2025年九年级中考数学复习：全等三角形综合问题

2025年九年级中考数学复习： 全等三角形综合问题 1．如图，点C为线段上一点，分别以，为等腰三角形的底边，在的同侧作等腰和等腰，且．在线段上取一点F，使，连接，．求证：． 2．如图，在四边形中，，点是的中点，连接并延长交的延长线于点，点在线段上，且，连接．求证： (1)； (2)垂直平分． 3．综合与实践：在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法． (1)如图1，是的中线，，，求的取值范围； (2)如图2，，，，D为的中点，求证，； (3)如图3，在四边形中，对角线相交于点E，F是的中点，，，试探究与的数量关系，并说明理由． 4．已知：如图，是的中线，点在上，点在的延长线上，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 5．生活中的数学：某校计划为初一学生暑期军训配备如图1所示的折叠凳． (1)这种折叠凳坐着舒适、稳定，这种设计所运用的数学原理是三角形的____________性； (2)图2是折叠凳撑开后的示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿和的长相等，是它们的中点.为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度设计为，则由以上信息可推得的长度也为，请说明的理由． 6．如图，已知：，，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 7．如图，在中，为的中点，交的平分线于，于，交延长线于. (1)求证：. (2)猜想、、的数量有什么关系？并证明你的猜想； (3)若，，则________. 8．如图，四边形中，，，， (1)求证：； (2)求证：； 9．如图，点，在上，． (1)求证：； (2)连接，若，，，求的度数． 10．如图，在中，，，点D是边上的一点，连接，将绕点D顺时针旋转得到，作交的延长线于点F，连接． (1)求证： (2)若，求：的值． 11．阅读下列学习内容： (1)如图1，在四边形中，，，，，分别是、上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． 探究思路如下：延长到点，使，连接． 则由探究结果知，图中线段、、之间的数量关系为_____． (2)根据上面的方法，解决问题：如图2，若在四边形中，，，、分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； (3)如图3，在四边形中，，，点、分别在边、上，且，若，，请求直接写出的长度． 12．如图1，在等边中，点，分别是，上的点，，与交于点.      (1)求证：； (2)如图2，以为边作等边，与相等吗？并说明理由； (3)如图3，若点是的中点，连接，，判断与有什么数量关系？并说明理由. 13．如图，在平行四边形中，E是边上的一点． (1)如图1，①请只用无刻度的直尺在边上确定一点F，使得（保留痕迹，不写作法）； ②依据你的作图，证明：． (2)如图2，若E是边中点，请只用无刻度的直尺作线段，使得，分别交、于点F、点G（保留痕迹，不写作法）． 14．在中，，，点为射线上一动点（点不与点重合），连接，以为直角边在的右侧作等腰直角，． (1)如图1，当点在线段上时，过点作于，求的长度； (2)连接，交直线于点， ①如图2，当点运动到的延长线上时，求证：； ②点在运动过程中，若，请直接写出的长． 15．【阅读理解】如图1，在矩形中，若，由勾股定理，得，同理，故． 【探究发现】如图2，四边形为平行四边形，若，则上述结论是否依然成立？请加以判断，并说明理由． 【尝试应用】如图3，已知为的一条中线，，求的长． 【拓展提升】如图4，在矩形中，若，点P在边上，则的最小值为 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．答案见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键． 证明，推出，利用证明即可证明结论成立． 【详解】证明：∵等腰和等腰， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 2．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查平行线的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质．熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键． （1）由平行线的性质可得出，再根据点E是的中点，即得出，由对顶角相等得出，即证明，得出； （2）由，得出．根据题意又易证，结合，可证，即得出，即，从而可得结论． 【详解】（1）证明：∵，即， ∴． ∵点E是的中点， ∴． 又∵， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴，即． ∴垂直平分． 3．(1) (2)见解析 (3)，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，平行线的判定与性质，三角形的内角和定理等知识． （1）根据可得，在中利用三角形的三边关系可求得，即可根据求解； （2）延长至G，使，连接，先证明，得到，，再证明，即可得到； （3）延长到G，使得，连接，延长到H，使得，连接，先证可得，，再证明，得到，，最后证明，得到． 【详解】（1）解：延长到点E．使，连接， ∵是的中线， ∴，又， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴，解得， 故答案为：； （2）证明：延长至G，使，连接，则 ∵点D为的中点， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴． （3）证明：如图，延长到G，使得，连接，延长到H，使得，连接， ∵点F是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 4．(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质； （1）先证明，结合，，从而可得结论； （2）先求解，再结合全等三角形的性质可得结论． 【详解】（1）证明：∵是的中线， ∴， ∵，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴； 5．(1)稳定 (2)见详解 【分析】本题考查了三角形的稳定性，三全等三角形的判定和性质，线段中点的定义，正确理解全等三角形的性质是解题的关键． （1）根据三角形的稳定性解答即可； （2）先证明，根据全等三角形的性质回答即可． 【详解】（1）解：这种设计所运用的数学原理是三角形具有稳定性质， 故答案为：稳定； （2）是的中点， ， ， ， ． 6．(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的性质，全等三角形的性质和判定． （1）根据平行线的性质，得出题意得出，证明，再由全等三角形的判定定理即可证明； （2）求解，结合，据此即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ， ∵，， ； （2）解：∵，， ∴， 即， ∴． 7．(1)见解析 (2)，见解析 (3)2 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质． （1）连接、，先根据线段垂直平分线的性质的性质得，再根据角平分线的性质得，然后根据证明，根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）证明得，再结合（1）的结论，得； （3）根据（2）的结论得，再根据可得答案. 【详解】（1）证明：如图，连接、， ∵，D为中点， ∴， ∵，，且平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：，证明如下： 在和中， ， ∴， ∴， 由（1）知， ∴． 即； （3）解：由（2）知， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 8．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由证明即可； （2）由全等三角形的性质得，利用证明，根据全等三角形的性质求出，再根据角的和差得出结论． 【详解】（1）证明：， ， 即， 在和中， （2）证明：由（1）可知，， ， 在和中， ， ， ， 即． 9．(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，等边对等角等知识． （1）利用证明三角形全等即可． （2）由全等三角形的性质和三角形内角和定理得出，再根据等边对等角得出，最后根据平角的定义求解即可． 【详解】（1）证明：， ， 即． 又， ． （2）解：， ， 又， ， ． 10．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）根据旋转的性质可得出，，根据余角的性质可得出，然后根据证明即可； （2）设，则，根据全等三角形的性质可得出，，进而求出，，最后根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵旋转， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又，， ∴； （2）解：∵， ∴设，则， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∴． 11．(1) (2)仍然成立，理由见解析 (3)5 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，旋转的性质， （1）根据可得答案； （2）延长至点G，使，连接，再证明，可得，进而证明，根据全等三角形的对应边相等得出答案； （3）将旋转至，可知，可证明，接下来可证，即可得出答案. 【详解】（1）解：. 故答案为：； （2）解：结论：.理由如下： 延长至点G，使，连接， ∵ ∴. ∵， ∴， ∴. ∵， ∴, ∴. ∵， ∴， ∴. ∵， ∴； （3）解：将旋转至， 可知， ∴，， ∴， ∴， ∴. 12．(1)见解析 (2)相等，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）根据等边三角形的性质，由即可证明； （2）结论：，证明，可得结论． （3）证明，推出，可得结论． 【详解】（1）证明：如图1中，    ∵是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：相等． 理由：如图2中，    ∵都是等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3）解：如图3中，结论：． 理由：延长到R，使得，连接．    ∵等边， ∴，， ∴， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 13．(1)①见解析；②证明见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形中位线的性质，三角形中线，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质． （1）①连接并延长交于F，即可得出答案； ②证明， （2）连接，交于点F，连接，交于点H，连接，并延长交于点G，连接即可． 【详解】（1）解：①如图1，连接并延长交于F，则点F即为所求； ②∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴； （2）解：如图2，连接，交于点F，连接，交于点H，连接，并延长交于点G，连接，则线段就是所求的线段． ∵为的中点， ∴， 根据解析（1）可得：， ∴， ∵中，， ∴， ∴F为的中点， ∵O为的中点， ∴、为的中线， ∵三角形三条中线交于一点， ∴为的中线， ∴为的中位线， ∴． 14．(1) (2)①见解析②或 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）证明，即可得到； （2）①作，交的延长线于点，先证明，得到，再证明，即可得到结论； ②当在线段上时，由①得，，得到，求出，得到；当点在延长线上时，作于点,求出，得到． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， 等腰直角， 在和中， ， ； （2）①证明：如图，作，交的延长线于点， ， ，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ； ②解：当在线段上时， 由①得，， ，，， ， ， ， ， ， ， ． 当点在延长线上时， 如图，作于点,同①得,, ,,, , , ,即, , , , , ; 综上所述的长为或． 15．探究发现：依然成立，见解析；尝试应用：；拓展提升：200 【分析】此题考查了勾股定理、三角形全等的判定与性质、平行四边形的判定和性质、矩形的性质等知识，熟练掌握勾股定理和数形结合是解题的关键． 探究发现：作于点E，作交的延长线于点F，则，证明，，利用勾股定理进行计算即可得到答案； 尝试应用：延长到点C，使，证明四边形是平行四边形，由【探究发现】可知，，则，代入数据计算即可得到结果； 拓展提升：由四边形是矩形，，得到，，设，，由勾股定理得到，根据非负数的性质即可得到答案． 【详解】解：探究发现：结论依然成立，理由如下： 作于点E，作交的延长线于点F，则， ∵四边形为平行四边形，若， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ； 尝试应用：延长到点C，使， ∵为的一条中线， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵． ∴由探究发现可知，， ∴， ∴， ∴（负值舍去）； 拓展提升：∵四边形是矩形，， ∴，， 设，则， ∴ ， ∵， ∴当时，的最小值是． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$