精品解析：广东省深圳外国语学校（集团）龙华高中部2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷

深圳外国语学校（集团）龙华高中部2024-2025 学年 下学期高一年级期中考试 数学试卷 命题人：夏阳 审题人：谭错 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分为150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签学笔将自己的姓名和学写填写在答题卡密封线内相应的位置上，用2B铅笔将自己的学号填涂在答题卡上. 2、选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上. 3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上作答，答案必须写在答卷纸各题日指定区城内的相应位置上，超出指定区域的答案无效：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4、考生必须保持答题卡的整洁和平整. 第一卷（选择题 共58分) 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的） 1. 如图，是水平放置的的直观图，则的面积为（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】根据直观图还原原图形，然后可求出的面积. 【详解】由的直观图可知原图中，， 所以的面积为. 故选：C 2. 已知平面向量，若，则实数（ ） A. B. 1 C. 或1 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的坐标运算求得的坐标，再根据，利用数量积运算求解即可. 【详解】因为， 所以， 因为，所以， 所以，整理得，解得或. 故选：C. 3. 若一个扇形的弧长为4，面积为16，则这个扇形圆心角的弧度数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据弧长和扇形面积公式即可求解. 【详解】令该扇形圆心角的弧度为，半径为， 则，解得， 故选:D. 4. 已知点在角的终边上，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数的定义即可求解. 【详解】由题意可得，结合，故， 故选：B 5. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由投影向量的定义式和平面向量的坐标运算计算即可. 【详解】因为，， 所以，，， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：B. 6. 西安大雁塔始建于唐代永辉三年，是中国古代佛教建筑的杰作．若将大雁塔的塔身近似看成正四棱台，上下底面的边长分别为13m和25m，塔身高度为60m．则其体积约为（ ）． A. 15880 B. 22380 C. 47640 D. 67140 【答案】B 【解析】 【分析】根据棱台的体积公式计算即可. 【详解】由题意，上下底面的边长分别为13m和25m，塔身高度为60m， 则其体积为. 故选：B. 7. 已知，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同角三角函数关系求解，再结合诱导公式可得的值. 【详解】 又 ∴， 则. 故选：D. 8. 如图，已知正四棱台的高，且，则此正四棱台的外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正四棱台的性质找到其外接球的球心，然后设球心为，点距离下底面的高度为. 根据题意列出方程，求解即可. 【详解】由题意可知，正四棱台外接球的球心在其上、下底面正方形的对角线的中点的连线上，如图所示，设球心为，点距离下底面的高度为. 因为，，，又上、下底面均为正方形，所以，. 设棱台的外接球的半径为，根据勾股定理可得，解得， 则，所以正四棱台的外接球表面积为. 故选：D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知复数，以下结论正确的是（ ） A. 是纯虚数 B. C. D. 在复平面内，复数对应的点位于第三象限 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用复数运算，及模的运算，结合复平面可作出各选项判断. 【详解】 对于A，，为纯虚数，A正确； 对于B，，B正确： 对于C，，C错误： 对于D，，对应的点为，位于第三象限，D正确. 故选：ABD. 10. 设，是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，能作为基底的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】ACD 【解析】 【分析】只有不共线的向量才能作为基底，逐个判断选项中两个向量是否为共线向量即可. 【详解】因为，是平面内所有向量的一组基底，所以，不共线， 因为和没有倍数关系，所以二者不共线，可作为平面的一组基底， 因为和没有倍数关系，所以二者不共线，可作为平面的一组基底， 因为和没有倍数关系，所以二者不共线，可作为平面的一组基底， 因为，所以和共线，不能作为基底. 故选：. 11. 在正方体中，，，分别是，，的中点，是线段上异于端点的动点，则下列说法中正确的是（ ） A. 直线与直线是异面直线 B. 直线与直线是相交直线 C. 存在点，使，，，四点共面 D. 存在点，使平面 【答案】AD 【解析】 【分析】根据直线与直线的位置关系可判定AB，根据平面基本性质可判定C，根据线面平行的判定定理可判定D. 【详解】连接，，分别是，的中点，所以， 由，可确定平面，平面平面， 而平面内点直线，故平面， 故与、、三点不共面，所以直线MP与直线BN是异面直线，故A正确，B错误； 因是的中点，所以，故，，三点确定平面， 平面与直线仅有一个公共点，但不与重合，故不存使得平面，故C错误； 由选项A知平面，故平面，只需为中点，有， 则平面，故D正确． 故选：AD. 第二卷（非选择题 共92分) 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 化简的结果是________. 【答案】 【解析】 【分析】先利用降幂公式将原式化简为,再利用两角和差的余弦公式化简上式,进而得出结论. 【详解】解:原式 故答案为: 【点睛】本题是关于三角函数化简的题目，关键是掌握二倍角的余弦公式. 13. 若向量，且与的夹角是锐角，则实数x的取值范围是__________ 【答案】. 【解析】 【分析】根据题意，得到且向量与不共线，根据向量的数量积的运算公式和共线向量的坐标表示，列出不等式，即可求解. 【详解】因为向量，且与的夹角是锐角， 则满足且向量与不共线， 由时，可得，解得； 又由与不共线，可得，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 14. 已知在中，角所对的边分别为，，是的中点，若，则的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据正弦定理及两角差的正弦公式可得，，再利用余弦定理可得，进而得到，再根据基本不等式求解即可. 【详解】由， 根据正弦定理得，， 即，所以． 又因为，， 所以，所以． 在中，，① 在中，，② 因为，所以， ①②可得，又因为，所以， 即，所以， 令，则，即，解得， 又因为，所以，当且仅当时，等号成立， 则的最大值为． 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知函数的部分图像如图所示． （1）求函数的解析式及对称中心； （2）求函数在上的值域； （3）先将的图像纵坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位后得到的图像，求函数的单调减区间． 【答案】（1），， （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合函数的图像分别求得，再由正弦型函数的对称中心公式代入计算，即可得到结果； （2）由正弦型函数的值域，代入计算，即可得到结果； （3）先由三角函数的图像变换得到的解析式，再由正弦型函数的单调区间代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 根据函数的部分图像， 可得，，所以， 再根据五点法作图，可得，， 又因为，可得，所以， 令，，解得，， 故函数对称中心为，． 【小问2详解】 因为，可得， 当时，即，； 当时，即，， 所以函数的值域为． 【小问3详解】 先将的图像纵坐标缩短到原来的，可得的图像， 再向左平移个单位，得到的图像， 即． 令，，解得，， 可得的减区间为，． 16. 如图，四边形是平行四边形，点P是平面外一点． （1）求证：平面； （2）是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于HG，求证： 【答案】（1）证明：因为四边形是平行四边形，所以， 又平面，平面， 所以平面. （2）证明：连接，交于，连接 因为四边形是平行四边形， 所以是的中点，又因为M是的中点，所以 又因为平面，平面， 所以，平面 又因为平面，平面平面， 所以， 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明即可； （2）由线面平行的判定定理证明平面，再由线面平行的性质定理得证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 如图，扇形所在圆的半径为，它所对的圆心角为 ，为弧的中点，动点，分别在线段，上运动， 且总有， 设，. （1）若，用，表示，； （2）求的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由,结合向量的线性运算及平面向量基本定理,即可用,表示,. （2）设,则,即可表示出.结合向量数量积的运算及,即可结合二次函数性质求得的取值范围. 【小问1详解】 由题知，均为等边三角形，所以四边形为菱形. 所以， 因为，，所以， 所以， . 【小问2详解】 因为扇形所在圆的半径为，它所对的圆心角为 ， 所以， 设，则，. 所以， ， 所以 ， 因为， 所以当是，上式取得最小值为；当或时，上式取得最大值为. 所以的取值范围. 18. 记△的内角的对边分别为，已知. （1）求； （2）若，求的范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理以及三角恒等变形求； （2）利用正弦定理将的范围转化为三角函数的值域求解. 【小问1详解】 由正弦定理得，， 因为，所以，所以，则， 因为，所以， 所以，所以. 【小问2详解】 因为，则， 因为, 所以. 所以. 因为.所以.所以， 所以. 19. 我们知道，三角形中存在诸多特殊位置的点，并且这些特殊点都具备一定的特殊性质.意大利学者托里拆利在研究时发现：在三角形的三边分别向其外侧作等边三角形，这三个等边三角形的外接圆交于一点，该点即称为托里拆利点（以下简称“点”）.通过研究发现三角形中的“点”满足到三角形三个顶点的距离和最小.当的三个内角均小于时， 使得的点即为“点”； 当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为“点”.试用以上知识解决下面问题: 已知的内角所对的边分别为. （1）若，则 ①求； ②若，设点为的“点”， 求； （2）若，设点为的“点”，，求实数的最小值. 【答案】（1）①；②； （2）. 【解析】 【分析】（1）①由正弦定理，边化角，利用两角和的正弦公式化简，即可求解； ②由三角形面积公式及向量数量积求解； （2）由三角恒等变换可知，再设，，，，得到，结合三个余弦定理表示，和，勾股定理确定等量关系，再结合基本不等式，即可求解； 【小问1详解】 ①在 中，由正弦定理得， ，有， ， ， ，，又， ； ②由①知，则 的三个角都小于， 由“点”定义知：， 设，，，由得 ，整理得， 所以 . 【小问2详解】 由，结合正弦定理， 有，均为三角形内角， 或（舍），即，， 由点为的“点”，得， 设， ，，， 由， 得， 由余弦定理得 ， ， ， 相加得，得， 整理得， 于是，当且仅当，即时取等号， 又 因为 而 解得，所以实数的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 深圳外国语学校（集团）龙华高中部2024-2025 学年 下学期高一年级期中考试 数学试卷 命题人：夏阳 审题人：谭错 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分为150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签学笔将自己的姓名和学写填写在答题卡密封线内相应的位置上，用2B铅笔将自己的学号填涂在答题卡上. 2、选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上. 3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上作答，答案必须写在答卷纸各题日指定区城内的相应位置上，超出指定区域的答案无效：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4、考生必须保持答题卡的整洁和平整. 第一卷（选择题 共58分) 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的） 1. 如图，是水平放置的的直观图，则的面积为（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 15 2. 已知平面向量，若，则实数（ ） A. B. 1 C. 或1 D. 4 3. 若一个扇形的弧长为4，面积为16，则这个扇形圆心角的弧度数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 4. 已知点在角的终边上，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 西安大雁塔始建于唐代永辉三年，是中国古代佛教建筑的杰作．若将大雁塔的塔身近似看成正四棱台，上下底面的边长分别为13m和25m，塔身高度为60m．则其体积约为（ ）． A. 15880 B. 22380 C. 47640 D. 67140 7. 已知，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知正四棱台的高，且，则此正四棱台的外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知复数，以下结论正确的是（ ） A. 是纯虚数 B. C. D. 在复平面内，复数对应的点位于第三象限 10. 设，是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，能作为基底的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 11. 在正方体中，，，分别是，，的中点，是线段上异于端点的动点，则下列说法中正确的是（ ） A. 直线与直线是异面直线 B. 直线与直线是相交直线 C. 存在点，使，，，四点共面 D. 存在点，使平面 第二卷（非选择题 共92分) 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 化简的结果是________. 13. 若向量，且与的夹角是锐角，则实数x的取值范围是__________ 14. 已知在中，角所对的边分别为，，是的中点，若，则的最大值为______． 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知函数的部分图像如图所示． （1）求函数的解析式及对称中心； （2）求函数在上的值域； （3）先将的图像纵坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位后得到的图像，求函数的单调减区间． 16. 如图，四边形是平行四边形，点P是平面外一点． （1）求证：平面； （2）是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于HG，求证： 17. 如图，扇形所在圆的半径为，它所对的圆心角为 ，为弧的中点，动点，分别在线段，上运动， 且总有， 设，. （1）若，用，表示，； （2）求的取值范围. 18. 记△的内角的对边分别为，已知. （1）求； （2）若，求的范围. 19. 我们知道，三角形中存在诸多特殊位置的点，并且这些特殊点都具备一定的特殊性质.意大利学者托里拆利在研究时发现：在三角形的三边分别向其外侧作等边三角形，这三个等边三角形的外接圆交于一点，该点即称为托里拆利点（以下简称“点”）.通过研究发现三角形中的“点”满足到三角形三个顶点的距离和最小.当的三个内角均小于时， 使得的点即为“点”； 当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为“点”.试用以上知识解决下面问题: 已知的内角所对的边分别为. （1）若，则 ①求； ②若，设点为的“点”， 求； （2）若，设点为的“点”，，求实数的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $