精品解析：广东省东莞市四校联考2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题

2024-2025学年下学期期中考试四校联考高二数学试题 考试时间120分钟 满分150分 命题人：江舒婷 姚淑媚 申东山 潘巧玲 审题人：潘巧玲 注意事项： 1.答卷前，考生务必用2B铅笔在“考生号”处填涂考生号，用黑色字迹钢笔或签字笔将自己所在的班级，以及自己的姓名和考生号､试室号､座位号填写在答题卡上. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将答题卡交回. 第I卷（选择题共58分） 一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.） 1. 已知，则（ ） A. 0 B. 2 C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先对函数，再将代入即可求得结果. 【详解】因为，所以，故. 故选：B 2. 从A地到B地要经过C地，已知从A地到C地有三条路，从C地到B地有四条路，则从A地到B地不同的走法种数是（ ） A. 7 B. 9 C. 12 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】先确定从A地到C地有3种不同的走法，再确定从C地到B地有4种不同的走法，最后求从A地到B地不同的走法种数. 【详解】解：根据题意分两步完成任务： 第一步：从A地到C地，有3种不同的走法； 第二步：从C地到B地，有4种不同的走法， 根据分步乘法计数原理，从A地到B地不同的走法种数：种， 故选：C. 【点睛】本题考查分步乘法计数原理，是基础题. 3. 已知某射击运动员每次击中目标的概率是0.8，则该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为（ ） A. 0.4096 B. 0.8192 C. 0.8464 D. 0.9728 【答案】B 【解析】 【分析】利用二项分布概率公式计算易得. 【详解】设运动员射击4次，击中目标的次数为，则, 于是，该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为： ． 故选：B. 4. 的展开式中的系数是（ ）. A. B. C. 5 D. 15 【答案】A 【解析】 【分析】根据二项展开式的通项公式运算求解即可. 【详解】， 的展开式的通项为， ， 令可得的系数是, 令可得的系数是, 所以的展开式中的系数是. 故选：A. 5. 一袋中装有大小､质地均相同的5个白球，3个黄球和2个黑球，从中任取3个球，则至少含有一个黑球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据超几何分布的概率公式计算即可. 【详解】根据题意，至少含有一个黑球的概率是. 故选：B. 6. 已知某商品生产成本与产量的函数关系式为，单价与产量的函数关系式为，则利润最大时，（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得到，然后求导，根据函数的单调性求最值即可. 【详解】设利润为，则. 因为，所以当时，，当时，. 故利润最大时的. 故选：C. 7. 第24届冬奥会奥运村有智能餐厅A、人工餐厅B，运动员甲第一天等可能的随机选择一餐厅用餐，如果第一天去A餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.7；如果第一天去B餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.8．运动员甲第二天去A餐厅用餐的概率为（ ） A. 0.75 B. 0.7 C. 0.56 D. 0.38 【答案】A 【解析】 【分析】第2天去哪家餐厅用餐的概率受第1天在哪家餐厅用餐的影响，可根据第1天可能去的餐厅，将样本空间表示为“第1天去A餐厅”和“第1天去B餐厅”两个互斥事件的并，利用全概率公式求解. 【详解】设“第1天去A餐厅用餐”，“第1天去B餐厅用餐”， “第2天去A餐厅用餐”，则，且与互斥， 根据题意得：，，， 则. 故选：A. 8. 用红、黄、蓝等6种颜色给如图所示的五连圆涂色，要求相邻两个圆所涂颜色不能相同，且红色至少要涂两个圆，则不同的涂色方案种数为 A. 610 B. 630 C. 950 D. 1280 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：采用分类原理：第一类：涂两个红色圆，共有种；第二类：涂三个红色圆，共有种；故共有630种． 考点：排列、组合及简单计数问题． 二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.） 9. 某同学求得一个离散型随机变量的分布列为 1 2 4 6 0.2 0.3 0.1 则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由概率和为1列方程可求出的值，对于B，由期望公式求解即可，对于C，利用方差公式求解，对于D，利用标准差公式计算即可. 【详解】由，得，所以A正确； 因为，所以B正确； 因为，所以C不正确； 因为，所以D正确. 故选：ABD 10. 有3名学生和2名教师排成一排，则下列说法正确的是（ ） A. 共有120种不同的排法 B. 当2名教师相邻时，共有24种不同的排法 C. 当2名教师不相邻时，共有72种不同的排法 D. 当2名教师不排在两端时，共有48种不同的排法 【答案】AC 【解析】 【分析】利用全排列即可判断A；利用捆绑法即可判断B；利用插空法即可判断C；先排两端，其余再排，即可判断D. 【详解】对于A，共有种不同的排法，故A正确； 对于B，共有种不同的排法，故B错误； 对于C，共有种不同的排法，故C正确； 对于D，共有种不同的排法，故D错误. 故选：AC. 11. 已知函数则下列说法正确的是（ ） A. 函数的单调减区间为， B. 函数的值域为 C. 若关于的方程有三个根，则 D. 若对于恒成立，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】先根据分式函数和导数相关知识判断函数单调性与渐近线，从而画出函数图象，进而直接判断A和B；通过方程的根与图象的公共点之间的联系进行转化，并结合图象即可判断C，设函数，并求出与函数的切点的横坐标，结合图象分析时，直线斜率增大，此时函数满足在时处于直线下方，从而判断D. 【详解】（i）当时，， 则在单调递减，且渐近线为轴和，恒有. （ii）当时，，， 当在单调递增， 当在单调递减， 故， 且当时， ，，恒有. 综上可知，， 作出函数大致图象，如下图. 对于A，函数的单调减区间为，故A正确； 对于B，函数的值域为，故B错误； 对于C，方程有三个根， 则所以与有3个公共点， 由图象可知当时，与有3个交点，满足题意， 即的取值范围是，故C正确; 对于D，设函数为过定点的直线， 且与函数的切点为， 则有① ，②，且③， 由①②得， 将③代入上式可得，即， 即，解得或（舍去）， ，此时直线与函数相切，为临界情况； 当，直线斜率增大，此时函数满足在时，处于直线下方， 即对于恒成立， 因此，，故D正确； 故选：ACD. 【点睛】总结点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对函数解析式或方程变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 第II卷（非选择题共92分） 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填在答题卡的相应位置上.） 12. 在的二项展开式中，若各项系数和为729，则正整数的值为______． 【答案】6 【解析】 【分析】利用在的二项展开式中，令，可得各项系数和即可求解. 【详解】在的二项展开式中，令，可得各项系数和为， 解得. 故答案为：6 13. 某中学2400名学生参加一分钟跳绳测试.经统计，成绩近似服从正态分布，已知成绩小于76的有300人，则可估计该校一分钟跳绳成绩在108~140之间的人数约为________. 【答案】900 【解析】 【分析】利用正态曲线的对称性可求得答案. 【详解】由题意可知，, 因为成绩服从正态分布， 所以 所以跳绳成绩在108~140之间的人数约为. 故答案为：900. 14. 已知函数有两个零点，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】转化问题为方程在上有两个不相等的实数根，设，利用导数分析其单调性，结合图象求解即可. 【详解】函数的定义域为， 令，即， 因为函数有两个零点， 所以方程在上有两个不相等的实数根， 设， 则， 当时，，，则； 当时，，，则， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 又，且，，时，， 画出函数的大致图象，如图， 由图象可知，要使方程在上有两个不相等的实数根， 则，即实数的取值范围为. 故答案为：. 四､解答题（本大题共5小题，第15题13分，16､17题各15分，18､19题各17分，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效.） 15. 已知x为正实数，展开式的二项式系数和为256． （1）求展开式中二项式系数最大的项； （2）求展开式中含的项； （3）若第k项是有理项，求k的取值集合． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）展开式的二项式系数和求出n的值，再利用二项式定理求出通项，二项式系数最大的项为中间项，求解即可； （2）利用二项式定理求出通项，令，求出，代入通项求解即可 （3）当为整数时为有理项，即可求解 【小问1详解】 在展开式的二项式系数和为256， 即， ， 展开式中二项式系数最大的项中间项，即第5项， 所以， 【小问2详解】 ， 由，所以展开式中含的项是第2项， 所以 【小问3详解】 ， 当为整数时为有理项，即， 则k的取值集合 16. 已知函数. （1）求函数在处的切线方程； （2）求函数的单调区间和极值. 【答案】（1） （2）单调增区间为，，单调减区间为；极大值为，极小值为. 【解析】 【分析】（1）利用导数求出切线的斜率，即可写出切线方程； （2）利用列表法求出单调区间和极值. 【小问1详解】 函数的定义域为R. 导函数. 所以，， 所以函数在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 令，解得：或.列表得： x 1 3 + + 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以函数的单调增区间为，；单调减区间为； 的极大值为，极小值为. 17. 某市移动公司为了提高服务质量，决定对使用两种套餐的集团用户进行调查，准备从本市个人数超过1000的大集团和3个人数低于200的小集团中随机抽取若干个集团进行调查，若一次抽取2个集团，全是大集团的概率为. （1）在取出的2个集团是同一类集团的情况下，求全为小集团的概率； （2）若一次抽取3个集团，假设取出大集团的个数为，求的分布列. 【答案】（1）； （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）先根据古典概率概率公式结合组合数的运算求得，然后再利用古典概型求得所求事件的概率即可； （2）先求出随机变量的可能取值，然后计算对应的概率值，写出分布列即可. 【小问1详解】 由题意知共有个集团，取出2个集团的方法总数是，其中全是大集团的情况有， 故全是大集团的概率是， 整理得到，解得， 若2个全是大集团，共有（种）情况， 若2个全是小集团，共有（种）情况， 故在取出的2个集团是同一类集团的情况下，全为小集团的概率为； 【小问2详解】 由题意知，随机变量的可能取值为0，1，2，3， ， ， 故的分布列为 0 1 2 3 18. 已知8件不同的产品中有2件次品，现对这8件产品一一进行测试，直至找到所有次品． （1）若恰在第2次测试时，找到第一件次品，第6次测试时，找到第二件次品，则共有多少种不同的测试情况？ （2）若至多测试3次就能找到所有次品，则共有多少种不同的测试情况？ 【答案】（1）720 （2）26 【解析】 【分析】（1）分步骤确定每次测试的情况数，再根据排列组合的乘法原理计算总的测试情况数. （2）要分测试次找到所有次品和测试次找到所有次品这两种情况分别计算，最后根据加法原理得到总的测试情况数. 【小问1详解】 第1次测试的是正品，从件正品中选件，有种选择. 第2次测试找到第一件次品，因为有件次品，所以第2次测试的次品有种选择. 第3次到第5次测试的是正品，从剩下的件正品中选件进行排列，有种选择. 第6次测试找到第二件次品，此时只剩下件次品，所以只有种选择. 根据排列组合的乘法原理，总的测试情况数为种. 【小问2详解】 测试次就找到所有次品的情况: 第1次测试找到一件次品，有种选择，第2次测试找到另一件次品，有种选择，所以这种情况共有种测试情况. 测试次找到所有次品的情况: 第1次测试找到一件次品，有种选择，第2次测试找到一件正品，从件正品中选件，有种选择，第3次测试找到另一件次品，有种选择，这种情况共有种测试情况. 第1次测试找到一件正品，从件正品中选件，有种选择，第2次测试找到一件次品，有种选择，第3次测试找到另一件次品，有种选择，这种情况共有种测试情况. 根据加法原理，至多测试次就能找到所有次品的测试情况数为种. 19. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）若函数有两个极值点． ①求实数a的取值范围； ②若（为自然对数的底数，且…），求的取值范围． 【答案】（1） 当时，的单调递减区间为，无单调递增区间； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为； （2）①；② 【解析】 【分析】（1）利用导数的正负与函数的单调性的关系及对参数讨论即可求解； （2）①利用导数法求函数的极值的步骤及参数的讨论即可求解； ②根据已知条件及韦达定理构造函数，，利用导数法求出函数的最值即可求解. 【小问1详解】 由题知，函数的定义域为， ， 当时，对任意的，在上恒成立不恒为零， 故在上单调递减； 当时，令，则，解得， 当时，； 当时，． 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为． 综上， 当时，的单调递减区间为，无单调递增区间； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为； 【小问2详解】 ①由题知，， 函数的定义域为，， 当时，对任意的，且不恒为零， 故在上单调递增，没有极值点； 当时，，且不恒为零， 故在上单调递增，没有极值点； 当时，令，解得，，则， 当时，； 当时，； 所以函数的单调递增区间为，， 单调递减区间为． 综上，当时，有两极值点； ②由①可知，，， 所以， 设，，其中， 所以， 又因为，可知， 所以在上单调递减． ∴，即， 所以的取值范围为． 【点睛】关键点睛：解决此题的关键是第一问是利用导数法求函数的单调性的步骤，注意对参数进行讨论即可，第二问第一小问利用导数法求出函数的极值的步骤，注意对参数的讨论即可，第二小问利用韦达定理及已知条件构造函数，利用导数法求函数的最值即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年下学期期中考试四校联考高二数学试题 考试时间120分钟 满分150分 命题人：江舒婷 姚淑媚 申东山 潘巧玲 审题人：潘巧玲 注意事项： 1.答卷前，考生务必用2B铅笔在“考生号”处填涂考生号，用黑色字迹钢笔或签字笔将自己所在的班级，以及自己的姓名和考生号､试室号､座位号填写在答题卡上. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将答题卡交回. 第I卷（选择题共58分） 一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.） 1. 已知，则（ ） A. 0 B. 2 C. 1 D. 2. 从A地到B地要经过C地，已知从A地到C地有三条路，从C地到B地有四条路，则从A地到B地不同的走法种数是（ ） A. 7 B. 9 C. 12 D. 16 3. 已知某射击运动员每次击中目标的概率是0.8，则该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为（ ） A. 0.4096 B. 0.8192 C. 0.8464 D. 0.9728 4. 的展开式中的系数是（ ）. A. B. C. 5 D. 15 5. 一袋中装有大小､质地均相同的5个白球，3个黄球和2个黑球，从中任取3个球，则至少含有一个黑球的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 已知某商品生产成本与产量的函数关系式为，单价与产量的函数关系式为，则利润最大时，（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 7. 第24届冬奥会奥运村有智能餐厅A、人工餐厅B，运动员甲第一天等可能的随机选择一餐厅用餐，如果第一天去A餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.7；如果第一天去B餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.8．运动员甲第二天去A餐厅用餐的概率为（ ） A. 0.75 B. 0.7 C. 0.56 D. 0.38 8. 用红、黄、蓝等6种颜色给如图所示的五连圆涂色，要求相邻两个圆所涂颜色不能相同，且红色至少要涂两个圆，则不同的涂色方案种数为 A. 610 B. 630 C. 950 D. 1280 二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.） 9. 某同学求得一个离散型随机变量的分布列为 1 2 4 6 0.2 0.3 0.1 则（ ） A. B. C. D. 10. 有3名学生和2名教师排成一排，则下列说法正确的是（ ） A. 共有120种不同的排法 B. 当2名教师相邻时，共有24种不同的排法 C. 当2名教师不相邻时，共有72种不同的排法 D. 当2名教师不排在两端时，共有48种不同的排法 11. 已知函数则下列说法正确的是（ ） A. 函数的单调减区间为， B. 函数的值域为 C. 若关于的方程有三个根，则 D. 若对于恒成立，则 第II卷（非选择题共92分） 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填在答题卡的相应位置上.） 12. 在的二项展开式中，若各项系数和为729，则正整数的值为______． 13. 某中学2400名学生参加一分钟跳绳测试.经统计，成绩近似服从正态分布，已知成绩小于76的有300人，则可估计该校一分钟跳绳成绩在108~140之间的人数约为________. 14. 已知函数有两个零点，则实数的取值范围为__________. 四､解答题（本大题共5小题，第15题13分，16､17题各15分，18､19题各17分，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效.） 15. 已知x为正实数，展开式的二项式系数和为256． （1）求展开式中二项式系数最大的项； （2）求展开式中含的项； （3）若第k项是有理项，求k的取值集合． 16. 已知函数. （1）求函数在处的切线方程； （2）求函数的单调区间和极值. 17. 某市移动公司为了提高服务质量，决定对使用两种套餐的集团用户进行调查，准备从本市个人数超过1000的大集团和3个人数低于200的小集团中随机抽取若干个集团进行调查，若一次抽取2个集团，全是大集团的概率为. （1）在取出的2个集团是同一类集团的情况下，求全为小集团的概率； （2）若一次抽取3个集团，假设取出大集团的个数为，求的分布列. 18. 已知8件不同的产品中有2件次品，现对这8件产品一一进行测试，直至找到所有次品． （1）若恰在第2次测试时，找到第一件次品，第6次测试时，找到第二件次品，则共有多少种不同的测试情况？ （2）若至多测试3次就能找到所有次品，则共有多少种不同的测试情况？ 19. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）若函数有两个极值点． ①求实数a的取值范围； ②若（为自然对数的底数，且…），求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $