广东省惠州市光正实验学校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

惠州光正实验学校2024-2025学年度第一学期期中考试 数学试题答案及评分标准（修订） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 A C D A A B B C BC CD ACD 1【答案】A 【详解】在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为. 故选：A 2【答案】C 【解】因为直线的斜率为，所以直线的一个方向向量为， 又因为与共线，所以的一个方向向量可以是， 故选：C 3.【答案】D 【详解】由于，所以， 此时两直线方程分别为， 不重合，符合题意，所以.故选：D 4【答案】A 【详解】由，得，故圆心为， 又因为圆关于直线对称， 故圆心在直线上，则.故选：A 5.A 【详解】由表示双曲线，则，其焦点坐标为， 易知椭圆的长轴端点即其左右顶点坐标为， 由题意知与重合，即.故选：A 6解析：B　因为抛物线y＝ax2的方程可化为x2＝y，所以准线方程为y＝－，由题意可知－＝1，解得a＝－.故选B 7解析：B　∵AB＝1，BC＝2，AA1＝3，∴A1（0，0，3），C（1，2，0），B（1，0，0），∴直线A1C的方向向量＝（1，2，－3），＝（0，2，0），对应的单位向量为u＝（，，－），所以点B到A1C的距离为d＝＝＝. 或求直角三角形BA1C的斜边A1C上的高 8解析：C　设A（x1，y1），B（x2，y2）.当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝，由得y＝±2，∴｜AB｜＝｜y1－y2｜＝4，满足题意.当直线l的斜率存在时，设其方程为y＝k（x－），由消去y，得（2－k2）x2＋2k2x－3k2－2＝0.当2－k2≠0时，x1＋x2＝，x1x2＝，则｜AB｜＝＝＝·＝＝4，解得k＝±；当2－k2＝0时，直线l分别与双曲线的一条渐近线平行，最多有一个交点，不满足题意，故这样的直线l有3条. 或利用双曲线的图象分析可得 9【答案】BC 【详解】对于B，由直线方程，整理可得，当时，，故B正确； 对于A，将代入直线方程，可得，解得，故A错误； 对于C，由直线方程，则其垂线的方程可设为，将点代入上式，可得，解得，则方程为，故C正确； 对于D，由直线方程，可得其斜率为，设其倾斜角为，则，解得，故D错误.故选：BC. 10答案　CD 解析　以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图， 则A(2,0,0)，A1(2,0,2)，F(2,1,2)，E(0,1,2)，G(2,1,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)， ＝(－2,1,2)，＝(0,1,2)，＝(－2,1,0)，＝(－2,0,2)，＝(0,1，－2)． 对于选项A，B，设平面AEF的法向量 为n＝(x，y，z)，则即 令y＝－2，则x＝0，z＝1，则n＝(0，－2,1)， 因为·n＝2，所以BC1与平面AEF不平行，因为与n不共线，所以A1G与平面AEF不垂直，即A，B错； 对于选项C，＝＝，则异面直线AF与GC所成角的余弦值为，即C正确； 对于选项D，因为＝(0,2,0)，所以点B到平面AEF的距离为＝，故D正确． 11【答案】ACD 【详解】对于B选项，若为椭圆，则，B不正确； 对于A选项，若为双曲线，等价于，即或，A正确； 对于C选项，当时，椭圆长轴长， 当时，椭圆长轴长，C正确； 对于D选项，若为焦点在轴上的双曲线，则，解得， 双曲线离心率为， 且双曲线的离心率，故D正确. 故选：ACD. 12. 13.8 解:由题意可知,,焦点的坐标为,准线方程为.如图3.3-4,设两点到准线的距离分别为.由抛物线的定义,可知 于是 因为直线的斜率为1,且过焦点,所以直线的方程为 将(1)代人方程,得,化简,得 所以所以,线段的长是8. 14解：如图3.1-12,设是点到直线的距离,根据题意,动点的轨迹就是集合 由此得将上式两边平方,并化简,得 即 15【答案】（1）的方程为． （2） 【解析】 【小问1详解】 因为直线的斜率为， 所以上的高所在直线的斜率为2，所以上的高所在直线的方程为，即直线的方程为． 【小问2详解】 设圆的方程为（其中， 因为，，三点都在圆上，可得， 解得，，，满足， 所以所求圆的方程为，即； 16【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【小问1详解】 证明：取的中点，连接， 因为点为的中点，所以， 又因为，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面. 【小问2详解】 解：因为，所以，所以， 因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面， 又因为平面，平面，所以， 因为，以为坐标原点，以所在的直线分别为轴， 建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 因为点为中点，可得，所以， 设平面的法向量为，则， 令，可得，所以， 又平面的一个法向量，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 17【答案】（1）； （2）. 【解析】 【小问1详解】 解：因为椭圆经过点，其离心率， 所以，，解得，， 所以，椭圆的方程为. 【小问2详解】 解：由得： 所以 又到的距离为，所以， 18.(1)不能，证明见解析.(2) 解;(1)当直线l垂直x轴时，因为过点，所以直线l方程为x=1， 又双曲线，右顶点为（1,0）在直线l上 所以直线l与双曲线只有一个交点，不满足题意； 当直线l不垂直x轴时，斜率存在，设，且， 因为A、B在双曲线上， 所以，两式相减可得， 所以， 若点为线段AB的中点，则，即，代入上式， 所以，则直线l的斜率， 所以直线l的方程为，即， 验证:将直线l与双曲线联立，可得， ，故方程无解所以不存在这样的直线l， 综上，点P不能是线段AB的中点. 如果利用其它方法，请酌情给分 (2)设直线l的方程为:，将其代入双曲线方程得 依题意有,解得 或利用渐近线与双曲线的图象求解，酌情给分 19【答案】（1） （2）. 【解析】【小问1详解】 由题意，又， 椭圆C的方程为. 【小问2详解】 为线段的中点，， ①当直线的斜率不存在时，由及椭圆的对称性， 不妨设所在直线的方程为，得， 则； ②当直线的斜率存在时，设直线， 如下图所示： 由，消去y，得， ，即， ， ，， ，化简得，经检验，成立， 线段的中点， 当时，，此时， 当时，射线所在直线方程为， 与椭圆联立，消去y得， ， ，， 综上，的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 惠州市光正实验学校2024—2025学年度第一学期期中考试 高二数学试题 说明： 试卷分两部分，第一部分为选择题，卷面成绩73分，第二部分非选择题，卷面成绩77分。考试时间120分钟。请考生将答案写在答题卡上。 1． 单项选择题（每小题5分，共40分） 1. 在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 直线的一个方向向量是（ ） A. B. C. D. 3.已知直线与.若，则（ ） A. B. 2 C. D. 1 4.已知圆关于直线对称，则实数（ ） A. B. 1 C. D. 2 5.若双曲线的焦点与椭圆的长轴端点重合，则的值为（ ） A．2 B．4 C． D． 6.若抛物线y＝ax2的准线方程为y＝1，则实数a＝（　　） A.－ B. － C.－4 D.－2 7.如图所示，在空间直角坐标系中有长方体ABCD-A1B1C1D1，AB＝1，BC＝2，AA1＝3，则点B到直线A1C的距离为（　　） A. B. C. D.1 8.过双曲线x2－＝1的右焦点F作直线l，交双曲线于A，B两点，若｜AB｜＝4，则这样的直线l有（　　） A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 2． 多项选择题（每小题6分，共18分） 9.下列说法正确的是（ ） A. 直线在y轴上的截距为1 B. 直线必过定点 C. 过点且垂直于直线的直线方程为 D. 直线倾斜角为120° 10.如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别为C1D1，A1B1，AB的中点，则(　　) A．BC1∥平面AEF B．A1G⊥平面AEF C．异面直线AF与GC所成角的余弦值为 D．点B到平面AEF的距离为 11. 已知曲线，下列说法正确的是（ ） A.若，则曲线C为双曲线 B. 若，则曲线C为椭圆 C. 若曲线C为椭圆，则其长轴长一定大于2 D. 若曲线C为焦点在x轴上的双曲线，则其离心率小于大于1 3． 填空题（每小题5分，共15分） 12. 焦点是F(3,0）的抛物线的标准方程是 . 13.斜率为1的直线经过抛物线的焦点,且与抛物线相交于两点,则线段的长为 . 14.动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数,则动的轨迹方程为 . 4． 解答题（共77分） 15（满分13分）的三个顶点分别是. （1）求边上的高所在直线的方程； （2）求的外接圆（为圆心）的标准方程. 16（15分）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，为棱的中点. （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 17.（15分）设椭圆经过点，其离心率. （1）求椭圆的方程； （2）直线与椭圆交于、两点，求的面积. 18.（17分） 已知双曲线，过点作直线l。 （1）若直线l与双曲线相交于A，B两点，P能否是线段AB的中点？为什么？ （2）若直线l的斜率k存在，且l与双曲线左右两支都相交，求直线l斜率k的取值范围. 19.（17分） 已知椭圆的长轴长为，该椭圆上的点与左焦点间的距离的最大值为. （1）求椭圆C的标准方程； （2）设直线l与椭圆C交于两点，M为线段的中点，O为原点，射线与椭圆C交于点N，且，记的面积分别为，求的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$