精品解析：2025年湖北省咸丰县中考适应性考试数学试题（二）

2025年湖北省初中学业水平考试 数学试卷 （测试时间：120分钟 卷面总分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上指定的位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效，作图一律用2B铅笔或黑色签字笔． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共10题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 与原点距离是2个单位长度的点所表示的有理数是（　　） A. 2 B. C. D. 这个数无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据绝对值的定义可知，2与到原点的距离都是2，由此求解即可． 【详解】解：与原点距离是2个单位长度的点分别为2或， 故选：C． 【点睛】本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法是解题的关键． 2. 某几何体的俯视图如图所示，下列几何体（箭头所示为正面）的俯视图与其相同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三视图的判断，根据图形特点，正确的确定出俯视图是关键．首先由俯视图可知该几何体共两列，左边一列最底层共三个正方体，右边一列最底层共一个正方体，找出正确的答案即可． 【详解】解：由俯视图可知该几何体共两列，左边一列最底层共三个正方体，右边一列最底层共一个正方体，由此可得只有C符合题意， 故选：C． 3. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据合并同类项法则、同底数幂乘法、整式除法、积的乘方法则分别进行计算，然后选择正确选项． 【详解】A．不是同类项，不能合并，故本选项错误； B．，计算正确，故本选项正确； C．，计算错误，故本选项错误； D．，计算错误，故本选项错误． 故选B． 【点睛】本题考查了合并同类项法则、同底数幂乘法、整式除法、积的乘方等运算，掌握运算法则是解答本题的关键． 4. 一副三角尺按如图方式放置，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角的和差，平行线的性质，由角的和差得，由平行线的性质得，即可求解；能熟练利用平行线的性质进行求解是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， ， ， ， 故选：B． 5. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示． 先求出每一个不等式的解集，在数轴上表示出来，其公共部分即为不等式组的解集． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， 故原不等式组的解集为． 其解集在数轴上表示如下：． 故选C. 6. 有两个事件，事件A：在汽步枪比赛中，某运动员打出10环；事件：一个不透明的袋中装有除颜色外完全相同的6个小球（4个黑球，2个白球），从中随机摸出的3个球中有黑球．下列判断正确的是（ ） A. 事件A是随机事件，事件是必然事件 B. 事件A、事件都是必然事件 C. 事件A是必然事件，事件是随机事件 D. 事件A、事件都是随机事件 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了随机事件、必然事件的定义等只是点，正确掌握相关定义是解题关键． 根据随机事件、必然事件的定义逐个判断即可． 【详解】解：事件A：在汽步枪比赛中，某运动员打出10环是随机事件；事件：一个不透明的袋中装有除颜色外完全相同的6个小球（4个黑球，2个白球），从中随机摸出的3个球中有黑球是必然事件．即A选项符合题意． 故选A． 7. 我国古代数学著作《孙子算经》中有“雉兔同笼”问题：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”其大意是：鸡兔同笼，共有35个头，94条腿，问鸡兔各多少只？设鸡有只，兔有只，根据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找出等量关系是解题关键．设鸡有只，兔有只，根据“鸡兔同笼，共有35个头，94条腿”列二元一次方程组即可． 【详解】解：设鸡有只，兔有只， 由题意得：， 故选：D． 8. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，，，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形，全等三角形的判定和性质，作辅助线如解析图，证明，进而得到，进而求出点的坐标即可． 【详解】解：作轴于C，作于点，延长交轴于点，则：，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点的坐标为， ∴， ∴， ∴； 故选B． 9. 如图，在以为直径的半圆中，分别以点和点为圆心，以大于的长度为半径画弧，两弧相交于点和，作直线，交半圆于点，交于点，当时，的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，连接，根据作图得到垂直平分，得到，进而得到为等边三角形，得到，圆周角定理得到，得到，在中，根据含30度角的直角三角形的性质，求出的长即可． 【详解】解：连接，则：， 根据作图得到垂直平分， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， 在中，； 故选：B． 10. 如图，已知抛物线（，，为常数，且的对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点，与轴的交点在，之间（不含端点），有下列结论：①，②；③；④若方程的两根为，，则．其中正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系、一元二次方程根与系数的关系、抛物线与x轴的交点等知识点，掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． 根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置以及与x轴的交点坐标，根与系数的关系等知识点逐项判断即可． 【详解】解：由图可知抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线的对称轴为， ∴，即， ∵与y轴的交点B在，之间（不含端点）， ∴， ∴，故①不正确； ∵对称轴为直线，且该抛物线与x轴交于点， ∴与x轴交于另一点为， ∴当时，，故②不正确； 由题意可得方程的两个根为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故③正确； 若方程两根为， ∴直线与抛物线的交点的横坐标为m，n， ∴直线与抛物线的交点在第一，三象限， 如图所示： 由图象可知，故④正确； 综上所述，正确的结论是③④，有2个． 故答案为：B． 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 已知一次函数，当时，的值可以是______（写出一个合理的数即可）． 【答案】0（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．取和时，求得的值，即可求解． 【详解】解：当时，， 当时，， ∴当时，， ∴的值可以是0，（答案不唯一） 故答案为：0（答案不唯一）． 12. 中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》《算学启蒙》《测圆海镜》《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献，某中学拟从这4部数学名著中选择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容，选择方案包含《算学启蒙》的概率是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法，概率公式．画树状图表示出所有等可能得情况和恰好选中《周髀算经》和《算学启蒙》的情况，然后利用概率公式求解即可． 【详解】解：将四部名著《周髀算经》、《算学启蒙》、《测圆海镜》、《四元玉鉴》分别记为A，B，C，D， 根据题意可以画出如下的树状图： 由树状图可以看出，所有可能的结果有12种，并且这12种结果出现的可能性相等， 其中包含《算学启蒙》的情况有6种， ∴选择方案包含《算学启蒙》的概率是， 故答案为：． 13. 物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像，设，小孔到的距离为，则小孔到的距离为______． 【答案】25 【解析】 【分析】本题考查了三角形相似的应用．设小孔到的距离为，根据光学原理，得到，得到，继而得到，列式解答即可． 【详解】解：设小孔到的距离为，根据光学原理，得到， 故， 故， 故， 解得． 故答案为：25． 14. 化简的结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简，掌握分式的四则混合运算法则，是解题的关键． 先把除法化为乘法，再计算减法，进而即可求解． 【详解】解： 故答案为： ． 15. 如图，为等边三角形内一点，且，，，点在线段上，，连接，延长交于点，交于点，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】由题意得到，结合等边三角形性质确定边或角，再由两个三角形全等的判定与性质得到，，，进而判断是等边三角形，再由三角形相似的判定得到和，设，等边的边长为，从而由相似比列式求解即可得到答案． 【详解】解：，， ， ， 在中，，则， 为等边三角形， ，， ， ， 在和中， ， ，，， ， 在中，，则是等边三角形， ， ， ，， ， ， ，则， ，， ，则， 设，等边的边长为， 由得， 则， 由得， 则， ，即， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查求线段长，涉及等边三角形判定与性质、两个三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解方程等知识．熟练掌握两个三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解决问题的关键． 三、解答题（共9题，共75分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算：． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查的是含特殊角的三角函数值的混合运算，零次幂，化简绝对值．先计算零次幂，代入特殊角的三角函数值，化简绝对值，再合并即可． 【详解】解： ． 17. 如图，在菱形中，点，分别在边和上，且，求证：． 【答案】 证明：∵四边形为菱形， ∴，， ∵，又， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定及性质．由菱形的性质得到，，再由等角的补角相等得到，即可证得，根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】略 18. 某校科技小组走访山西省朔州市应县佛宫寺，了解到这是世界上现存最高大、最古老纯木结构楼阁式建筑，于是他们开展了测量该木塔高度的实践活动，并形成下面的实践报告． 测量应县木塔高度 测量工具 测角仪、皮尺等 活动形式 以小组为单位 测量示意图 测量步骤及结果 如图，步骤如下： ①在处使用测角仪测得塔的顶部点的仰角； ②沿着方向走到处，用皮尺测得米； ③在处使用测角仪测得塔的顶部点的仰角 已知测角仪的高度为米，点，，A在同一水平直线上，根据以上信息求塔的高度（结果取整数）．（参考数据：，，） 【答案】68米 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，设米，利用三角函数解可得，解可得米，再根据，然后求解得到x的值，最后根据线段的和差即可解答． 【详解】解：由题意得，四边形、是矩形， ∴米，米， 设米， 在中，， ∴米， 在中，， ∴米， ∴，解得：， ∴（米）． 答：塔的高度为68米． 19. 某校为了解七年级学生对校园安全知识掌握的情况，随机抽取该校七年级部分学生进行测试，并对测试成绩进行收集、整理、描述和分析（测试满分为100分，学生测试成绩均为不小于60的整数），分为四个等级（D：，：，，；），部分信息如下： 信息一： 信息二：学生成绩在B等级的数据（单位：分）如下： 80，81，82，83，84，84，86，86，86，89． 请根据以上信息，解答下列问题； （1）求所抽取的学生成绩为C等级的人数； （2）求所抽取的学生成绩的中位数； （3）该校七年级共有600名学生，若全年级学生都参加本次测试，请估计成绩为A等级的人数． 【答案】（1）6 （2）中位数为84； （3）成绩为A等级的人数为192人． 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图和频数分布直方图，中位数，用样本估计总体，正确理解题意是解题的关键． （1）先根据B的人数以及所占百分比求得总人数，再拿总人数减去A、B、D的人数即可； （2）总人数为25人，因此中位数是第13名同学的成绩的平均数，由于A中8人，故中位数是B中从大到小的第5名同学的成绩，据此即可求解； （3）拿600乘以A等级的人数所占百分比即可． 【小问1详解】 解：总人数为：（人）， ∴抽取的学生成组为C等级的人数为：（人）； 【小问2详解】 解：总人数为25人，因此中位数是第13名同学的成绩的平均数， ∵A中8人，故中位数是B中从大到小的第5名同学的成绩， ∴中位数为； 【小问3详解】 解：成绩为A等级的人数为：（人）， 答：成绩为A等级的人数为192人． 20. 如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数与反比例函数的图象在第一、三象限分别交于，两点，连接，． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）根据图象，直接写出一次函数值小于反比例函数值时的取值范围． 【答案】（1）反比例函数的关系式为，一次函数的关系式为 （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数图象的交点． （1）由点A坐标确定反比例函数关系式，进而确定点B的坐标，再根据待定系数法求出一次函数的关系式即可； （2）求出直线与x轴的交点坐标，再根据三角形的面积的计算方法进行计算即可； （3）根据两个函数图象的交点坐标得出答案． 【小问1详解】 解：将点代入反比例函数得， ， ∴反比例函数的关系式为； 把点代入反比例函数得， ， ∴点， 设直线的关系式为， ∴， 解得， ∴直线的关系式为， 即反比例函数的关系式为，一次函数的关系式为； 【小问2详解】 解：当时，即， 解得， 即直线与x轴的交点坐标为， ∴； 【小问3详解】 解：由图象的交点坐标可知， 当或时，一次函数值小于反比例函数值． 21. 如图，在中，，以为直径的交于点D，过点D作，垂足为点H． （1）求证：是的切线； （2）延长交于E，连接，交于点F，若，的半径为3，求的长度（结果保留）． 【答案】（1） 证明：连接， 如图所示： ∵， ∴是等腰三角形， ∴， 在中，∵， ∴， 由①②得：， ∴， ∵， ∴， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查切线的判定，弧长的计算，等腰三角形的性质，圆周角定理等，掌握切线的判定方法及弧长的计算公式是解题的关键． （1）连接，由，可得，进而可得，结合可证，即可得出是的切线； （2）由，可得，设，则，结合，在中，由三角形内角和定理列式计算出，再根据弧长公式求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图， ∵， ∴， 设， ∴， ∵， ∴中，， ∴， ∴， ∴， ∴的长度． 22. 赓续长江文脉，共创时代华章，首届长江文化艺术季于9月14日晚在湖北省武汉市隆重开幕．某店铺购进了一批包含湖北特色美食的礼盒，进货价和销售价如下表 “热干面”礼盒 “武昌鱼”礼盒 进货价/（元/盒） 25 45 销售价/（元/盒） 35 60 （1）店铺购进“热干面”礼盒和“武昌鱼”礼盒共80盒，且进货总价不高于2900元．若进货后全部售出，则分别购进“热干面”礼盒和“武昌鱼”礼盒多少盒，才能获得最大销售利润？最大销售利润是多少？ （2）店铺为了能尽快售完“热干面”礼盒，打算降价促销．若按照原价销售，平均每天可售出6盒，每降价1元，平均每天可多售出2盒，则将销售价定为每盒多少元时，能使“热干面”礼盒平均每天的利润为84元？ 【答案】（1）购进“热干面”盒，购进“武昌鱼”盒时，有最大利润，最大利润为元 （2）“热干面”销售价定为每盒元，能使“热干面”平均每天销售利润为84元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，掌握一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用以及一次函数的应用是解题的关键． （1）设购进件“热干面”x盒，则“武昌鱼”为盒，利用总价单价数量，结合总价不超过2900元，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，计算再次购进的两款纪念品全部售出后获得的总利润，利用总利润每件的销售利润销售数量，即可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题； （2）设“热干面”销售价定为每盒元，利用平均每天销售“热干面”获得的总利润每件的销售利润平均每天的销售量，即可得出关于a的一元二次方程，解之即可得出结论． 【小问1详解】 解：设分别购进“热干面”x盒，则“武昌鱼”为盒， ， 解得：， 设利润为元， 利润为：， ∵， ∴随x的增大而减少， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴购进“热干面”盒，购进“武昌鱼”盒时，有最大利润，最大利润为元； 【小问2详解】 解：设“热干面”销售价定为每盒元， ， 解得：，， ∵为尽快售完， ∴， 答：“热干面”销售价定为每盒元，能使“热干面”平均每天销售利润为84元． 23. 【问题情景】 在矩形纸片中，是边上一动点，是边上一动点，将矩形纸片沿所在直线翻折，点的对应点为点，点的对应点为点． 【猜想证明】 （1）设是边的中点． ①如图1，连接，试猜想与的位置关系，并加以证明； ②如图2，连接，若点的对应点恰好落在对角线上，延长与边交于点，求证：是边的中点． 【问题解决】 （2）如图3，若，，，当的延长线正好经过点时，请直接写出的长． 【答案】（1）①， 证明：连接交于点S，如图， 由折叠可得： ∴S是的中点， ∵E是边的中点， ∴是的中位线， ∴； ②证明：连接， ∵四边形是矩形， ∴ 由折叠得：， ∴， ∵E是边的中点， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴Q是边的中点； （2） 【解析】 【分析】（1）①连接交于点S，由折叠可得：，进而得到是的中位线，即可求解； ②连接，根据矩形的性质和折叠的性质可证，即可得到，从而得到答案； （2）延长，交于点，根据矩形和折叠的性质，得到，，，勾股定理求出的长，进而求出的长，利用，得到，进而得到，勾股定理求出的长，进而求出的长，利用，求出的长即可． 【详解】（1）证明：①略 ②略 （2）延长，交于点， ∵矩形， ∴，，，， ∴，， ∵， ∴， ∵折叠， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查矩形与折叠的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，解直角三角形，三角形的中位线定理，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 24. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，为动点，且，过点作于点，交抛物线于点，交直线于点． （1）求抛物线的解析式及顶点坐标； （2）若，求的值； （3）平移抛物线，使其顶点为点，设平移后的抛物线在轴上方的部分记为图象，且图象始终在原抛物线的下方，求的取值范围． 【答案】（1），顶点坐标为； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）把，代入得，解出a，b的值，可得抛物线的表达式为，即可得顶点坐标为； （2）求出，直线解析式，即可得，，根据，得，即可解得m的值为； （3）由知，平移后的抛物线解析式为，把代入，可得或（舍去）；把代入，可得或（舍去），画出图形可得，当时，图象始终在原抛物线的下方． 【小问1详解】 解：把，代入， 得， 解得， ∴抛物线的表达式为， ∵， ∴顶点坐标为； 【小问2详解】 解：在中， 令，得， ∴， 设直线解析式为， 代入， 得， 解得， ∴， ∵点， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得或（舍去）， ∴m的值为； 【小问3详解】 解：如图：由（2）知，， ∴平移后的抛物线解析式为， 把代入， 得， 解得或（舍去）； 把代入， 得， 解得或（舍去）， 由图可知，当时， 图象始终在原抛物线的下方． 【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，平移变换，二次函数图象上点坐标的特征，一次函数图象上点坐标的特征等，解题的关键是用含m的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年湖北省初中学业水平考试 数学试卷 （测试时间：120分钟 卷面总分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上指定的位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效，作图一律用2B铅笔或黑色签字笔． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共10题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 与原点距离是2个单位长度的点所表示的有理数是（　　） A. 2 B. C. D. 这个数无法确定 2. 某几何体的俯视图如图所示，下列几何体（箭头所示为正面）的俯视图与其相同的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 一副三角尺按如图方式放置，若，，则（ ） A. B. C. D. 5. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 有两个事件，事件A：在汽步枪比赛中，某运动员打出10环；事件：一个不透明的袋中装有除颜色外完全相同的6个小球（4个黑球，2个白球），从中随机摸出的3个球中有黑球．下列判断正确的是（ ） A. 事件A是随机事件，事件是必然事件 B. 事件A、事件都是必然事件 C. 事件A是必然事件，事件是随机事件 D. 事件A、事件都是随机事件 7. 我国古代数学著作《孙子算经》中有“雉兔同笼”问题：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”其大意是：鸡兔同笼，共有35个头，94条腿，问鸡兔各多少只？设鸡有只，兔有只，根据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，，，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在以为直径的半圆中，分别以点和点为圆心，以大于的长度为半径画弧，两弧相交于点和，作直线，交半圆于点，交于点，当时，的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知抛物线（，，为常数，且的对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点，与轴的交点在，之间（不含端点），有下列结论：①，②；③；④若方程的两根为，，则．其中正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 已知一次函数，当时，的值可以是______（写出一个合理的数即可）． 12. 中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》《算学启蒙》《测圆海镜》《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献，某中学拟从这4部数学名著中选择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容，选择方案包含《算学启蒙》的概率是______． 13. 物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像，设，小孔到的距离为，则小孔到的距离为______． 14. 化简的结果是______． 15. 如图，为等边三角形内一点，且，，，点在线段上，，连接，延长交于点，交于点，则______． 三、解答题（共9题，共75分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算：． 17. 如图，在菱形中，点，分别在边和上，且，求证：． 18. 某校科技小组走访山西省朔州市应县佛宫寺，了解到这是世界上现存最高大、最古老纯木结构楼阁式建筑，于是他们开展了测量该木塔高度的实践活动，并形成下面的实践报告． 测量应县木塔高度 测量工具 测角仪、皮尺等 活动形式 以小组为单位 测量示意图 测量步骤及结果 如图，步骤如下： ①在处使用测角仪测得塔的顶部点的仰角； ②沿着方向走到处，用皮尺测得米； ③在处使用测角仪测得塔的顶部点的仰角 已知测角仪的高度为米，点，，A在同一水平直线上，根据以上信息求塔的高度（结果取整数）．（参考数据：，，） 19. 某校为了解七年级学生对校园安全知识掌握的情况，随机抽取该校七年级部分学生进行测试，并对测试成绩进行收集、整理、描述和分析（测试满分为100分，学生测试成绩均为不小于60的整数），分为四个等级（D：，：，，；），部分信息如下： 信息一： 信息二：学生成绩在B等级的数据（单位：分）如下： 80，81，82，83，84，84，86，86，86，89． 请根据以上信息，解答下列问题； （1）求所抽取的学生成绩为C等级的人数； （2）求所抽取的学生成绩的中位数； （3）该校七年级共有600名学生，若全年级学生都参加本次测试，请估计成绩为A等级的人数． 20. 如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数与反比例函数的图象在第一、三象限分别交于，两点，连接，． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）根据图象，直接写出一次函数值小于反比例函数值时的取值范围． 21. 如图，在中，，以为直径的交于点D，过点D作，垂足为点H． （1）求证：是的切线； （2）延长交于E，连接，交于点F，若，的半径为3，求的长度（结果保留）． 22. 赓续长江文脉，共创时代华章，首届长江文化艺术季于9月14日晚在湖北省武汉市隆重开幕．某店铺购进了一批包含湖北特色美食的礼盒，进货价和销售价如下表 “热干面”礼盒 “武昌鱼”礼盒 进货价/（元/盒） 25 45 销售价/（元/盒） 35 60 （1）店铺购进“热干面”礼盒和“武昌鱼”礼盒共80盒，且进货总价不高于2900元．若进货后全部售出，则分别购进“热干面”礼盒和“武昌鱼”礼盒多少盒，才能获得最大销售利润？最大销售利润是多少？ （2）店铺为了能尽快售完“热干面”礼盒，打算降价促销．若按照原价销售，平均每天可售出6盒，每降价1元，平均每天可多售出2盒，则将销售价定为每盒多少元时，能使“热干面”礼盒平均每天的利润为84元？ 23. 【问题情景】 在矩形纸片中，是边上一动点，是边上一动点，将矩形纸片沿所在直线翻折，点的对应点为点，点的对应点为点． 【猜想证明】 （1）设是边的中点． ①如图1，连接，试猜想与的位置关系，并加以证明； ②如图2，连接，若点的对应点恰好落在对角线上，延长与边交于点，求证：是边的中点． 【问题解决】 （2）如图3，若，，，当的延长线正好经过点时，请直接写出的长． 24. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，为动点，且，过点作于点，交抛物线于点，交直线于点． （1）求抛物线的解析式及顶点坐标； （2）若，求的值； （3）平移抛物线，使其顶点为点，设平移后的抛物线在轴上方的部分记为图象，且图象始终在原抛物线的下方，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $