专题03 一元二次方程的应用（9题型突破·举一反三）（题型专练）数学新教材沪教版五四制八年级上册

专题03 一元二次方程的应用（9题型突破·举一反三） 题型01 二次三项式在实数范围内因式分解 题型02 平均变化率问题 题型03 传播问题 题型04 面积问题 题型05 销售利润问题 题型06 握手、比赛与互赠问题 题型07 数字问题 题型08 解可化为一元二次方程分式方程 题型09列分式方程解应用题（行程/工程） ▌题型01 二次三项式在实数范围内因式分解 依据：若一元二次方程 的两根为 、，则 条件：；当 时，在实数范围内不能分解。 【典例1】（25-26八年级上·上海·阶段检测）在实数范围内因式分解：，下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25八年级上·上海·阶段检测）若关于x的二次三项式在实数范围内不能分解因式，则关于的一元二次方程的根的情况为（    ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法判断 【变式1-2】（25-26八年级上·上海普陀·期末）如果二次三项式在实数范围内不能分解因式，那么的取值范围是（   ） A．且； B．且； C．； D．． 【变式1-3】（25-26八年级上·上海黄浦·期末）在实数范围内因式分解：______． 【变式1-4】在实数范围内分解因式：． ▌题型02 平均变化率问题 核心公式：a(1±x)ⁿ=b（a 为初始量，x 为平均增长率，下降率取"−"，n 为期数，b 为变化后的总量）。 突破口：①找准基数 a 与期数 n（两轮、两年就是平方）；②区分"增长到 b"（b 直接代入）与"增长了 b−a"（先算差值）；③下降率结果是0到1的小数，要化为百分数。 【典例2】（25-26八年级上·上海杨浦·期末）一件商品原价300元，连续两次降价后，现售价是243元，设平均每次降价的百分率为，根据题意，可列方程为______． 【变式2-1】（25-26八年级上·上海·阶段检测）某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果每个月比上一个月的增长率都相同，均为x，则由题意列方程应为（） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26八年级上·上海静安·期末）某厂前年的产值为400万元，去年的产值比前年的增长率为x，如果这个增长率保持不变，预计今年的产值将达到600万元．根据题意可列出方程为__________． 【变式2-3】（25-26八年级上·上海·阶段检测）俗语有云：在技能学习中，有“一日不练手生，两日不练眼生，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看”的说法，意味着知识或技艺若不及时巩固会逐渐遗忘．假设某人学习了一项技能，初始掌握程度为100分．且每天“遗忘”的百分比相同．若经过2天后，技能掌握程度剩余49分，每天“遗忘”的百分比为______ 【变式2-4】（25-26八年级上·上海虹口·期末）根据以下素材，完成探索任务． 情景 制定芯片生产线扩张方案． 素材一 2025年储存芯片成为了全球稀缺商品．某芯片公司引进了一条储存芯片生产线．开工第一季度生产200万个，第三季度生产288万个． 素材二 经调查发现，一条生产线最大满负荷产能是300万个/季度，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少20万个/季度． 问题解决 任务一 根据素材一，若该生产线每季度生产量的增长率相等，求第一季度到第三季度生产量的每季度增长率． 任务二 根据素材二，为迎接2026年的储存芯片需求，需要增加生产线，现该公司要保证每季度生产储存芯片最大总产能达到1200万个，在增加产能同时要节省投入成本的条件下（生产线越多，投入成本越大），请你为该公司决定应该增加多少条生产线． ▌题型03 传播问题 核心公式：(1+x)ⁿ=总人数（初始1人，每人每轮传染 x 人，n 轮后）。 突破口：两轮后总人数是 (1+x)²，不是 1+x+x²；若问"每轮新增多少人"，要减去上轮已有的人数。 【典例3】（25-26八年级上·上海·期中）流感是一种传染性极强的疾病，如果有1人患病，经过两轮传染后有121人患病，设每轮传染中平均一个人传染了个人，那么所列方程为________________． 【变式3-1】春天的校园，一株神奇的植物正悄然生长．这株植物的主干先长出若干支干，每根支干又分出与主干分出的支干数目相同的小分支，若主干、支干和小分支总数是21，若设主干长出x支支干，则根据题意可以列方程为（     ） A． B． C． D． 【变式3-2】有2个人患了流感，经过两轮传染后共有72人患了流感，若设平均每轮传染x人，则可列方程为______． 【变式3-3】某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出______个小分支． 【变式3-4】某地有两人患了流感，经过两轮传染后共有98人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人? ▌题型04 面积问题 核心关系：面积=长×宽，关键是先用含 x 的式子表示出变化后的长和宽，再列方程。 突破口：先画示意图再列式——四周等宽小路（边框）用 (a−2x)(b−2x)；中间十字路可用 (a−x)(b−x)；靠墙围矩形时，篱笆总长=2x+墙的对边，检验时必须满足墙长限制。 【典例4】（25-26八年级上·上海杨浦·期末）如图，某养鸡户用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙的矩形鸡舍，其面积为在鸡舍的边中间位置留一个宽的门（由其他材料制成），设的长为米，则可列出方程（　　） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26八年级上·上海·期末）学校要建设一个面积为375平方米的长方形游泳池，它的长比宽多10米，那么该长方形游泳池的周长等于________米． 【变式4-2】（25-26八年级上·上海·期中）赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例，构造方法如下： 第一步：将原方程变形为； 第二步：画四个长为，宽为x的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”正方形，则图1中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即； 第三步：得新方程；因为x表示边长，所以，即．一般地，对于形如的一元二次方程可以构造图2来解．已知图2是由四个面积为4的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为2，那么此方程的正根为 _____ ． 【变式4-3】（25-26八年级上·上海宝山·阶段检测）如图，要建一个面积为的长方形养鸡场，为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一边墙，墙长为，另三边用篱笆围成．若篱笆长度为，且要求用完．问： (1)求鸡场的长和宽各为多少米？ (2)若将题中条件“墙长为米”换为“墙长为a米”，且增加条件“离墙开外鸡场一侧准备修条小路”，其他条件不变，则墙长a米至少要多少米？ 【变式4-4】（25-26八年级上·上海·期末）如图是一排形状相同、大小相等的个长方形猪圈，总面积为平方米，一面靠墙（墙长米），其它各边用总长为米的木栅栏围成． (1)若，则和各为多少米？ (2)若，则和各为多少米？ ▌题型05 销售利润问题 核心三公式：单件利润=售价−进价；总利润=单件利润×销量；销量随价格反向联动（每涨 x 元少卖 kx 件）。 突破口：设"涨价 x 元"时，新售价=原售价+x，单件利润=原利润+x，销量=原销量−kx——三个量都要变，漏一个就错。 【典例5】（25-26八年级上·上海奉贤·期末）公安交警部门提醒市民，骑电动自行车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某商店销售的A款头盔的进价为40元/个，经测算，当售价为50元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【变式5-1】（25-26八年级上·上海黄浦·期末）市百一店童装柜在销售中发现：某童装平均每天可售出30件，每件盈利40元．为了迎接新年，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出3件．为保持节后销售价格的稳定性，降价不能超过15元．要想平均每天销售这种童装盈利1800元，那么每件童装应降价多少元？ 【变式5-2】（25-26八年级上·上海松江·期末）新能源汽车采用电能作为动力来源，能减少二氧化碳气体的排放，达到保护环境的目的，其市场需求逐年上升．一汽车销售公司抢占先机，购进一款进价为12万元辆的某品牌新能源汽车，销售一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元辆时，平均每周售出8辆；如果售价每降低1万元，平均每周多售出2辆．若该店计划下调售价，使平均每周的销售利润为144万元．为了推广新能源汽车，并且尽量让利于顾客，求该公司每辆车的下调价格． 【变式5-3】（25-26八年级上·上海崇明·期末）为弘扬崇明土布传统文化，展现匠人技艺魅力，瀛洲土布馆推出崇明土布刺绣“小马”挂件．该挂件每件成本25元，当售价定为35元时，每日可售出48件．市场调研显示，售价每降低1元，每日销量就会增加6件． (1)当该挂件降价元，每日售出的数量是_____件(用的代数式表示)； (2)当该挂件降价多少元时，土布馆每日销售这款挂件的利润恰好为432元． 【变式5-4】广西桂林山水甲天下，桂林已成为国内外最受游客喜欢的旅游城市之一．在年国庆长假期间，接待游客达万人次左右，预计在年国庆长假期间，接待游客达万人次左右． (1)求桂林年至年国庆长假期间接待游客人次的年平均增长率； (2)桂林漓江景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为5元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价元，则平均每天可销售杯，若每杯售价降低1元，则平均每天可多销售杯．年国庆期间，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶上实现平均每天元的利润额？ ▌题型06 握手、比赛与互赠问题 核心公式：两两握手、单循环比赛（不重复计次）用 n(n−1)÷2；互赠礼物、互相寄贺卡（两人间算两次）用 n(n−1)。 突破口：判断"甲—乙"与"乙—甲"算不算两次：不算则除以2，算则直接用 n(n−1)。 【典例6-1】某小组同学毕业前，每位同学都向小组内其他所有同学各送一件礼物，礼物数共计72件，那么该小组有_____人． 【典例6-2】（25-26八年级上·上海·期末）学校运动会期间，选拔了若干支球队进行篮球比赛，共比赛了场，每两队之间都比赛一场，设一共有支球队，那么可列出方程__________． 【变式6-1】某学校进行初二年级篮球比赛，赛制为单循环（两支队伍只赛一场），总共进行了45场比赛，那么这个学校初二年级有__________个班级． 【变式6-2】（25-26八年级上·上海闵行·期末）春节前夕一群学生举行一次聚会，聚会时每两个人之间都互赠一张贺卡，这样共送出了张贺卡．设这群学生共有人，根据题意可列一元二次方程是______． 【变式6-3】（25-26八年级上·上海·阶段检测）会议上每两个参加会议的人都互握一次手，一共握手66次，设有人参加会议，则可列方程______． 【变式6-4】（25-26八年级上·上海闵行·阶段检测）一次同学聚会，每个同学都给其他同学送一张贺卡，共互赠张贺卡，则参加聚会的同学共有_____人． ▌题型07 数字问题 核心公式：两位数=10a+b（a 为十位数字，b 为个位数字）；连续整数设 x、x+1；连续奇数（偶数）设 x、x+2。 突破口：注意题目是否限定"正数、正整数"，未限定时负根也要讨论。 【典例7】读诗词，列方程：大江东去浪淘尽，千古风流人物：而立之年督东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符．（诗词大意：周瑜英年早逝，逝世时的年龄是一个两位数，十位数字比个位数字小3，个位数字的平方刚好是周瑜逝世时的年龄），设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则列得方程为_________ 【变式7-1】如果两个连续正偶数的积为120，则这两个数是______________． 【变式7-2】有一个两位数，如果个位上的数比十位上的数大1，并其十位上的数的平方比个位上的数也大1，那么这个两位数是__________． 【变式7-3】读诗词解题：大江东去浪淘尽，千古风流人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿符；哪位同学算得快，多少年华属周瑜？则周瑜去世时的年龄是_______岁． ▌题型08 解可化为一元二次方程的分式方程 四步法照做，关键是每个根都要验。丢分点集中在：漏乘不含分母的项、分子去分母后忘加括号造成符号错误、找到增根没舍。 【典例8】（25-26八年级上·上海虹口·期末）解方程：． 【变式8-1】（25-26八年级上·上海奉贤·期末）方程的根是___________． 【变式8-2】（25-26八年级上·上海浦东新·期末）解方程：． 【变式8-3】（25-26八年级上·上海·期末）解分式方程：． 【变式8-4】（25-26八年级上·上海·期末）解方程：． ▌题型09 列分式方程解应用题（行程/工程） 设元 → 找等量关系列方程 → 求解 → 双重检验（先验增根，再验实际意义：时间、人数、速度必须为正）→ 作答。 【典例9】今年新型“和谐号”高速列车正式投入沪宁线运行，已知上海到南京全程约为300公里，如果新型“和谐号”高速列车行驶的平均速度比原来“和谐号”动车行驶的平均速度每分钟快2公里，那么从上海到南京比原来“和谐号”动车少用40分钟，问新型“和谐号”高速列车从上海到达南京大约需要多少分钟？ 【变式9-1】小杰和小丽分别从相距的、两地同时同向出发，小杰经过地后再走2小时追上小丽，小杰走的总路程相当于小丽走8小时的路程，求小杰和小丽的速度分别是多少？ 【变式9-2】上海乐高乐园度假区位于金山区枫泾镇，是全球最大的乐高乐园之一，它将于2025年夏季开园迎客，乐园提供甲、乙两种规格的乐高积木套装．甲套装的积木块数比乙套装少30块，但甲套装每块积木的平均价格比乙套装高2元．已知花费360元购买甲套装所获得的积木块数，与花费300元购买乙套装所获得的积木块数相等．求甲、乙两种套装每块积木的平均价格分别是多少？ 【变式9-3】某市某小区共有市民5400人，“蓝天”医疗队进驻该小区进行一次全员专项健康检测，若医疗队比计划每分钟多检测5人，那么可以缩短小时完成任务．在这个基础上，上级部门准备安排“蓝天”医疗队去增援另一小区检测，现在要求“蓝天”医疗队再提早小时完成任务，那么“蓝天”医疗队现在每分钟还要多检测几人才能去增援另一小区？ 【变式9-4】（25-26八年级上·上海闵行·期末）理财能力是现代社会对人的基本要求之一，掌握基本的理财知识，有助于培养合理的消费观念和对个人未来、家庭的责任心，为一生的行稳致远打好基础． 生活中我们发现，同一笔存款在1年、2年乃至未来年后的金额不同，且会逐年增加．这意味着，对于同一理财计划，不宜将不同时刻的金额直接作比较．在金融业务中需要将不同时刻的金额折算到同一时间点后再作比较，这个时间点，一般选为当前时刻．这种将未来某个时间点上的金额折算成当前时刻的价值的做法，称为折现，其中这个折算的百分比称为折现率．例如：当折现率为时，年后的元折算成当前时刻的价值为元，年后折算成当前时刻的价值为元；同时，合理的折现率应该是能使返回的金额折现后的总金额等于其本金，此时的折现率也称为理财方案的收益率． (1)当折现率为时，年后的元折现成当前时刻的价值可表示为______元（用含，的代数式表示）； (2)表格所列的是一个分年返回的理财方案： 方案 本金（元） 年后返回的金额（元） 年后返回的金额（元） 收益率 请求出此方案的收益率． / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 一元二次方程的应用（9题型突破·举一反三） 题型01 二次三项式在实数范围内因式分解 题型02 平均变化率问题 题型03 传播问题 题型04 面积问题 题型05 销售利润问题 题型06 握手、比赛与互赠问题 题型07 数字问题 题型08 解可化为一元二次方程分式方程 题型09列分式方程解应用题（行程/工程） ▌题型01 二次三项式在实数范围内因式分解 依据：若一元二次方程 的两根为 、，则 条件：；当 时，在实数范围内不能分解。 【典例1】（25-26八年级上·上海·阶段检测）在实数范围内因式分解：，下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵对于，判别式， ∴根为， ∴因式分解为， 故选：B. 【变式1-1】（24-25八年级上·上海·阶段检测）若关于x的二次三项式在实数范围内不能分解因式，则关于的一元二次方程的根的情况为（    ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法判断 【答案】C 【详解】解：∵关于x的二次三项式在实数范围内不能分解因式， ∴方程无解， ∴， 解得， 在关于的一元二次方程中， ， ∵， ∴， ∴， ∴该方程有两个不相等的实数根． 【变式1-2】（25-26八年级上·上海普陀·期末）如果二次三项式在实数范围内不能分解因式，那么的取值范围是（   ） A．且； B．且； C．； D．． 【答案】C 【详解】解：∵ 二次三项式在实数范围内不能分解因式， ∴ 方程无实数根， ∴ 判别式， ∴ ， 故选：C． 【变式1-3】（25-26八年级上·上海黄浦·期末）在实数范围内因式分解：______． 【答案】 【详解】解：方程， 其中，，， 判别式：， ∴， 即：，， 因此， 故答案为：． 【变式1-4】在实数范围内分解因式：． 【答案】 【知识点】实数范围内分解因式 【分析】首先将原式等于，解关于的方程，进而分解因式得出即可． 【详解】解令， ， ， 解得，， ． ▌题型02 平均变化率问题 核心公式：a(1±x)ⁿ=b（a 为初始量，x 为平均增长率，下降率取"−"，n 为期数，b 为变化后的总量）。 突破口：①找准基数 a 与期数 n（两轮、两年就是平方）；②区分"增长到 b"（b 直接代入）与"增长了 b−a"（先算差值）；③下降率结果是0到1的小数，要化为百分数。 【典例2】（25-26八年级上·上海杨浦·期末）一件商品原价300元，连续两次降价后，现售价是243元，设平均每次降价的百分率为，根据题意，可列方程为______． 【答案】 【详解】解：设平均每次降价的百分率为x， 则第一次降价后价格为元，第二次降价后价格为元， 根据题意，得， 故答案为：． 【变式2-1】（25-26八年级上·上海·阶段检测）某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果每个月比上一个月的增长率都相同，均为x，则由题意列方程应为（） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：一月份营业额为万元，每月增长率为， 二月份营业额为万元， 三月份营业额为万元， 第一季度总营业额为， 方程为． 故选：D． 【变式2-2】（25-26八年级上·上海静安·期末）某厂前年的产值为400万元，去年的产值比前年的增长率为x，如果这个增长率保持不变，预计今年的产值将达到600万元．根据题意可列出方程为__________． 【答案】 【详解】解：根据题意，得． 故答案为：． 【变式2-3】（25-26八年级上·上海·阶段检测）俗语有云：在技能学习中，有“一日不练手生，两日不练眼生，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看”的说法，意味着知识或技艺若不及时巩固会逐渐遗忘．假设某人学习了一项技能，初始掌握程度为100分．且每天“遗忘”的百分比相同．若经过2天后，技能掌握程度剩余49分，每天“遗忘”的百分比为______ 【答案】 【详解】解：设每天“遗忘”的百分比为x， 由题意，得 ， 解得或（舍去）， ∴每天“遗忘”的百分比为， 故答案为：． 【变式2-4】（25-26八年级上·上海虹口·期末）根据以下素材，完成探索任务． 情景 制定芯片生产线扩张方案． 素材一 2025年储存芯片成为了全球稀缺商品．某芯片公司引进了一条储存芯片生产线．开工第一季度生产200万个，第三季度生产288万个． 素材二 经调查发现，一条生产线最大满负荷产能是300万个/季度，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少20万个/季度． 问题解决 任务一 根据素材一，若该生产线每季度生产量的增长率相等，求第一季度到第三季度生产量的每季度增长率． 任务二 根据素材二，为迎接2026年的储存芯片需求，需要增加生产线，现该公司要保证每季度生产储存芯片最大总产能达到1200万个，在增加产能同时要节省投入成本的条件下（生产线越多，投入成本越大），请你为该公司决定应该增加多少条生产线． 【详解】解：任务一： 设第一季度到第三季度生产量的每季度增长率为， 根据题意得：， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：第一季度到第三季度生产量的每季度增长率为； 任务二： 设增加条生产线，则每条生产线产能为万个/季度， 根据题意得：， 整理得，即， 解得或， 在增加产能同时要节省投入成本， ． 答：应增加条生产线． ▌题型03 传播问题 核心公式：(1+x)ⁿ=总人数（初始1人，每人每轮传染 x 人，n 轮后）。 突破口：两轮后总人数是 (1+x)²，不是 1+x+x²；若问"每轮新增多少人"，要减去上轮已有的人数。 【典例3】（25-26八年级上·上海·期中）流感是一种传染性极强的疾病，如果有1人患病，经过两轮传染后有121人患病，设每轮传染中平均一个人传染了个人，那么所列方程为________________． 【答案】 【详解】解：有1人患传染病，且每轮传染中平均一个人传染了个人， 第1轮传染中有x个人被传染，第一轮传染中有个人被传染， 第2轮：这人每人再传染x人，新增个患者， ∴两轮后总患病数为． ∵两轮后有121人患病， ∴列方程得：， 整理得：， 故答案为：． 【变式3-1】春天的校园，一株神奇的植物正悄然生长．这株植物的主干先长出若干支干，每根支干又分出与主干分出的支干数目相同的小分支，若主干、支干和小分支总数是21，若设主干长出x支支干，则根据题意可以列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵主干只有1根，设主干长出支支干， ∴支干的总数量为， ∵每根支干又分出支小分支， ∴小分支的总数量为， ∵主干、支干和小分支总数是21， ∴可列方程为． 【变式3-2】有2个人患了流感，经过两轮传染后共有72人患了流感，若设平均每轮传染x人，则可列方程为______． 【答案】 【详解】解：∵有2个人患了流感，平均每轮传染x人， ∴第一轮传染中有个人被传染，第二轮中有个人被传染， ∴ 整理得，， 故答案为：． 【变式3-3】某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出______个小分支． 【答案】9 【详解】解：设每个支干长出x个小分支， 根据题意得， 解得，（舍去） ∴每个支干长出9个小分支． 【变式3-4】某地有两人患了流感，经过两轮传染后共有98人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人? 【答案】每轮传染中平均一个人传染了6个人 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人， 根据题意，得， ， 或 解方程，得（舍去）． 答：每轮传染中平均一个人传染了6个人． ▌题型04 面积问题 核心关系：面积=长×宽，关键是先用含 x 的式子表示出变化后的长和宽，再列方程。 突破口：先画示意图再列式——四周等宽小路（边框）用 (a−2x)(b−2x)；中间十字路可用 (a−x)(b−x)；靠墙围矩形时，篱笆总长=2x+墙的对边，检验时必须满足墙长限制。 【典例4】（25-26八年级上·上海杨浦·期末）如图，某养鸡户用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙的矩形鸡舍，其面积为在鸡舍的边中间位置留一个宽的门（由其他材料制成），设的长为米，则可列出方程（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设的长为米，则的长为， 由题意得：， 故选：． 【变式4-1】（25-26八年级上·上海·期末）学校要建设一个面积为375平方米的长方形游泳池，它的长比宽多10米，那么该长方形游泳池的周长等于________米． 【答案】80 【详解】解：设游泳池的宽为x米，则长为米， 根据题意，得， 整理得． 得或（舍去）． ∴宽为15米，长为25米． ∴周长为（米）． 故答案为：80 【变式4-2】（25-26八年级上·上海·期中）赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例，构造方法如下： 第一步：将原方程变形为； 第二步：画四个长为，宽为x的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”正方形，则图1中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即； 第三步：得新方程；因为x表示边长，所以，即．一般地，对于形如的一元二次方程可以构造图2来解．已知图2是由四个面积为4的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为2，那么此方程的正根为 _____ ． 【详解】解：∵， ∴， ∵图2是由四个面积为4的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为2， ∴， ∴， ∵中间围成的正方形面积为2， ∴边长为， ∴， ∵，x表示边长， ∴． ∴． 故答案为：． 【变式4-3】（25-26八年级上·上海宝山·阶段检测）如图，要建一个面积为的长方形养鸡场，为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一边墙，墙长为，另三边用篱笆围成．若篱笆长度为，且要求用完．问： (1)求鸡场的长和宽各为多少米？ (2)若将题中条件“墙长为米”换为“墙长为a米”，且增加条件“离墙开外鸡场一侧准备修条小路”，其他条件不变，则墙长a米至少要多少米？ 【详解】（1）解：设养鸡场垂直于墙的边长为米，则平行于墙的边长为米， 由题意得：， 即， 解得：或， 当时，，符合实际意义； 当时，，不符合实际意义，舍去． 答：养鸡场的长是米，宽是米； （2）解：如果离墙9米开外准备修路，那么垂直于墙的边长就要小于9米， 由（1）知即垂直墙的长度为米，平行于墙的长度为米， ∴米， 此时养鸡场的长至少为米． 【变式4-4】（25-26八年级上·上海·期末）如图是一排形状相同、大小相等的个长方形猪圈，总面积为平方米，一面靠墙（墙长米），其它各边用总长为米的木栅栏围成． (1)若，则和各为多少米？ (2)若，则和各为多少米？ 【详解】（1）解：设的长度为米，则猪圈的另一边的长表示为米， 依题意，得：， 解得：或， ∵长方形猪圈一面靠墙（墙长米）， ∴， 当时，得：， ∴， 当时，（米）； 当时，（米）； ∴和各为米和米或米和米； （2）解：设的长度为米，则猪圈的另一边的长表示为米， 依题意，得：， 解得：或， ∵长方形猪圈一面靠墙（墙长米）， ∴， 当时，得：， ∴， ∴， 此时，（米）， ∴和各为米和米． ▌题型05 销售利润问题 核心三公式：单件利润=售价−进价；总利润=单件利润×销量；销量随价格反向联动（每涨 x 元少卖 kx 件）。 突破口：设"涨价 x 元"时，新售价=原售价+x，单件利润=原利润+x，销量=原销量−kx——三个量都要变，漏一个就错。 【典例5】（25-26八年级上·上海奉贤·期末）公安交警部门提醒市民，骑电动自行车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某商店销售的A款头盔的进价为40元/个，经测算，当售价为50元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【答案】元/个 【详解】解：设该头盔的售价上涨元/个，则实际售价为元/个， 单个利润为元/个，月销售量为个． 根据题意，列方程：， 化简得： 因式分解：， 解得：，． ∵要尽可能让顾客得到实惠， ∴选择较小的涨价金额，即． 实际售价为(元/个)． 答：该品牌头盔的实际售价应定为元/个． 【变式5-1】（25-26八年级上·上海黄浦·期末）市百一店童装柜在销售中发现：某童装平均每天可售出30件，每件盈利40元．为了迎接新年，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出3件．为保持节后销售价格的稳定性，降价不能超过15元．要想平均每天销售这种童装盈利1800元，那么每件童装应降价多少元？ 【答案】10元 【详解】解：设每件童装应降价x元，则每件盈利元，每天可售出件， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 又∵降价不能超过15元， ∴， 答：每件童装应降价10元． 【变式5-2】（25-26八年级上·上海松江·期末）新能源汽车采用电能作为动力来源，能减少二氧化碳气体的排放，达到保护环境的目的，其市场需求逐年上升．一汽车销售公司抢占先机，购进一款进价为12万元辆的某品牌新能源汽车，销售一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元辆时，平均每周售出8辆；如果售价每降低1万元，平均每周多售出2辆．若该店计划下调售价，使平均每周的销售利润为144万元．为了推广新能源汽车，并且尽量让利于顾客，求该公司每辆车的下调价格． 【答案】该店每辆车的下调价格为5万元 【详解】解：设该店每辆车的下调价格x万元， 根据题意可得， 整理得， 解得，， 因为销售为了尽量让利于顾客，即下调价格应尽可能大， 所以（舍去）， ， 答：该店每辆车的下调价格为5万元． 【变式5-3】（25-26八年级上·上海崇明·期末）为弘扬崇明土布传统文化，展现匠人技艺魅力，瀛洲土布馆推出崇明土布刺绣“小马”挂件．该挂件每件成本25元，当售价定为35元时，每日可售出48件．市场调研显示，售价每降低1元，每日销量就会增加6件． (1)当该挂件降价元，每日售出的数量是_____件(用的代数式表示)； (2)当该挂件降价多少元时，土布馆每日销售这款挂件的利润恰好为432元． 【答案】(1) (2)当该挂件降价4元时，土布馆每日销售这款挂件的利润恰好为432元 【详解】（1）解：∵售价每降低1元，每日销量就会增加6件， ∴当该挂件降价元，每日售出的数量是件， 故答案为：； （2）解： 整理得 解得或（不符合题意，舍去） 答：当该挂件降价4元时，土布馆每日销售这款挂件的利润恰好为432元． 【变式5-4】广西桂林山水甲天下，桂林已成为国内外最受游客喜欢的旅游城市之一．在年国庆长假期间，接待游客达万人次左右，预计在年国庆长假期间，接待游客达万人次左右． (1)求桂林年至年国庆长假期间接待游客人次的年平均增长率； (2)桂林漓江景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为5元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价元，则平均每天可销售杯，若每杯售价降低1元，则平均每天可多销售杯．年国庆期间，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶上实现平均每天元的利润额？ 【答案】(1)年平均增长率为 (2)当每杯售价定为元时，店家在此款奶茶上实现平均每天元的利润额 【详解】（1）解：设年平均增长率为r， 则， 解得：(舍去)，， 答：桂林2023年至2025年国庆长假期间接待游客人次的年平均增长率为； （2）解：设降价x元， 售价：元， 销量：杯， 单杯利润：售价成本元， 总利润：利润元， 则， 解得：，， 售价元： 当时，售价元； 当时，售价元， 当每杯售价定为元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶上实现平均每天元的利润额． ▌题型06 握手、比赛与互赠问题 核心公式：两两握手、单循环比赛（不重复计次）用 n(n−1)÷2；互赠礼物、互相寄贺卡（两人间算两次）用 n(n−1)。 突破口：判断"甲—乙"与"乙—甲"算不算两次：不算则除以2，算则直接用 n(n−1)。 【典例6-1】某小组同学毕业前，每位同学都向小组内其他所有同学各送一件礼物，礼物数共计72件，那么该小组有_____人． 【答案】 【详解】解：设该小组有人，根据题意，得： ， 整理得， 因式分解得， 解得，， 因为人数为正整数，所以舍去， 即该小组有9人． 【典例6-2】（25-26八年级上·上海·期末）学校运动会期间，选拔了若干支球队进行篮球比赛，共比赛了场，每两队之间都比赛一场，设一共有支球队，那么可列出方程__________． 【答案】 【详解】解：设有x支球队，每两队之间比赛一场，则总比赛场数为， 根据题意，总场数为场，所以方程为． 故答案为：． 【变式6-1】某学校进行初二年级篮球比赛，赛制为单循环（两支队伍只赛一场），总共进行了45场比赛，那么这个学校初二年级有__________个班级． 【答案】 【详解】解：设这个学校初二年级有个班级，则比赛总场次为， ，整理得， 因式分解得 ， 解得． 班级个数为正整数，不符合题意，舍去． 因此，即这个学校初二年级有个班级． 【变式6-2】（25-26八年级上·上海闵行·期末）春节前夕一群学生举行一次聚会，聚会时每两个人之间都互赠一张贺卡，这样共送出了张贺卡．设这群学生共有人，根据题意可列一元二次方程是______． 【答案】 【详解】解：设这群学生共有人， ∵每个人需要向除自己外的人各赠送1张贺卡， ∴总共送出的贺卡数为张． 已知共送出张贺卡， ∴可列方程为． 故答案为：． 【变式6-3】（25-26八年级上·上海·阶段检测）会议上每两个参加会议的人都互握一次手，一共握手66次，设有人参加会议，则可列方程______． 【答案】 【详解】设参加会议有人，每个人都与其他人握手，共握手次数为，因为每对握手被重复计算了一次，所以实际握手次数为，根据题意，总握手次数为66次， 列方程． 故答案为：． 【变式6-4】（25-26八年级上·上海闵行·阶段检测）一次同学聚会，每个同学都给其他同学送一张贺卡，共互赠张贺卡，则参加聚会的同学共有_____人． 【答案】 【详解】解：设参加聚会的同学有人． 依题意得：， ， ， 解得：，（舍）. 答：参加聚会的同学有人． 故答案为：． ▌题型07 数字问题 核心公式：两位数=10a+b（a 为十位数字，b 为个位数字）；连续整数设 x、x+1；连续奇数（偶数）设 x、x+2。 突破口：注意题目是否限定"正数、正整数"，未限定时负根也要讨论。 【典例7】读诗词，列方程：大江东去浪淘尽，千古风流人物：而立之年督东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符．（诗词大意：周瑜英年早逝，逝世时的年龄是一个两位数，十位数字比个位数字小3，个位数字的平方刚好是周瑜逝世时的年龄），设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则列得方程为_________ 【答案】 【详解】解：个位数字为，则十位数字为， ∴， 故答案为： ． 【变式7-1】如果两个连续正偶数的积为120，则这两个数是______________． 【答案】10和12 【详解】解：设这两个连续正偶数分别为，，且， 根据题意，可得， 整理可得， 解得，（不合题意，舍去）， 所以， 所以，这两个数是10和12． 故答案为：10和12． 【变式7-2】有一个两位数，如果个位上的数比十位上的数大1，并其十位上的数的平方比个位上的数也大1，那么这个两位数是__________． 【答案】23 【详解】解：设原两位数的十位数字为x， 根据题意得： ∴， 解得：，（不符合题意舍去） 答：这个两位数为23， 故答案为23． 【变式7-3】读诗词解题：大江东去浪淘尽，千古风流人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿符；哪位同学算得快，多少年华属周瑜？则周瑜去世时的年龄是_______岁． 【答案】36 【详解】解：设个位数字，则十位数字为，由题意，得： ， 整理，得：， 解得：， 当时，两位数为：；当时，两位数为， ∵而立之年， ∴25不合题意，舍去； ∴周瑜去世时的年龄是岁； 故答案为：． ▌题型08 解可化为一元二次方程的分式方程 四步法照做，关键是每个根都要验。丢分点集中在：漏乘不含分母的项、分子去分母后忘加括号造成符号错误、找到增根没舍。 【典例8】（25-26八年级上·上海虹口·期末）解方程：． 【答案】 【详解】解：， 方程两边同乘，得， 整理，得， 解得，， 检验：当时，，所以不是原分式方程的解； 当时，，所以是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为． 【变式8-1】（25-26八年级上·上海奉贤·期末）方程的根是___________． 【答案】和 【详解】解：方程两边同乘，得， 展开得， 移项合并同类项得， 因式分解得，解得或； 检验：当时，，当时，， 故原方程的根为和． 故答案为：和． 【变式8-2】（25-26八年级上·上海浦东新·期末）解方程：． 【答案】 【详解】解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 解得：，， 经检验使分母为0，所以是增根， 是原分式方程的根． 【变式8-3】（25-26八年级上·上海·期末）解分式方程：． 【答案】 【详解】解： 或， 解得或， 检验，当时，，则是原分式方程的解， 当时，，则是原分式方程的增根， 所以，原分式方程的解为． 【变式8-4】（25-26八年级上·上海·期末）解方程：． 【答案】 【详解】解： 去分母得：， 整理得：， 解得：，， 检验：把代入得：， 把代入得：， ∴是原方程的增根， ∴原方程的解为． ▌题型09 列分式方程解应用题（行程/工程） 设元 → 找等量关系列方程 → 求解 → 双重检验（先验增根，再验实际意义：时间、人数、速度必须为正）→ 作答。 【典例9】今年新型“和谐号”高速列车正式投入沪宁线运行，已知上海到南京全程约为300公里，如果新型“和谐号”高速列车行驶的平均速度比原来“和谐号”动车行驶的平均速度每分钟快2公里，那么从上海到南京比原来“和谐号”动车少用40分钟，问新型“和谐号”高速列车从上海到达南京大约需要多少分钟？ 【答案】60分钟 【详解】解：设新型“和谐号”高速列车从上海到达南京大约需要x分钟，则原来“和谐号”高速列车从上海到达南京大约需要分钟， 由题意得，， 解得或（舍去）， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：新型“和谐号”高速列车从上海到达南京大约需要60分钟． 【变式9-1】小杰和小丽分别从相距的、两地同时同向出发，小杰经过地后再走2小时追上小丽，小杰走的总路程相当于小丽走8小时的路程，求小杰和小丽的速度分别是多少？ 【答案】小杰和小丽的速度分别是， 【详解】解：设小杰和小丽的速度分别是， 根据题意得， 解得（舍去）， 经检验，是原方程的解 ∴小杰和小丽的速度分别是，． 【变式9-2】上海乐高乐园度假区位于金山区枫泾镇，是全球最大的乐高乐园之一，它将于2025年夏季开园迎客，乐园提供甲、乙两种规格的乐高积木套装．甲套装的积木块数比乙套装少30块，但甲套装每块积木的平均价格比乙套装高2元．已知花费360元购买甲套装所获得的积木块数，与花费300元购买乙套装所获得的积木块数相等．求甲、乙两种套装每块积木的平均价格分别是多少？ 【答案】甲种套装每块积木的平均价格为12元，则乙种套装每块积木的平均价格为10元 【详解】解：设甲种套装每块积木的平均价格为x元，则乙种套装每块积木的平均价格为元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲种套装每块积木的平均价格为12元，则乙种套装每块积木的平均价格为10元． 【变式9-3】某市某小区共有市民5400人，“蓝天”医疗队进驻该小区进行一次全员专项健康检测，若医疗队比计划每分钟多检测5人，那么可以缩短小时完成任务．在这个基础上，上级部门准备安排“蓝天”医疗队去增援另一小区检测，现在要求“蓝天”医疗队再提早小时完成任务，那么“蓝天”医疗队现在每分钟还要多检测几人才能去增援另一小区？ 【答案】10人 【详解】解：设原计划医疗队每分钟检测x人， 由题意得，， 解得或（舍去）， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 设现在每分钟还要多检测y人， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：现在每分钟还要多检测10人才能去增援另一小区． 【变式9-4】（25-26八年级上·上海闵行·期末）理财能力是现代社会对人的基本要求之一，掌握基本的理财知识，有助于培养合理的消费观念和对个人未来、家庭的责任心，为一生的行稳致远打好基础． 生活中我们发现，同一笔存款在1年、2年乃至未来年后的金额不同，且会逐年增加．这意味着，对于同一理财计划，不宜将不同时刻的金额直接作比较．在金融业务中需要将不同时刻的金额折算到同一时间点后再作比较，这个时间点，一般选为当前时刻．这种将未来某个时间点上的金额折算成当前时刻的价值的做法，称为折现，其中这个折算的百分比称为折现率．例如：当折现率为时，年后的元折算成当前时刻的价值为元，年后折算成当前时刻的价值为元；同时，合理的折现率应该是能使返回的金额折现后的总金额等于其本金，此时的折现率也称为理财方案的收益率． (1)当折现率为时，年后的元折现成当前时刻的价值可表示为______元（用含，的代数式表示）； (2)表格所列的是一个分年返回的理财方案： 方案 本金（元） 年后返回的金额（元） 年后返回的金额（元） 收益率 请求出此方案的收益率． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：当折现率为时，年后的元折现成当前时刻的价值可表示为， 故答案为：； （2）解：由题意得， 令，则， 解得，（舍去）， ， 答：此方案的收益率为． / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $