精品解析：云南“美美与共”民族中学联盟2024-2025学年高一下学期联考（二）数学试卷

云南“美美与共”民族中学联盟联考（二） 高一数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页.考试结束后，请将答题卡交回.满分150分，考试用时120分钟. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校､班级､姓名､考场号､座位号､准考证号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数是方程的一个根，，则方程的另一个根为（ ） A. B. C. 2 D. 3. 设平面向量，若不是表示平面内所有向量的一个基底，则（ ） A. B. C. D. 4. 在中，，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 若，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 定义在上的奇函数满足，.当时，，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 8. 已知，不等式对于一切实数恒成立，又，使，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知复数，则（ ） A. B. 的虚部为 C. D. 在复平面内对应的点位于第四象限 10. 关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是（ ） A. 点，与向量共线的单位向量为 B. 非零向量和满足，则与的夹角的余弦值为 C. 已知向量，若向量与的夹角为锐角，则且 D. 向量，则在上的投影向量的坐标为 11. 如图所示，在正三角形中，分别为边的中点，其中，把沿着翻折至的位置，使得二面角为，则下列选项中正确的是（ ） A. 点到平面的距离为 B. C. 直线与直线所成的角的正弦值为 D. 四棱锥的外接球半径为 第II卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第II卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效. 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设与的夹角为，则__________. 13. 某圆台的上、下底面面积分别为，，圆台母线长为4，则此圆台的体积为__________. 14. 对于任意实数，定义符号，其意义为：当时，；当时，；若，函数，有4个零点，则取值范围为__________. 四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 如图，在中，. （1）用表示； （2）若点满足，证明：三点共线. 16. 若. （1）求的最小正周期及单调增区间； （2）若当时，的最小值为2，求的值. 17. 在中，角所对的边分别为，若. （1）求角； （2）若，且的面积为，求的周长. 18. 在《九章算术》中，四个面都是直角三角形的三棱锥被称为鳖臑，由于它固有的优异性质，所以被称为立体几何中的“小王子”.如图，在鳖臑中，底面，若为的中点，分别是的中点. （1）证明：平面； （2）若为线段上的动点，探究平面与平面是否垂直，如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明理由. 19. 如图.，由平面内两条相交成角的数轴构成的坐标系，称为“完美坐标系”.设，分别为，正方向上的单位向量，若向量，则把实数对叫做向量的“完美坐标”. （1）若向量的“完美坐标”为，求； （2）已知分别为向量的的“完美坐标”，证明：； （3）若向量的“完美坐标”分别为，设函数，求的值域. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 云南“美美与共”民族中学联盟联考（二） 高一数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页.考试结束后，请将答题卡交回.满分150分，考试用时120分钟. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校､班级､姓名､考场号､座位号､准考证号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先解一元二次不等式及应用对数函数定义域求出集合A，B，最后应用交集定义计算求解. 【详解】由已知得，所以， 故选：B. 2. 若复数是方程的一个根，，则方程的另一个根为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】方法一：将代入方程中化简可求出，然后解方程求解即可；方法二：根据实系数一元二次方程的两虚数根互为共轭复数求解. 【详解】因为是方程的一个根， 则，即， 则，所以， 所以方程为， 所以方程的根为， 所以方程的另外一个根为， 方法二：因为实系数一元二次方程的两虚数根互为共轭复数， 所以方程的另一个根为. 故选：A. 3. 设平面向量，若不是表示平面内所有向量的一个基底，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得，然后由向量共线的坐标运算化简求值即可. 【详解】由题意可知，， 因为， 所以，解得， 故选：B. 4. 在中，，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知数据结合余弦定理直接求解即可. 【详解】在中，， 即，化简得， 解得或（不合题意，舍去）， ， 故选：C. 5. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】对于ABC，举例判断，对于D，根据面面垂直和线面垂直的性质分析判断即可. 【详解】对于A，如图，当时，异面，所以A错误， 对于B，如图，当时，，所以B错误， 对于C，如图，当时，，所以C错误， 对于D，如图设，在内作，因为，所以， 因为，所以∥，因为，所以， 所以，所以D正确. 故选：D. 6. 若，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数函数的性质判断的范围，根据指数函数的性质判断的范围，再化简分析判断. 【详解】因为在上递增，且， 所以，即， 因为在上递增，且， 所以，即， 因为，所以， 所以， 故选：C. 7. 定义在上的奇函数满足，.当时，，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】由可得，再结合奇函数的定义和周期的定义可得函数的周期，然后利用周期化简，从而可求得结果. 【详解】由，得，即， 因为为奇函数，所以， 所以，所以 所以的周期， 所以. 因为为上的奇函数，所以， 因为当时，，所以， 由，当时， 所以. 故选：D. 8. 已知，不等式对于一切实数恒成立，又，使，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件可得，然后对化简变形后利用基本不等式可求得其最小值. 【详解】不等式对于一切实数恒成立，且， ，. ，使成立， ，， ， 当且仅当，即时等号成立. 故选：D. 二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知复数，则（ ） A. B. 的虚部为 C. D. 在复平面内对应的点位于第四象限 【答案】AD 【解析】 【分析】先对化简求出复数，然后逐个分析判断. 【详解】由，得， 对于A，，故A正确； 对于B，的虚部为，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，在复平面内对应的点为，位于第四象限，故D正确， 故选：AD. 10. 关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是（ ） A. 点，与向量共线的单位向量为 B. 非零向量和满足，则与的夹角的余弦值为 C. 已知向量，若向量与的夹角为锐角，则且 D. 向量，则在上的投影向量的坐标为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，由与向量共线的单位向量的定义计算判断，对于B，根据题意求出和，再利用向量的夹角公式计算判断，对于C，由题意得且与不共线，从而可求出的范围进行判断，对于D，根据投影向量的定义求解判断. 【详解】对于A，因为，则， 所以与向量共线的单位向量为，故A错误； 对于B，因为，所以，则， 化简得，所以，即. 又，所以，故B正确； 对于C，由已知的且与不共线，所以且，故C正确； 对于D，因为， 所以在上的投影向量的坐标为，故D正确， 故选：BCD. 11. 如图所示，在正三角形中，分别为边的中点，其中，把沿着翻折至的位置，使得二面角为，则下列选项中正确的是（ ） A. 点到平面的距离为 B. C. 直线与直线所成的角的正弦值为 D. 四棱锥的外接球半径为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，作出辅助线，得到为二面角的平面角，故，并证明出平面，故的长即为点到平面的距离，求出，故A正确；B选项，求出各边长，得到，故与不垂直，故B错误；C选项，作出辅助线，得到就是直线与所成的角，求出各边长，由余弦定理和同角三角函数关系得到，故C正确；D选项，为底面梯形的外接圆的圆心，分在平面的上方和下方两种情况，设，外接球的半径为，根据得到方程，求出，进而求出外接球半径. 【详解】A选项，如图1所示，作，交于，延长交于，连接， 则，故为二面角的平面角， 故， 因为，平面，所以平面. 又平面，所以平面平面， 在平面中作，交于点， 由面面垂直的性质可知平面， 故的长即为点到平面的距离， 在正三角形中，， ，故A正确； B选项，为边的中点，故， 因为平面，平面，所以， 又，，平面，故平面， 因为平面，所以， 因为，，故为等边三角形， 故， 在中，，由勾股定理得， 则，由勾股定理逆定理得与不垂直，故B错误； C选项，连接，易得，， 就是直线与所成的角，， 故，所以，故C正确； D选项，易得，故为底面梯形的外接圆的圆心， 设四棱锥的外接球的球心为，则平面，且. 若在平面的上方，如图1所示：设，外接球的半径为， 过作的垂线，垂足为，则， 易得，解得，舍去； 故在平面的下方，如图2所示：设，外接球的半径为， 过作的垂线，垂足为，则， 易得，解得， ，故D正确. 故选：ACD. 第II卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第II卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效. 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设与的夹角为，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】先求出，再根据平面向量数量积的运算律，将两边平方即可求解. 【详解】由题意知， 又，所以， 展开得，即，解得. 故答案为：. 13. 某圆台的上、下底面面积分别为，，圆台母线长为4，则此圆台的体积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由已知可得圆台上、下底面的半径，结合几何体特征，可求得圆台的高，再利用圆台的体积公式即可求解. 【详解】 如图所示. ∵圆台的上、下底面面积分别为，，∴圆台的上底面半径 ，下底面半径， 过点作于点，∴，. ∵圆台母线长为4，∴. ∴圆台得高， ∴圆台的体积. 故答案为：. 14. 对于任意实数，定义符号，其意义为：当时，；当时，；若，函数，有4个零点，则取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】作出的图象，令，即，由图象和交点个数可知的取值范围为. 【详解】由，作出它们的图象，如图所示， 则作图如图， 令，即， 由图象可知，当时，与有4个交点， 故有4个零点，故的取值范围为. 故答案为： 四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 如图，在中，. （1）用表示； （2）若点满足，证明：三点共线. 【答案】（1）， （2） 由， 可得. 又， 所以，又因为有公共点， 所以三点共线. 【解析】 【分析】（1）应用向量的线性关系结合向量的减法计算求解； （2）根据已知得出进而证明三点共线. 【小问1详解】 因为， 所以， 所以. 同理， 所以. 【小问2详解】 略 16. 若. （1）求的最小正周期及单调增区间； （2）若当时，的最小值为2，求的值. 【答案】（1）， （2）3 【解析】 【分析】（1）根据二倍角公式和辅助角公式将解析式化为，然后利用正弦型函数的周期公式可计算出该函数的最小正周期；根据正弦函数的单调区间，利用整体法得到，即可求出该函数的单调递增区间； （2）由，可得，再根据正弦函数的性质，即可得当，即时，函数取得最小值，进而解方程即可求解. 【小问1详解】 ， 函数的最小正周期. 令， 解得， 的单调增区间是. 【小问2详解】 ，. 当，即时，函数取得最小值， . 17. 在中，角所对的边分别为，若. （1）求角； （2）若，且的面积为，求的周长. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）由三角恒等变换和正弦定理得到，由余弦定理得到； （2）由三角形面积公式得到，由余弦定理变形得到，求出三角形周长. 【小问1详解】 ， 其中， ， 由正弦定理得， ， . ， ∴； 【小问2详解】 ， . 又， ， . 的周长为. 18. 在《九章算术》中，四个面都是直角三角形的三棱锥被称为鳖臑，由于它固有的优异性质，所以被称为立体几何中的“小王子”.如图，在鳖臑中，底面，若为的中点，分别是的中点. （1）证明：平面； （2）若为线段上的动点，探究平面与平面是否垂直，如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明理由. 【答案】（1） 方法一： 证明：连接，如图， 因为分别是的中点，所以. 又平面平面， 所以平面. 方法二：如图，取的中点为，连接，则. 又平面平面， 所以平面. 同理可证平面， 因为，平面， 所以平面平面. 又平面，所以平面. （2） 平面与平面垂直. 证明如下： 因为底面底面，所以. 由题意知为直角三角形且，所以. 又平面， 所以平面. 又平面，所以. 因为为的中点，所以. 又平面， 所以平面. 因为平面，所以平面平面. 【解析】 【分析】（1）方法一：连接，根据三角形中位线定理可得，然后利用线面平行的判定定理可证得结论；方法二：取的中点为，连接，可证得平面平面，然后由面面平行的性质可得结论； （2）由已知线面垂直可得，再结合可证得平面，则，再由等腰三角形的性质可得，则平面，然后由面面垂直的判定定理可证得结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 如图.，由平面内两条相交成角的数轴构成的坐标系，称为“完美坐标系”.设，分别为，正方向上的单位向量，若向量，则把实数对叫做向量的“完美坐标”. （1）若向量的“完美坐标”为，求； （2）已知分别为向量的的“完美坐标”，证明：； （3）若向量的“完美坐标”分别为，设函数，求的值域. 【答案】（1） （2） 由（1）知，， 所以 . （3）. 【解析】 【分析】（1）先计算的值，再由，利用向量数量积的运算律计算即可； （2）利用向量数量积的运算律计算并化简即可得证； （3）利用（2）的公式计算，设，求出，将转化成，结合二次函数的图象即可求得的值域. 【小问1详解】 因为的“完美坐标”为. 则. 又因为分别为正方向上的单位向量，且夹角成， 所以，则. 故. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为向量的“完美坐标”分别为，， 由（2）得. 令， 则. 因为，所以，即. 令. 因为的图象是对称轴为开口向上的抛物线的一部分， 所以当时，取得最小值， 当时，取得最大值， 所以的值域为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $