湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2025届高三下学期5月练习数学试卷

数学练习卷（2025.05) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的， 1.设集合A=3,4,5》,B={2,3,4,8},则图中阴影部分表示的集合为 A.{2,8 B.{3,4} C.{2,5,8 D.{3,4,5} 2.复数z满足(0+)=2i,则= A.2 B.2N5 C.1 D.5 3.已知向最a=1,2),6=(2,),若(ma+nb)1(2a-而，则 A.2m-n=0 B.2m+n=0 9R-2n=0 D.m+2n=0 4已如正四被台ABCD-4BCD,的体积为？反，且AB=24品=2，则正四棱台的商为 人号 Ba2 sC.2 D.6 的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，将展开式中所有的项重新随机排列， 则有理项互不相邻的概率为 A. 8 6.已知函数f（)=2cos(ox+p(o>01水Kx)的图象如图，点A(经瓦)，B在f()的图象上，过AB 分别作轴的香战，足分别为C,D若平行西边形CBD的面积为汽，则/受= 2 -v3 B.1 C.5 D.5 Inx,,x21 7.已知函数f(x)= 若F(x)=ff(x)+)+m有两个不同的零点出，名：则，+x的取值范胡头 A.(-o,4-2n2] B.(0,6 C.[4-2n2,+om) D.(Ve,+o) 已知相圆兵专+少严=1的左焦点为只过点P口，份别作E的切线P以，P以.切点分别为人，则6ABF 面积最大值为 A.√2 B.5 0.2 D.2√5 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的四个选项中，有多项 符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.设函数f(x)=(x-)°+a,则 A.当f(x)在R上单调递增时，a>0 B.当a=0时，y=0为曲线y=f(x)的切线 C.点(；a)是曲线y=f(x)的对称中心 D.当a<-3时，f(x)的极大值点x,<0 10.某数学研究小组发现，函数)-5x+5的图象为双曲线，两个焦点分别为M,N,记该双面线为， 3 点P为T上任意一点，则 Ay=5x是r的一条渐近线 B.点63马是的一个顶点 3 2 C.IPM-PNI=2V6 D.t的离心率为25 3 11.信息论中，如果知道事件A已发生，那么该事件所给出的信息量称为“自信息”，定义A的“自信息” I(4)=-og2p().设随机变量X的所有可能取值为为，x,,xn,且P(x)=P,>0 亿=2，n）,立A=1,定义X的信息瘸H)=-之A1o3A,现抛掷两枚质地均匀的般子（标 记为I号和Ⅱ号)，记1号和Ⅱ号骰子出现的点数分别X,Y,则 A.当事件A=“+y为偶数”时，I()=1 B.当事件B=“X,Y中至少一个为2”，C=“X,Y中仅一个为2时，I(B)>I(C) ePg≤x+7s=名 D.H(X)<H(X+Y) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知Sn为等差数列{a}的前n项和，S,+S,=10,则6a+a2=_ ]3.在△ABC中，BC=8,点D是BC上的点，AD平分∠BAC,△ABD的面积是△ADC的面积的3 倍，当△ABC的面积最大时，coS∠BAC= 14.设函数f(x)=(e-m)n(x+),若f(x)≥0，则m+n的最小值为 2 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15.(13分) 某学术平台引入智能检测系统对所收集的文本进行筛查.检测系统对I生成文本的识别准确率为98%， 对人类撰写文本的识别准确率为96.5%.检测系统对所收集的文本进行筛查时，会对每篇文本输出一个“I 生成概率”得分y(分).y与文本长度x(字)可以用一元线性回归棋型来刻画，其线性回归方程为y=x+0.95, 且x=480,y=0.35,已知该平台中15%的文本由A1生成. (1)求回归系数B: (2)从该平台随机选取一篇文本，求该文本被检测系统识别为人类撰写文本的概率（精确到0.001）： (3)现从平台中随机抽取200篇文本进行统计分析，填写列联表（篇数四會五入取整数）： 检测结果 文本真实性 总计 识别为AI生成（篇） 识别为人类撰写（篇） 真实AI生成（篇） 真实人类撬写（篇） 总计 200 依据小概率值α-0.01的x独立性检验，能否判断检测结果”与“文本真实性"有差异？ 参考公式：x2 n(ad-be) (a+b)(c+dya+c)(b+d) 提示：x独立性检验中常用的小概率值和相应的临界值 0.1 0.05 0.01 0.0050.001 x。2.7063.8416.6357.87910.828 16.(15分) 如图，AB是圆O的直径，C是圆O上异于A,B的一个动点，DC垂直于圆O所在的平面，DC∥EB, DC=EB=1,AB=4. (1)求证：DE⊥平面ACD: D (2)当三棱锥C-ADE体积最大时，求平面AED与平面ABE所成的 二面角的余弦值。 B 3 17.(15分) 设抛物线E:y=2x(P>0)的焦点为F,过点F的直线交E于A,B两点，且AB的最小值为4. (1)求E的方程： (2)设过点F的另一直线交E于C,D两点，且点M(2,2)在直线AC上. (i)证明：直线BD过定点N; ()对于（①中的定点N,当△MN的面积为苧时，求直线B的方程， 18.(17分) 已知数列{an}的前n项和为S。,若存在常数A(1>0),使得a,≥S对任意neN都成立，则称{a,}具 有性质P(2)。 (1)若{a,}为等差数列，且S,=-9,S3=-25,求证：{a,}具有性质P(3): (2)设{a}的各项均为正数，且具有性质P(), ①若{a}是公比为9的等比数列，且1=4，求9的值： ②求无的最小值. 19.(17分) 已知函数f(x)=xnr-ax2-x+a. (1)当a=0时，求曲线y=f(x)在点(Cf(©)》处的切线方程： (2)当a=1时，求f(x)的零点个数 (3)若f()有两个极值点，为（名<x),证明：当1之1时，n贴+x2>1+1. 数学练习卷（2025.05)解析版 题号1“2 34 5 6 9 1011 答案CD B D BCD ACDACD 11,新定义（般子模型源于必修2第237页例6） 12.5 3 13.亏（阿氏圆，余弦定理） 14.2(将f(x)≥0转化为(x)=e-m,(x)=1n(x+),在定义域(-n+∞)内同正同负，函数图象 与x轴的交点重合，得到m=e,进而m+n=©+n,利用导数求出最小值，参考2024年新高考2卷 第14小题) 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(13分=2+5+6) 【答案1(1)=bx+0.95,回归系数6.035-0935=-0.0125（2分) 480 (2)记事件A=“由A!生成的文本”，B=“由人类撰写的文本”，C=“被检测系统识别为人类撰写的文本”， 由愿意知，P(4)=0.15,P(B)=0.85,P(C1)=1-0.98=0.02,P(C1B=0.965(2分) 由全概率公式知， P(C)=P(C1)P(40+P(C1B)P(B)=0.15×0.02+0.85×0.965≈0.823，(2分) 即该文本被检测系统识别为人类损写文本的概率约为0.823.(1分) (3)A1生成的篇数为200×15%=30，人类撰写的篇数为200-30=170， 真实AI生成且被识别为AI生成的篇数30×98%29.4≈29， 真实人类探写且被识别为人类撰写的篇数170×96.5%-164.05￥164，(2分) 故列联表为 检测结果 文本真实性 总计 识别为A1生成（篇） 识别为人类撰写（篇） 真实AI生成（篇） 29 30 真实人类挨写（篇） 6 164 170 总计 35 165 200 (1分) 零假设为 H。:分类变量相互独立，即“检测结果"与“文本真实性无差异.(1分) 由列联表数据计算得，X-20029×164-1x62.2×190×4750 153.213>6.635=xi,(1分) 30×170×35×165 3x7×17×33 所以，依据小概率值a0.01的x独立性检验，可以判断“检测结果与“文本真实性"有差异.(1分) 16.15分=6+9) 【解答】(1)：DC⊥面ABC,BCc面ABC,∴DC⊥BC,(2分) 又：AB是⊙O的直径，∴AC⊥BC,ACNDC=C,AC,DCc面ACD,,BC⊥平面ACD,(2分) 又"，DC∥EB,DC=EB,.四边形BCDE是平行四边形，∴，DE∥BC,(1分) .DE⊥平面ACD(1分)： (2)AC+BC2=AB2=16,又DE⊥平面ACD,DE=BC, 第1页供4页 则%ae=m-时aDs-时ix4cBc-名4 C.Cs4CBC-号，a分) 2 当且仅当AC=BC=2√5时取等号， ∴.当三梭锥C-ADE体积最大时，AC=BC=2反，(1分) 以C为原点建立如图所示空间直角坐标系，则A2√5,0,0，D(0,0,),B0,25,0,E0.25,1), 西=(-25,0，)D正=(0,25,0，(1分) 设平面4ED的一个法向量属=（名头）， 则区：25x+0,令=1得不-儿0,2，a分) m·DE=2N2y=0 设平面BE的一个法向量可=（名，为，）： 丽=-22+2%=0 令=1得元=（自，1,0)，(2分) mB正=名=0 则cos(何网)-万 店 1 3x5=6,1分) 六所求平面4BD,与平面BE所成的锐二面角的余弦值为三 ,(强调作答) 6 17.(15分=4+6+5) 【解答】(1)设直线B方程：x=y+号，代入广=2π中，消去x得广-2p内-P-0. 设A(,),(与y),则片+为=2p%,%=-p.(2分) =1+以-为=1+F4p2(1+)-2p+） 当1=0时，有4可的最小值为2P, 2p=4,故E的方程为y2■4x.(2分) (2)(i)设直线4C方程：x=y+2-2m,A(:,),C(馬，为) 由得去得-0 4=8m-g回 ÷当D的斜率不存在时，4C的斜率不存在时，不妨设A2,2W,C久-22) 此时名宁8D:x=克：1分) 当BD的斜率存在时，直线BD的斜率kD= 4 +为 ∴直线BD方程为y- 化简得 %x+(4+为)y+4=0② 由①②相(8m-8)x+4y+4=0,即m(2x+y）+1-2x=0.(2分) 2x+y=0 由 得 1-2x=0 直线D过定点N径-小所以直线D过定点N行-小1分) y=-1 第2页/共4页 m由%M-2-+e+.95, 2 直线MN方程为：2x-y-2=0,(1分) A4X)到直线0N的距离！5-X-斗修-片- y2-24-, 5 5 25 md-29,-0--2%-4兰，a分) 225 解得片=-4或6所以A点坐标为(4，-4)，或(9,6) 且F0小，ku=kw=音或子1分 综上，直线AB方程为4x+3y-4=0或3x-4y-3=0.(2分) 18.(17分=4+5+8) 【解答】(1)设等差数列{a,}的公差为d,由8■-9，S=-25,得3a+3d=-9,5a+10d=-25, 解得4=-山d=-2,则a,=-1+0-以-2)=-2m+1,3=1-2m+边.-r,（2分) 2 于是3a-S=3(-2n+1)+(n+2=(n-2)2≥0，即3an2S1, 所以数列{a,}具有性质P3).(2分) (2)①由数列{a}具有性质P(4),得4a,之S,又等比数列{a}的公比为9， 若g=1,则4a2(+1)%,解得n≤3，与n为任意正整数相矛盾：(1分) 当91时，4ag之4上g尘，而4>0，整理得g之上 1-q 1-g -(1分) 若0<9c1,则户2g-2示，解得m<1+l03,g牙，与m为任意正整数相矛盾：1分) 1 1 若g>1,则g(q-2≤1，当g=2时，g(g-2≤1恒成立，满足题意：(1分) 当>1且92时，产5g分·解得<1+g,与n为任意正整数相矛面。 1 所以9=2.1分) ②由a2S,得a2S2,即1(S-,)≥S2,(1分) 因此S2Sn+S2≥2√SS2，(1分) 即s2,1分) 4 S 精受经守品景a 由数列6}各项均为正数，得8<8，从面1<宁受即守一意1分) 若0<1<4，则n<1+og县 ，与n为任意正整数相矛盾，(1分) 因此当124时， 之>恒成立，符合题意， 所以1的最小值为4，(1分) 19.(17分=3+5+9) 【解答】(1)当a=0时，f(=xhx-x,所以f(e=0,f()=lx+1-1=lx,(1分) 应川】=1所以曲细u=l左占。Cl外的知触创®k-1 所以曲线y=f(x)在点(6J(©)处的切线方程为y=x-e,即x-y-c=0.(2分) (2)当a=1时，f(x)=rx-x2-x+1,定义域为(0，+o), f(s)=nx+1-2x-1=lx-2x,(1分) 令g)=f()=m-2x,则g国=-21上25(x>0). 当0<x<经时，8>0，当x>时，g间<0， 所以()在(}上单调造增，在行+)上单调选减。 所以r四=8因=8月-h2-1<0,所以r回k0, 所以f()在(0，+四)上单调递减，(2分) x/o--/) 0>0 所以存在唯-的%已，使得f6)=0.(1分) 又f(x)在(0，+∞)上单调递减，所以当a=1时，f()的零点个数为1.(1分) (3)f()的定义域为(0，+∞，f'(x)=hr-2am, 因为f()有两个极值点，x(名<x),()有两个极值点，则f()=血x-2x=0有两个不同正根(1分 设g闭=nx-2am,其导数g=-2匹(>0. 若a≤0，g(x>0,g)在(0，+∞)递增，g)=0不会有两个正根 当a0,◆0-0，得红-六在0宏：港箱：在会树，网港减 要使=0有两个正视，看8宁-h石-D0,甲n之1，解得0g品 所以当0<a<时，f国有两个极值点名名.(2分)（参变分离法同分值给3分，a=) 2e 所以n=2m,且=2匹： h支 所以h亭-2a6-】,所以2a.兰，1分) 一为 所以，当121时，+h此1>1+1台2%+2as1=2a(名+2x)>1+2 h支 台2a>tA台h立、1+A台h5<+6-oh生<号 (2分) 考+名-号号+梯 +元 $ 令1一字0，即证当≥1时，m<+2-对Me0)恒成立 + 令a0=-0+-,ea.则r0--北-9 1+ + 因为0<1<1221，所以t-1<0,1-2<0,+}>0,所以0>0， 所以0在0，)上单调道增，所以0<h)=0,即m<+业-，2分) 1+元 所以当元21时，ln+n>1+元恒成立.(1分) 第4页/供4页