陕西省宝鸡实验高级中学2025届高考数学模拟试题（一）

2025届高考数学模拟试题（卷）（一） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．抽样统计某位学生10次的数学成绩分别为86，84，88，86，89，89，90，87，85，92，则该学生这10次成绩的分位数为　　 A．86.5 B．87.5 C．91 D．89 2．设集合，若，则（    ） A． B． C． D． 3．下列函数中，以为周期，且在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 4．已知向量，，则在上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 5．已知圆锥的侧面展开图是一个半圆，且圆锥的底面积为 ，则此圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 6．已知在上单调递增，若为偶函数，，，，则（    ） A． B． C． D． 7．已知等差数列中，，，又，，其中，则的值为（    ） A．或 B． C． D． 8．已知函数若，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9．已知复数z满足，则（    ） A． B． C． D． 10．已知如图是函数，（，）的部分图象，则（   ） A． 的图象关于中心对称 B． 在点处的切线方程为 C． 在单调递增 D．的图象向左平移个单位长度后为偶函数 11．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点为双曲线右支上一点，且，若与一条渐近线平行，则（    ） A．双曲线的离心率为 B．双曲线的渐近线方程为 C．的面积为 D．直线与圆相切 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知且，，函数，若，则 . 13．的展开式中，常数项为 　　．（用数字作答） 14．设为数列的前n项和，时，，已知．则数列的通项公式为 。 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分13分）在中，角的对边分别为，且. (1)求； (2)若，点在边上，且是的平分线，求的面积. 16．（15分）某校为了了解学情，对各学科的学习兴趣作了问卷调查，经过数据整理得到表格： 语文兴趣 数学兴趣 英语兴趣 物理兴趣 化学兴趣 生物兴趣 答卷份数 350 470 380 400 300 500 兴趣良好频率 0.7 0.9 0.8 0.5 0.8 0.8 假设每份调查问卷只调查一科，各类调查是否达到良好的标准相互独立． （1）从收集的答卷中随机选取一份，求这份试卷的调查结果是英语兴趣良好的概率； （2）从该校任选一位同学，试估计他在语文兴趣良好、数学兴趣良好、生物兴趣良好方面，至少具有两科兴趣良好的概率； （3）按分层抽样的方法从参与物理兴趣和化学兴趣调查的同学中抽取7人，再从这7人中抽取3人，记3人中来自化学兴趣的人数为，求的分布列和期望． 17．已知函数. (1)若的图象在处的切线l过点，求a的值及l的方程； (2)若有两个不同的极值点，，且当时恒有，求a的取值范围. 18．（17分）已知椭圆的一个焦点短轴长为. (1)求椭圆的标准方程； (2)连线与轴交于点，过焦点的直线与椭圆交于两点. （i）证明：点在以为直径的圆外： （ii）在上是否存在点使得是等边三角形.若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由. 19．（17分）球面与过球心的平面的交线叫做大圆，将球面上三点用三条大圆弧连接起来所组成的图形叫做球面三角形，每条大圆弧叫做球面三角形的一条边，两条边所在的半平面构成的二面角叫做球面三角形的一个内角.如图（1），球的半径为球的球面上的四点.   (1)若球面三角形的三条边长均为，求此球面三角形一个内角的余弦值. (2)在球的内接三棱锥中，平面，直线与平面所成的角为. （i）若分别为直线上的动点，求线段长度的最小值； （ii）如图（2），若分别为线段的中点，为线段上一点（与点不重合），当平面与平面夹角的余弦值最大时，求线段的长. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届高考数学模拟试题（卷）（一） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．抽样统计某位学生10次的数学成绩分别为86，84，88，86，89，89，90，87，85，92，则该学生这10次成绩的分位数为　　 A．86.5 B．87.5 C．91 D．89 【答案】A【解析】数学成绩从小到大分别为84，85，86，86，87，88，89，89，90，92，共10个， 又，故分位数为．故选：． 2．设集合，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C【解析】因为，又， 所以当时，可得.故选：C. 3．下列函数中，以为周期，且在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D【解析】对于A：由，可知不是其周期，（也可说明其不是周期函数）故错误；对于B：，其最小正周期为，故错误；对于C：满足，以为周期，当时，，由正切函数的单调性可知在区间上单调递减，故错误；对于D，满足，以为周期，当时，，由余弦函数的单调性可知，在区间上单调递增，故正确；故选:D 4．已知向量，，则在上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B【解析】由题意，，则， 所以在上的投影向量是.故选：B． 5．已知圆锥的侧面展开图是一个半圆，且圆锥的底面积为 ，则此圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B【解析】设圆锥的底面半径为，母线长为，高为，由题意可得：，解得，所以圆锥的体积为.故选：B. 6．已知在上单调递增，若为偶函数，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A【解析】因为为偶函数，则，所以关于对称，所以，令，则，当时，，所以在上单调递增，所以，即，所以，当时，由得，，则，由上可得，又在上单调递增，所以，即，所以.故选：A． 7．已知等差数列中，，，又，，其中，则的值为（    ） A．或 B． C． D． 【答案】D【解析】，，，，， .又，， .，，， .故选：D. 8．已知函数若，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A【解析】因为，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，且； 当时，所以在上单调递增，且， 所以的图象如下所示： 又，且，不妨令， 结合图象可知且，即， 所以，即的取值范围为. 故选：A 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9．已知复数z满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD【解析】设复数，可得因为复数z满足，可得，则，可得且， 由时，可得或，当时，可得，此时；当时，方程，无解；对于A中，当，可得，可得； 当，可得，可得，所以A正确；对于B中，当，可得，且，则，所以B不正确；对于C中，当，可得，可得，所以C不正确；对于D中，当，可得，可得，则；当，可得，可得，则，所以D正确.故选：AD. 10．已知如图是函数，（，）的部分图象，则（   ） A．的图象关于中心对称 B．在点处的切线方程为 C．在单调递增 D．的图象向左平移个单位长度后为偶函数 【答案】BCD【解析】由图可得，即，而，可得， 又，即，可得，，可得，，又，且，即，即，可得， ，对于选项A，，，不是函数的对称中心，故A不正确；对于选项B中，，， 则在点处的切线方程为，故B正确；对于选项C，，可得，函数在上是单调递增，故C正确；对于选项D中，将向左平移个单位后，可得，则为偶函数，故D正确.故选：BCD 11．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点为双曲线右支上一点，且，若与一条渐近线平行，则（    ） A．双曲线的离心率为 B．双曲线的渐近线方程为 C．的面积为 D．直线与圆相切 【答案】ACD【详解】不妨设直线平行于双曲线的渐近线，从而可得是线段的垂直平分线，且直线的方程为，设直线与直线相交于点，联立方程组，解得，即，又，结合中点坐标公式，可得，代入双曲线，可得，整理得，，对于A，双曲线的离心率，故A正确；对于B，双曲线的渐近线，故B错误；对于C，的面积，故C正确；对于D，圆心到直线的距离，故直线与圆相切，故D正确.故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知且，，函数，若，则 . 【答案】【解析】函数，则， 简化可得：，即，所以.故答案为：. 13．的展开式中，常数项为 　　．（用数字作答） 【答案】252【解析】，展开式的通项公式为，令，解得，故常数项为． 14．设为数列的前n项和，时，，已知．则数列的通项公式为 。 【答案】 .【解析】当时，，即，则，而，则，于是时，，整理得，又，所以数列是首项和公比都是2的等比数列，则，因此，数列是首项为，公差为的等差数列，，所以数列的通项公式. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分13分）在中，角的对边分别为，且. (1)求； (2)若，点在边上，且是的平分线，求的面积. 【解】（1）由，得， 解法一：由正弦定理得，又中，，所以，所以， 于是， …………………………3分 又，所以，又，所以. …………………………6分 解法二：由余弦定理得， 化简得， …………………………2分 由余弦定理得， …………………………4分 又， 所以. …………………………6分 （2）由是的平分线，得， 解法一：， …………………………9分 又， …………………………10分 所以 . …………………………13分 解法二：由得 . …………………………9分 即， 解得， …………………………11分 所以. …………………………13分 16．（15分）某校为了了解学情，对各学科的学习兴趣作了问卷调查，经过数据整理得到表格： 语文兴趣 数学兴趣 英语兴趣 物理兴趣 化学兴趣 生物兴趣 答卷份数 350 470 380 400 300 500 兴趣良好频率 0.7 0.9 0.8 0.5 0.8 0.8 假设每份调查问卷只调查一科，各类调查是否达到良好的标准相互独立． （1）从收集的答卷中随机选取一份，求这份试卷的调查结果是英语兴趣良好的概率； （2）从该校任选一位同学，试估计他在语文兴趣良好、数学兴趣良好、生物兴趣良好方面，至少具有两科兴趣良好的概率； （3）按分层抽样的方法从参与物理兴趣和化学兴趣调查的同学中抽取7人，再从这7人中抽取3人，记3人中来自化学兴趣的人数为，求的分布列和期望． 【解析】（1）设“这份试卷的调查结果是英语兴趣良好”为事件， 答卷总份数为， 其中英语兴趣良好有， 从收集的答卷中随机选取一份， 这份试卷的调查结果是英语兴趣良好的概率为． （2）设“语文兴趣良好”“数学兴趣良好”“生物兴趣良好”分别为事件，，， （B），（C），（D）， 估计他在语文兴趣良好、数学兴趣良好、生物兴趣良好方面，至少具有两科兴趣良好的概率为： ． （3）从参与物理兴趣小组和化学兴趣小组的700人中，按分层抽样的方法抽取7人， 其中，参与物理兴趣小组的抽取4人，参与化学兴趣小组的取3人， 再从中选取3人，则的所有可能取值为0，1，2，3， ， ， ， ， 的分布列为： 0 1 2 3 ． 17．已知函数. (1)若的图象在处的切线l过点，求a的值及l的方程； (2)若有两个不同的极值点，，且当时恒有，求a的取值范围. 【解析】（1）因为， 所以，而，得到切点为， 设切线斜率为，由导数的几何意义得， 则切线方程为，（3分） 而切线l过点，得到， 解得，此时l的方程为， 即，则l的方程为.（6分） （2）因为， 且，所以， 令， 则． 因为有两个不同的极值点，，（），（8分） 所以当时，，则只有一个极值点，不符合题意， 当且， ①当，，即时， 当时，恒成立，即，即恒成立， 设 ，则， 所以在上单调递减， 则，则，故；（10分） ②当，，即时， 当时，恒成立，即恒成立， 若，则当时，，不满足题意， 所以，此时，即，（13分） 设 ，则， 易得在上单调递减，在上单调递增， 所以，解得，故， 综上，的取值范围是．（15分） 18．（17分）已知椭圆的一个焦点短轴长为. (1)求椭圆的标准方程； (2)连线与轴交于点，过焦点的直线与椭圆交于两点. （i）证明：点在以为直径的圆外： （ii）在上是否存在点使得是等边三角形.若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由. 【解析】（1）由题意得，所以， 则椭圆的标准方程为.（4分） （2）（i）由题意得，， 当直线斜率为0时，此时以为直径的圆的方程为，显然在此圆外； 当直线斜率不为0时，设直线的方程为， 由可得，， 恒成立，（6分） 设， 则， ，（8分） 故在以为直径的圆外.（9分） （ii）当斜率不存在时，，此时到距离为1，故不存在等边三角形，当斜率为0时，易得不存在等边三角形，（11分） 当斜率存在且不为0时，设直线的方程为， 设中点为，又，由（i）得， ，由于在直线上，所以，（13分） 直线的斜率为，所以. ， 因为是等边三角形，所以，则，（15分） 解得，即， 故直线的方程为或.（17分） 19．（17分）球面与过球心的平面的交线叫做大圆，将球面上三点用三条大圆弧连接起来所组成的图形叫做球面三角形，每条大圆弧叫做球面三角形的一条边，两条边所在的半平面构成的二面角叫做球面三角形的一个内角.如图（1），球的半径为球的球面上的四点.    (1)若球面三角形的三条边长均为，求此球面三角形一个内角的余弦值. (2)在球的内接三棱锥中，平面，直线与平面所成的角为. （i）若分别为直线上的动点，求线段长度的最小值； （ii）如图（2），若分别为线段的中点，为线段上一点（与点不重合），当平面与平面夹角的余弦值最大时，求线段的长. 【解析】（1）因为球面三角形的三条边长均为， 所以球面三角形每条边所对的圆心角均为，所以四面体为正四面体. 取的中点，连接，则，且， 则为二面角的平面角.（2分） 由余弦定理可得. 所以此球面三角形一个内角的余弦值为.（4分） （2）因为平面，所以. 设，则，所以. 由勾股定理的逆定理可得，又， 所以平面，又平面，所以， 因为直线与平面所成的角为，所以. 易知在和中，斜边的中点到点的距离相等，即为球的直径，所以.（6分） 以点为坐标原点，直线分别为轴，过点且与平行的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.    （i）由题可知， 则. 设与都垂直的向量为， 则令，则，（8分） 所以线段长度的最小值为.（9分） （ii）设，由题可知， 则. 设平面的一个法向量为， 则取，可得.（11分） 设平面的一个法向量为， 则取，可得.（13分） 设平面与平面的夹角为. 因为 ，（15分） 令，则， 可得， 当且仅当，即时等号成立，此时取得最大值， 故.（17分） 学科网（北京）股份有限公司 $$