精品解析：湖南省邵阳市一中、岳阳市一中联考2024-2025学年高三下学期4月知识检测数学试题

2025届高三年级教材材料，教材习题知识检测 时间：120分钟 分值：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 （必修二P24） 1. 已知的外接圆圆心为，且，则向量在向量上的投影向量为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件作图可得为等边三角形，根据投影向量的概念求解即可. 【详解】因为， 所以外接圆圆心为的中点，即为外接圆的直径，如图， 又，所以为等边三角形， 则，故， 所以向量在向量上的投影向量为：． 故选：A． （选择性必修一P102） 2. 设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线倾斜角与斜率的关系计算即可. 【详解】①当时，此时，倾斜角为， ②当时，则， 而，所以， 则， 综上所述，倾斜角的范围是. 故选：C （必修二P52） 3. 已知O，N，P在所在平面内，且，且，则点O，N，P依次是的( ) （注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角形的垂心） A. 重心外心垂心 B. 重心外心内心 C. 外心重心垂心 D. 外心重心内心 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：因为，所以到定点的距离相等，所以为的外心，由，则，取的中点，则，所以，所以是的重心；由，得，即，所以，同理，所以点为的垂心，故选C. 考点：向量在几何中的应用. （选择性必修一P103） 4. 由曲线围成的图形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由对称性，确定，时的面积即可求解. 【详解】解：当，时，可得， ，表示的图形占整个图形的， 而，表示的图形为一个等腰直角三角形和一个半圆， ∴ 故围成的图形的面积为： 故选：A （选择性必修二P24） 5. 已知数列的通项公式为，前n项和为．则取得最小值时的值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】由得到，即可求解. 【详解】由得， 由得， 所以当或时，， 所以取得最小值时，． 故选：C. （选择性必修三P139） 6. 对于变量Y和变量x的成对样本观测数据，用一元线性回归模型得到经验回归模型，对应的残差如下图所示，模型误差（ ） A. 满足一元线性回归模型的所有假设 B. 不满足一元线性回归模型的的假设 C. 不满足一元线性回归模型的假设 D. 不满足一元线性回归模型的和的假设 【答案】C 【解析】 【分析】根据用一元线性回归模型有关概念即可判断. 【详解】解：用一元线性回归模型得到经验回归模型， 根据对应的残差图，残差的均值可能成立， 但明显残差的随着的增大偏差增大，不满足一元线性回归模型的假设，正确的只有C. 故选：C. （选择性必修三P74） 7. 如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每隔1s等可能地向左或向右移动一个单位，共移动6次，则下列正确的是（ ） A. 质点回到原点的概率为； B. 质点回到原点的概率为 C. 质点位于4的位置的概率为 D. 质点位于4的位置的概率是 【答案】D 【解析】 【分析】质点回到原点可知质点向左移动3次，向右移动3次，质点位于4的位置可知质点向左移动1次，向右移动5次，结合独立试验概率计算公式即可求解． 【详解】设质点向右移动的次数为，又质点每隔1s等可能地向左或向右移动一个单位， 共移动6次，且每次移动是相互独立，则． （1）质点回到原点，则， ， 所以质点回到原点的概率是； （2）当质点位于4的位置时，则， ， 所以质点位于4的位置的概率是． 故选：D （必修一P255） 8. 如图，正方形的边长为1，、分别是边、边上的点，那么当的周长为2时，（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，，，，则，，且的周长为2，即，利用三角函数的和差角公式计算即可. 【详解】解：设，，，，则，， 于是， 又的周长为2，即，变形可得， 于是， 又，所以， . 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列正确的是（ ） A. 已知，则 B. 已知，则 C. 已知，则 D. 已知，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】由同角三角函数的平方关系及二倍角公式逐项判断即可. 【详解】对于A：由，， 得， 所以，正确， 对于B：由， 所以，解得，正确， 对于C：由， 得，解得，，错误； 对于D：由，得： ．正确， 故选：ABD （选择性必修一P35） 10. 在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则（ ） A. 点到直线的距离是； B. 直线到直线的距离是； C. 点到平面的距离是； D. 直线到平面的距离是． 【答案】ABD 【解析】 【分析】建立坐标系，求出向量在单位向量上的投影，结合勾股定理可得点到直线的距离，判断A；先证明再转化为点到直线的距离求解，判断B；求解平面的法向量，利用点到平面的距离公式进行求解，判断C；把直线到平面的距离转化为到平面的距离，利用法向量进行求解，判断D. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， 则 对于A：因为，所以． 所以点到直线的距离为．正确， 对于B：因为所以，即 所以点到直线的距离即为直线到直线的距离 ， 所以直线FC1到直线的距离为正确， 对于C：设平面的一个法向量为，． 由，令，则，即． 设点到平面的距离为，则，即点到平面的距离为．错误， 对于D：因为平面，平面，所以平面， 所以直线到平面的距离等于到平面的距离． ，由C得平面的一个法向量为， 所以到平面的距离为，所以直线到平面的距离为．正确， 故选：ABD （选择性必修三P91） 11. 某单位有10000名职工，想通过验血的方法筛查乙肝病毒携带者．假设携带病毒的人占，如果对每个人的血样逐一化验，就需要化验10000次．统计专家提出了一种化验方法：随机地按5人一组分组，然后将各组5个人的血样混合再化验．如果混合血样呈阴性，说明这5个人全部阴性；如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次，则下列正确的是（ ） A. 按照统计专家的化验方法能减少化验次数 B. 按照统计专家的化验方法不能减少化验次数 C. 如果携带病毒的人只占，按照个人一组，取7时化验次数最少 D. 如果携带病毒的人只占，按照个人一组，取8时化验次数最少 【答案】AC 【解析】 【分析】对于AB，第一轮化验次数为，第二轮最多500组需要化验，可判断最多化验次数为，可判断AB，对于CD，由化验次数为结合基本不等式求解即可判断. 【详解】按照统计专家的化验方法，需要化验两轮，第一轮化验次数为， 携带病毒的人占，因此携带病毒的人有(人)， 第二轮最多有500组需要化验，最多化验次数为， 因此这种方法最多化验次数为，化验次数减少． 按人一组，第一轮需要化验次， 如果携带病毒的人只占，则携带病毒的人有(人)，最多有200组需要化验第2轮， 第二轮最多化验次数为，因此最多化验次数为，当且仅当时等号成立，由于，易得，所以时，化验次数最少． 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共20分 （必修一P230） 12. 已知为锐角，且，使得①；②同时成立，则_______，_______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由两角和的正切公式，得到，结合，得到，再由一元二次方程根与系数的关系即可求解. 【详解】存在．由①得， ∴， 将②代入上式得， 因此，，是方程的两根， 解得，． 当时，∵，∴，此时不存在，舍去， 故，， 所以， ∵，均为锐角，∴，． 故答案为：， （必修二P145） 13. 如图，透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，固定容器底面一边于地面上，再将容器倾斜．随着倾斜度的不同，有下面五个命题：    （1）有水的部分始终呈棱柱形； （2）没有水的部分始终呈棱柱形； （3）水面所在四边形的面积为定值； （4）棱始终与水面所在平面平行； （5）当容器倾斜如图（3）所示时，是定值． 其中所有正确命题的序号是______ 【答案】（1）（2）（4）（5） 【解析】 【分析】根据题意，结合棱柱的特征进行判断，观察即可得到答案. 【详解】根据棱柱的定义知，有两个面是互相平行且是全等的多边形， 其余每相邻两个面的交线也互相平行，而这些面都是平行四边形， 所以（1）和（2）正确； 因为水面所在四边形，从图2，图3可以看出，有两条对边边长不变而另外两条对边边长随倾斜度变化而变化， 所以水面四边形的面积是变化的，（3）错误； 因为棱始终与平行，与水面始终平行，所以（4）正确； 因为水的体积是不变的，高始终是也不变，所以底面积也不会变 ，即是定值， 所以（5）正确；综上知（1）（2）（4）（5）正确， 故答案为：（1）（2）（4）（5）. （必修二P61） 14. 如图，直线与的边，分别相交于点，．设，，，，请用向量方法探究与的边和角之间的等量关系为_______． 【答案】 【解析】 【分析】由，结合数量积可得，再运用数量积定义可分别求出、、，代入整理即可. 【详解】如图所示，因为，所以， 即， 又因为， ， ， 所以， 即． 故答案为： 15. 如图，两条异面直线a，b所成的角为，在直线a，b上分别取点和点A，F，使，且（称为异面直线a，b的公垂线）．已知，，，则公垂线______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据异面直线a，b所成的角为，可得与得夹角为或，再由，两边同时平方，结合数量积得运算律即可得解. 【详解】解：因为异面直线a，b所成的角为， 则与得夹角为或，则， 由， 得， 即， 所以， 即公垂线. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （选择性必修一P38） 16. 如图，和所在平面垂直，且，．求： （1）直线AD与直线BC所成角的大小； （2）直线AD与平面BCD所成角的大小； （3）平面ABD和平面BDC的夹角的余弦值． 【答案】（1）90°（2）（3） 【解析】 【分析】（1）作AO⊥BC于点O，连DO，以点O为原点，OD，OC，OA的方向分别为x轴、y轴、z轴方向，建立坐标系，利用空间向量法求出异面直线所成的角； （2）显然平面BCD的一个法向量为，利用空间向量法求出线面角； （3）求出平面CBD的一个法向量为 以及平面ABD的一个法向量为 ，求出两法向量的余弦值的绝对值即为平面ABD和平面BDC的夹角的余弦值． 【详解】解：设，作AO⊥BC于点O，连DO，以点O为原点，OD，OC，OA的方向分别为x轴、y轴、z轴方向，建立坐标系，得下列坐标： ，， ， ， （1）， ，所以AD与BC所成角等于90°． （2），显然为平面BCD的一个法向量 ∴，直线AD与平面BCD所成角的大小 （3）设平面ABD的法向量为则 所以，即，令，则， 则 设平面ABD和平面BDC的夹角为，则 因此平面ABD和平面BDC的夹角的余弦为． （选择性必修二P41） 17. 已知数列为等差数列，，，前n项和为，数列满足， 求证： （1）数列为等差数列； （2）数列中的任意三项均不能构成等比数列． 【答案】（1）证明：因为等差数列满足，，所以，所以，所以 所以，即，即为公差为的等差数列； （2）证明：设数列中任意三项，， 则，假设成等比数列，则 即 因为 所以，所以，即，与矛盾，所以数列中的任意三项均不能构成等比数列． 【解析】 【分析】（1）依题意首先求出的通项公式，即可得到，从而得到的通项公式，即可得证； （2）假设存在成等比数列，根据等比中项的性质得到方程，即可得出矛盾，从而得证； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 （选择性必修二P56） 18. 已知等比数列的前项和为，且 （1）求数列的通项公式； （2）在与之间插入个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在请说明理由. 【答案】（1）； （2）不存在，理由如下： 由（1）得，， 在与之间插入个数组成一个公差为的等差数列，则， 即，则， 假设在数列中存在3项（其中成等差数列）成等比数列， 则，，即， 因为成等差数列，所以，所以， 即，即， 联立解得，与题设矛盾， 故在数列中不存在3项（其中成等差数列）成等比数列. 【解析】 【分析】（1）退位作差得到公比，令求得，进而得到数列的通项公式； （2）反证法，假设存在，由等差中项性质得到，等比中项性质得到，联立解得，与题设矛盾，假设不成立，则不存在. 【小问1详解】 设等比数列的公比为， ，时，，两式相减得， 即，所以， 令得，即，解得， 所以. 【小问2详解】 略 （选择性必修二P104） 19. 已知函数 （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，求的取值范围. 【答案】（1）当时，在单调递减； 当，在单调递减，在单调递增. （2）. 【解析】 【小问1详解】 的定义域为，， （ⅰ）若，则，所以在单调递减. （ⅱ）若，则由得. 当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增. 【小问2详解】 （ⅰ）若，由（1）知，至多有一个零点. （ⅱ）若，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为. ①当时，由于，故只有一个零点； ②当时，由于，即，故没有零点； ③当时，，即. 又，故在有一个零点. 设正整数满足，则. 由于，因此在有一个零点. 综上，的取值范围为. 点睛:研究函数零点问题常常与研究对应方程的实根问题相互转化.已知函数有2个零点求参数a的取值范围，第一种方法是分离参数，构造不含参数的函数，研究其单调性、极值、最值，判断与其交点的个数，从而求出a的取值范围；第二种方法是直接对含参函数进行研究，研究其单调性、极值、最值，注意点是若有2个零点，且函数先减后增，则只需其最小值小于0，且后面还需验证最小值两边存在大于0的点. （选择性必修三P71） 20. 设，a是不等于的常数，探究X相对于的偏离程度与X相对于a的偏离程度的大小，并说明结论的意义． 【答案】X相对于的偏离程度小于X相对于a的偏离程度，X相对于的偏离程度（即的方差）是相对于任意常数a的偏离程度中最小的，从而方差能很好的反映一组数据的集中与离散程度. 【解析】 【分析】由方差的公式结合作差法比较大小即可. 【详解】设取的概率为， 又，所以X相对于的偏离程度为， X相对于a的偏离程度为， 又因为，，， 所以 ， ，即X相对于的偏离程度小于X相对于a的偏离程度， 结论的意义：X相对于的偏离程度（即的方差）是相对于任意常数a的偏离程度中最小的，从而方差能很好的反映一组数据的集中与离散程度. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025届高三年级教材材料，教材习题知识检测 时间：120分钟 分值：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 （必修二P24） 1. 已知的外接圆圆心为，且，则向量在向量上的投影向量为( ) A. B. C. D. （选择性必修一P102） 2. 设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（ ） A. B. C. D. （必修二P52） 3. 已知O，N，P在所在平面内，且，且，则点O，N，P依次是的( ) （注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角形的垂心） A. 重心外心垂心 B. 重心外心内心 C. 外心重心垂心 D. 外心重心内心 （选择性必修一P103） 4. 由曲线围成的图形的面积为（ ） A. B. C. D. （选择性必修二P24） 5. 已知数列的通项公式为，前n项和为．则取得最小值时的值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 （选择性必修三P139） 6. 对于变量Y和变量x的成对样本观测数据，用一元线性回归模型得到经验回归模型，对应的残差如下图所示，模型误差（ ） A. 满足一元线性回归模型的所有假设 B. 不满足一元线性回归模型的的假设 C. 不满足一元线性回归模型的假设 D. 不满足一元线性回归模型的和的假设 （选择性必修三P74） 7. 如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每隔1s等可能地向左或向右移动一个单位，共移动6次，则下列正确的是（ ） A. 质点回到原点的概率为； B. 质点回到原点的概率为 C. 质点位于4的位置的概率为 D. 质点位于4的位置的概率是 （必修一P255） 8. 如图，正方形的边长为1，、分别是边、边上的点，那么当的周长为2时，（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列正确的是（ ） A. 已知，则 B. 已知，则 C. 已知，则 D. 已知，则 （选择性必修一P35） 10. 在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则（ ） A. 点到直线的距离是； B. 直线到直线的距离是； C. 点到平面的距离是； D. 直线到平面的距离是． （选择性必修三P91） 11. 某单位有10000名职工，想通过验血的方法筛查乙肝病毒携带者．假设携带病毒的人占，如果对每个人的血样逐一化验，就需要化验10000次．统计专家提出了一种化验方法：随机地按5人一组分组，然后将各组5个人的血样混合再化验．如果混合血样呈阴性，说明这5个人全部阴性；如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次，则下列正确的是（ ） A. 按照统计专家的化验方法能减少化验次数 B. 按照统计专家的化验方法不能减少化验次数 C. 如果携带病毒的人只占，按照个人一组，取7时化验次数最少 D. 如果携带病毒的人只占，按照个人一组，取8时化验次数最少 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共20分 （必修一P230） 12. 已知为锐角，且，使得①；②同时成立，则_______，_______. （必修二P145） 13. 如图，透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，固定容器底面一边于地面上，再将容器倾斜．随着倾斜度的不同，有下面五个命题：    （1）有水的部分始终呈棱柱形； （2）没有水的部分始终呈棱柱形； （3）水面所在四边形的面积为定值； （4）棱始终与水面所在平面平行； （5）当容器倾斜如图（3）所示时，是定值． 其中所有正确命题的序号是______ （必修二P61） 14. 如图，直线与的边，分别相交于点，．设，，，，请用向量方法探究与的边和角之间的等量关系为_______． 15. 如图，两条异面直线a，b所成的角为，在直线a，b上分别取点和点A，F，使，且（称为异面直线a，b的公垂线）．已知，，，则公垂线______________． 四､解答题：本题共5小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （选择性必修一P38） 16. 如图，和所在平面垂直，且，．求： （1）直线AD与直线BC所成角的大小； （2）直线AD与平面BCD所成角的大小； （3）平面ABD和平面BDC的夹角的余弦值． （选择性必修二P41） 17. 已知数列为等差数列，，，前n项和为，数列满足， 求证： （1）数列为等差数列； （2）数列中的任意三项均不能构成等比数列． （选择性必修二P56） 18. 已知等比数列的前项和为，且 （1）求数列的通项公式； （2）在与之间插入个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在请说明理由. （选择性必修二P104） 19. 已知函数 （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，求的取值范围. （选择性必修三P71） 20. 设，a是不等于的常数，探究X相对于的偏离程度与X相对于a的偏离程度的大小，并说明结论的意义． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $