陕西省宝鸡实验高级中学2025届高考数学模拟试题（二）

2025届高考数学模拟试题（卷）（二） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知向量，.若，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D【解析】由，得，解得.故选：D. 2．在复平面内，复数对应的点与复数对应的点关于实轴对称，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B【详解】因为，在复平面内，复数对应的点与复数对应的点关于实轴对称，所以.故选：B. 3．若抛物线的准线为直线，则截圆所得的弦长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A【解析】抛物线的准线方程为，圆的圆心为原点，半径为，圆心到直线的距离为，所以，截圆所得的弦长为，故选：A. 4．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C【详解】由，得， 所以，又因为，所以， 所以.故选：C. 5．对任意实数x，有.则下列结论不正确的是（   ） A． B．（，1，…，9）的最大值为 C． D． 【答案】A【详解】对于A，令，得，故A错误； 对于B，由，则展开式的通项公式为，所以为负，为正，当时，计算可得，， ，，， 所以（，1，…，9）的最大值为，故B正确；对于C，令，可得，令，可得， 所以，又，可得，故C正确； 对于D，由B可知，故D正确. 故选：BCD. 6．已知互不相等的数据，，，，，，的平均数为，方差为，数据，，，，，的方差为，则（   ） A． B． C． D．与的大小关系无法判断 【答案】C【详解】根据已知条件第一组数据的个数为个，且， 所以， ， 第二组数据的个数为个，且平均数， ，因为， 所以.故选：C 7．白舍窑位于江西省南丰县白舍镇，是宋元时期“江西五大名窑”，其瓷器以白瓷最为闻名，素有“白如玉，薄如纸”的特点．如图是白舍窑生产的一款斗笠型茶杯，茶杯外形上部为一个圆台，下部实心且外形为圆柱．现测得底部直径为6cm，上部直径为12cm，茶杯侧面与水平面的夹角为，则该茶杯容量（茶杯杯壁厚度忽略不计）约为（    ）（单位：） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】圆台的体积即为该茶杯容量，如图，cm，cm， 过点分别作⊥，⊥于点，则cm，cm， 其中圆台的高为cm， 故圆台体积为.故选：D 8．已知是定义在上的增函数，且存在函数使得，若，分别是方程和的根，则（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B【解析】是的根，，即，①是的根，，即，存在函数使得，，②是定义在上的增函数，在上单调递增，由①②可得， ，又，即，，即.故选：B. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9．下列说法中，正确的命题是（    ） A．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1 B．口袋中有大小相同的7个红球、2个蓝球和1个黑球．从中任取两个球，记其中红球的个数为随机变量，则的数学期望 C．若随机变量，当不变时，越小，该正态分布对应的正态密度曲线越矮胖 D．对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测，从中任取2件，已知其中一件为正品，则另一件也为正品的概率是. 【答案】ABD【解析】对于A，若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数的绝对值越接近于1，故A正确；对于B，随机变量服从几何分布，所以，其中，即，故B正确；对于C，根据正态分布参数的意义，越大表示随机变量的分布越分散，则该正态分布对应的正态密度曲线越矮胖，故C错误；对于D，取出两件中至少有一件正品的概率,取出两件都是正品的概率，由条件概率的意义可知，从中任取2件，已知其中一件为正品，则另一件也为正品的概率是，故D正确.故选：ABD． 10．若实数 满足 ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD【解析】由平方不等式可得：，代入， 则，取等号条件是，故A正确；B错误； 令，则， 由于存在满足上式成立，则，即，故D正确，C错误；故选：AD. 11．已知曲线，则下列结论正确的是（    ） A．曲线关于轴对称 B．曲线上的点到轴的距离的最大值为1 C．若，且点在上，则1 D．若曲线与圆只有2个公共点，则的取值范围为 【答案】ABC【解析】把点关于轴对称的点代入轨迹方程成立，A正确． 因为，所以，所以曲线上的点到轴的距离的最大值为1，正确．因为，所以．当时，因为点在上，所以． 因为，所以，即． 当时，因为点在上，所以． 因为，所以．故1，C正确．联立得．当时，，当时，，即是曲线与圆的2个公共点．因为曲线与圆只有2个公共点，所以方程除外没有其他解．因为，所以4，所以，D错误．故选：ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．若，均为单位向量，且，则 ． 【答案】/【详解】作，以线段为一组邻边作平行四边形，如图， 则，而，均为单位向量，则，因此为菱形，.故答案为： 13．在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、C．已知． 若，点D在边AB上，CD为的平分线，且，则边长a= ． 【答案】4【解析】（1），由正弦定理得， 又，所以，即， 因为，所以，故，即， 又，所以；又CD为的平分线，故， 其中，由三角形面积公式得， ，又， 显然，即，解得. 14．2025年春晚，一场别开生面的机器人舞蹈表演震撼了观众.现在编排一个动作，机器人从原点出发，每一次等可能地向左或向右或向上或向下移动一个单位，共移动3次.求该机器人在有且仅有一次经过（含到达）点位置的条件下，水平方向移动2次的概率为 . 【答案】【详解】设事件“有且仅有一次经过”，事件“水平方向移动2次”，按到位置需要1步，3步分类讨论.记向左，向右，向上，向下，（1）若1步到位为事件，则满足要求的是或或或或， 或或或或，所以；（2）若3步到位为事件，则满足要求的是所以；所以，满足的情况有：或或或或.所以，所以.故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知数列满足，，且对任意的，，都有. (1)设，求数列的通项公式； (2)设数列的前项和为，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）依题意，对任意的，，都有， 故对任意的，，， 所以对任意的，，，即为定值， 所以数列是公差为2的等差数列， 据，，得，， 所以，解得，故， 所以 （2）由（1）可知，， 所以当，， ， 又符合上式，所以 所以， 故 ， 因为，， 所以 16．（15分）在三棱锥中，，.为的中点，为的中点，平面.    (1)求证：平面平面； (2)若与底面所成角的正切值是2，求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）如图，延长与相交于M，连接 根据，为的中点，则 ，，则， 在中，，为的中点，则. 在中， ，则， 同理在中， ， 在中， ， 由于，则，即. 已知平面，平面，则. 平面，且. 则平面，平面，则平面平面. （2）由于平面.，则可以为x轴，为y轴，过O作，可作为z轴，建立空间直角坐标系. 由于平面.则若与底面所成角为，根据题意，，则. 得到相关点坐标： ， 根据向量坐标运算，可得，，. 设平面的法向量为，则且. ①； ②； 由①得，将代入②可得：， 令，则，，所以. 设平面的法向量为，同理且. ③； ④； ③ + ④得，即，将代入③可得：， 令，则，所以. 设二面角为，且 ； ； . 所以. 通过观察图形可知二面角是锐二面角， 所以二面角的余弦值为.    17．（15分）红铃虫（Pectinophora gossypiella）是棉花的主要害虫之一，其产卵数与温度有关.现收集到一只红铃虫的产卵数y（个）和温度x（℃）的8组观测数据，制成图1所示的散点图.现用两种模型①，②分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到图2所示的残差图.      根据收集到的数据，计算得到如下值：表中；；；； (1)根据残差图，比较模型①、②的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由； (2)根据（1）中所选择的模型，求出y关于x的回归方程（系数精确到0.01），并求温度为34℃时，产卵数y的预报值. （参考数据：，，，） 附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，. 25 2.89 646 168 422688 48.48 70308 【答案】(1)应该选择模型①，理由见解析 (2)；250个 【分析】（1）由模型①的残差点比较均匀落在水平的带状区域以及带状区域的宽度窄，所以选择模型①比较合适； （2）令，z与温度x可以用线性回归方程来拟合，则，利用公式和数据求出和，则可以得到y关于温度x的回归方程，当时，可求出产卵数y的预报值. 【详解】（1）应该选择模型①. 由于模型①残差点比较均匀地落在水平的带状区域中， 且带状区域的宽度比模型②带状宽度窄，所以模型①的拟合精度更高， 回归方程的预报精度相应就会越高，故选模型①比较合适 （2）令，z与温度x可以用线性回归方程来拟合，则. ， 所以， 则z关于x的线性回归方程为. 于是有， 所以产卵数y关于温度x的回归方程为 当时，（个）. 所以，在气温在34℃时，一个红铃虫的产卵数的预报值为250个 18．（17分）已知椭圆的离心率，过点的动直线与椭圆相交于两点，当直线与轴垂直时，直线被椭圆截得的线段长为3. (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆交于，两点，是椭圆上一动点（不同于，），记，，分别为直线，，的斜率，且满足，求点的坐标（用表示）； (3)过左焦点的直线交椭圆于，两点，是否存在实数，使恒成立？若存在，求此时的最小值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)或，其中. (3)存在，3 【解析】（1）解：由题意，可得点在椭圆上，且椭圆的离心率， 所以，解得，所以椭圆的方程为.（4分） （2）解：设点，因为点在椭圆上，所以，即. 同理，设点，则，且， 又因为直线过原点，所以关于原点对称，所以点， 所以，可得，（6分） 联立方程组，整理得， 解得或， 用代替上述坐标中的， 可得或，其中.（9分） （3）解：由（1）知，左焦点， 当直线斜率为零时，不妨设，， 则，，可得，， 存在，使成立； 当直线的斜率不为零时，设直线方程为，且，， 联立方程组，整理得，（11分） 可得，所以，， 则， ， 因为，， 所以，所以， 又因为， 所以当时，最小，最小值为3， 综上，存在，使恒成立，此时的最小值为3.（17分） 19．（17分）对于任意两个正数，记区间上曲线下的曲边梯形面积为，并规定，，记，其中． (1)若时，求证：； (2)若时，求证：； (3)若，直线与曲线交于，两点，求证：（其中为自然常数）． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）因为，且， 当时可知， 所以， ，所以成立； （2）解法一：要证，即证， 如图可知，为与，以及轴所围成的曲边梯形的面积． 若直线与曲线交于点， 过做的切线，分别交，于，， 过做轴的平行线分别交，于，，则， 易知曲面梯形的面积大于， 所以， 所以，，得证． 解法二：因为时，，所以要证， 即证：， 即证：，即证：， 设，，则不等式可化为， 要证，作差得， 即证：在恒成立， 构造函数：， 则，再设，则， 因为，所以恒成立， 所以在为增函数，所以， 所以在恒成立，可得在为增函数， 所以，所以在恒成立， 所以不等式成立，得证； （3）因为，所以， 令，故， 所以在为减函数，在为增函数，， 故直线与曲线交于，，所以， 且，，即有：①，②， ①＋②得： ①－②得： 由第（2）问知：， 所以， 所以，即， 所以成立． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届高考数学模拟试题（卷）（二） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知向量，.若，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 2．在复平面内，复数对应的点与复数对应的点关于实轴对称，则（   ） A． B． C． D． 3．若抛物线的准线为直线，则截圆所得的弦长为（    ） A． B． C． D． 4．已知，则（    ） A． B． C． D． 5．对任意实数x，有.则下列结论不正确的是（   ） A． B．（，1，…，9）的最大值为 C． D． 6．已知互不相等的数据，，，，，，的平均数为，方差为，数据，，，，，的方差为，则（   ） A． B． C． D．与的大小关系无法判断 7．白舍窑位于江西省南丰县白舍镇，是宋元时期“江西五大名窑”，其瓷器以白瓷最为闻名，素有“白如玉，薄如纸”的特点．如图是白舍窑生产的一款斗笠型茶杯，茶杯外形上部为一个圆台，下部实心且外形为圆柱．现测得底部直径为6cm，上部直径为12cm，茶杯侧面与水平面的夹角为，则该茶杯容量（茶杯杯壁厚度忽略不计）约为（    ）（单位：） A． B． C． D． 8．已知是定义在上的增函数，且存在函数使得，若，分别是方程和的根，则（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9．下列说法中，正确的命题是（    ） A．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1 B．口袋中有大小相同的7个红球、2个蓝球和1个黑球．从中任取两个球，记其中红球的个数为随机变量，则的数学期望 C．若随机变量，当不变时，越小，该正态分布对应的正态密度曲线越矮胖 D．对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测，从中任取2件，已知其中一件为正品，则另一件也为正品的概率是. 10．若实数 满足 ，则（    ） A． B． C． D． 11．已知曲线，则下列结论正确的是（    ） A．曲线关于轴对称 B．曲线上的点到轴的距离的最大值为1 C．若，且点在上，则1 D．若曲线与圆只有2个公共点，则的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．若，均为单位向量，且，则 ． 13．在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、C．已知． 若，点D在边AB上，CD为的平分线，且，则边长a= ． 14．2025年春晚，一场别开生面的机器人舞蹈表演震撼了观众.现在编排一个动作，机器人从原点出发，每一次等可能地向左或向右或向上或向下移动一个单位，共移动3次.求该机器人在有且仅有一次经过（含到达）点位置的条件下，水平方向移动2次的概率为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知数列满足，，且对任意的，，都有. (1)设，求数列的通项公式； (2)设数列的前项和为，求证：. 16．（15分）在三棱锥中，，.为的中点，为的中点，平面.   (1)求证：平面平面； (2)若与底面所成角的正切值是2，求二面角的余弦值. 17．（15分）红铃虫（Pectinophora gossypiella）是棉花的主要害虫之一，其产卵数与温度有关.现收集到一只红铃虫的产卵数y（个）和温度x（℃）的8组观测数据，制成图1所示的散点图.现用两种模型①，②分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到图2所示的残差图.根据收集到的数据，计算得到如下值：表中；；；； (1)根据残差图，比较模型①、②的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由； (2)根据（1）中所选择的模型，求出y关于x的回归方程（系数精确到0.01），并求温度为34℃时，产卵数y的预报值.（参考数据：，，，） 25 2.89 646 168 422688 48.48 70308 附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，. 18．（17分）已知椭圆的离心率，过点的动直线与椭圆相交于两点，当直线与轴垂直时，直线被椭圆截得的线段长为3. (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆交于，两点，是椭圆上一动点（不同于，），记，，分别为直线，，的斜率，且满足，求点的坐标（用表示）； (3)过左焦点的直线交椭圆于，两点，是否存在实数，使恒成立？若存在，求此时的最小值；若不存在，请说明理由. 19．（17分）对于任意两个正数，记区间上曲线下的曲边梯形面积为，并规定，，记，其中． (1)若时，求证：； (2)若时，求证：； (3)若，直线与曲线交于，两点，求证：（其中为自然常数）． 学科网（北京）股份有限公司 $$