精品解析：上海市格致中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷

格致中学2024-2025学年第二学期高一年级数学期中 2025.4 一、填空题（本大题共有12题，满分42分，第1-6题每题3分，第7-12题每题4分） 1. 已知集合，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据集合交集的定义计算求解. 【详解】因为集合，， 则． 故答案为：. 2. 不等式的解集是______. 【答案】 【解析】 【分析】将分式不等式变形为，进而得，再根据二次不等式解法解不等式即可. 【详解】解：因为，所以，即， 所以有，解得：， 故不等式的解集为： 故答案为： 【点睛】本题考查分式不等式的解法，是基础题. 3. 圆心角为，面积为的扇形的周长是________cm． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，利用扇形的弧长和面积公式得，解出，即可求解. 【详解】设扇形的半径为，弧长为， 由题有，解得，所以扇形的周长为， 故答案为：. 4. 在中，为上一点，，，，若用向量、表示，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，利用向量的线性运算，即可求解. 【详解】因为，则， 所以， 故答案为：. 5. 已知，且x为第三象限的角，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据已知条件求得，再结合正切二倍角公式即可求解. 【详解】因为，且x为第三象限的角， 所以， 所以， 所以. 故答案为： 6. 若向量、满足，且，，则向量与的夹角为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用条件得到，再利用向量的夹角公式，即可求解. 【详解】因为，则，又，则， 又，则，又，则， 故答案为：. 7. 若，是函数两个相邻的零点，则实数的值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据条件，可得，即可求解. 【详解】由题知，又，则， 解得， 故答案为：. 8. 已知，且是偶函数，则实数____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用特殊值求参数并检验. 【详解】，且是偶函数， 则，所以， 所以，又因为，所以， 则实数． 当时，为偶函数，符合题意. 故答案为：0. 9. 已知函数的值域为，则实数的取值范围为________． 【答案】; 【解析】 【分析】根据时，，由值域为判断出，再求出时的范围，从而 ，解不等式即可. 【详解】当时，，因为值域为， 所以，即， 此时时，，即， 由值域为得：， 综上：， 故答案为：. 10. 已知不等式的解集为，则的值为______. 【答案】4 【解析】 【分析】作出函数的图象，知，因此根据和分类讨论． 【详解】，作出函数的图象，如图， ，若，则不等式的解集是两段区域，不合题意， 所以，此时恒成立， 又因为不等式的解集为， 所以，， ，由得或4， 若，由，解得或，不合题意， 所以，此时， 所以． 故答案为：4． 【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，考查二次函数性质，分类讨论思想．解题关键是掌握二次函数的性质，利用二次函数的最小值得出，从而，由先求得，再求得． 11. 如图，已知点在点的正北方向，点、点分别在点的正西、正东方向，且，，，若为锐角，则_____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件并作关于的对称点，且在线段上，应用正弦定理求得，再应用余弦定理求得，最后利用等面积法列方程求. 【详解】由且为三角形内角，又且为锐角， 所以，如下图作关于的对称点，且在线段上， 连接，则，即，故， 所以， 在中，，即， 在中，，即， 所以， 综上，， ， ， 两式相减，得，即， 由，则. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：关键是作等腰三角形，利用正余弦定理求相关线段的长度，并结合等面积法求高即可. 12. 设为所在平面上一点，且满足，若的面积为2，则面积为_______________． 【答案】3 【解析】 【分析】由已知条件可得，令，则可得，从而可得为上靠近的三等分点，由，得∥，从而有，进而可求得答案 【详解】解：因为， 所以， 令，则， 所以，所以为上靠近的三等分点， 因为，所以∥, 所以， 所以， 故答案为：3 二、选择题：（本大题共4小题，每题3分，满分12分） 13. 已知为正数，则“”是“”的（ ）. A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，当时，利用指数函数的单调性即可判断，当时，分类讨论，最后利用充分条件、必要条件的定义判断作答. 【详解】当时，所以为增函数，所以， 当时，当时，则，当时，则，此时； 所以“”是“”的充分非必要条件. 故选：A. 14. 向量在上的投影为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，利用数量积的坐标运算及向量的模长公式得，，再利用投影向量的定义，即可求解. 【详解】因为，，则，， 所以向量在上的投影为， 故选：B. 15. 函数的图象如图所示.将的图象向右平移2个单位长度，得到函数的图象，则的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据题意求出函数的周期，即可求出，再利用待定系数法求出，即可得函数的解析式，再根据平移变换的原则即可求出的解析式. 【详解】由题意可知的周期满足，得， 即，得， 所以， 因为点是图象的一个点， 所以，， 则，又，所以， 所以， 将的图象向右平移2个单位长度， 得到函数. 故选：D. 16. 设函数，的定义域均为，值域分别为、，且．若集合满足以下两个条件：（1）；（2）当全集为时，是有限集，则称和是互补函数．给出以下两个命题：①存在函数，使得和是互补函数；②存在函数，使得和是互补函数．则（ ） A. ①②都是真命题 B. ①是真命题，②是假命题； C. ①是假命题，②是真命题 D. ①②都是假命题 【答案】A 【解析】 【分析】对于①，取的值域为，得到，，满足要求，①正确；对于②，取是增函数，，先让的值域包含，根据正弦函数和正切函数的图象特征进行构造，的值域有，……，依次类推，得到答案. 【详解】对于①，取的值域为， 故，， 令， 则 满足和是有限集， 从而和是互补函数，①正确； 对于②，取是增函数，，由复合函数性质， 只需考虑和即可， 先让的值域包含，则，， 那么接下来考虑让的部分被和取得， 因为的值域没有，所以的值域中没有， 所以的值域没有， 所以考虑让的值域中有， 则的值域有，……， 依次类推，按照这样的方式构造下去， 可以得到满足题意的，②正确. 故选：A 三、解答题：（本题共有4大题，满分46分，解题时要有必要的解题步骤） 17. 已知向量. （1）若向量与共线，求实数的值； （2）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据向量坐标运算和向量平行的坐标表示求解可得； （2）根据且不同向列方程求解即可. 【小问1详解】 因为， 所以，， 又向量与共线，所以，解得. 【小问2详解】 若向量与的夹角为锐角，则且不同向， 由，解得， 由得，此时同向，不满足题意. 综上，实数的取值范围为. 18. 如图，在平面四边形中，平分． （1）若，求； （2）若，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件求长，在中，由余弦定理可求. （2）设，，表示，在中利用余弦定理结合同角三角函数基本关系可求和，再用二倍角公式可得结果. 【小问1详解】 平面四边形中，内角和为，且则.且. 平分，结合上面式子，则，， 故，，， 在中，由余弦定理得． 【小问2详解】 平分．设，则． 设，则， 在中，由余弦定理得， ，解得 则， 即 19. 广告公司为某游乐场设计某项设施的宣传画，根据该设施的外观，设计成的平面图由半径为的扇形和三角区域构成，其中在一条直线上，，记该设施平面图的面积为，，其中． （1）写出关于的函数关系式； （2）如何设计，使得有最大值？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先，求解三角形和扇形的面积，然后，求和即可得到相应的解析式； （2）根据三角函数辅助角公式和导数的计算等知识求解其最大值即可． 【小问1详解】 由已知可得， 在△中由正弦定理可得： ，所以， 从而， 所以，. 【小问2详解】 ， 由 令增区间是； 令减区间是； 所以在处取得最大值是． 答：设计成时，该设施的平面图面积最大是． 20. 一个函数，如果对任意一个三角形，只要它的三边长，，都在的定义域内，就有，，也是某个三角形的三边长，则称为“三角形函数”． （1）判断函数，，中，哪些是“三角形函数”，哪些不是，并说明理由； （2）如果函数是定义在上的周期函数，且值域为，证明不是“三角形函数”； （3）若，函数，是“三角形函数”，求的最大值．（参考公式：） 【答案】（1） ，是“三角形函数”，不是“三角形函数”． 理由如下： 任意一个三角形，设它的三边长分别为，不妨假设，则， 对于，当的取值分别为时，对应的函数值分别为，满足，故是“三角形函数”， 对于，当的取值分别为时，对应的函数值分别为， 因为，所以，故是“三角形函数”， 对于，因为可作为一个三角形的三边长，但， 所以不存在以为三边长的三角形，故不是“三角形函数”. （2） 设为的一个周期，因为其值域为， 所以存在，使得， 取正整数，则， 则这三个数可作为一个三角形的三边长， 但，不能作为任何一个三角形的三边长， 所以不是“三角形函数”． （3） 【解析】 【分析】（1）设三角的三边长分别为，且有，利用题设定义，即可判断和是“三角形函数”，再取，即可说明不是“三角形函数”； （2）取实数，使，再取，其中，能构成三角形，但其函数值不能构成三角形，即可求解； （3）分和两种情况讨论，再结合题设定义，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 （i）若，取，则这三个数可作为一个三角形的三边长， 但不能作为任何一个三角形的三边长，故不是“三角形函数”. （ii）当时，对任意三角形的三边，若，则分类讨论如下： ①当时，，同理， ，故，， 同理可证，， 可作为某个三角形的三边长． ②当时，，可得如下两种情况： 当时，由得， 由在上单调递增可得， 当时，， 由在上单调递增可得， 综上得，， 又由及余弦函数在上单调递减， 得 同理可证其余两式，所以也是某个三角形的三边长. 故时，是“三角形函数”， 综上，的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 格致中学2024-2025学年第二学期高一年级数学期中 2025.4 一、填空题（本大题共有12题，满分42分，第1-6题每题3分，第7-12题每题4分） 1. 已知集合，，则________． 2. 不等式的解集是______. 3. 圆心角为，面积为的扇形的周长是________cm． 4. 在中，为上一点，，，，若用向量、表示，则________． 5. 已知，且x为第三象限的角，则________． 6. 若向量、满足，且，，则向量与的夹角为________． 7. 若，是函数两个相邻的零点，则实数的值为______． 8. 已知，且是偶函数，则实数____________． 9. 已知函数的值域为，则实数的取值范围为________． 10. 已知不等式的解集为，则的值为______. 11. 如图，已知点在点的正北方向，点、点分别在点的正西、正东方向，且，，，若为锐角，则_____________. 12. 设为所在平面上一点，且满足，若的面积为2，则面积为_______________． 二、选择题：（本大题共4小题，每题3分，满分12分） 13. 已知为正数，则“”是“”的（ ）. A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 14. 向量在上的投影为（ ） A. B. C. D. 15. 函数的图象如图所示.将的图象向右平移2个单位长度，得到函数的图象，则的解析式为（ ） A. B. C. D. 16. 设函数，的定义域均为，值域分别为、，且．若集合满足以下两个条件：（1）；（2）当全集为时，是有限集，则称和是互补函数．给出以下两个命题：①存在函数，使得和是互补函数；②存在函数，使得和是互补函数．则（ ） A. ①②都是真命题 B. ①是真命题，②是假命题； C. ①是假命题，②是真命题 D. ①②都是假命题 三、解答题：（本题共有4大题，满分46分，解题时要有必要的解题步骤） 17. 已知向量. （1）若向量与共线，求实数的值； （2）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 18. 如图，在平面四边形中，平分． （1）若，求； （2）若，求． 19. 广告公司为某游乐场设计某项设施的宣传画，根据该设施的外观，设计成的平面图由半径为的扇形和三角区域构成，其中在一条直线上，，记该设施平面图的面积为，，其中． （1）写出关于的函数关系式； （2）如何设计，使得有最大值？ 20. 一个函数，如果对任意一个三角形，只要它的三边长，，都在的定义域内，就有，，也是某个三角形的三边长，则称为“三角形函数”． （1）判断函数，，中，哪些是“三角形函数”，哪些不是，并说明理由； （2）如果函数是定义在上的周期函数，且值域为，证明不是“三角形函数”； （3）若，函数，是“三角形函数”，求的最大值．（参考公式：） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $