精品解析：新疆维吾尔自治区2025年普通高考第四次适应性检测数学试题

新疆维吾尔自治区2025年普通高考第四次适应性检测 数 学 （卷面分值：150分 考试时间：120分钟） 注意事项： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应的位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先解一元二次等式得出集合A，再应用交集定义计算即可. 【详解】因为得，解得， 所以， 所以， 故选：A． 2. 若复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法运算法则，化简即可求解. 【详解】， 故选:B． 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由正弦诱导公式可得，再根据余弦二倍角公式可求解. 【详解】∵， ∴， ∴， 故选：D． 4. 从6名男生和4名女生中选出4人参加一项创新大赛，如果4人中必须既有男生又有女生，那么不同的选法种数为（ ） A. 210 B. 195 C. 194 D. 184 【答案】C 【解析】 【分析】直接计算可得结果. 【详解】用不考虑限制条件的减去都是男生和都是女生的情况， . 故选：C． 5. 抛物线上与焦点的距离等于6的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线的定义，可以求得点的横坐标，进一步得到纵坐标. 【详解】因为，所以．由焦半径公式得，， 因为抛物线开口朝左，所以 ，即，所以 故选：A． 6. 已知，，，则（ ） A. 16 B. 8 C. 6 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据，平方得到，然后计算，最后开方即可. 【详解】，两边同时平方得，， ，所以， 故选:D． 7. 已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上一点P与的距离为2，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先应用双曲线定义得出，，再应用余弦定理计算求解即可. 【详解】因为，， 由双曲线的定义可知，得， 又因为， 在中，， 所以. 故选：B． 8. 若直线与函数的图象在区间上有且仅有两个公共点，则称函数为直线在区间上的“双交函数”．记函数在处的切线为，若偶函数满足，当时，，且函数为直线在上的“双交函数”，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数的几何意义求出切线方程，由函数的奇偶性和求出周期，然后画出图象结合函数的新定义求解即可 【详解】因为，所以，求导得，则， 故在处的切线方程为． 因为偶函数满足，所以， 故函数的周期为2．又当时，， 作出函数的大致图象如图所示， 要使函数为直线在上的“双交函数”，由图得满足A点在直线上， 可知，代入直线方程可得． 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在的展开式中，下列说法正确的是（ ） A. x的系数是10 B. 第四项的二项式系数为10 C. 没有常数项 D. 各项系数的和为32 【答案】BC 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项特征即可求解AC，根据二项式系数的定义可求解B，利用赋值法可求解D. 【详解】含x的项为，故x的系数是80，所以A错误； 第四项为，其二项式系数为，故B正确； 2x和只有分得的次数相同才能得到常数项，5次方无法均分，因此没有常数项，故C正确； 各项系数的和是由时得到，即，故D错误． 故选：BC． 10. 若函数是区间上的单调函数，则实数的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用导数求出函数的增区间和减区间，结合题意可得出区间的包含关系，可求出实数的取值范围，即可得出合适的选项. 【详解】因为，则， 由可得，由可得或， 所以，函数的增区间为和，减区间为， 若函数在上单调递减，则， 且成立，则，无解； 若函数在上单调递增， 则或， 即或，解得或， 故选：ACD． 11. 在锐角 中，，．若，设AB边上的高为CD．则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用平方关系求解判断A；利用和差角的正弦公式计算判断B；利用直角三角形边角关系，结合和角的正切及数量积的定义求解判断CD. 【详解】对于A，由锐角 ，得为钝角，，A错误； 对于B，，解得，则，B正确； 对于D，设，则，由，得，， 由，得，解得，即，． 则，，， ，解得，D正确； 对于C，，C正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 幂函数在上单调递减，且经过点，请写出符合条件的一个函数解析式__________． 【答案】或(答案不唯一) 【解析】 【分析】设出幂函数解析式，将代入即可求得结果. 【详解】幂函数在上是减函数，设，则， 因为有很多解，如、、、等均符合题意. 故答案为：或(答案不唯一)． 13. 已知一个圆锥的底面半径为4，其体积为，则该圆锥的侧面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆锥的体积公式可得，即可根据勾股定理求解母线，由圆锥的侧面积公式代入计算即可. 【详解】由题意可知：圆锥的底面圆半径为，则，解得， 故圆锥的母线，故侧面积为． 故答案为：. 14. 随机变量，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二项分布的期望及方差公式及性质计算即可. 【详解】由二项分布的期望公式得，， 又，所以， 故答案为:． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某学校为了解学生的体质健康状况，对高一、高二两个年级的学生进行体质健康测试．现从两个年级学生中各随机抽取20人，他们的测试数据如下： 高一：50，53，58，64，66，67，67，69，71，72，75，78，79，82，83，86，89，93，94，96 高二：40，42，50，52，56，64，65，67，68，72，73，73，79，81，84，85，88，90，96，98 国家学生体质健康标准的等级标准如下表，规定：测试数据，体质健康为合格． 等级 优秀 良好 及格 不及格 测试数据 （1）从该校高二年级学生中随机抽取一名学生，试估计这名学生体质健康不合格的概率； （2）从两个年级等级为优秀的样本中各随机抽取一名学生，求抽取的两名学生的测试数据平均数不大于95的概率； （3）设该校高一学生测试数据的平均数和方差分别为，，高二学生测试数据的平均数和方差分别为，，试比较与、与的大小．（只需写出结论） 【答案】（1） （2）． （3），． 【解析】 【分析】（1）根据概率计算方法即可求得结果. （2）利用列举法求得总情况和符合题意的情况即可求得概率. （3）分别计算出平均数和方差即可比较大小. 【小问1详解】 由样本中测试数据可知高二学生样本中体质健康不合格的人数为5， 故样本中学生体质健康不合格的频率为， 故从该校高二年级学生中随机抽取一名学生，估计这名学生体质健康不合格的概率为． 【小问2详解】 设高一年级样本中测试数据为93，94，96的三名学生分别为，，， 高二年级样本中测试数据为90，96，98的三名学生分别为，，， 选取的2名学生构成的基本事件为：，，， ，，，，，，共9个， 其中两名学生的测试数据平均数大于95的有，，，，共4个， 所以选取的两名学生的测试数据平均数大于95的概率为， 故选取的两名学生的测试数据平均数不大于95的概率为． 【小问3详解】 故，． 16. 若数列的首项，且满足． （1）证明:数列是等比数列； （2）若，求满足条件的最小整数n． 【答案】（1）证明：，， ，， 所以是首项为2，公比为2的等比数列． （2）11． 【解析】 【分析】（1）应用递推公式结合等比数列定义证明即可； （2）根据等比数列求和公式应用指数函数单调性解不等式. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知，则， ， 由，得，解得， 因为，所以满足条件的最小整数n为11． 17. 如图，在三棱锥中，平面与平面互相垂直，且，．求： （1）所在直线和平面所成角的大小； （2）三棱锥外接球的表面积； （3）二面角的正弦值． 【答案】（1） （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）在平面内过点作垂直于的延长线于点 ，连接，根据面面垂直的性质得到平面，即可得到为直线与平面所成角，即可得解； （2）法一：设，分别是 和的外接圆圆心，过作面的垂线，过作面的垂线，两条垂线的交点 即为外接球球心，利用勾股定理求出外接球的半径，即可得解；法二：以点 为原点，，， 的方向分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，设球心，外接球半径为，建立距离公式得到方程组，求出 点坐标，即可求出，从而得解； （3）建立空间直角坐标系，求出平面、的法向量，利用空间向量法计算可得. 【小问1详解】 在平面内过点作垂直于的延长线于点 ，连接， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，故为直线与平面所成角． 因为，，则，， 所以与全等，， 故在直角三角形中，， 所以直线与平面所成角大小为． 【小问2详解】 方法一：设，分别是 和的外接圆圆心． 过作面的垂线，过作面的垂线，两条垂线的交点 即为外接球球心． 设 外接圆的半径为，则，得， 同理外接圆的半径．过作于 ， 则 为 的中点，， 则球的半径， 所以三棱锥外接球表面积． 方法二：由（1）可知平面，以点 为原点， ，， 的方向分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 如图所示，则，，，，， 设三棱锥的外接球球心为 ，设，外接球半径为， 则可得，解得， ，所以外接球表面积． 【小问3详解】 由（1）可知平面，以点 为原点， ，， 的方向分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，，， 显然为平面的一个法向量， 设平面的法向量， 因为，， 则，即， 令，则，，． 所以， 设二面角为，则． 二面角的正弦值为． 18. 已知函数． （1）若函数的图象在处的切线与直线垂直，求实数a的值； （2）讨论函数的单调性； （3）当时，若恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） 时，在单调递减，在单调递增； 当时，在，单调递减，在单调递增； 当时，在单调递减； 当时，在，单调递减，在单调递增． （3）． 【解析】 【分析】（1）求导，根据垂直关系可得求解. （2）求导，讨论时，，得，当时，，当时， ，即可结合导函数的正负，确定函数的单调性， （3）构造，判断是奇函数，进而得的对称中心为，根据对称性可得，进而根据函数的单调性得解. 【小问1详解】 ， 因为函数的图象在点处的切线与直线垂直， 所以，解得． 【小问2详解】 当时，令，得，当时，，在单调递减，时，，在单调递增； 当时，令，得，， 当时，，， 所以当，或时，，在，单调递减， 当时，，在单调递增； 当时，恒成立，所以在单调递减； 当时，，，所以当，或时，，在，单调递减， 当时，，在单调递增； 综上所述，时，在单调递减，在单调递增； 当时，在，单调递减，在单调递增； 当时，在单调递减； 当时，在，单调递减，在单调递增． 【小问3详解】 由（2）可知，当时，在单调递减， 令，， 是奇函数，则的对称中心为， 恒成立， ，即，，则． 19. 已知平面内动点P到两条直线和的距离的平方和为． （1）求动点P的轨迹C的方程； （2）M，N是C上任意两点． （ⅰ）C与y轴的交点分别为，（自下而上），点N位于y轴的右侧，若点，直线MN交y轴于点G，设和的面积分别为，，当时，求点N的坐标； （ⅱ）已知直线MN与坐标轴不垂直，H为线段MN的中点，直线OH与C交于K，L两点，当时，求直线MN的斜率． 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ）． 【解析】 【分析】（1）假设点的坐标，然后根据到两直线的距离平方和计算即可； （2）（ⅰ）分别计算，，然后得到，进一步得到直线ON的方程，最后联立曲线C可得结果；（ⅱ）假设直线MN的方程、直线OH的方程并联立曲线，分别得到，，，然后根据可得结果. 【小问1详解】 设动点 ，则P到直线的距离为， 到直线的距离为， 由题可知，化简得， 可得动点P的轨迹方程为：． 【小问2详解】 （ⅰ）由题可知，，， ， ，，而， ，，， ，所以直线ON的方程为， 由可得或， 又因为点N位于y轴的右侧，所以． （ⅱ）且，， 设直线MN的方程为：，，， 由消x得， ， ，， 又由两式相减得，可得， 则直线OH的方程为，代入得：， 则，， ， ，， 即，解得，所以直线MN的斜率为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新疆维吾尔自治区2025年普通高考第四次适应性检测 数 学 （卷面分值：150分 考试时间：120分钟） 注意事项： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应的位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 从6名男生和4名女生中选出4人参加一项创新大赛，如果4人中必须既有男生又有女生，那么不同的选法种数为（ ） A. 210 B. 195 C. 194 D. 184 5. 抛物线上与焦点的距离等于6的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，，则（ ） A. 16 B. 8 C. 6 D. 4 7. 已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上一点P与的距离为2，则（ ） A. B. C. D. 8. 若直线与函数的图象在区间上有且仅有两个公共点，则称函数为直线在区间上的“双交函数”．记函数在处的切线为，若偶函数满足，当时，，且函数为直线在上的“双交函数”，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在的展开式中，下列说法正确的是（ ） A. x的系数是10 B. 第四项的二项式系数为10 C. 没有常数项 D. 各项系数的和为32 10. 若函数是区间上的单调函数，则实数的值可以是（ ） A. B. C. D. 11. 在锐角 中，，．若，设AB边上的高为CD．则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 幂函数在上单调递减，且经过点，请写出符合条件的一个函数解析式__________． 13. 已知一个圆锥的底面半径为4，其体积为，则该圆锥的侧面积为__________． 14. 随机变量，则__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某学校为了解学生的体质健康状况，对高一、高二两个年级的学生进行体质健康测试．现从两个年级学生中各随机抽取20人，他们的测试数据如下： 高一：50，53，58，64，66，67，67，69，71，72，75，78，79，82，83，86，89，93，94，96 高二：40，42，50，52，56，64，65，67，68，72，73，73，79，81，84，85，88，90，96，98 国家学生体质健康标准的等级标准如下表，规定：测试数据，体质健康为合格． 等级 优秀 良好 及格 不及格 测试数据 （1）从该校高二年级学生中随机抽取一名学生，试估计这名学生体质健康不合格的概率； （2）从两个年级等级为优秀的样本中各随机抽取一名学生，求抽取的两名学生的测试数据平均数不大于95的概率； （3）设该校高一学生测试数据的平均数和方差分别为，，高二学生测试数据的平均数和方差分别为，，试比较与、与的大小．（只需写出结论） 16. 若数列的首项，且满足． （1）证明:数列是等比数列； （2）若，求满足条件的最小整数n． 17. 如图，在三棱锥中，平面 与平面互相垂直，且，．求： （1）所在直线和平面 所成角的大小； （2）三棱锥外接球的表面积； （3）二面角的正弦值． 18. 已知函数． （1）若函数的图象在处的切线与直线垂直，求实数a的值； （2）讨论函数的单调性； （3）当时，若恒成立，求实数m的取值范围． 19. 已知平面内动点P到两条直线和的距离的平方和为． （1）求动点P的轨迹C的方程； （2）M，N是C上任意两点． （ⅰ）C与y轴的交点分别为，（自下而上），点N位于y轴的右侧，若点，直线MN交y轴于点G，设和的面积分别为，，当时，求点N的坐标； （ⅱ）已知直线MN与坐标轴不垂直，H为线段MN的中点，直线OH与C交于K，L两点，当时，求直线MN的斜率． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $