因为f(x)=3x2-6x+3,所以f(x)=6(x-1). 令f^{(x)=0可得x。=1,所以函数f(x)的对称中心为(1.1) 即如果x1+x2=2,则f(x)+f(x)=2. CS 扫描全能王 3亿人在用的日痛App 所以f(1oi0)+fG++f(20+f(201g) 2019x2-2019. 19.【答案】解:(1)数列--,0,为三阶期待数列。 (I设该21阶“期待数列”的公差为d 因为a,+a+a;++a21=0, :a+a2:=0. 即a=0. .at2=d. 当d>0时,据期待数列的条件①②可得a12+a13+..+a21= .该数列的通项公式为a,=a11+(n-11)d-n-11 110 (nEN). (I)_当k=n时,显然:1$.l=0<成立: 当k<n时,根据条件①得Sk=a++.+=-(a+1+ak+2+..+a). 即$l=la+az+.+al=la+1+ak+2+..+al, .2$l=la+a2+.+al+la+1+ak+2+.-+al=1 .1$# CS 扫描全能王 3亿人在用的日痛App