河北省冀州中学2024-2025学年高一下学期5月期中考试数学试题

高一年级数学考试 试卷满分150分考试时间120分钟 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的。 1.已知i为虚数单位,若(x一i)(2一i)=5,则复数z的模是 () A② B号 C56 3 D.22 2.在 ABC中,已知BC=6,A=号,B=T,则AC= A.23 B.3V2 C.26 D.36 3.已知某企业有职工150人,其中拥有高级职称15人,中级职称45人,一般职员90人,若按职称采用分 层抽样方法共抽取30人,则中级职称被抽取的人数为 () A.3 B.9 C.18 D.12 4.抛掷一枚质地均匀的正方体骰子,观察向上一面的点数,则下列是互斥事件但不是对立事件的是() A“大于3点”与“不大于3点” B.“大于3点”与“小于2点” C.“大于3点”与“小于4点” D.“大于3点”与“小于5点” 5,已知向量a与b的夹角为牙,a=(-1,1),b=2,则a在b上投影向量的模为 A.1 R号 C.2 D. 6.如图,在正方体ABCD-A1BCD1中,DD1的中点为Q,过A,Q,B三点的截 面是 )A A.三角形 B.矩形 C,菱形 D.梯形 7.一个不透明袋子中有大小和质地均相同的3个小球,分别标有数字1,2,3,先后不放回地摸出两个球, 若第二次摸出球的号码比第一次大,则选择第二次摸出的球,否则选择未被摸出的球,则选到3号球的 概率为 () A若 B号 c 8.如图,在 ABC中,AC=BC,D在边AB上,∠ACB=3∠BCD,4AD= 5DB,则cos∠ACD= () A器 B.一32 7 c-孟 D号 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部 选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。 9.下列说法不正确的是 A.随机试验的频率与概率相等 B.如果一事件发生的概率为99.9999%,说明此事件必然发生 C.只有不确定事件有概率 D.若事件A发生的概率为P(A),则0≤P(A)≤1 10.已知向量a=(3,4),b=(1,0),c=a十b(t∈R),则下列结论正确的是 A.若|a=|cl,则t=0或t=一6 B.若a⊥c,则t=一3 C.若a,c的夹角与b,c的夹角相等,则t=5 D.若t=-1,则c在a上的投影向量为(225,445 2525 11.如图,设 ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,W3(acos C+ccos A)=2 bsin B,且∠CAB= 吾若点D是 ABC外一点,DC=1,DA=2,则下列说法中正确的是 A ABC的内角B=等 B ABC的内角C=号 C.四边形ABCD面积无最大值 D.四边形ABCD面积的最大值为53+2 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。 12,已知为虚数单位,则复数牛的虚部为 13.如图,点P是海上的一个钻井平台,甲船、乙船、丙船分别位于点A,B,C三个 位置,甲船在乙船的正北方向,丙船在乙船的正东方向,且AB=20√3海里, BC=80海里,若∠APB=120 ,AP=20海里,则丙船到钻井平台的距离为 海里。 14.已知正四棱台ABCD-A1B1C1D1中,AD=20W2,AB,=10W2,点A1到平面 ABCD的距离为10W3,将四棱台ABCD-A1BCD1放人球O内,则球O表面 积的最小值为 四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 已知O为坐标原点,A(4,0),B(1,m),C(0,3). (1)若A,B,C三点共线,求实数m的值; (2)若点M满足OM=xOA+(2-x)OC,求|OM的最小值. 16.(本小题满分15分) 在 ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且sin2A十√3 sin Bsin C=sinB+sin2C. (1)求角A的大小: (2)若a=2 bcos C,判断 ABC的形状并说明理由. 17.(本小题满分15分) 互不相识的张三与李四两位年轻人先后到同一家商城购买手机,张三与李四购买华为手机的概率分 别为0.7,0.5,购买价位在5000元以上的手机的概率分别为0.4,0.6,假设张三与李四购买什么款式 的手机相互独立, (1)求恰好有一人购买华为手机的概率: (2)求至少有一人购买价位在5000元以上的华为手机的概率. 18.(本小题满分17分) 某校200名学生的数学期中考试成绩频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是[70,80),[80, 90),[90,100),[100,110),[110,120). 频率/组距 0.04 0.03… 0.02 000100110120成绩 (1)求图中m的值: (2)根据频率分布直方图,估计这200名学生的平均分; (3)若这200名学生的数学成绩中,某些分数段的人数x与英语成绩相应分数段的人数y之比如下表 所示,求英语成绩在[90,120)的人数. 分数段 [70,80) [80,90) [90,100) [100,110) [110,120) xiy 12 2:1 6:5 12 1:1 19.(本小题满分17分) 如图,在三棱柱ABC-A:B1C1中, ABC是等边三角形,AC=AC=2,A1C⊥A1B1,平面AAC1C⊥ 平面ABC,点D,E,F分别为棱BC,AC,BC的中点. (1)求证:A,D∥平面CEF; (2)求证:A:C⊥平面ABC: (3)求二面角A1-EF-C的正切值.高一数学 1.D 2.C 3.B 4. B 5.A 6.D 7.C 8. B 9.ABC 10.AC 11.ABD 12.-1 13.20vV13 14.1600t 15.解:..........).为........). ................................................分 若A,B,C三点共线,则-3(3-n)-(-1)Xm-0, 解得-. ..........................................分 (2)由题意得O-(4.0),OC-(0,3), OM-.....-..................分. 则O-16-2+(6-3-):-25-°-36-+36-25(-18)*-+576576. ......................1... 所以1OMl>24,即1OM|的最小值为24 .......................................... 16.解:(1)在△ABC中,因为sin’A+3sinBsinC-sin}B+sinC 所以由正弦定理得a}-P+一③bc, .....................................................................分 所以A-: .......................分. (2)因为a-2bcos.C-2x+-2+- 2ab & 故--0,即-c, 所以△ABC为等腰三角形 ...................................分 17.解:记“张三购买华为手机”为事件A,“李四购买华为手机”为事件B,“张三购买价位在5000元以上的手机”为事件C. “李四购买价位在5000元以上的手机”为事件D, 则P(A)-0.7.P(B)=0.5.P(C)-0.4.P(D)=0.6. (1)法一:恰好有一人购买华为手机的概率 P-P(AB)+PCAB)-0.7X0.5+0. 3XD.5-0.5.........-8分 法二:“恰好有一人购买华为手机”的对立事件为“两人都没有购买华为手机或两人都购买了华为手机”,所以恰好有一 人购买华为手机的概率 P-1--PAB)--P(AB).-1-0.3×0.5-0.7X0.5-0.5......................... 8分 (2)法一:记“张三购买价位在5000元以上的华为手机”为事件E,则P(E)一P(AC)-0.7X0.4-0.28 记“李四购买价位在5000元以上的华为手机”为事件F,则P(F)一P(BD)-0.5×0.6-0.3 所以张三与李四至少有一位购买价位在5000元以上的华为手机的概率 P=PCFIEF.+PP(F.+ P(EF..0. 28X0.+0.0.72X0.3+0.28X0..0. 49...............15分 法二:“张三与李四至少有一位购买价位在5000元以上的华为手机”的对立事件为“张三与李四两人都没有购买价位 在5000元以上的华为手机”, 所以张三与李四至少有一位购买价位在5000元以上的华为手机的概率P-1一P(EF)一1-0.72×0.7-0.496 ............... 18.解:(1)由10×(2n+0.02+0.03+0.04)-1,解得n-0.005. (2)频率分布直方图中每一个小矩形的面积乘以底边中点的横坐标之和即为平均数, 即估计平均数为1.00. 05x70.0.41×8+0.399+00.2×100. 05×11.9............-9分 (3)这200名学生的数学成绩在E90,100);[100,110),[110,120)的分别有60人,40人,10人,按照表中给的比例,则英 语成绩在[90,100),[100,110),[110,120)的分别有50人,80人,10人,所以英语成绩在[90,120)的有140人 ..........................................................................................1.”分. 19.(1)证明:取AC的中点G,连接DG,A.G,如图所示.因为D是梳BC的中点,G是AC的中点,所以DG/AB,DG AB.因为点E,F分别为楼A.C,B.C 的中点,所以EF/A.B,EF-A.B,又 AB/A.B,AB-A.B,所以 DG//EF,DG一EF,又EFC平面CEF.DGC平面CEF,所以DG/平面CEF ............... 在平行四边形AAC.C中,G是AC的中点,E是A.C 的中点,所以GC/A.E.GC一A.E,所以四边形A.ECG是平行 四边形,所以GA//CE,又CEC平面CEF,GA.C平面CEF,所以GA/平面CEF 又GA.OGD-G,GA .GDC平面A. GD,所以平面A.GD/平面CEF. 又A:DC平面AGD,所以A.D/平面CEF. ....................................... .......................... (2)证明:连接BG.如图所示.因为入ABC是等边三角形,G是AC的中点,所以 BG1AC,又平面AA.CC1平面ABC,平面AA.CCO平面ABC-AC,BGC平面 C ABC,所以BG1平面AA.CC. ...................................... 又AC..平面 ..A.C...所以 .... ................................分. 又A.C A.B.AB/A.B,所以A.C1 AB.又ABOBG=B.AB.BGC平面ABC 所以................................................ ..分. (3)解:在平面A.B.C.内,过点A:作直线EF的垂线,垂足为H,连接CH,如图 所示. 由(2)易得A.C1平面A.BC,又EF,A:HC平面A.BC,所以A.C1EF,AC1A:H 又ACOA:H-A.A.C.AHC平面A.CH,所以EF1平面A.CH,又CHC平面ACH,所以EF1CH,又A. H1 EF,所以.....F.-........A........................分 在△A:HE中,A:HIHE,A:F-1,乙A.EH-60',所以A:H-A.Esin A:FH-.