精品解析：甘肃省兰州市第二中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷

2024—2025学年度第二学期高一年级期中试卷 数学 命题教师：刘慧荣 一、单项选择题（本大题共8小题．每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．） 1. 求值：（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】逆用两角和的余弦公式即可求解. 【详解】， 故选：A. 2. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出集合、，利用交集的定义可求得集合. 【详解】因为，， 故. 故选：C. 3. 已知复数z满足，其中i为虚数单位，则z的虚部是（ ） A. 3 B. 3i C. -3 D. -3i 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的乘法运算法则求得复数z，可求得z的虚部. 【详解】因为，所以z的虚部是. 故选：A. 4. 设，为非零向量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据两者之间的推出关系可得两者之间的条件关系. 【详解】若，则，模长相等，但它们的方向可以不同，故不一定成立， 故得不到， 若，则， 故“”是“”的必要不充分条件， 故选：B. 5. 平均数、中位数和众数都是刻画一组数据的集中趋势的信息，它们的大小关系和数据分布的形态有关．在下图分布形态中，、、分别对应这组数据的平均数、中位数和众数，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用数据分布图左拖尾，即平均数小于中位数，再利用众数是用最高矩形的中点值来估计，可判断众数大于中位数，即可作出判断. 【详解】由数据分布图知，众数是最高矩形下底边的中点横坐标，因此众数为右起第二个矩形下底边的中点值， 直线左右两边矩形面积相等，而直线左边矩形面积大于右边矩形面积，则， 又数据分布图左拖尾，则平均数小于中位数，即， 所以. 故选：C. 6. 已知向量，，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出向量的坐标，由题意得出，结合平面向量数量积的坐标运算可求出的值. 【详解】因为向量，，，则， 因为，则，解得. 故选：B. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用辅助角公式求得，然后利用二倍角公式计算即可. 【详解】，则， 则， 故选：D. 8. 若对任意恒成立，则的最大值为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】参变分离可得，令，则只需即可．利用单调性分析即可． 【详解】解：由题意，得，， 令，，则只需即可， 令，因为，所以，则，且， 所以，， 则在上为减函数， 所以， 所以，即的最大值为； 故选：C． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错误选项得0分．） 9. 已知为虚数单位，以下四个说法中正确的是（ ） A. B. C. 若，则复数对应的点位于第四象限 D. 已知复数满足，则在复平面内对应的点的轨迹为圆 【答案】AD 【解析】 【分析】利用复数的运算可判断A选项；利用任何两个虚数不能比较大小可判断B选项；利用的运算以及复数的几何意义可判断C选项；利用复数减法的几何意义可判断D选项. 【详解】对于A选项，，A对； 对于B选项，任何两个虚数不能比较大小，B错； 对于C选项，，所以，复数在复平面内对应的点位于第二象限，C错； 对于D选项，因为满足，由复数的几何意义可知， 在复平面内对应的点到点的距离等于， 所以，复数在复平面内对应点的轨迹是以点为圆心，半径为的圆，D对. 故选：AD. 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. B. 为增函数 C. 的值域为 D. 方程最多有两个解 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定的分段函数，计算判断AB；分段求出函数值集合判断C；结合函数图象判断D作答. 【详解】对于A，显然，，则，A正确； 对于B，显然，，有，B错误； 对于C，当时，，当时，，因此的值域为，C正确； 对于D，如图，当时，方程无解；当时，方程有两个解； 当时，方程有一个解，因此方程最多有两个解，D正确. 故选：ACD 11. △ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．下列与△ABC有关的结论中正确的是（ ） A. 若，，，则满足条件的三角形有2个 B. 若，则△ABC是等腰三角形 C. 若△ABC是锐角三角形，则 D. 若，，分别表示△AOC，△ABC的面积，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据，可得结论判断A；根据正弦定理化简得，进而计算可判断B；根据题意得，结合在为单调递减函数，可判断C，设的中点为，的中点为，根据向量的运算，得到，结合三角形的面积公式，可判断D. 【详解】对于A，若，，，则， 所以满足条件的三角形有2个，故A正确； 对于B，因为，由正弦定理得，即， 因为，，可得或，即或， 所以是等腰三角形或直角三角形，故B不正确； 对于C中，由是锐角三角形，可得， 所以，又因为在为单调递减函数， 所以，所以C正确； 对于D中，如图所示， 设的中点为，的中点为， 因为，即， 可得，即，所以点是上靠近的三等分点， 所以点到的距离等于到的距离的， 又由到的距离为点到的距离的倍， 所以到的距离等于点到距离的， 由三角形的面积公式，可得，即，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题（每题5分，共15分．） 12. 若、是两个不共线的向量，若，，，且、、三点共线，则实数的值等于________． 【答案】## 【解析】 【分析】求出向量，由题意可得，则存在实数，使得，利用平面向量的基本定理可得出关于、的方程组，即可解得的值. 【详解】由题意可得， 因为、、三点共线，则， 则存在实数，使得，即， 因为、是两个不共线的向量，所以，，解得. 故答案为：. 13. 计算：tan 22.5°－＝_____. 【答案】-2 【解析】 【分析】利用正切的二倍角公式即可求解. 【详解】tan 22.5°－ 故答案为：-2 14. 若，，，，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】求出、的值，然后利用两角差的正弦公式可求得的值. 【详解】因为，，则， 所以， ， 因此， . 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．） 15. 兴隆山自然保护区位于兰州市东南公里的榆中县境内，年建立，年批准为国家级自然保护区，总面积公顷．是国家“”级旅游胜地，在一片绿海碧涛之中，著名的栖云山景区、马衔山景区、官滩沟景区等三十余处景点，宛如玛瑙镶嵌在翠玉之上，光彩夺目．现为更好地提升旅游品质，兴隆山风景区的工作人员随机选择名游客对景区进行满意度评分（满分分），根据评分，制成如图所示的频率分布直方图． （1）根据频率分布直方图，求的值； （2）估计这名游客对景区满意度评分的分位数和平均数（得数保留两位小数）． 【答案】（1） （2）分位数约为，平均数为 【解析】 【分析】（1）根据直方图中频率和为求参数即可； （2）由百分位数的定义，结合直方图求分位数；将每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，将所得结果全部相加可得出平均数. 【小问1详解】 由图知：，可得. 【小问2详解】 由， 所以分位数在区间内，令其为， 则，解得. 所以满意度评分的分位数约为. 由频率分布直方图可知，平均数为. 16. 在中，内角、、所对的边分别为、、，若． （1）求角； （2）若，的周长为，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理、两角和的正弦公式化简得出的值，结合角的取值范围可求得角的值； （2）由已知条件得出的值，结合余弦定理可得出的值，再利用三角形的面积公式可求得的面积. 【小问1详解】 由及正弦定理得 ， 因为、，所以，可得，则， 故. 【小问2详解】 因为，，所以， 由余弦定理可得， 所以，因此，的面积为. 17. 在边长为的等边三角形中． （1）当点是边上距离较近的三等分点时，请用和表示； （2）当点是边上的动点，试判断：是否为定值？若是，请求出该定值；若不是请说明理由． 【答案】（1） （2）是，且定值为 【解析】 【分析】（1）由已知得出，结合平面向量的减法可得出关于、的表达式； （2）取线段的中点，连接，则，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，设点，其中，利用平面向量数量积的坐标运算可求得结果. 【小问1详解】 如下图所示： 当点是边上距离较近的三等分点时，，即， 解得. 【小问2详解】 取线段的中点，连接，则， 以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 则、、，设点，其中， ，，， 所以，故. 18. 某数学学习小组研究得到了以下的三倍角公式：①； ②．根据以上研究结论，研究以下问题． （1）在①和②中任选一个进行证明； （2）当时，尝试用表示； （3）求值：． 【答案】（1） 若选①，证明如下： . 若选②，证明如下： . （2） （3） 【解析】 【分析】（1）若选①，由利用两角和的正弦公式及二倍角公式即可证明； 若选②，由利用两角和的余弦公式及二倍角公式即可证明； （2）利用三倍角的正弦、余弦公式结合弦化切可得出关于的表达式； （3）由题，，利用，结合公式②及正弦的二倍角公式得，即，所以，解此方程即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当时， . 【小问3详解】 由题，，因为，则， 所以由公式②及正弦的二倍角公式得， 又因为，所以，所以， 整理得解得或， 又，所以. 19. 如图，我们把由平面内夹角成60°的两条数轴构成的坐标系，称为“完美坐标系”．设，分别为正方向上的单位向量，若向量，则把实数对叫做向量的“完美坐标”． （1）若向量的“完美坐标”为，求； （2）已知向量，的“完美坐标”分别为，． ①若，，求出，的完美坐标； ②若，求的范围． 【答案】（1） （2）①的坐标为，的坐标为； ② 【解析】 【分析】（1）利用，结合向量的数量积的定义可求值； （2）由题意存在，使，可得，进而计算可得，可求的坐标； （3）计算可得，利用二次函数的配方法可求最值，可得的范围. 【小问1详解】 因为向量的“完美坐标”为，所以， 所以 ； 【小问2详解】 ①向量，的“完美坐标”分别为，． 所以，， 若，则存在实数，使， 即， 所以，所以， 又，所以，所以 所以，， 所以的坐标为，的坐标为； ② ， 因为，所以，所以时，取最大值， 当时，取最小值，所以的范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第二学期高一年级期中试卷 数学 命题教师：刘慧荣 一、单项选择题（本大题共8小题．每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．） 1. 求值：（ ） A. B. C. D. 2. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知复数z满足，其中i为虚数单位，则z的虚部是（ ） A. 3 B. 3i C. -3 D. -3i 4. 设，为非零向量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 平均数、中位数和众数都是刻画一组数据的集中趋势的信息，它们的大小关系和数据分布的形态有关．在下图分布形态中，、、分别对应这组数据的平均数、中位数和众数，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量，，，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 若对任意恒成立，则的最大值为（ ） A. B. 2 C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错误选项得0分．） 9. 已知为虚数单位，以下四个说法中正确的是（ ） A. B. C. 若，则复数对应的点位于第四象限 D. 已知复数满足，则在复平面内对应的点的轨迹为圆 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. B. 为增函数 C. 的值域为 D. 方程最多有两个解 11. △ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．下列与△ABC有关的结论中正确的是（ ） A. 若，，，则满足条件的三角形有2个 B. 若，则△ABC是等腰三角形 C. 若△ABC是锐角三角形，则 D. 若，，分别表示△AOC，△ABC的面积，则 三、填空题（每题5分，共15分．） 12. 若、是两个不共线的向量，若，，，且、、三点共线，则实数的值等于________． 13. 计算：tan 22.5°－＝_____. 14. 若，，，，则________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．） 15. 兴隆山自然保护区位于兰州市东南公里的榆中县境内，年建立，年批准为国家级自然保护区，总面积公顷．是国家“”级旅游胜地，在一片绿海碧涛之中，著名的栖云山景区、马衔山景区、官滩沟景区等三十余处景点，宛如玛瑙镶嵌在翠玉之上，光彩夺目．现为更好地提升旅游品质，兴隆山风景区的工作人员随机选择名游客对景区进行满意度评分（满分分），根据评分，制成如图所示的频率分布直方图． （1）根据频率分布直方图，求的值； （2）估计这名游客对景区满意度评分的分位数和平均数（得数保留两位小数）． 16. 在中，内角、、所对的边分别为、、，若． （1）求角； （2）若，的周长为，求的面积． 17. 在边长为的等边三角形中． （1）当点是边上距离较近的三等分点时，请用和表示； （2）当点是边上的动点，试判断：是否为定值？若是，请求出该定值；若不是请说明理由． 18. 某数学学习小组研究得到了以下的三倍角公式：①； ②．根据以上研究结论，研究以下问题． （1）在①和②中任选一个进行证明； （2）当时，尝试用表示； （3）求值：． 19. 如图，我们把由平面内夹角成60°的两条数轴构成的坐标系，称为“完美坐标系”．设，分别为正方向上的单位向量，若向量，则把实数对叫做向量的“完美坐标”． （1）若向量的“完美坐标”为，求； （2）已知向量，的“完美坐标”分别为，． ①若，，求出，的完美坐标； ②若，求的范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $