精品解析：陕西省西安市华清中学2024-2025学年高二下学期学业水平合格性考试数学试题

华清中学高二年级合格性考试自主命题数学试题 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 命题人：刘路路 校对人：张胜利 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的娃名，准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、单选题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合 ， ，则集合与集合的关系是（ ） A. B. C.  D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可确定集合N中的元素，即可判断集合与集合的关系. 【详解】由题意知集合 ，， 当或时， ；当有一个取到0时，； 当有一个取到1，另一个取时，； 故，故， 故选：A 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的除法运算化简，即可根据共轭复数的定义求解. 【详解】由可得， 故， 故选：D 3. 已知向量，，若，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量垂直可得数量积为0，求解即可. 【详解】因为，所以，可得，解得. 故选：A. 4. 若函数的值域为，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. ] 【答案】D 【解析】 【分析】令，等价于的值域能取到内的任意实数即可， 【详解】令，等价于的值域能取到内的任意实数， 若，则，符合题意， 若，则需，解得，∴a的范围为， 故选：D． 5. 我国古代数学名著《九章算术》对立体几何问题有着深入的研究，其中谈到的“堑堵”是指底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱.现有堑堵如图所示，其中，若，平面将堑堵分成了两部分，这两部分体积比值为（ ） A. 1:1 B. 1:2 C. 1:3 D. 1:4 【答案】B 【解析】 【分析】利用棱柱与棱锥的体积公式求解． 【详解】由题意，， 所以， 所以. 故选：B． 6. 若α，β为两个不同的平面，m为一条直线，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则α与β相交 D. 若m⊥α，，则α⊥β 【答案】D 【解析】 【分析】根据线面平行、垂直，面面平行、垂直的判定与性质逐项分析即可. 【详解】若，不一定成立，也可能相交，故AC错误； 若，则或，故B错误； 若，则必有一直线且，所以，又，所以，故D正确. 故选：D 7. 下列各式中值不为1的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式及差角的正弦判断A；利用指数、对数运算判断BD；利用二倍角的余弦判断C. 【详解】对于A，，A是； 对于B，，B不是； 对于C，，C不是； 对于D，，D不是. 故选：A 8. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列说法中错误的是（ ） A. 若，则 B. C. 若，则为等腰三角形 D. 若则是钝角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角形边角关系判断A利用诱导公式判断B；；正弦定理推理判断C；利用余弦定理判断D. 【详解】对于A，在中，，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，由及正弦定理，得，即， 则或，即或，为等腰或直角三角形，C错误； 对于D，由及余弦定理，得，则是钝角，是钝角三角形，D正确. 故选：C 二、多选题：本题共4小题，每小题4分，共16分．在每小题给出的选项中，有多项符合题}目要求．全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 北京时间2024年7月27日，我国射击健将黄雨婷、盛李豪在奥运会上战胜韩国选手，摘夺了射击混合团体10米气步枪金牌，通过赛后数据记录得到其中一名选手的得分分别为7，12，13，18，18，20，32，则（ ） A. 该组数据的极差为26 B. 该组数据的众数为18 C. 该组数据的75%分位数为19 D. 若该组数据去掉一个最高分和最低分，则这组数据的方差变小 【答案】BD 【解析】 【分析】由统计的数据分析的相关概念即可得到结论. 【详解】该组数据的极差，故A选项错误； 该组数据的众数为出现频数最多的：18，故B选项正确； 该组数据的分位数：,取第6个，则为20，故C选项错误； 若该组数据去掉一个最高分和最低分，则这组数据波动变小，所以方差变小，故D选项正确； 故选：BD. 10. 下列说法错误的是（ ） A. 函数的图象是一条直线 B. 命题“，都有”的否定是“，使得” C. 最小值是4 D. 是的充分不必要条件 【答案】AC 【解析】 【分析】利用函数的表示法判断A；利用全称量词命题的否定判断B；举例说明判断C；利用充分不必要条件的定义判断D. 【详解】对于A，函数的图象是直线上取整数的离散的点，A错误； 对于B，命题“，都有”的否定是“，使得”，B正确； 对于C，当时，，C错误； 对于D，，反之，取，满足，而， 因此是的充分不必要条件，D正确. 故选：AC 11. 有四个盲盒，每个盲盒内都有3个水晶崽崽，其中三个盲盒里面分别仅装有红色水晶崽崽､蓝色水晶崽崽､粉色水晶崽崽，剩下的那个盲盒里面三种颜色的水晶崽崽都有.现从中任选一个盲盒，设事件为“所选盲盒中有红色水晶崽崽”，为“所选盲盒中有蓝色水晶崽崽”，为“所选盲盒中有粉色水晶崽崽”，则（ ） A. 与不互斥 B. C. D. 与相互独立 【答案】ACD 【解析】 【分析】由互斥事件，独立事件，以及各个事件的概率关系逐一判断即可； 【详解】对于A，和可以同时发生，故A正确； 对于B，因为， 所以，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，因为，所以，故D正确； 故选：ACD. 12. 已知函数，则（ ） A. 的最大值为2 B. 函数的图象关于点对称 C. 直线是函数图象的一条对称轴 D. 函数在区间上单调递增 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的图象与性质逐项判断. 【详解】函数， 对于A，的最大值为2，A正确； 对于BC，，函数的图象关于点对称，直线不是其对称轴，B正确，C错误； 对于D，当时，，而函数在上单调递增， 因此函数在区间上单调递增，D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分． 13. 大运河文化带，长城文化带和西山永定河文化带作为北京历史文化名城保护体系的重要内容，高度凝练了北京旧城以外的文化遗产，对于建设北京全国文化中心，满足人民对美好生活的需要，起到关键的支撑作用．为了把握好三个文化带的文化精髓，做好保护与传承，某课外研究小组决定从三个文化带中随机选取两个文化带进行研究，那么所选的两个文化带中包含大运河文化带的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用列举法列出所有可能结果，再由古典概型的概率公式计算可得. 【详解】设大运河文化带，长城文化带和西山永定河文化带分别为，，， 则随机试验从三个文化带中随机选取两个文化带的样本空间为， 随机事件所选的两个文化带中包含大运河文化带包含样本点， 所以随机试验所选的两个文化带中包含大运河文化带的概率． 故答案为： 14. 已知角α的终边与单位圆交于点，则的值为___________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据三角函数定义求得的值，再根据二倍角的正弦公式即可求得答案. 【详解】由题意可得， 故， 故答案为： 15. 已知函数若，则______. 【答案】3 【解析】 【分析】首先求出，再对分类讨论即可. 【详解】， 则，， 当时，由，得； 当时，由，得.（舍去） 故答案为：3 16. 如图,在正方体中,点E,F分别是棱AD,的中点,则异面直线与BF所成角的大小为______． 【答案】 【解析】 【分析】先取中点为,连接,记与交点为,根据平行可知与BF所成角即为与所成角,通过正方体性质可得,即,根据可知,即,即可知与BF所成角为. 【详解】取中点为,连接,记与交点为,如图所示: 因为G,F分别是棱,的中点, 所以,且,故四边形为平行四边形, 所以,所以与BF所成角即为与所成角, 因为正方体,E,G是棱AD,的中点, 所以, 所以,即, 因为,所以, 所以, 故与所成角为,即与BF所成角为. 故答案为: 四、解答题：本题共3小题，共36分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 如图，在平面四边形ABCD中，已知，，.在AB边上取点E，使得，连接EC，ED.若，. （1）求的值； （2）求CD的长. 【答案】（1）；（2）7. 【解析】 【分析】（1）在中，由正弦定理可得，代入已知条件即可求解； （2）由同角三角函数关系求出，进而求出，由余弦定理得，计算可得CD. 【详解】（1）在中，由正弦定理，知， 因为，，， 所以； （2）因为，所以， 所以， 因为，所以为直角三角形，又， 所以， 在中，， 所以. 【点睛】本题考查了正余弦定理在解三角形中的应用，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题. 18. 如图，在三棱锥中，，底面ABC （1）证明：平面平面PAC （2）若，M是PB中点，求AM与平面PBC所成角的正切值 【答案】（1） 因为， 所以，又底面ABC， 所以，又， 所以平面PAC， 因为平面PBC， 所以平面平面PAC； （2） 【解析】 【分析】（1）由，得到，再根据底面ABC，得到，然后利用线面垂直和面面垂直的判定定理证明； （2）作，连接OM，由平面平面PAC，得到平面PBC， 则即为AM与平面PBC所成的角求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图所示： 作，连接OM， 因为平面平面PAC，平面平面PAC=PC， 所以平面PBC， 则即为AM与平面PBC所成的角， 设，则， 所以，又， 所以， 所以AM与平面PBC所成角的正切值为. 19. 已知定义域是的函数是奇函数. （1）求的值 （2）先判断函数单调性并证明； （3）若对于任意，不等式恒成立，求的范围. 【答案】（1）1； （2）在R上单调递增，证明如下： 由可知， 任取实数，且， 则， 因为，所以，且， 所以， 即时，， 所以在上单调递增. （3）. 【解析】 【分析】（1）由题意可知，进而求解； （2）根据函数单调性的定义证明即可； （3）由题意及（2）可将原不等式变形为在上恒成立，分离常数求解即可. 【小问1详解】 因为是定义域为R的奇函数， 所以 解得， 经检验：符合题意. 【小问2详解】 在上单调递增，证明略； 【小问3详解】 因为是奇函数，所以等价于， 由（2）知在上单调递增， 所以在上恒成立； 等价于在上恒成立， 由对勾函数的性质可知在上单调递减，在上单调递增； 因为时，；时，； 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 华清中学高二年级合格性考试自主命题数学试题 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 命题人：刘路路 校对人：张胜利 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的娃名，准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、单选题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合 ， ，则集合与集合的关系是（ ） A. B. C.  D. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，若，则（ ） A. 2 B. C. D. 4. 若函数的值域为，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. ] 5. 我国古代数学名著《九章算术》对立体几何问题有着深入的研究，其中谈到的“堑堵”是指底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱.现有堑堵如图所示，其中，若，平面将堑堵分成了两部分，这两部分体积比值为（ ） A. 1:1 B. 1:2 C. 1:3 D. 1:4 6. 若α，β为两个不同的平面，m为一条直线，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则α与β相交 D. 若m⊥α，，则α⊥β 7. 下列各式中值不为1的是（ ） A. B. C. D. 8. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列说法中错误的是（ ） A. 若，则 B. C. 若，则为等腰三角形 D. 若则是钝角三角形 二、多选题：本题共4小题，每小题4分，共16分．在每小题给出的选项中，有多项符合题}目要求．全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 北京时间2024年7月27日，我国射击健将黄雨婷、盛李豪在奥运会上战胜韩国选手，摘夺了射击混合团体10米气步枪金牌，通过赛后数据记录得到其中一名选手的得分分别为7，12，13，18，18，20，32，则（ ） A. 该组数据的极差为26 B. 该组数据的众数为18 C. 该组数据的75%分位数为19 D. 若该组数据去掉一个最高分和最低分，则这组数据的方差变小 10. 下列说法错误的是（ ） A. 函数的图象是一条直线 B. 命题“，都有”的否定是“，使得” C. 最小值是4 D. 是的充分不必要条件 11. 有四个盲盒，每个盲盒内都有3个水晶崽崽，其中三个盲盒里面分别仅装有红色水晶崽崽､蓝色水晶崽崽､粉色水晶崽崽，剩下的那个盲盒里面三种颜色的水晶崽崽都有.现从中任选一个盲盒，设事件为“所选盲盒中有红色水晶崽崽”，为“所选盲盒中有蓝色水晶崽崽”，为“所选盲盒中有粉色水晶崽崽”，则（ ） A. 与不互斥 B. C. D. 与相互独立 12. 已知函数，则（ ） A. 的最大值为2 B. 函数的图象关于点对称 C. 直线是函数图象的一条对称轴 D. 函数在区间上单调递增 三、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分． 13. 大运河文化带，长城文化带和西山永定河文化带作为北京历史文化名城保护体系的重要内容，高度凝练了北京旧城以外的文化遗产，对于建设北京全国文化中心，满足人民对美好生活的需要，起到关键的支撑作用．为了把握好三个文化带的文化精髓，做好保护与传承，某课外研究小组决定从三个文化带中随机选取两个文化带进行研究，那么所选的两个文化带中包含大运河文化带的概率是______． 14. 已知角α的终边与单位圆交于点，则的值为___________. 15. 已知函数若，则______. 16. 如图,在正方体中,点E,F分别是棱AD,的中点,则异面直线与BF所成角的大小为______． 四、解答题：本题共3小题，共36分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 如图，在平面四边形ABCD中，已知，，.在AB边上取点E，使得，连接EC，ED.若，. （1）求的值； （2）求CD的长. 18. 如图，在三棱锥中，，底面ABC （1）证明：平面平面PAC （2）若，M是PB中点，求AM与平面PBC所成角的正切值 19. 已知定义域是的函数是奇函数. （1）求的值 （2）先判断函数单调性并证明； （3）若对于任意，不等式恒成立，求的范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $