精品解析：河北省部分名校2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学试题

2024—2025学年第二学期高二年级4月期中考试 数学 考试说明： 1.本试卷共150分.考试时间120分钟. 2.请将各题答案填在答题卡上. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. ，则x的值是（ ） A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据组合数计算公式求解即可. 【详解】因为，所以，即， 所以，解得或， 又，所以. 故选：C. 2. 科技创新小组有10名同学，春节期间若互发一条问候微信，则他们发出的微信总数是（ ） A. 10 B. 20 C. 45 D. 90 【答案】D 【解析】 【分析】由排列数即可求解. 【详解】由题意可知，他们发出的微信总数是. 故选：D. 3. 已知某随机变量的分布列为下表，则（ ）. 0 1 0.2 0.4 A. 0.2 B. 0.56 C. 0.7 D. 0.84 【答案】B 【解析】 【分析】由分布列的性质及随机变量期望与方差的公式即可求解. 【详解】由分布列的性质得，所以， 根据随机变量期望公式得， . 故选：B. 4. 饺子是我国的传统美食，不仅味道鲜美而且寓意美好，现有甲、乙两个箱子装有大小、外观均相同的速冻饺子.已知甲、乙两箱中各有3盒肉馅饺子，7盒素馅饺子，先从甲箱中随机取出一盒饺子放入乙箱，再从乙箱中随机取出一盒饺子，则乙箱取出的饺子是肉馅的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用全概率公式计算即可. 【详解】用事件表示“从甲箱中取出一盒肉馅饺子放入乙箱”，表示“从乙箱中随机取出一盒饺子，且取出的饺子是肉馅”， 则，， 则从乙箱取出的饺子是肉馅的概率是. 故选：A. 5. 函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. 和 D. 和 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数为负来判断递减区间，并注意分母不为0，即可作出判断. 【详解】由题意得，令，得且， 故函数的单调递减区间是和. 故选：C. 6. 中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设为整数，若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记为.若，，则的值可以是（ ） A. 2020 B. 2021 C. 2022 D. 2025 【答案】A 【解析】 【分析】先利用二项式定理化简，再用二项式定理展开即可求得被10除得的余数即可. 【详解】因为 所以被10除得的余数为0， 而2020，2021，2022，2025被10除得的余数分别是0，1，2，5， 故的值可以是2020. 故选：A. 7. 将4名优秀教师分配到3个不同的学校进行教学交流，每名优秀教师只分配到1个学校，每个学校至少分配1名优秀教师，则不同的分配方案共有（ ） A. 72种 B. 48种 C. 36种 D. 24种 【答案】C 【解析】 【分析】将4名教师分成三组，再全排列即可求解. 【详解】将4名教师分成三组，只有一种分法，即1，1，2，共有， 再排列得. 故选：C. 8. 设.则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数，求导确定单调性，进而可比较大小. 【详解】构造函数，其中，则， 令， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以当时，， 所以在上单调递增，所以， 又， 所以. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知随机事件，下列说法正确的是（ ） A. 若互斥，则 B. 若互斥，则 C. 若相互独立，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】由互斥事件，独立事件即条件概率的计算公式逐个判断即可. 【详解】若互斥，则，A正确； 若互斥，则，即，B错误； 当相互独立时，，，C正确； 若，则，所以，因为无法判断是否独立， 所以无法得到，D错误. 故选：AC. 10. 若函数在区间上不单调，则实数的取值可以是（ ） A. e B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用导数研究函数单调性，根据题意确定区间内导函数存在零点，从而利用零点存在性定理来求解即可. 【详解】由题设，，又在上不单调， 所以函数在上存在变号零点， 设，则，则在上单调递减， 所以，即，解得，则的取值范围是. 故选：BC. 11. 设随机变量的分布列为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】由分布列的性质及期望计算公式，结合错位相减法即可判断. 【详解】因为随机变量的分布列为，由分布列的性质可知， ，解得， ①， ②， ①-②得， . 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的展开式中，含项的系数是______.（用组合数表示） 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式展开式得出系数结合组合数的性质计算求解. 【详解】根据的展开式中含项的系数为； 的展开式中含项的系数为； 的展开式中含项的系数为； …… 的展开式中含项的系数为； 故含的项的系数是. 故答案为：. 13. 如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第______行中从左至右第8与第9个数的比为. 【答案】31 【解析】 【分析】根据第行中从左至右第8个数与第9个数的比为，可以列出关于的等式，进而可解得正整数的值. 【详解】第行从左到右第8个数为，第9个数为， 依题意得，即，解得. 故答案为：31. 14. 在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为.传输方案为三次传输.三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码，译码规则为收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）.若发送0，则依次收到0，0，1的概率为______；若发送1，则译码为1的概率为______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据已知条件结合独立事件概率乘积公式计算，再应用互斥事件计算求解. 【详解】三次传输，发送0，相当于依次发送0，0，0，则依次收到0，0，1的事件， 是发送0接收0，发送0接收0，发送0接收1的3个事件的积，它们相互独立，所以所求概率为； 三次传输，发送1，则译码为1的事件是依次收到1，1，0；1，0，1；0，1，1和1，1，1的事件和，它们互斥， 所以所求的概率为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 一个不透明的盒子中装有3个红球，3个黑球，4个白球，这些球除颜色外完全相同，现从盒子中一次性随机摸出4个球. （1）求三种颜色的球都被摸出的概率； （2）记摸出的球的颜色种类数为X，求X的分布列与期望. 【答案】（1） （2）的分布列为 1 2 3 【解析】 【分析】（1）利用超几何分布概率公式分类求解即可； （2）利用超几何概率公式求解，利用第一问求解，剩下的可用概率和为1，来求解即可得分布列，最后用期望公式求解. 【小问1详解】 从盒子中一次性随机摸出4个球，不同的取法共有种， 三种颜色的球都被摸出的不同取法共有种， 故三种颜色的球都被摸出的概率； 【小问2详解】 由题可知，的取值可能为 且， ， 的分布列为 1 2 3 . 16. 在的展开式中，第2项、第3项、第4项的二项式系数成等差数列. （1）求n的值； （2）将展开式中所有项重新排列，求有理项不相邻的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由成等差数列，列出等式求解即可； （2）结合通项公式求得所有有理项，再结合插空法及古典概型概率计算公式即可求解. 【小问1详解】 在的展开式中，第2项，第3项，第4项的二项式系数分别为， 因为的展开式中第2项，第3项，第4项的二项式系数成等差数列， 所以，即， 化简得：，因为， 所以，解得或. 当时，展开式只有3项，不符合题意，所以. 【小问2详解】 因为， 所以当时为有理项，总共有8项， 由插空法可得有理项不相邻的概率为. 17. 已知函数. （1）当时，求函数的单调递增区间； （2）如果函数在定义域内单调递减，求实数t的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）当时，求导后令，解得递增区间； （2）将问题转化为在区间内恒成立，可得对恒成立，可得答案. 【小问1详解】 因为函数， 则当时，， . 令，解得（舍去）， 由得， 所以的单调递增区间为. 【小问2详解】 因为函数，， 则， 函数在定义域内单调递减， 对恒成立， 即对恒成立， 即对恒成立， 当时，， ， 即实数的取值范围为. 18. 已知函数. （1）求函数的极值点； （2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）极小值点为，无极大值点 （2） 【解析】 【分析】（1）求导，确定函数的单调区间，即可求解； （2）通过参变分离得到则在上恒成立，再构造，求导确定最值，即可求解. 【小问1详解】 函数，定义域为， ，易知在单调递增，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故是函数唯一的极小值点，无极大值点. 【小问2详解】 若对任意的恒成立，即在上恒成立， 则在上恒成立， 令， 则， 令， 则，易知单调递增，且. 当时，， 在上单调递增且， 故当时，，即单调递增； 当时，，即单调递减； 故当时，取得极小值，也是最小值，则， 所以实数的取值范围为 19. 某学校有两家餐厅，王同学开学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果第1天去A餐厅，那么第2天继续去A餐厅的概率为；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为，如此往复. （1）计算王同学第2天去A餐厅用餐的概率； （2）记王同学第n天去A餐厅用餐概率为，写出关于的表达式； （3）证明数列是等比数列，并求出的通项公式. 【答案】（1） （2） （3）证明如下： 由整理得，， 又， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 即. 【解析】 【分析】（1）设表示第1天去餐厅，表示第2天去餐厅，则表示第1天去餐厅，由全概率公式求解即可； （2）设表示第天去餐厅用餐，则，由即可求解； （3）由（2）构造等比数列即可求解. 【小问1详解】 设表示第1天去餐厅，表示第2天去餐厅，则表示第1天去餐厅， 根据题意得， 所以； 【小问2详解】 设表示第天去餐厅用餐，则， 根据题意得， 由全概率公式得，， 即； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年第二学期高二年级4月期中考试 数学 考试说明： 1.本试卷共150分.考试时间120分钟. 2.请将各题答案填在答题卡上. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. ，则x的值是（ ） A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 2. 科技创新小组有10名同学，春节期间若互发一条问候微信，则他们发出的微信总数是（ ） A. 10 B. 20 C. 45 D. 90 3. 已知某随机变量的分布列为下表，则（ ）. 0 1 0.2 0.4 A. 0.2 B. 0.56 C. 0.7 D. 0.84 4. 饺子是我国的传统美食，不仅味道鲜美而且寓意美好，现有甲、乙两个箱子装有大小、外观均相同的速冻饺子.已知甲、乙两箱中各有3盒肉馅饺子，7盒素馅饺子，先从甲箱中随机取出一盒饺子放入乙箱，再从乙箱中随机取出一盒饺子，则乙箱取出的饺子是肉馅的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. 和 D. 和 6. 中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设为整数，若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记为.若，，则的值可以是（ ） A. 2020 B. 2021 C. 2022 D. 2025 7. 将4名优秀教师分配到3个不同的学校进行教学交流，每名优秀教师只分配到1个学校，每个学校至少分配1名优秀教师，则不同的分配方案共有（ ） A. 72种 B. 48种 C. 36种 D. 24种 8. 设.则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知随机事件，下列说法正确的是（ ） A. 若互斥，则 B. 若互斥，则 C. 若相互独立，则 D. 若，则 10. 若函数在区间上不单调，则实数的取值可以是（ ） A. e B. C. D. 11. 设随机变量的分布列为，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的展开式中，含项的系数是______.（用组合数表示） 13. 如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第______行中从左至右第8与第9个数的比为. 14. 在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为.传输方案为三次传输.三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码，译码规则为收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）.若发送0，则依次收到0，0，1的概率为______；若发送1，则译码为1的概率为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 一个不透明的盒子中装有3个红球，3个黑球，4个白球，这些球除颜色外完全相同，现从盒子中一次性随机摸出4个球. （1）求三种颜色的球都被摸出的概率； （2）记摸出的球的颜色种类数为X，求X的分布列与期望. 16. 在的展开式中，第2项、第3项、第4项的二项式系数成等差数列. （1）求n的值； （2）将展开式中所有项重新排列，求有理项不相邻的概率. 17. 已知函数. （1）当时，求函数的单调递增区间； （2）如果函数在定义域内单调递减，求实数t的取值范围. 18. 已知函数. （1）求函数的极值点； （2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 19. 某学校有两家餐厅，王同学开学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果第1天去A餐厅，那么第2天继续去A餐厅的概率为；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为，如此往复. （1）计算王同学第2天去A餐厅用餐的概率； （2）记王同学第n天去A餐厅用餐概率为，写出关于的表达式； （3）证明数列是等比数列，并求出的通项公式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $