精品解析：山东省日照市东港区2024-2025学年九年级中考二模考试数学试卷

义务教育学校学生发展质量监测2025年春季学期测评 九年级数学试题 （满分120分，时间120分钟） 本试卷共6页．满分120分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 手机移动支付给生活带来便捷．如图是小颖某天微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），小颖当天微信收支的最终结果是（ ） A. 收入18元 B. 收入6元 C. 支出6元 D. 支出12元 2. 随着Ai技术的普及，出现了很多“现象级”应用，以下是一些常见应用的图案，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 在2025年蛇年春晚上，一群会跳舞、能抛手绢的人形机器人惊艳亮相，机器人的研发也成为当今时代科研的重点．中国科学院研发出新型的工业纳米机器人，其大小约为．已知，则用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示的“中”字，俯视图是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，为等腰直角三角形，，是上一点，交直线于点，且，，点为的中点，连接，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 若是正整数，且满足，则下列与关系正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是的直径，是的切线，切点为交于点，点是的中点，若半径为1，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 学校根据上级文件要求，打算安排七、八年级师生进行研学活动．某班两位同学关于租车方案讨论如下： 根据他们的对话得到以下四个结论： ①每辆甲车的载客量要比乙车多15人；②共有两种租车方案；③租车最低费用是2160元；④两种方案的租车费用一样多．其中正确的结论是（ ） A ①② B. ①②③ C. ②③ D. ①②④ 9. 若关于x的一元一次方程的解为正整数，且关于的不等式组无解，则符合条件的整数k的值的和为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 10. 图1是半径为的圆形硬币，点是硬币外沿上的一定点．图2为四个轨道（厚度不计），分别记为轨道①、②、③和④，它们的形状分别为圆、长宽比为的矩形、正方形和正六边形，周长均为，对称中心均记为点P．点为轨道上一定点（除轨道①外，均为的中点）．将硬币放置在轨道外侧，使硬币与轨道在同一个平面内，且点与重合．若硬币沿轨道顺时针无滑动地滚动，当点第一次回到轨道上时，记轨道上该处位置为，则四个轨道中，最大的是（ ） A. 轨道① B. 轨道② C. 轨道③ D. 轨道④ 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是______． 12. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则_____． 13. 如图，四边形是的内接四边形，是的直径，若，则的度数为____． 14. 在直角坐标系中，点A的坐标是，点B在坐标轴上，点B绕点A顺时针旋转落在直线上，则点B的坐标是______． 15. 某人工智能实验室研发了两种智能算法模型和，为测试其性能，设置了如下实验：制作两个模拟数据生成器甲和乙，数据生成器甲可产生四个数据：，数据生成器乙可产生三个数据：（每个数据被生成的概率相同），每次实验时，同时启动两个数据生成器，甲、乙生成的数据分别记为和，该人工智能系统会对生成的两个数据和进行运算： 若，则算法模型的性能评估加分； 若，则算法模型性能评估加分； 若，则两个算法模型均不加分． 当实验次数为600次时，若算法模型的加分次数为，算法模型的加分次数为，估计的值为_____． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1）； （2）先化简，再求值：，其中． 17. 扫地机器人已经成为新时代人们日常生活的重要助手．为了解扫地机器人在一次充满电后运行的最长时间情况，小明所在的综合实践小组利用周末时间开展调查活动．他们在相关技术人员的帮助下，对两款扫地机器人分别随机调查了10台，记录了它们运行的最长时间x（分钟），并将数据分为四个等级：较差，一般，较好，很好． 收集数据： A款：112 98 96 102 92 108 108 95 100 89 B款：102 92 102 99 97 112 101 91 94 110 分析数据： 类别 平均数 中位数 众数 方差 A a 99 b 50.6 B 100 c 102 35.4 解决问题：根据以上信息，解决下列问题： （1）上表中的______，______，______； （2）某商场购进了一批B款扫地机器人500台，请估算这批B款扫地机器人运行最长时间等级为就“较好及以上”的台数； （3）根据以上统计信息和数据，你认为哪款扫地机器人运行最长时间更好？请说明理由（写出一条理由即可）． 18. 如图，四边形是平行四边形，进行如下操作： 第一步，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交和于点，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点；第二步，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于两点，作直线交边于点，连接，交于点． （1）请确定线段与的数量关系，并证明你的结论； （2）若，求的值． 19. 学校科研小组制作了一款机械手臂如图①所示，由上臂、中臂和底座三部分组成，其中上臂和中臂可自由转动，底座与水平地面垂直．在实际运用中要求三部分始终处于同一平面内，其示意图如图②所示，经测量，上臂，中臂，底座． （1）若上臂与水平面平行，，计算点到地面的距离（保留根号）； （2）在一次操作中，平台上有一高度为的模具，如图③，点恰好与点重合，此时测得中臂与底座成夹角，请计算此时上臂与中臂夹角的大小．（，，） 20. 如图，内接于，是直径，点在圆上，且，过点作，垂足为点，与的延长线相交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求线段的长． 21. 如图，直线的图象与反比例函数的图象交于，两点，直线与坐标轴分别交于，两点． （1）当点的坐标为时； ①求一次函数的解析式和点坐标； ②请根据图象直接写出不等式的解集； （2）若点位于轴正半轴，请判断线段与的数量关系，并说明理由． 22. 综合与实践 【折一折】 将边长为的正方形纸片折叠，使边都落在对角线上，展开得折痕，连接，如图1． （1）_____________；点到的距离是_____________（用含的代数式表示）． 转一转】 （2）将图1中的绕点旋转，使它的两边分别交边于点，连接，如图2，点到的距离是否发生变化？说明理由； 【探一探】 （3）连接正方形对角线，若图2中的的边分别交对角线于点，如图3，当点是边的三等分点时，直接写出的长（用含的代数式表示）． 23. 已知抛物线（，是常数，且）经过点． （1）若，求该函数的表达式及顶点坐标； （2）当时，函数有最小值，求的值； （3）如图，在（1）的条件下，抛物线与轴交于点，与轴交于另一点，连接．若动直线，直线与抛物线交于两点（点在点左侧），直线与直线相交于点，求点到轴的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 义务教育学校学生发展质量监测2025年春季学期测评 九年级数学试题 （满分120分，时间120分钟） 本试卷共6页．满分120分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 手机移动支付给生活带来便捷．如图是小颖某天微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），小颖当天微信收支的最终结果是（ ） A. 收入18元 B. 收入6元 C. 支出6元 D. 支出12元 【答案】B 【解析】 【分析】根据有理数的加法法则计算即可． 【详解】解：（元）， 即小颖当天微信收支的最终结果是收入6元． 故选：B． 【点睛】本题考查正负数的意义，掌握有理数的加法运算法则是解题关键． 2. 随着Ai技术的普及，出现了很多“现象级”应用，以下是一些常见应用的图案，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故A不符合题意； B．不是中心对称图形，故B不符合题意； C．不是中心对称图形，故C不符合题意； D．是中心对称图形，故D符合题意． 故选：D． 3. 在2025年蛇年春晚上，一群会跳舞、能抛手绢的人形机器人惊艳亮相，机器人的研发也成为当今时代科研的重点．中国科学院研发出新型的工业纳米机器人，其大小约为．已知，则用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故选C． 4. 如图所示的“中”字，俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图是解题关键．根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案． 【详解】解：从上面看，是一个矩形，矩形的内部靠中间处有两条纵向的实线，靠两侧分别有两条纵向的虚线． 故选：D． 5. 如图，为等腰直角三角形，，是上一点，交直线于点，且，，点为的中点，连接，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质．过点作交延长线于，可得是等腰直角三角形，即得，设，则，利用勾股定理可得，即得，进而得到，最后根据直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，过点作交延长线于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则， 由勾股定理得，，， ， ∴， 整理得， 解得，（不合，舍去）， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， 故选：． 6. 若是正整数，且满足，则下列与关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键； 根据同底数幂的运算法则可将原式变形为，即为，进而可得答案. 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， 即； 故选：C. 7. 如图，是的直径，是的切线，切点为交于点，点是的中点，若半径为1，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查切线的性质、三角函数及扇形面积公式，熟练掌握切线的性质、三角函数及扇形面积公式是解题的关键；连接，由题意易得，则有，然后可得，，，进而根据割补法及扇形面积公式可进行求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵是的直径，是的切线， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理可得：， ∴， ∵点是的中点，点O是的中点， ∴， ∴； 故选A． 8. 学校根据上级文件要求，打算安排七、八年级师生进行研学活动．某班两位同学关于租车方案讨论如下： 根据他们的对话得到以下四个结论： ①每辆甲车的载客量要比乙车多15人；②共有两种租车方案；③租车最低费用是2160元；④两种方案的租车费用一样多．其中正确的结论是（ ） A. ①② B. ①②③ C. ②③ D. ①②④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，设甲车载客量为人，乙车载客量为人，列出方程组得出甲车载客量为人，乙车载客量为人，即可判断①，设租甲车辆，则租乙车辆，根据题意列出不等式组，得出，进而判断②③④，即可求解． 【详解】解：设甲车载客量为人，乙车载客量为人，根据题意得， 解得： ∴甲车载客量为人，乙车载客量为人， ∴每辆甲车的载客量要比乙车多15人，故①正确； 设租甲车辆，则租乙车辆，根据题意得， 解得：， ∴ ∴方案一：租甲车4辆，则租乙车2辆， 方案二：租甲车5辆，则租乙车1辆， ∴共有两种租车方案，故②正确； 依题意，甲车的费用为元/辆，乙车的费用为元/辆 方案一费用：元，方案二费用：元 ③租车最低费用是2160元，故③正确；④不正确 故选：B． 9. 若关于x的一元一次方程的解为正整数，且关于的不等式组无解，则符合条件的整数k的值的和为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】先求出的解为，从而推出，整理不等式组可得整理得：，根据不等式组无解得到，则，再由整数k和是自然数进行求解即可． 本题主要考查了解一元一次方程，根据一元一次不等式组的解集情况求参数，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 【详解】解：由，得， 方程的解为正整数，， 解得：， 解①得， 解②得， ， 不等式组无解， ， 即整数， 为正整数，， 则符合条件的整数的值的和为． 故选：A． 10. 图1是半径为的圆形硬币，点是硬币外沿上的一定点．图2为四个轨道（厚度不计），分别记为轨道①、②、③和④，它们的形状分别为圆、长宽比为的矩形、正方形和正六边形，周长均为，对称中心均记为点P．点为轨道上一定点（除轨道①外，均为的中点）．将硬币放置在轨道外侧，使硬币与轨道在同一个平面内，且点与重合．若硬币沿轨道顺时针无滑动地滚动，当点第一次回到轨道上时，记轨道上该处位置为，则四个轨道中，最大的是（ ） A. 轨道① B. 轨道② C. 轨道③ D. 轨道④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，正方形的性质，正六边形的性质，等边三角形的性质与判定，圆的周长计算， 先求出圆形硬币的周长为，则硬币沿轨道顺时针无滑动地滚动，当点第一次回到轨道上时，点M的运动路径长为；轨道①滚动可得的长为，据此可求出；轨道②滚动可确定，过点P作于H，连接，证明四边形是矩形，得到，再证明是等腰直角三角形，得到，据此可求出；轨道③滚动，类似于轨道②可求出；轨道④滑动，可得点是的中点，连接，证明都是等边三角形，得到，则，同理可得，则；据此可得答案． 【详解】解：∵圆形硬币的半径为， ∴圆形硬币的周长为， ∴硬币沿轨道顺时针无滑动地滚动，当点第一次回到轨道上时，点M的运动路径长为； 当沿着轨道①滚动时，则的长为， ∴； 当沿着轨道②滑动时， ∵四边形是长宽比为的矩形， ∴， ∵四边形的周长为， ∴， ∵点N为的中点， ∴， ∴； 如图所示，过点P作于H，连接， ∵点P为矩形的对称中心， ∴， ∴，， 又∵，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； 当沿轨道③滑动时， ∵正方形周长为， ∴， ∵点N为的中点， ∴， ∴， 如图所示，过点P作于H，连接， 同理可得，， ∴， ∴， ∴， ∴； 当沿着轨道④滑动时， ∵正六边形的周长为， ∴， ∵点N为的中点， ∴， ∴点是的中点， 如图所示，连接，则， 又∵， ∴都是等边三角形， ∴， ∴， 同理可得， ∴； 综上所述，当沿着轨道②滚动时，最大， 故选：B． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件“二次根式的被开方数是非负的”、分式有意义的条件“分式的分母不等于0”，熟练掌握二次根式的被开方数是非负的和分式的分母不等于0是解题关键．根据二次根式的被开方数是非负的和分式的分母不等于0求解即可得． 【详解】解：∵代数式在实数范围内有意义， ∴，且， ∴且， 故答案为：且． 12. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的情况，根据一元二次方程有两个相等的实数根，则，即可得关于的方程，解方程即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴，即， 解得， 故答案为：． 13. 如图，四边形是的内接四边形，是的直径，若，则的度数为____． 【答案】##110度 【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 连接，由是的直径得到，根据圆周角定理得到，得到，再由圆内接四边形对角互补得到答案． 【详解】解：如图，连接， ∵是的直径， ， ， ， ， ∵四边形是的内接四边形， ， 故答案为：． 14. 在直角坐标系中，点A的坐标是，点B在坐标轴上，点B绕点A顺时针旋转落在直线上，则点B的坐标是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，一次函数上点的坐标，分为点B在x轴上和点B在y轴上两种情况，画图证明，，求出点M的坐标，代入直线解析式即可解题． 【详解】解：令点B旋转后的对应点为 当点B在x轴上时， 令点B坐标为， 则 由旋转可知， ，， 所以点M坐标可表示为 将点M坐标代入得， ， 解得， 所以点B的坐标为， 当点B在y轴上时，过点M作x轴的垂线，垂足为N， 令点B坐标为， 由旋转可知， ， 所以， 所以 在和中， ， 所以， 所以， 因为点A坐标为，点B坐标为， 所以，， 所以， 则点M坐标为， 将点M坐标代入得， ， 解得， 所以点B的坐标为 综上所述：点B的坐标为或， 故答案为：或． 15. 某人工智能实验室研发了两种智能算法模型和，为测试其性能，设置了如下实验：制作两个模拟数据生成器甲和乙，数据生成器甲可产生四个数据：，数据生成器乙可产生三个数据：（每个数据被生成的概率相同），每次实验时，同时启动两个数据生成器，甲、乙生成的数据分别记为和，该人工智能系统会对生成的两个数据和进行运算： 若，则算法模型的性能评估加分； 若，则算法模型的性能评估加分； 若，则两个算法模型均不加分． 当实验次数为600次时，若算法模型的加分次数为，算法模型的加分次数为，估计的值为_____． 【答案】150 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图法活列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键．先画出树状图，得到的所有情况及的结果数，的结果数，分别求出概率，再根据实验次数求出的值，即可解答． 【详解】解：画树状图如下： 共有12种结果，其中有7种结果，出现概率为；有4种结果，出现概率为； 当实验次数为600次时，算法模型的加分次数，算法模型的加分次数， 则， 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1）； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及特殊角的三角函数值，负整数和0指数幂，二次根式的化简，也考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先代入特殊角的三角函数值，计算负整数和0指数幂，化简二次根式，再计算乘法，最后计算加减即可； （2）先根据分式的混合运算法则化简，再代值计算． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 当时，原式 17. 扫地机器人已经成为新时代人们日常生活的重要助手．为了解扫地机器人在一次充满电后运行的最长时间情况，小明所在的综合实践小组利用周末时间开展调查活动．他们在相关技术人员的帮助下，对两款扫地机器人分别随机调查了10台，记录了它们运行的最长时间x（分钟），并将数据分为四个等级：较差，一般，较好，很好． 收集数据： A款：112 98 96 102 92 108 108 95 100 89 B款：102 92 102 99 97 112 101 91 94 110 分析数据： 类别 平均数 中位数 众数 方差 A a 99 b 50.6 B 100 c 102 35.4 解决问题：根据以上信息，解决下列问题： （1）上表中的______，______，______； （2）某商场购进了一批B款扫地机器人500台，请估算这批B款扫地机器人运行最长时间等级为就“较好及以上”的台数； （3）根据以上统计信息和数据，你认为哪款扫地机器人的运行最长时间更好？请说明理由（写出一条理由即可）． 【答案】（1）100，108，100 （2）250台 （3）款，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据平均数，中位数和众数的确定方法求解即可； （2）用500乘以“较好及以上”占比，即可求解； （3）根据中位数和方差作决策即可． 本题考查统计表，求平均数数、众数，利用中位数和众数作决策，部分估计总体，解题的关键是掌握相关知识． 【小问1详解】 A款扫地机器运行最长时间的平均数； ∵A款扫地机器运行最长时间中108分钟出现的次数最多 ∴众数； 将B款扫地机器运行最长时间从小到大排列后，中间的两个数为99，101 ∴中位数； 【小问2详解】 由题意得：（台）． 答：这批款扫地机器人运行最长时间等级为“较好及以上”的台数为250台． 【小问3详解】 款．理由：从抽样调查分析数据看： 、两款扫地机器人运行最长平均使用时间均为100分钟， 但从中位数比较，款优于款， 而且从方差看，款比款更稳定， 所以款更好一些． 18. 如图，四边形是平行四边形，进行如下操作： 第一步，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交和于点，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点；第二步，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于两点，作直线交边于点，连接，交于点． （1）请确定线段与的数量关系，并证明你的结论； （2）若，求的值． 【答案】（1），证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，等角对等边，相似三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质及其尺规作图，角平分线的尺规作图，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）由题意知：平分，垂直平分线段，根据平行四边形的对边平行结合平行线的性质和角平分线的定义可证明，得到，再由线段垂直平分线的定义得到，据此可得结论 （2）设，则，，，再证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：，证明如下： 由题意知：平分，垂直平分线段， 平分， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 垂直平分线段， ， ． 【小问2详解】 解：设， ∵四边形平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ，， ， ． 19. 学校科研小组制作了一款机械手臂如图①所示，由上臂、中臂和底座三部分组成，其中上臂和中臂可自由转动，底座与水平地面垂直．在实际运用中要求三部分始终处于同一平面内，其示意图如图②所示，经测量，上臂，中臂，底座． （1）若上臂与水平面平行，，计算点到地面的距离（保留根号）； （2）在一次操作中，平台上有一高度为的模具，如图③，点恰好与点重合，此时测得中臂与底座成夹角，请计算此时上臂与中臂夹角的大小．（，，） 【答案】（1）点到地面的距离为 （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用． （1）过点作，垂足为，则，易证三点共线，解直角三角形求出，即可求解； （2）过点作平行于地面，分别交，的延长线于点，，则四边形是矩形，解直角三角形求出，进而求出，利用正弦的定义求出，即可解答． 【小问1详解】 解：如图，过点作，垂足为，则， 底座与水平地面垂直，即与水平面垂直， 三点共线， ，， ， ， 答：点到地面的距离为； 【小问2详解】 解：如图，过点作平行于地面，分别交，的延长线于点，，则四边形是矩形， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 20. 如图，内接于，是的直径，点在圆上，且，过点作，垂足为点，与的延长线相交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据圆周角定理得出，根据等腰三角形的性质得出，得出，证出，根据平行线的性质得出，即可证明； （2）根据圆周角定理得出，证明，得出，证明，即可得，求出，，，，证明，得出，即可求解． 【小问1详解】 解：连接， ， 弧弧， ， ， ， ， ， ， 是的切线； 【小问2详解】 解：为直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ，，，， ， ， ， ． 【点睛】该题考查了圆周角定理，相似三角形的性质和判定，解直角三角形，等腰三角形的性质，切线的判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 21. 如图，直线的图象与反比例函数的图象交于，两点，直线与坐标轴分别交于，两点． （1）当点的坐标为时； ①求一次函数的解析式和点坐标； ②请根据图象直接写出不等式的解集； （2）若点位于轴正半轴，请判断线段与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）①一次函数的解析式，点坐标；②或 （2），理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，求一次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）①先把代入，得，再把代入，得，再建立方程组计算，即可作答． ②观察图象，直线的图象与反比例函数的图象交于，两点，且点坐标，点A坐标，运用数形结合思想进行作答即可． （2）先得出，再得出，证明，即可作答． 【小问1详解】 解：①把代入， 得， 解得， ∴代入，得， 解得 则一次函数的解析式， ∵直线的图象与反比例函数的图象交于，两点， ∴， ∴， ∴ 解得， 经检验：是原分式方程的解， 把分别代入，得 观察函数图象，得点坐标，点A坐标， ②观察图象，直线图象与反比例函数的图象交于，两点，且点坐标，点A坐标， ∴不等式的解集为或； 【小问2详解】 解：过点作轴，过点作轴，如图所示： ∴ 由（1）得点坐标，点A坐标， 则 即， ∵直线与坐标轴分别交于，两点． ∴令时，则，则， 即， ∴令时，则， 即， 即， ∵， ∴， 即 即， ， ． 22. 综合与实践 【折一折】 将边长为的正方形纸片折叠，使边都落在对角线上，展开得折痕，连接，如图1． （1）_____________；点到的距离是_____________（用含的代数式表示）． 【转一转】 （2）将图1中的绕点旋转，使它的两边分别交边于点，连接，如图2，点到的距离是否发生变化？说明理由； 【探一探】 （3）连接正方形对角线，若图2中的的边分别交对角线于点，如图3，当点是边的三等分点时，直接写出的长（用含的代数式表示）． 【答案】（1）45，；（2）不变，理由见解析；（3）或 【解析】 【分析】（1）根据翻折的性质得出答案； （2）延长至T，使得，再证明，即可得出答案； （3）先证明，可得，再分两种情况得出答案． 【详解】解：（1）由折叠的性质得． ∵是正方形的对角线， ∴， ∴． ∵， ∴点A到的距离． 故答案为：，a； （2）结论：不变，仍然等于a． 理由：如图，延长至T，使得， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵点A到的距离等于a， ∴点A到的距离等于a； （3）∵四边形是正方形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 当时，； 当时，． 所以的长为或． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 23. 已知抛物线（，是常数，且）经过点． （1）若，求该函数的表达式及顶点坐标； （2）当时，函数有最小值，求的值； （3）如图，在（1）的条件下，抛物线与轴交于点，与轴交于另一点，连接．若动直线，直线与抛物线交于两点（点在点左侧），直线与直线相交于点，求点到轴的距离． 【答案】（1）；顶点坐标 （2）或 （3）点的横坐标是为定值 【解析】 【分析】本题考查了二次函数综合应用，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，一元二次方程根与系数的关系； （1）将代入解析式得出，根据进而得出的值，即可求解； （2）先求得抛物线对称轴为直线，进而分讨论，根据最小值为，分别将代入解析式，建立方程解方程，即可求解． （3）先求得直线的解析式为，设直线的解析式为，设点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， 进而联立联立直线与抛物线解析式得，根据得出，进而得出． 【小问1详解】 解：∵抛物线（，是常数，且）经过点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为， ∵， ∴ ∴抛物线解析式为， ∵ ∴顶点坐标 小问2详解】 解：∵， 抛物线对称轴为直线， 当时，抛物线开口向上， ∴当时，取得最小值， ∴ 解得：， 当时，抛物线开口向下， ∵， ∴当时，取得最小值， ∴ 解得：， ∴或 【小问3详解】 解：由（1）可得， 当时，，则， 当时， 解得： ∴， 设直线的解析式为，代入，得， 解得： ∴直线的解析式为 ∵直线， ∴设直线的解析式为， 设点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， 联立直线与抛物线解析式得：， 解得： ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 将代入得，， ∴， ∴， 即的横坐标为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$