精品解析：上海市川沙中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题

川沙中学2024-2025学年第二学期高二年级数学期中 2025.4 一、填空题（3分*12=36分） 1. 已知函数的驻点为________． 2. 若排列数，则________. 3. 两个篮球运动员罚球时的命中概率分别是0.6和0.5，两人各投一次，则他们同时命中的概率是______. 4. 已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的标准差是_____． 5. 已知函数，则______． 6. 某果园种植了棵苹果树，随机抽取的棵果树的产量（单位：千克）分别为：20， 24 ，25 ，26 ，26 ，27 ，28 ，29 ，30 ，32 ，33 ，36，据此预计，这棵果树的产量百分位数为_________千克. 7. 已知常数，在的二项展开式中，项的系数等于，则_______. 8. 从5名志愿者中选出4名分别参加测温、扫码、做核酸和信息登记的工作（每项1人），其中甲不参加测温的分配方案有______种.（结果用数值表示） 9. 若有一个不透明的袋子内装有大小、质量相同的个小球，其中红球有个，白球有个，每次取两个，取后放回，连续取三次，设随机变量表示取出后都是白球的次数，则______ ． 10. 设甲盒有3个白球，2个红球，乙盒有4个白球，1个红球，现从甲盒任取2球放入乙盒，再从乙盒任取两球，则从乙盒取出2个红球的概率是__________. 11. 若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是____________． 12. 已知函数，又当时，，则关于的不等式的解集为________. 二、选择题（3分*4=12分） 13. 某家大型超市近10天的日客流量（单位：千人次）分别为：2.5、2.8、4.4、3.6.下列图形中不利于描述这些数据的是（ ） A. 散点图 B. 条形图 C. 茎叶图 D. 扇形图 14. 若等式对一切都成立，其中，，，为实常数，则　　 A. 2 B. C. 4 D. 1 15. 已知函数，其中正确结论的是（ ） A. 当时，函数有最大值 B. 对于任意的，函数是上的减函数 C. 对于任意的，都有函数 D. 对于任意的，函数一定存在最小值 16. 假设聪明的你已掌握以下结论：函数图像关于中心对称的充要条件是对定义域内的任意恒成立.请你解决下面问题：已知函数及其导函数的定义域均为，记，若为偶函数，为奇函数，则下列结论中正确的个数为（ ）. ①的图象关于点对称； ②的图象关于点对称； ③； ④ A. B. C. D. 三、解答题（8+8+10+12+14） 17. 如图，在正方体中，E是的中点． （1）求证：平面； （2）求直线DE与平面ABCD所成角的大小． 18. 已知函数． （1）若，求的极小值； （2）讨论导函数的单调性． 19. 张先生每周有5个工作日，工作日出行采用自驾方式，必经之路上有一个十字路口，直行车道有三条，直行车辆可以随机选择一条车道通行，记事件为“张先生驾车从左侧直行车道通行”. （1）某日张先生驾车上班接近路口时，看到自己车前是一辆大货车，遂选择不与大货车从同一车道通行.记事件为“大货车从中间直行车道通行”，求； （2）用表示张先生每周工作日出行事件发生的次数，求的分布及期望. 20. 已知椭圆，，为左、右焦点，直线过交椭圆于，两点． （1）若直线垂直于轴，求； （2）当时，在轴上方时，求、的坐标； （3）若直线交轴于，直线交轴于，是否存在直线，使得，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 21. 已知函数 （1）若函数在处的切线斜率是2，求的值； （2）若函数在处有极值，且关于的方程有3个不同的实根，求实数的取值范围； （3）记(是自然对数的底数).若对任意、且时，均有成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 川沙中学2024-2025学年第二学期高二年级数学期中 2025.4 一、填空题（3分*12=36分） 1. 已知函数的驻点为________． 【答案】0 【解析】 【分析】根据驻点的定义直接求解即可. 【详解】， 令，所以， 所以函数的驻点为0； 或由，得， 由，得， 所以函数的驻点为0. 故答案为：0 2. 若排列数，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据排列数公式来求解的值. 【详解】排列数公式为， 这里 对比公式可看出. 故答案为：3. 3. 两个篮球运动员罚球时的命中概率分别是0.6和0.5，两人各投一次，则他们同时命中的概率是______. 【答案】0.3 【解析】 【分析】根据独立事件概率的乘法公式，即可求得结果. 【详解】记“第一个篮球运动员罚球一次，命中”为事件，“第二个篮球运动员罚球一次，命中”为事件， 则，，事件和相互独立. 则“两人各投一次，则他们同时命中”可用事件来表示，. 故答案为：0.3. 4. 已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的标准差是_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用标准差公式求解. 【详解】由题意可知，该组数据的平均数为 所以该组数据的方差为 故该组数据的标准差是． 故答案为：． 5. 已知函数，则______． 【答案】或-0.5 【解析】 【分析】根据函数在某点处导数的定义，结合所给函数的导数公式进行求解. 【详解】根据函数的导数定义， 表示的是函数在处的导数. 根据复合函数求导法则，. 所以. 故答案为：. 6. 某果园种植了棵苹果树，随机抽取的棵果树的产量（单位：千克）分别为：20， 24 ，25 ，26 ，26 ，27 ，28 ，29 ，30 ，32 ，33 ，36，据此预计，这棵果树的产量百分位数为_________千克. 【答案】 【解析】 【分析】找出第个数字和第个数字取平均数即可. 【详解】因样本总共个数，所以， 只需找出第个数字和第个数字取平均数即可， 从小到大排列，第个数字和第个数字分别为， 所以第百分位数为. 故答案为： 7. 已知常数，在的二项展开式中，项的系数等于，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】首先根据展开式中存在一项可知，然后根据二项式展开式的通式结合已知条件列出关于的方程，解方程即可求出参数的值. 【详解】根据已知条件是二项式展开式的某一项，故得. 由，令，得. 得，根据已知可得，解得，即. 故答案为：. 8. 从5名志愿者中选出4名分别参加测温、扫码、做核酸和信息登记的工作（每项1人），其中甲不参加测温的分配方案有______种.（结果用数值表示） 【答案】96 【解析】 【分析】若甲不参与测温，可先在其他４人中先选取一人进行测温工作，再从４人中选取３人参与其他工作. 【详解】从5名志愿者中选出4名分别参加测温、扫码、做核酸和信息登记的工作（每项1人），其中甲不参加测温的分配方案有种. 故答案为：96 9. 若有一个不透明的袋子内装有大小、质量相同的个小球，其中红球有个，白球有个，每次取两个，取后放回，连续取三次，设随机变量表示取出后都是白球的次数，则______ ． 【答案】 【解析】 【分析】 计算出从袋中随机抽取两个球都是白球的概率，可知，然后利用二项分布的期望公式可计算出的值. 【详解】从袋中随机抽取两个球都是白球的概率为， 由题意可知，，由二项分布的期望公式得. 故答案为：. 【点睛】本题考查二项分布期望的计算，解题时要弄清随机变量满足的分布列类型，考查计算能力，属于中等题. 10. 设甲盒有3个白球，2个红球，乙盒有4个白球，1个红球，现从甲盒任取2球放入乙盒，再从乙盒任取两球，则从乙盒取出2个红球的概率是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据全概率公式进行求解. 【详解】设从甲盒取出2个红球；从甲盒取出2个白球； 从甲盒取出1个白球和1个红球；从乙盒取出2个红球. 所以 . 故答案为：. 11. 若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】设出切点横坐标，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得的取值范围. 【详解】∵， ∴，设切点为，则， 切线方程为：， ∵切线过原点， ∴， 整理得：， ∵切线有两条，∴， ∴的取值范围是， 故答案为： 12. 已知函数，又当时，，则关于的不等式的解集为________. 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，先判断函数的奇偶性，再利用导数判断函数的单调性，再根据函数的单调性和奇偶性解不等式即可. 【详解】由，得 设，所以，所以为R上的偶函数， 当时，， 因为当时，，所以当时，， 所以在区间上单调递增， 所以，即， 即， 等价于，即，解得， 所以关于的不等式的解集为. 故答案为：. 二、选择题（3分*4=12分） 13. 某家大型超市近10天的日客流量（单位：千人次）分别为：2.5、2.8、4.4、3.6.下列图形中不利于描述这些数据的是（ ） A. 散点图 B. 条形图 C. 茎叶图 D. 扇形图 【答案】A 【解析】 【分析】根据数据的特征以及各统计图表的特征分析即可； 【详解】解：茎叶图、条形图、扇形图均能将数据描述出来，并且能够体现出数据的变化趋势；散点图表示因变量随自变量而变化的大致趋势，故用来描述该超市近10天的日客流量不是很合适； 故选：A 14. 若等式对一切都成立，其中，，，为实常数，则　　 A. 2 B. C. 4 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】在所给的已知式中，令，可得的值． 【详解】解：等式对一切都成立，其中，，，为实常数， 则令，可得， 故选D． 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于基础题． 15. 已知函数，其中正确结论的是（ ） A. 当时，函数有最大值 B. 对于任意的，函数是上的减函数 C. 对于任意的，都有函数 D. 对于任意的，函数一定存在最小值 【答案】D 【解析】 【分析】对函数进行求导，根据导数的性质进行逐一判断即可. 【详解】， A：当时，，所以该函数是实数集上的增函数，故不存在最大值，不正确； B：当，时，因为，所以是上的增函数，因此不正确； C：当时，因为当时，，，所以对于任意的不恒成立，故不正确， D：当时，设，因为， 所以，因此是增函数，因为当，所以， 当时，，因此函数有唯一零点，设为， 因此当时，，即，此时函数在单调递减， 当时，，即，此时函数在单调递增， 因此当时，函数有最小值，正确， 故选：D 16. 假设聪明的你已掌握以下结论：函数图像关于中心对称的充要条件是对定义域内的任意恒成立.请你解决下面问题：已知函数及其导函数的定义域均为，记，若为偶函数，为奇函数，则下列结论中正确的个数为（ ）. ①的图象关于点对称； ②的图象关于点对称； ③； ④ A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的对称性与周期性直接判断. 【详解】对于①，因为为奇函数，所以， 即，所以的图象关于中心对称，正确； 对于②，由为偶函数，所以， 所以，即， 即，则， 所以的图象关于中心对称，正确； 对于③，由，即，则，即，即是以为周期的函数，且，， 不妨设，所以，周期均为且，，，， 所以，所以③错误； 对于④，由，，知， 又，，所以， 所以，即，所以为周期是的函数， 即，故④正确； 故选：C. 三、解答题（8+8+10+12+14） 17. 如图，在正方体中，E是的中点． （1）求证：平面； （2）求直线DE与平面ABCD所成角的大小． 【答案】（1） 证明：连接，在正方体中，E是的中点， 所以E是的中点，且，即， 因为平面，平面， 所以， 又，平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）连接，结合正方体的性质易得，，进而求证即可； （2）过作，交于，连接，易得是直线与平面所成的角，进而结合直角三角形中正切的定义求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过作，交于，连接， 在正方体中，平面，， 所以平面， 又平面，所以， 所以是直线与平面所成的角. 由题意，设，则， ，所以， 所以在，， 故直线与平面所成角的大小是. 18. 已知函数． （1）若，求的极小值； （2）讨论导函数的单调性． 【答案】（1） （2） 当时，在上单调递增． 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【解析】 【分析】（1）先求出函数的定义域，然后对函数求导，由导数的正负求出函数的单调区间，从而可求出函数的极小值； （2）先求出函数的定义域，然后对函数求导，再令，求出，再由的正负可求出的单调区间. 【小问1详解】 当时，，的定义域为， 则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取得极小值． 【小问2详解】 的定义域为， ， 令，则， 当时，恒成立，所以即在上单调递增． 当时，由，得，由，得， 所以即在上单调递减，在上单调递增. 19. 张先生每周有5个工作日，工作日出行采用自驾方式，必经之路上有一个十字路口，直行车道有三条，直行车辆可以随机选择一条车道通行，记事件为“张先生驾车从左侧直行车道通行”. （1）某日张先生驾车上班接近路口时，看到自己车前是一辆大货车，遂选择不与大货车从同一车道通行.记事件为“大货车从中间直行车道通行”，求； （2）用表示张先生每周工作日出行事件发生的次数，求的分布及期望. 【答案】（1） （2）的分布为：，. 【解析】 【分析】（1）先求出事件的概率，在事件发生的条件下事件发生的概率为，再由积事件的概率公式可得； （2）求出事件发生的次数的取值，然后算出对应的概率，可得的分布，再算期望. 【小问1详解】 依题意得，事件的概率为，在事件发生的条件下事件发生的概率为， 则. 【小问2详解】 依题意得，事件发生的次数可取：，所以，即， 则的分布为： 即， 则， 则所求的的期望. 20. 已知椭圆，，为左、右焦点，直线过交椭圆于，两点． （1）若直线垂直于轴，求； （2）当时，在轴上方时，求、的坐标； （3）若直线交轴于，直线交轴于，是否存在直线，使得，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）， （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）由题意方程求得右焦点坐标，进一步求得，的坐标，则可求； （2）设，由，利用数量积为0求得与的方程，再由在椭圆上，得与的另一方程，联立即可求得的坐标．得到直线的方程，与椭圆方程联立即可求得的坐标； （3）设，，，，直线，联立直线方程与椭圆方程，结合，得，再由直线的方程：，得纵坐标，由直线的方程：，得的纵坐标，结合根与系数的关系，得，解得值，从而得到直线方程． 【小问1详解】 解：依题意，，当轴时，将代入，解得， 则，，所以； 【小问2详解】 解：设，，，， 所以， ， 又在椭圆上，满足，即， ，解得，即． 所以直线， 联立，解得或，所以； 【小问3详解】 设，，，， 直线， 则， ． 联立，得． 则，． 由直线的方程：，得纵坐标； 由直线的方程：，得的纵坐标． 若，即， ， ，， 代入根与系数的关系，得，解得． 存在直线或满足题意． 【点睛】 方法点睛：解析几何中与弦长相关的三角形面积常有两种求法： （1），其中为弦长，为另一顶点到直线的距离； （2）面积等于水平宽与铅垂高积的一半. 21. 已知函数 （1）若函数在处的切线斜率是2，求的值； （2）若函数在处有极值，且关于的方程有3个不同的实根，求实数的取值范围； （3）记(是自然对数的底数).若对任意、且时，均有成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由即可求解； （2）根据极值，求出，得到，利用导数的性质，判断有3个不同的实根时，的取值范围； （3）根据的单调性，问题转化为，整理得，，分别判断函数和函数在上的单调性，根据不等式恒成立的性质，分离参数，即可求出的取值范围. 【小问1详解】 ， ， 所以， 【小问2详解】 在处有极值，因为，则，故，得； ，此时，， 当或时，,当, 故和上，单调递增，上，单调递减， 因此是极值点，故符合要求， 因为关于x的方程有3个不同的实根，根据函数的图象，当时，满足题意，得，故 【小问3详解】 ，单调递减，对任意、且时， ，， 则对任意、且时，均有成立， 转化为，对任意、且时，均有成立，即 ， 所以，函数在上单调递减，函数在上单调递增， ①函数在上单调递减，即在上恒成立， 又因为，，，故， 得在上恒成立，令，，令，得，当所以，在上单调递增，在上单调递减，故，故； ②函数在上单调递增，即在上恒成立， 又因为，，，故，得 在上恒成立，因为函数在上为单调递增函数，故，此时，； 综上所述，实数的取值范围为：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $