新疆乌鲁木齐市第一中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷

乌鲁木齐市第一中学2024--2025学年第二学期

2027届高一年级期中考试

数学试卷

第一部分（选择题共58分）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设为虚数单位，若复数，则的虚部为（   ）

A.  B. 1 C.  D.

2. 已知平面向量，则（    ）

A. 1 B.  C.  D.

3. 设为两条直线，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（    ）

A. 若，，则 B. 若，，，则

C. 若，，，则 D. 若，则

4. 已知圆锥的体积为，底面面积为，则该圆锥的侧面积为（    ）．

A.  B.  C.  D.

5. 已知中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且，则是（    ）

A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形

6. 所有棱长均为6的正三棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2的正三棱锥，则所得棱台的高为（    ）

A.  B.  C.  D.

7. 已知正方形的边长为4，点满足，则的最大值为（   ）

A.  B. 0 C. 12 D.

8. 已知圆台存在内切球（与圆台的上、下底面及侧面都相切的球），若圆台的上、下底面面积之和与它的侧面积之比为，设球的体积与圆台分别为，则（    ）

A.  B.  C.  D.

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.

9. 已知为虚数单位，以下四个说法中正确的是（   ）

A

B. 复数，

C. 若，则复平面内对应的点位于第二象限

D. 已知复数满足，则在复平面内对应的点的轨迹为直线

10. 下列四个命题为真命题的是（   ）.

A. 在中，角所对的边分别为，若，，，要使满足条件的三角形有且只有两个，则

B. 若向量，，则在上的投影向量为

C. 已知向量，，则的最大值为

D. 在中，若（），则动点轨迹一定通过的重心

11. 在锐角中，角的对边分别为，且满足，，则下列说法正确的有（    ）

A. 外接圆面积是 B. 面积的最大值是

C. 周长的取值可以是 D. 内切圆半径的取值范围是

第二部分（非选择题共92分）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 已知向量、满足，，，则________．

13. 如图，在海面上有两个观测点B，D，点B在D的正北方向，距离为2km，在某天10:00观察到某航船在C处，此时测得，5分钟后该船行驶至A处，此时测得，，，，则该船行驶的距离为_______km

14. 清初著名数学家孔林宗曾提出一种“蒺藜形多面体”，其可由两个正交的全等正四面体组合而成（每一个四面体的各个面都过另一个四面体的三条共点的棱的中点）.如图，若正四面体棱长为2，则该组合体的表面积为__________；该组合体的外接球体积与两正交四面体公共部分的内切球体积的比值为__________.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚.

15. 设复数．

（1）在复平面内，复数对应的点在实轴上，求；

（2）若是纯虚数，且是方程的根，求实数的值.

16. 如图：在正方体中，为的中点.