精品解析：天津市咸水沽第二中学2024-2025学年高一下学期5月期中数学试题

天津市咸水沽第二中学2024-2025第二学期期中考试高一数学 一、单选题：本题共9小题，每小题4分，共36分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件，结合共轭复数的定义，以及复数的四则运算，即可求解． 【详解】因为， 所以． 故选：D． 2. 已知向量，若，则实数（ ） A. B. C. 1 D. 4 【答案】A 【解析】 【详解】由向量平行的坐标表示，结合题意得 ，解得. 3. 四边形直观图为如图矩形，其中，，则四边形的周长为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据斜二侧画法结合题意将直观图还原为原四边形，再求出其边长即可得答案 【详解】由题意可得四边形为平行四边形，如图所示，设交轴于点，则 ， 所以 所以四边形的周长为， 故选：C 4. 已知直线，，是三条不同的直线，平面，，是三个不同的平面，下列命题正确的是（    ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，且，，则 D. ，，三个平面最多可将空间分割成个部分 【答案】D 【解析】 【分析】对于A，结合条件可得直线，可能平行，相交，异面，判断A，对于B，由条件可得或，由此判断B，结合面面平行判定定理判断C，通过空间平面位置关系判断D. 【详解】对于选项A，若，，则与可能相交、平行或异面，故选项A错误； 对于选项B，若，，则或，故选项B错误； 对于选项C，若，，且，，因为直线，未必相交，所以与不一定平行，故选项C错误； 对于选项D， 三个平面两两两平行时，可把空间分成4部分； 三个平面中恰有两个平面平行时，可把空间分成6部分，如图（1）； 三个平面两两相交于一条直线时，可把空间分成6部分，如图（2）； 三个平面两两相交于三条直线且三条直线互相平行，可把空间分成7部分，如图（3）； 三个平面两两相交于三条直线，且三条直线交于一点，可把空间分成8部分，如图（4）； D正确， 故选：D. 5. 在中，角、、所对的边分别为、、，且，，，则的面积为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由正弦定理得，利用余弦定理可求出的值，然后利用三角形的面积公式可求得的面积. 【详解】，，又，， 由余弦定理可得，可得， 所以，的面积为. 故选：B. 【点睛】本题考查三角形面积的计算，同时也考查了余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题. 6. 唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺．它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如图2所示．已知球的半径为，酒杯的容积为，则其内壁表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据酒杯是由圆柱和半球的组合体，设出圆柱体的高，根据已知酒杯的容积计算出圆柱的高，再利用圆柱表面积和球的表面积公式即可求解. 【详解】由题意可知，酒杯是由圆柱和半球的组合体， 所以酒杯内壁表面积是圆柱的侧面积与半球的表面积之和， 因为球的半径为，所以半球的表面积为， 半球的体积为 ， 设圆柱体的高为，则体积为 ， 又酒杯的容积为 所以 ， 解得： ， 因为球的半径为，酒杯圆柱部分高为， 所以圆柱的侧面积为， 所以酒杯内壁表面积为. 故选：D. 7. 已知向量，，则向量在向量方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出向量的单位向量，然后利用投影向量公式求解即可. 【详解】设向量是与同向的单位向量，则， 则向量在方向上的投影向量为. 故选：D 8. 棱长为的正方体的8个顶点都在球的表面上，点、分别是棱的中点，则过点、的直线被球截得的线段长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求球的半径，再求弦长即可． 【详解】因为正方体内接于球，所以，， 过球心和点、的大圆的截面图如图所示， 则直线被球截得的线段为，过点作于点， 易知所以在中， 故选：C. 9. 已知菱形ABCD的边长为2，，点E在边BC上，，若G为线段DC上的动点，则的最大值为（ ） A. 2 B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的数量积的定义及数量积的运算，结合向量的线性运算即可求解. 【详解】由题意可知，如图所示 因为菱形ABCD的边长为2，， 所以,， 设，则 ， 因为，所以, , , 当时，的最大值为. 故选：B. 【点睛】关键点睛：解决此题的关键是利用向量的线性运算求出，结合向量数量积定义和运算即可. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分. 10. 已知向量为单位向量，其夹角为，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用模长公式直接求解 【详解】 故答案为： 11. 的内角的对边分别为．已知，则_________． 【答案】 【解析】 【详解】由正弦定理，得， ，则， ， 则． 【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理，结合已知条件灵活转化为边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的．其基本步骤是： 第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向． 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化． 第三步：求结果． 12. 如图，在离地面高的热气球上，观察到山顶处的仰角为，山脚处的俯角为，已知，则山的高度为__________. 【答案】 【解析】 【分析】首先在中，求得，然后再，利用正弦定理求得，最后在中，利用直角三角形的性质，即可求解. 【详解】在直角中，可得，所以， 因为中，， 所以， 由正弦定理，可得， 在直角中，因为，可得. 故答案为：300m 13. 如图，在四边形ABCD中，，，，且，，则实数的值为____________，若M，N是线段BC上的动点，且，则的最小值为____________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】可得，利用平面向量数量积的定义求得的值，建立平面直角坐标系，设点，则点（其中），得出关于的函数表达式，利用二次函数的基本性质求得的最小值. 【详解】因为，所以， 又，所以， 所以， 因为，， 所以， 解得， 以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 因为，所以点的坐标为， 因为，所以点的坐标为， 又,则， 设，则（其中）， ，， ， 所以，当时，取得最小值. 故答案为：；. 14. 在正方体中，，，分别是，，的中点.给出下列三个推断： ①平面; ②平面; ③平面; 其中推断正确的序号是______________________________. 【答案】①③ 【解析】 【分析】由已知可得，由线面平行的判定定理可判断①；由，与平面相交可判断②；由，根据线面平行的判定定理可判断③， 【详解】如图，连接， 对于①：因为在正方体中， ，，分别是，，的中点， 所以，因为，所以， 因为平面， 平面， 所以平面，故①正确； 对于②：因为，与平面相交， 所以与平面相交，故②错误； 对于③：因为，，分别是，，的中点， 所以，因为平面，平面， 所以平面，故③正确； 故答案为：①③ 15. 中，D为AC上的一点，满足．若P为BD上的一点，满足，则的最大值为_________；的最小值为_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由得，再三点共线得，进而利用基本不等式分别求得，的最大值和最小值. 【详解】如图所示， 由得， 所以，所以， 所以，等号成立当且仅当， 所以的最大值为. 因为，等号成立当且仅当， 所以的最小值为. 故答案为：；. 【点睛】本题以向量为问题背景，考查基本不等式的运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时要会用“1”的代换，构造可以利用基本不等式求最值的式子，同时注意验证等号能否成立. 三、解答题：本题共6小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 已知复数，.（是虚数单位） （1）若z对应复平面上的点在第三象限，求m的范围； （2）若z是纯虚数，求m的值； （3）若z是实数，求|z|的值. 【答案】（1） （2） （3）0 【解析】 【分析】（1）首先写出复数的实部与虚部，即可得到复数在复平面内所对应的点的坐标，再根据题意得到不等式组，解得即可； （2）根据实部为零，虚部不为零得到方程（不等式）组，解得即可； （3）根据虚部为零，得到方程，求出求出，从而得到； 【小问1详解】 ∵复数的实部为，虚部为， 在复平面内所对应的点的坐标为， ∵对应复平面上的点在第三象限， ∴，解得 ∴ 【小问2详解】 ∵是纯虚数，∴， ∴ 【小问3详解】 ∵是实数， ∴，解得， ∴，则； 17. 已知向量，，． （1）求与垂直的单位向量的坐标； （2）若，求实数的值． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）设，利用向量模长和垂直关系的坐标表示可构造方程组求得结果； （2）利用向量平行的坐标表示可构造方程求得的值. 【小问1详解】 设与垂直的单位向量， 则，解得：或， 或. 【小问2详解】 ，，又， ，解得：. 18. 如图所示，在平行六面体 中，分别是的中点，求证: （1） （2）平面; 【答案】（1）证明如下： 因为， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又分别为的中点，所以， 所以 （2）证明如下： 连结，设与连结交于点，连接， 四边形为平行四边形，点是的中点， 又是的中点， 是的中位线， 又面，面，平面， 【解析】 【分析】（1）由平行的传递性即可求证； （2）连，交与点，则点是的中点，可证，由直线与平面平行的判定定理证明平面； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 在中，内角的对边分别为且满足． （1）求角； （2）若，，求的面积; （3）若，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角可求得，进而得到； （2）利用余弦定理可构造方程求得，代入三角形面积公式即可； （3）利用同角三角函数关系、二倍角公式和两角和差正弦公式直接求解即可. 【小问1详解】 ，，， 由正弦定理得：， ，，， 整理可得：，又，. 【小问2详解】 由余弦定理得：， ，. 【小问3详解】 ，，， ，， . 20. 已知向量，满足，，． （1）求向量与的夹角； （2）若，求的值； （3）若向量在方向上的投影向量为，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）通过向量数量积的运算律求出，再利用向量夹角公式求出夹角； （2）根据向量垂直的性质列出方程求解； （3）先求出投影向量，再计算. 【小问1详解】 已知，根据向量数量积的分配律展开可得： , 因为，所以；，所以.代入上式可得， 即，解得. 设向量与的夹角为，，根据向量夹角公式可得：， 因为，所以. 【小问2详解】 因为，可知. 同样根据向量数量积的分配律展开可得： 将，，代入上式可得：，解得. 【小问3详解】 向量在方向上的投影向量. 则. 将，代入可得：. 21. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若. （1）求角A的大小； （2）若，求面积的最大值. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】 （1）由正弦定理将角化边，再利用余弦定理求出角； （2）利用余弦定理和基本不等式得出的最大值，代入三角形的面积公式求出面积最大值． 【详解】解：（1）因为 由正弦定理可得，即，又，所以，因为，所以 （2）因为，，所以，又，所以，即，当且仅当时取等号； 所以，故三角形面积的最大值 【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市咸水沽第二中学2024-2025第二学期期中考试高一数学 一、单选题：本题共9小题，每小题4分，共36分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 2. 已知向量，若，则实数（ ） A. B. C. 1 D. 4 3. 四边形直观图为如图矩形，其中，，则四边形的周长为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 16 4. 已知直线，，是三条不同的直线，平面，，是三个不同的平面，下列命题正确的是（    ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，且，，则 D. ，，三个平面最多可将空间分割成个部分 5. 在中，角、、所对的边分别为、、，且，，，则的面积为 A. B. C. D. 6. 唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺．它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如图2所示．已知球的半径为，酒杯的容积为，则其内壁表面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知向量，，则向量在向量方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 8. 棱长为的正方体的8个顶点都在球的表面上，点、分别是棱的中点，则过点、的直线被球截得的线段长为（ ） A. B. C. D. 9. 已知菱形ABCD的边长为2，，点E在边BC上，，若G为线段DC上的动点，则的最大值为（ ） A. 2 B. C. D. 4 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分. 10. 已知向量为单位向量，其夹角为，则__________. 11. 的内角的对边分别为．已知，则_________． 12. 如图，在离地面高的热气球上，观察到山顶处的仰角为，山脚处的俯角为，已知，则山的高度为__________. 13. 如图，在四边形ABCD中，，，，且，，则实数的值为____________，若M，N是线段BC上的动点，且，则的最小值为____________． 14. 在正方体中，，，分别是，，的中点.给出下列三个推断： ①平面; ②平面; ③平面; 其中推断正确的序号是______________________________. 15. 中，D为AC上的一点，满足．若P为BD上的一点，满足，则的最大值为_________；的最小值为_________． 三、解答题：本题共6小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 已知复数，.（是虚数单位） （1）若z对应复平面上的点在第三象限，求m的范围； （2）若z是纯虚数，求m的值； （3）若z是实数，求|z|的值. 17. 已知向量，，． （1）求与垂直的单位向量的坐标； （2）若，求实数的值． 18. 如图所示，在平行六面体 中，分别是的中点，求证: （1） （2）平面; 19. 在中，内角的对边分别为且满足． （1）求角； （2）若，，求的面积; （3）若，求的值． 20. 已知向量，满足，，． （1）求向量与的夹角； （2）若，求的值； （3）若向量在方向上的投影向量为，求的值． 21. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若. （1）求角A的大小； （2）若，求面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $