陕西省宝鸡实验高级中学2025届高考数学模拟试题（三）

2025届高考数学模拟试题（卷）（三） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A【详解】由可解得，所以，由可解得，又，所以，所以.故选：A． 2．下列函数中，在区间上为严格增函数的奇函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D【详解】对于A，是偶函数，不符合奇函数要求，故A错误；对于B，既不是奇函数也不是偶函数，故B错误；对于C，是非奇非偶函数，故C错误；对于D，，其定义域为关于原点对称，且，是奇函数，同时在上是严格增函数，故D正确. 3．已知，则是的（     ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】B【详解】当时，满足，显然不成立，故充分性不成立， 若，由指数函数的单调性可知，，则，故必要性成立， 故是的必要非充分条件，故选：B 3．设向量，是非零向量，且，向量在向量上的投影向量为，若，则实数的值为（   ） A． B． C． D．2 【答案】 C 【详解】由向量在向量上的投影向量为，得，则， 由，所以. 4．植物的根是吸收水分和矿物养分的主要器官.已知在一定范围内，小麦对氮元素的吸收量与它的根长度具有线性相关关系.某盆栽小麦实验中，在确保土壤肥力及灌溉条件相对稳定的情况下，统计了根长度（单位：）与氮元素吸收量（单位：天）的相关数据，如下表所示： 9.9 12.1 14.8 18.2 19.9 21.8 25.1 27.7 30.4 32.1 0.30 0.34 0.42 0.50 0.55 0.60 0.71 0.74 0.78 0.86 根据表中数据可得及线性回归方程为，则（    ） A． B．变量与的相关系数 C．在一定范围内，小麦的根长度每增加，它一天的氮元素吸收量平均增加 D．若对小麦的根长度与钾元素吸收量的相关数据进行统计，则对应回归方程不变 【答案】C【详解】由线性回归方程过样本中心点知，，故A错误；小麦对氮元素的吸收量与它的根长度具有正相关关系，故相关系数，故B错误；由线性回归方程可得，在一定范围内，小麦的根长度每增加，它一天的氮元素吸收量平均增加，故C正确；若研究小麦的根长度与钾元素吸收量的相关关系，回归方程可能发生改变，故D错误.故选：C. 5．函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】D【解析】因为，即，所以，所以函数的定义域为，关于原点对称，又，所以函数是奇函数，其图象关于原点对称，故排除；当时，，即，因此，故排除A.故选：D. 6．已知正四棱台，，分别是棱，的中点，平面将正四棱台割成两部分，则较小部分与较大部分的体积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A【详解】如图，连接，不妨设，棱台的高设为， 所以． 因为，分别是棱，的中点，则，． 又因为平面∥平面，可知几何体是三棱台， 则． 所以分割之后较大部分的体积为， 所以较小部分与较大部分的体积之比为． 故选：C． 7．已知函数，若在其定义域内存在实数满足，则称函数为“局部奇函数”，若函数是定义在上的“局部奇函数”，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B【详解】根据“局部奇函数”的定义可知，方程有解即可， 即，所以， 化为有解，令， 由基本不等式可知，当且仅当时取等，故， 则有在上有解，设，对称轴为． ①若，则，满足方程在上有解； ②若，要使在时有解，则需， 解得．综上可得，实数的取值范围为．故选：B. 8．古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥面的方法来研究圆锥曲线，如图1，设圆锥轴截面的顶角为，用一个平面去截该圆锥面，随着圆锥的轴和所成角的变化，截得的曲线的形状也不同.据研究，曲线的离心率为，比如，当时，，此时截得的曲线是抛物线.如图2，在底面半径为1，高为的圆锥中，是底面圆上互相垂直的直径，是母线上一点，，平面截该圆锥面所得的曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 5.【答案】C 【分析】由题意可得，利用平面向量的线性运算求得，进而在中，利用正弦定理可求得，可得结论. 【详解】由题意得，则， 所以，在中，， 连接，则， 所以，又由勾股定理得. 又，所以，所以， 在中，由正弦定理得，，即， 所以平面截该圆锥面所得的曲线的离心率为. 故选：C. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9．将函数图象上每个点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（    ） A． B．的最小正周期为 C．的图象关于点对称 D．的图象关于直线对称 【答案】ACD【详解】依题意可得，因为，故A正确；，故B错误；由，可知点为对称中心，由，可知在处取最小值，故C，D均正确.故选：ACD 10．设为复数，下面四个命题中，真命题的是（   ） A．若，则为纯虚数 B． C．若，则点的集合构成的图形的面积为 D．若复数满足，则 【答案】BD【详解】A：当为实数时，满足，故A错；B：令且，则，故，故B对；C：由表示以为圆心，1、2为半径的两个圆所成的圆环，所以点的集合构成的图形的面积为，故C错；D：因为，又，， 所以，则，故D对.故选：BD 11．设O为坐标原点，直线过抛物线：（）的焦点且与交于两点（点在第一象限），，为的准线，，垂足为，，则下列说法正确的是（    ） A． B．的最小值为2 C．若，则 D．轴上存在一点，使为定值 【答案】D【详解】 A选项，因为过焦点，故当且仅当为通径时，最短，即，从而，故A错误；B选项，由抛物线的定义知，所以，由图知，当且仅当三点共线时，取得最小值，即，故B错误；C选项，由图是抛物线的准线与准线的交点，所以，在中，，所以，所以，所以，所以， 联立得，得，从而， 所以，故C错误；D选项，设，联立得，，设，则，设轴上存在一点，则 ， 故当时，，即存在使得为定值，故D正确. 故选：D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知数列为等差数列，为其前项和，满足，，则的值为 . 12.【答案】3【详解】设等差数列的公差为，则， 化简可得，解得，所以.故答案为：. 13．已知，则 ． 13.【答案】/【详解】由可得， ， ， ， ， .故答案为：. 14．将杨辉三角中的每一个数都换成，就得到一个如图所示的分数三角形，成为莱布尼茨三角形，从莱布尼茨三角形可看出，令，则 . 【答案】【详解】因为， 所以， . 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分） 在中，. (1)求角A的大小； (2)若D为边AB上一点，，，求的面积. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）通过正弦定理将边的关系转化为角的关系，再利用三角函数公式求解角； （2）通过设未知数，利用余弦定理求出边长，最后根据三角形面积公式求出三角形面积． 【详解】（1）解：由正弦定理可知， 因为，所以， 因为，所以， 又因为，所以，则，故，即. （2）设，则. 因为，所以，，即. 在中，， 即，解得，所以，. 的面积为. 17．（15分） 如图1，在中，，，、两点分别在、上，使.现将沿折起得到四棱锥，在图2中. (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成角的正切值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）证明出，，再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）解法一：以点为原点，、、的方向分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面与平面所成角的正切值； 解法二：过在平面内作，垂足为点，过点在平面内作，垂足为点，连接，推导出为平面与平面所成的角，求出、的长，即可得出平面与平面所成角的正切值. 【详解】（1）在图1的中，， 所以，，且，， 因为，所以，，则，， 在中，，，，则， 在图2的中，，，， 满足，所以，， 因为，，，、平面，所以，平面. （2）解法一：因为平面，， 以点为原点，、、的方向分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、，，， 设平面一个的法向量，则， 取，可得， 设平面的一个法向量为，，， 则，取，则， 设平面与平面所成角为， 则， 所以，，. 因此，平面与平面所成角的正切值为； 解法二：过在平面内作，垂足为点， 过点在平面内作，垂足为点，连接， 由（1）知平面，因为平面，则， 因为，，、平面，所以，平面， 因为平面，所以，， 因为，，、平面，所以，平面， 因为平面，则， 所以，为平面与平面所成的角，设. 在中，，，，， 所以，，， 在中，，，，， 所以，，则， 在中，， 所以，平面与平面所成角的正切值为. 17．（15分）为加深青少年对党的历史、党的知识、党的理论和路线方针的认识，激发爱党爱国热情，坚定走新时代中国特色社会主义道路的信心，某校举办了党史知识挑战赛．该挑战赛共分关，规则如下：两人一组，首先某队员先上场从第一关开始挑战，若挑战成功，则该队员继续挑战下一关，否则该队员被淘汰，并由第二名队员接力，从上一名队员失败的关卡开始继续挑战，当两名队员均被淘汰或者n关都挑战成功，挑战比赛结束．已知甲乙两名同学一组参加挑战赛，若甲每一关挑战成功的概率均为，乙每一关挑战成功的概率均为，且甲、乙两人每关挑战成功与否互不影响，每关成功与否也互不影响． (1)已知甲先上场，，，， ①求挑战没有一关成功的概率； ②设X为挑战比赛结束时挑战成功的关卡数，求； (2)如果n关都挑战成功，那么比赛挑战成功．试判断甲先出场与乙先出场比赛挑战成功的概率是否相同，并说明理由. 【详解】（1）①记甲先上场且挑战没有一关成功的概率为，则. ②依题可知，的可能取值为，，，则由①知， ， ， ∴的分布列为 ∴. （2）设甲先出场成功概率为，乙先出场成功概率为. 则 ， ， ， ， . 因此，甲先出场与乙先出场比赛挑战成功的概率相同. 18．（17分）已知函数． （1）若曲线在点，（2）处的切线斜率为4，求的值； （2）讨论函数的单调性； （3）已知的导函数在区间上存在零点，求证：当时，． 【解析】（1），则， 由题意可得，解得； （2）由（1）可得：， 当时，则恒成立， 令，解得；令，解得； 故在上单调递减，在上单调递增； 当时，令，解得或， ①当，即时，令，解得或；令，解得； 故在上单调递增，在上单调递减； ②当，即时，则在定义域内恒成立， 故在上单调递增； ③当，即时，令，解得或；令，解得； 故在上单调递增，在上单调递减； 综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增； 当，在上单调递增，在上单调递减； 当，在上单调递增； 当，在上单调递增，在上单调递减； 证明：（3）由（2）知：若在区间上存在零点，则，解得． 由（2）知：在上单调递增，在上单调递减， 则， 构建，则， 令（a）（a），则当时恒成立， 故（a）在上单调递减，则（a）（3）， 即（a）当时恒成立， 则（a）在上单调递减，则， 故． 19．（17分）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角是另一条渐近线的倾斜角的5倍，为双曲线的右焦点，过的直线与双曲线的右支交于，两点，过点，分别作平行于轴的直线，与直线分别交于，两点，直线与轴的交点为. (1)求双曲线的离心率； (2)证明：数列是以为公比的等比数列； (3)定义：无穷等比递减数列的所有项和，其中为的首项，为的公比，且.设直线与直线的交点为，的面积记为，求数列的所有项和的最小值（结果用或表示）. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）利用给定条件，求出渐近线方程，进而求出离心率. （2）由（1）求出双曲线方程，设出直线的方程，与双曲线方程联立，借助韦达定理定理求出直线与轴交点坐标，结合已知推理得证. （3）利用（2）求出的坐标，求出的面积，求出数列的所有项和的函数关系，再求出其最小值即可. 【详解】（1）设双曲线的一条渐近线的倾斜角为，另一条渐近线的倾斜角为， 依题意，，解得，， 则双曲线的渐近线方程为，即， 所以双曲线的离心率为 （2）由（1）知，，双曲线的方程为， 设，，则，， 过的直线斜率不为0，设直线的方程为， 由消去并整理得，， 则，， ， 直线的斜率，直线的方程为， 令，则 ，因此直线恒过定点， 又直线与轴的交点为，于是，即， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列. （3）由对称性知，直线也恒过定点，则，， 因此 ，， 则是以为首项，为公比的等比数列，数列的所有项和 ，设，则， 由过的直线与双曲线的右支交于两点，得，即， 则，又函数在上单调递减， 则 ，， 所以数列的所有项和的最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届高考数学模拟试题（卷）（三） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．下列函数中，在区间上为严格增函数的奇函数的是（   ） A． B． C． D． 3．已知，则是的（     ） A．充分非必要条件B．必要非充分条件 C．充要条件D．既非充分也非必要条件 3．设向量，是非零向量，且，向量在向量上的投影向量为，若，则实数的值为（   ） A． B． C． D．2 4．植物的根是吸收水分和矿物养分的主要器官.已知在一定范围内，小麦对氮元素的吸收量与它的根长度具有线性相关关系.某盆栽小麦实验中，在确保土壤肥力及灌溉条件相对稳定的情况下，统计了根长度（单位：）与氮元素吸收量（单位：天）的相关数据，如下表所示： 9.9 12.1 14.8 18.2 19.9 21.8 25.1 27.7 30.4 32.1 0.30 0.34 0.42 0.50 0.55 0.60 0.71 0.74 0.78 0.86 根据表中数据可得及线性回归方程为，则（    ） A． B．变量与的相关系数 C．在一定范围内，小麦的根长度每增加，它一天的氮元素吸收量平均增加 D．若对小麦的根长度与钾元素吸收量的相关数据进行统计，则对应回归方程不变 5．函数的大致图象是（    ） A．B．C． D． 6．已知正四棱台，，分别是棱，的中点，平面将正四棱台割成两部分，则较小部分与较大部分的体积之比为（    ） A． B． C． D． 7．已知函数，若在其定义域内存在实数满足，则称函数为“局部奇函数”，若函数是定义在上的“局部奇函数”，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥面的方法来研究圆锥曲线，如图1，设圆锥轴截面的顶角为，用一个平面去截该圆锥面，随着圆锥的轴和所成角的变化，截得的曲线的形状也不同.据研究，曲线的离心率为，比如，当时，，此时截得的曲线是抛物线.如图2，在底面半径为1，高为的圆锥中，是底面圆上互相垂直的直径，是母线上一点，，平面截该圆锥面所得的曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9．将函数图象上每个点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（    ） A． B．的最小正周期为 C．的图象关于点对称 D．的图象关于直线对称 10．设为复数，下面四个命题中，真命题的是（   ） A．若，则为纯虚数 B． C．若，则点的集合构成的图形的面积为 D．若复数满足，则 11．设O为坐标原点，直线过抛物线：（）的焦点且与交于两点（点在第一象限），，为的准线，，垂足为，，则下列说法正确的是（    ） A． B．的最小值为2 C．若，则 D．轴上存在一点，使为定值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知数列为等差数列，为其前项和，满足，，则的值为 . 13．已知，则 ． 14．将杨辉三角中的每一个数都换成，就得到一个如图所示的分数三角形，成为莱布尼茨三角形，从莱布尼茨三角形可看出，令，则 . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）在中，. (1)求角A的大小； (2)若D为边AB上一点，，，求的面积. 17．（15分）如图1，在中，，，、两点分别在、上，使.现将沿折起得到四棱锥，在图2中. (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成角的正切值. 17．（15分）为加深青少年对党的历史、党的知识、党的理论和路线方针的认识，激发爱党爱国热情，坚定走新时代中国特色社会主义道路的信心，某校举办了党史知识挑战赛．该挑战赛共分关，规则如下：两人一组，首先某队员先上场从第一关开始挑战，若挑战成功，则该队员继续挑战下一关，否则该队员被淘汰，并由第二名队员接力，从上一名队员失败的关卡开始继续挑战，当两名队员均被淘汰或者n关都挑战成功，挑战比赛结束．已知甲乙两名同学一组参加挑战赛，若甲每一关挑战成功的概率均为，乙每一关挑战成功的概率均为，且甲、乙两人每关挑战成功与否互不影响，每关成功与否也互不影响． (1)已知甲先上场，，，， ①求挑战没有一关成功的概率； ②设X为挑战比赛结束时挑战成功的关卡数，求； (2)如果n关都挑战成功，那么比赛挑战成功．试判断甲先出场与乙先出场比赛挑战成功的概率是否相同，并说明理由. 18．（17分）已知函数． （1）若曲线在点，（2）处的切线斜率为4，求的值； （2）讨论函数的单调性； （3）已知的导函数在区间上存在零点，求证：当时，． 19．（17分）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角是另一条渐近线的倾斜角的5倍，为双曲线的右焦点，过的直线与双曲线的右支交于，两点，过点，分别作平行于轴的直线，与直线分别交于，两点，直线与轴的交点为. (1)求双曲线的离心率； (2)证明：数列是以为公比的等比数列； (3)定义：无穷等比递减数列的所有项和，其中为的首项，为的公比，且.设直线与直线的交点为，的面积记为，求数列的所有项和的最小值（结果用或表示） 学科网（北京）股份有限公司 $$