精品解析：甘肃省兰州市十九中教育集团2024-2025学年下学期九年级第二次诊断考试数学试题

兰州十九中教育集团2024-2025学年第二学期 初三第二次诊断考试（数学） 注意事项： 1．全卷共120分，考试时间120分钟． 2、考生必须将姓名、准考证号、考场号、座位号等个人信息填（涂）写在答题卡上． 3．考生务必将答案直接填（涂）写在答题卡的相应住置上． 一、选择题（体大题共11小题，每小题3分，共33分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 观察如图所示的三种视图，与之对应的物体是( ) A. B. C. D. 2. 解不等式时，去分母后结果正确的为（　　） A. 2（x+2）＞1﹣3（x﹣3） B. 2x+4＞6﹣3x﹣9 C. 2x+4＞6﹣3x+3 D. 2（x+2）＞6﹣3（x﹣3） 3. 下列关于分式的判断，正确的是（ ） A. 当时，的值为零 B. 当时，有意义 C. 无论x为何值，不可能得正整数值 D. 无论x为何值，的值总为正数 4. 2025年春节假期，兰州市旅游收入约42亿元，将42亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，ABCD，∠1=30°，∠2=40°，则∠EPF的度数是（ ） A. 110° B. 90° C. 80° D. 70° 6. 为半圆O的直径，现将一块含30°的直角三角板如图放置，30°角的顶点P在半圆上，斜边经过点B，一条直角边交半圆O于点Q．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知，是正方形的对角线上的两点，，，则四边形的周长是（ ） A. 8 B. C. D. 4 8. 《孙子算经》下卷第28题译成现代文意思是：现有甲乙二人，身边各有多少钱，不清楚．如果甲的钱数加上乙的钱数的一半，钱数一共是48；如果乙的钱数加上甲的钱数的，钱数一共也是48．问甲乙二人各有多少钱？（ ） A. 24，36 B. 36，18 C. 36，24 D. 24，18 9. 在一条笔直的公路上A、B两地相120km，甲车从A地开往B地，乙车从B地开往A地，甲比乙先出发．设甲、乙两车距A地的路程为y千米，甲车行驶的时间为x小时，y与x之间的关系如图所示，下列说法错误的是（ ） A. 甲车的速度比乙的速度慢 B. 甲车出发1小时后乙才出发 C. 甲车行驶了2.8h或3.2h时，甲、乙两车相距10km D. 乙车达到A地时，甲车离A地90km 10. 已知一组数据的平均数为4，方差是，则另一组数据的平均数和方差分别是（ ） A. 4，5.2 B. 8，6.4 C. 10，12.8 D. 12，16 11. 约定：若函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称为“黄金函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“黄金点”．若点是关于的“黄金函数”上的一对“黄金点”，且该函数的对称轴始终位于直线的右侧，有结论①；②；③；④，则下列结论正确的是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ②③④ 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 12. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是_______． 13. 如图，在中，，以为直径的交于点，过点作，垂足为点，延长交于点，连接． （1）求证：是的切线； （2）连接，若，，求的长． 14. 如果一个正六边形的边心距的长度为，那么它的半径的长度为__． 15. 如果一个四位数，前两位数字之和为8，后两位数字之和为5，且各位数字均不为0，则称为“同城数”．把四位数的前两位数字和后两位数字整体交换得到新的四位数．规定．例如：，∵，，∴2614是“同城数”，则．若“同城数”，则______． 已知是“同城数”（，，，均为正整数），若是整数，则满足条件的所有之和是______． 三、解答题（本大题共11小题，共75分．解答时写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 计算：． 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 解方程：． 19. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于两点，一次函数的图象与y轴交于点C． （1）求一次函数的解析式； （2）根据函数的图象，直接写出不等式的解集； （3）点P是x轴上一点，且的面积等于面积的2倍，求点P的坐标． 20. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆型汽车、3辆型汽车的进价共计80万元；3辆型汽车、2辆型汽车的进价共计95万元． （1）求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ （2）若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案； （3）若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利8000元，销售1辆B型汽车可获利5000元，在（2）中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 21. 综合与实践 素材一：某款遮阳棚（图1），图2、图3是它的侧面示意图，点为墙壁上的固定点，摇臂绕点旋转过程中长度保持不变，遮阳棚可自由伸缩，棚面始终保持平整．米． 素材二：该地区某天不同时刻太阳光线与地面的夹角的正切值： 时刻（时） 12 13 14 15 角的正切值 5 2.5 1.25 1 【问题解决】 （1）如图2，当时，这天12时在点位置摆放的绿萝刚好不被阳光照射到，求绿萝摆放位置与墙壁的距离； （2）如图3，旋转摇臂，使得点离墙壁距离为1.2米，为使绿萝在这天12时时都不被阳光照射到，则绿萝摆放位置与墙壁的最远距离是多少？ 22. 2025年春节，《哪吒之魔童闹海》（以下简称《哪吒2》）横空出世，现已登顶全球动画电影票房榜，米小果同学为了了解这部电影在同学中的受欢迎程度，在初三年级随机抽取了10名男生和10名女生展开问卷调查（问卷调查满分为100分），并对数据进行整理，描述和分析（评分分数用表示，共分为四组：A：；B：；C：；D：，下面给出了部分信息： 10名女生对《哪吒2》的评分分数：67，77，79，83，89，91，98，98，98，100． 10名男生对《哪吒2》的评分分数在C组的数据是：82，83，86 20名同学对《哪吒2》评分统计表 性别 平均数 众数 中位数 方差 满分占比 女生 88 a 90 112.2 10% 男生 88 100 b 200.2 50% 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中的______________________，___________ （2）根据以上数据分析，你认为是女生更喜欢《哪吒2》还是男生更喜欢？请说明理由；（写出一条理由即可） （3）我校初三年级有500名女生和600名男生去看过《哪吒2》，估计这些学生中对《哪吒2》的评分在D组共有多少人？ 23. 2024年巴黎奥运会跳水比赛项目中，中国“梦之队”以8金2银1铜完美收官．如图，某跳水运动员进行3米跳板跳水比赛，身体（看成一点）在空中运动的路线是如图所示的一条抛物线，已知跳板长为2米，跳板距离水面的高为3米，跳水曲线在离起跳点A水平距离1米时达到距水面最大高度k米，现以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系． （1）当时，求这条抛物线的解析式； （2）在（1）的条件下，求运动员落水点与点C的距离； （3）图中米，米，若跳水运动员在区域内（含点E，F）入水时才能达到训练要求，求k的取值范围． 24. 为了全面推进素质教育，助力学生健康成长，公能学校开设了多门选修课程．其中南南和开开想从刺绣、糖画、国家疆土、巧匠工坊中选修一门课程，两名同学恰好选修同一门课程的概率为________． 25. 已知正方形中，是上一动点，过点作交正方形的外角的平分线于点． （1）【动手操作】 如图①，在上截取，连接，根据题意在图中画出图形，图中_____度． （2）【深入探究】是线段上的一个动点，如图②，过点作交直线于点，以为斜边向右作等腰直角三角形，点在射线上，连接．试判断四边形的形状，并证明． （3）【拓展应用】 是射线上的一个动点，过点作交直线于点，以为斜边向右作等腰直角三角形，点在射线上，连接．若，，求线段的长． 26. 新定义：如果二次函数的图象经过点，那么称此二次函数图象为“定点抛物线”． （1）若抛物线是“定点抛物线”，求该抛物线的表达式． （2）已知抛物线（，为常数，且）． ①求证：该抛物线为“定点抛物线”； ②若，当抛物线的顶点在最低位置时，抛物线上有两点，，当时，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 兰州十九中教育集团2024-2025学年第二学期 初三第二次诊断考试（数学） 注意事项： 1．全卷共120分，考试时间120分钟． 2、考生必须将姓名、准考证号、考场号、座位号等个人信息填（涂）写在答题卡上． 3．考生务必将答案直接填（涂）写在答题卡的相应住置上． 一、选择题（体大题共11小题，每小题3分，共33分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 观察如图所示的三种视图，与之对应的物体是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据主视图中有两条虚线，得知该几何体应该有两条从正面看不到的棱，然后结合俯视图及提供的三个几何体即可得出答案． 【详解】解：因为主视图中有两条虚线，所以该几何体有两条从正面看不到的棱，排除B；结合俯视图，可以确定该几何体为D． 故答案为D． 【点睛】此题主要考查了由三视图想象立体图形的能力，主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形；需要注意的是看到的棱用实线表示，看不到的用虚线表示． 2. 解不等式时，去分母后结果正确的为（　　） A. 2（x+2）＞1﹣3（x﹣3） B. 2x+4＞6﹣3x﹣9 C. 2x+4＞6﹣3x+3 D. 2（x+2）＞6﹣3（x﹣3） 【答案】D 【解析】 【分析】利用不等式的性质把不等式两边乘以6可去分母． 【详解】解：去分母得2（x+2）＞6﹣3（x﹣3）． 故选D． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式：根据不等式的性质去分母． 3. 下列关于分式的判断，正确的是（ ） A. 当时，的值为零 B. 当时，有意义 C. 无论x为何值，不可能得正整数值 D. 无论x为何值，的值总为正数 【答案】D 【解析】 【分析】A、当分子为0，分母不为0时，分式的值为0； B、当分母不为0时，分式有意义； C、可举出一个反例； D、只要证明是正数即可，在根据同号得正可得出． 【详解】A．当时，无意义，故A错误，不符合题意； B．当时，有意义，故B错误，不符合题意； C．当或时，得正整数值，故C错误，不符合题意； D．分母，分子，故无论x为何值，的值总为正数，正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式有意义的条件，以及分式等于0的条件． 4. 2025年春节假期，兰州市旅游收入约42亿元，将42亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a、n的值是解题的关键． 将42亿元写成其中，n为整数的形式即可． 【详解】解：42亿元． 故选B． 5. 如图，ABCD，∠1=30°，∠2=40°，则∠EPF的度数是（ ） A. 110° B. 90° C. 80° D. 70° 【答案】D 【解析】 【分析】如图，过点P作PMAB，利用平行线的性质得到∠EPF=∠1+∠2即可． 【详解】解：如图，过点P作PMAB， ∴∠3=∠1=30°， 又∵， ∴， ∴∠4=∠2=40°， ∴∠3+∠4=∠1+∠2=70°， 即∠EPF=70°， 故选：D． 【点睛】本题考查平行线的判定定理以及平行线的性质．注意如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行的运用． 6. 为半圆O的直径，现将一块含30°的直角三角板如图放置，30°角的顶点P在半圆上，斜边经过点B，一条直角边交半圆O于点Q．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，扇形的弧长公式，构造扇形求弧长是解题的关键． 连接，根据圆周角定理求的度数，根据扇形的弧长公式求解即可． 【详解】连接，如图所示， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 故选：C． 7. 如图，已知，是正方形的对角线上的两点，，，则四边形的周长是（ ） A. 8 B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是正方形的性质，勾股定理的应用，二次根式的化简．利用正方形的性质先证明，，，再证明，再利用勾股定理分别求解四边形的四条边长即可得到答案． 【详解】解：如图，连接，交于O， 正方形，， ，，， ， ， ， 同理：， 四边形的周长是． 故选：B． 8. 《孙子算经》下卷第28题译成现代文意思是：现有甲乙二人，身边各有多少钱，不清楚．如果甲的钱数加上乙的钱数的一半，钱数一共是48；如果乙的钱数加上甲的钱数的，钱数一共也是48．问甲乙二人各有多少钱？（ ） A. 24，36 B. 36，18 C. 36，24 D. 24，18 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据题意正确列出二元一次方程组成为解题的关键． 设甲有x钱，乙有y钱，然后根据题意列二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设甲有x钱，乙有y钱， 根据题意可得： ，解得：， 所以甲乙二人分别有36钱和24钱． 故选C． 9. 在一条笔直的公路上A、B两地相120km，甲车从A地开往B地，乙车从B地开往A地，甲比乙先出发．设甲、乙两车距A地的路程为y千米，甲车行驶的时间为x小时，y与x之间的关系如图所示，下列说法错误的是（ ） A. 甲车的速度比乙的速度慢 B. 甲车出发1小时后乙才出发 C. 甲车行驶了2.8h或3.2h时，甲、乙两车相距10km D. 乙车达到A地时，甲车离A地90km 【答案】D 【解析】 【分析】根据图象直接判断A；求出两车的路程y与时间x之间的函数关系式，即可判断B、C、D 【详解】解：当甲出发时乙未出发，甲行驶5小时未到达B地，而乙已经到达A地，说明甲车的速度比乙的速度慢，故选项A正确； 设甲车的路程y与时间x之间的函数关系式为，代入， 得， 解得， ∴甲车的路程y与时间x之间的函数关系式为； 设乙车的路程y与时间x之间的函数关系式为，代入和， ，解得， ∴乙车的路程y与时间x之间的函数关系式为， 当时，，解得， 即甲车出发1小时后乙才出发，故选项B正确； 当时，解得； 当时，解得； ∴甲车行驶了2.8h或3.2h时，甲、乙两车相距10km，故选项C正确； 当时，，故选项D错误； 故选：D． 【点睛】此题考查了一次函数的图象，求一次函数的解析式，一次函数的应用，正确理解一次函数的图象得到相关信息是解题的关键． 10. 已知一组数据的平均数为4，方差是，则另一组数据的平均数和方差分别是（ ） A. 4，5.2 B. 8，6.4 C. 10，12.8 D. 12，16 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了确定一组数据的方差和平均数，理解方差和平均数的意义是解题的关键． 根据平均数的定义和方差的定义解答即可． 【详解】解：∵一组数据的平均数为4， ∴， ∴ ； ∵一组数据的平均数为4，方差是3.2， ∴， ∴另一组数据的方差为 ． 故选C． 11. 约定：若函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称为“黄金函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“黄金点”．若点是关于的“黄金函数”上的一对“黄金点”，且该函数的对称轴始终位于直线的右侧，有结论①；②；③；④，则下列结论正确的是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数性质，待定系数法求二次函数解析式等．根据题意求出的值，代入得到的关系，再根据对称轴在直线的右侧即可求出本题答案． 【详解】解：∵点是关于的“黄金函数”上的一对“黄金点”， ∴点关于原点对称， ∴， ∴， 将代入中，， 解得：， ∴①②正确，符合题意， ∵该函数的对称轴始终位于直线的右侧， ∴，即， ∴， 故④正确，符合题意， ∵， ∴，， 当时，， ∵， ∴， ∴， ∴③错误，不符合题意， 综上所述：正确的是①②④， 故选：C． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 12. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 13. 如图，在中，，以为直径的交于点，过点作，垂足为点，延长交于点，连接． （1）求证：是的切线； （2）连接，若，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵于点， ∴， ∵是的半径，且， ∴是的切线． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，利用等腰三角形性质推出，结合得到，从而根据切线判定定理完成证明． （2）先利用为直径得到，设，在中用勾股定理求出的长度，进而得到的长度；再通过矩形性质得到的长度，最后在中用勾股定理计算 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，延长交于点， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，，，， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题主要考查了切线的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理的应用，熟练掌握切线的判定定理和勾股定理，结合等腰三角形与矩形的性质进行边角转化是解题的关键． 14. 如果一个正六边形的边心距的长度为，那么它的半径的长度为__． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查正多边形与圆，设正六边形的中心是O，一边是，过O作与G，在直角中，根据三角函数即可求得． 【详解】解：如图，过O作与G， ∵，， ∴， 在中，，， ∴， 故答案为：2． 15. 如果一个四位数，前两位数字之和为8，后两位数字之和为5，且各位数字均不为0，则称为“同城数”．把四位数的前两位数字和后两位数字整体交换得到新的四位数．规定．例如：，∵，，∴2614是“同城数”，则．若“同城数”，则______． 已知是“同城数”（，，，均为正整数），若是整数，则满足条件的所有之和是______． 【答案】 ①. 30 ②. 15078 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用、一元一次方程等相关内容，关键在于理解“同城数”的定义，正确列式计算．根据题意直接计算，即可求解；根据同城数的定义，，，是整数，整理化简即可求解出满足条件的所有的值． 【详解】解：根据题意，； 因为 是“同城数”，所以，， ， 整理化简得，， 所以，是8的倍数； 那么、可能的取值为，；或，；或，； 满足条件的所有的值为：1741、6214、7123，它们的和为：． 故答案为：30；15078． 三、解答题（本大题共11小题，共75分．解答时写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 计算：． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，先计算立方根，零指数幂，绝对值，特殊角的三角函数值和负整数指数幂，再进行加减计算即可，熟练掌握各个运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的混合运算、分式的化简求值、分母有理化等知识点，掌握分式的混合运算法则成为解题的关键． 先根据分式的混合运算法则化简，然后再将代入计算即可． 【详解】解： ． 当时，原式． 18. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了可化为一元二次方程的分式方程，去分母转化为一元二次方程是解题的关键；先去分母化为一元二次方程，再解一元二次方程并检验即可得解． 【详解】解：等式两边同乘以得， ， ， ， ，， 经检验：是原方程的增根，舍去； 所以原方程的解为． 19. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于两点，一次函数的图象与y轴交于点C． （1）求一次函数的解析式； （2）根据函数的图象，直接写出不等式的解集； （3）点P是x轴上一点，且的面积等于面积的2倍，求点P的坐标． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】此题考查反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，根据函数的解析式求点的坐标，根据三角形的面积求点的坐标，注意数形结合思想的应用．解题关键在于把已知点代入解析式． （1）利用待定系数法求解即可； （2）观察图象写出一次函数的图象在反比例函数的图象上方的自变量的取值范围即可解决问题； （3）首先求出，设，然后根据题意得到，求解即可． 【小问1详解】 解：反比例函数的图象经过点， ， 解得：， ， 把的坐标代入得， 解得：， ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：观察图象可得， 不等式的解集为：或； 【小问3详解】 解：连接，由一次函数的解析式为可得， ∴， 设， 由题意可得，解得：， 或．     20. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆型汽车、3辆型汽车的进价共计80万元；3辆型汽车、2辆型汽车的进价共计95万元． （1）求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ （2）若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案； （3）若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利8000元，销售1辆B型汽车可获利5000元，在（2）中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）型汽车每辆的进价为25万元，型汽车每辆的进价为10万元； （2）共3种购买方案，方案一：购进型车6辆，型车5辆；方案二：购进型车4辆，型车10辆；方案三：购进型车2辆，型车15辆； （3）购进型车2辆，型车15辆获利最大，最大利润是91000元． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程；（3）利用总价单价数量求出三种购车方案获得的利润． （1）设型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元，根据“2辆型汽车、3辆型汽车的进价共计80万元；3辆型汽车、2辆型汽车的进价共计95万元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进型汽车辆，购进型汽车辆，根据总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可得出结论； （3）利用总价单价数量，即可求出三种购车方案获得的利润，比较后即可得出结论． 【小问1详解】 解：设型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元， 依题意，得：， 解得：． 答：型汽车每辆的进价为25万元，型汽车每辆的进价为10万元； 【小问2详解】 解：设购进型汽车辆，购进型汽车辆， 依题意，得：， 解得：． ，均为正整数， ，，， 共3种购买方案，方案一：购进型车6辆，型车5辆；方案二：购进型车4辆，型车10辆；方案三：购进型车2辆，型车15辆； 【小问3详解】 解：方案一获得利润：（元； 方案二获得利润：（元； 方案三获得利润：（元． ， 购进型车2辆，型车15辆获利最大，最大利润是91000元． 21. 综合与实践 素材一：某款遮阳棚（图1），图2、图3是它的侧面示意图，点为墙壁上的固定点，摇臂绕点旋转过程中长度保持不变，遮阳棚可自由伸缩，棚面始终保持平整．米． 素材二：该地区某天不同时刻太阳光线与地面的夹角的正切值： 时刻（时） 12 13 14 15 角的正切值 5 2.5 1.25 1 【问题解决】 （1）如图2，当时，这天12时在点位置摆放的绿萝刚好不被阳光照射到，求绿萝摆放位置与墙壁的距离； （2）如图3，旋转摇臂，使得点离墙壁距离为1.2米，为使绿萝在这天12时时都不被阳光照射到，则绿萝摆放位置与墙壁的最远距离是多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、解直角三角形的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）过作于，则四边形是正方形，得出，解直角三角形得出，再由计算即可得解； （2）过作于，过作于，则四边形为矩形，得出，求出，解直角三角形得出，再由计算即可得解． 【小问1详解】 解：如图1，过作于， ， 则， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， 在中，，即， ， ， 答：绿萝摆放位置与墙壁的距离为． 【小问2详解】 解：过作于，过作于， ， 则， 四边形为矩形， ， ， ， 由表格可知，在12时时，角的正切值逐渐减小，即逐渐较小， 当14时，点最靠近墙角，此时DE的长度就是绿萝摆放位置与墙壁的最大距离， 在中，， 即， ， ， 答：绿萝摆放位置与墙壁的最大距离为． 22. 2025年春节，《哪吒之魔童闹海》（以下简称《哪吒2》）横空出世，现已登顶全球动画电影票房榜，米小果同学为了了解这部电影在同学中的受欢迎程度，在初三年级随机抽取了10名男生和10名女生展开问卷调查（问卷调查满分为100分），并对数据进行整理，描述和分析（评分分数用表示，共分为四组：A：；B：；C：；D：，下面给出了部分信息： 10名女生对《哪吒2》的评分分数：67，77，79，83，89，91，98，98，98，100． 10名男生对《哪吒2》的评分分数在C组的数据是：82，83，86 20名同学对《哪吒2》评分统计表 性别 平均数 众数 中位数 方差 满分占比 女生 88 a 90 112.2 10% 男生 88 100 b 200.2 50% 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中的______________________，___________ （2）根据以上数据分析，你认为是女生更喜欢《哪吒2》还是男生更喜欢？请说明理由；（写出一条理由即可） （3）我校初三年级有500名女生和600名男生去看过《哪吒2》，估计这些学生中对《哪吒2》的评分在D组共有多少人？ 【答案】（1），， （2）男生更喜欢《哪吒2》， 理由如下： 根据中位数和众数分析，男生的中位数和众数都比女生的高，因此，男生更喜欢《哪吒2》 （3） 【解析】 【分析】本题考查了由样本所占百分比估计总体的数量、扇形统计图信息关联、中位数、众数，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据中位数，众数的定义求得，进而得出评分在的人数，求得的值； （2）根据中位数和众数分析，即可求解； （3）用和分别乘以评分在D组的占比，即可求解． 【小问1详解】 解：名女生对《哪吒2》的评分分数：，，，，，，，，，． 出现最多，则， 根据统计表可得满分的有人，则中位数为第和第6个数据，名男生对《哪吒2》的评分分数在C组的数据是：，，． 则按从小到大排列，第个数据为，第个数据为， 则 根据扇形统计图可得评分分数为和的人数和为，且的人数都不为， ∴评分分数为和的人数都是人 ∴，则 故答案为：，，． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 （人） 即这些学生中对《哪吒2》的评分在D组共有人 23. 2024年巴黎奥运会跳水比赛项目中，中国“梦之队”以8金2银1铜完美收官．如图，某跳水运动员进行3米跳板跳水比赛，身体（看成一点）在空中运动的路线是如图所示的一条抛物线，已知跳板长为2米，跳板距离水面的高为3米，跳水曲线在离起跳点A水平距离1米时达到距水面最大高度k米，现以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系． （1）当时，求这条抛物线的解析式； （2）在（1）的条件下，求运动员落水点与点C的距离； （3）图中米，米，若跳水运动员在区域内（含点E，F）入水时才能达到训练要求，求k的取值范围． 【答案】（1） （2）米 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得，抛物线的顶点坐标为，设抛物线的解析式为，结合，设解析式为，确定a的值即可； （2）根据解析式，得到，求出于x轴的正半轴的交点坐标的横坐标即可解答即可； （3）根据题意，得，抛物线的顶点坐标为，设抛物线的解析式为，得到，抛物线变形为，计算米，米，解答即可． 【小问1详解】 解：根据题意，得，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 又，设解析式为， 故， 解得， 故抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：根据解析式，得到， 故， 解得，（舍去）， 答：运动员落水点与点C的距离米． 【小问3详解】 解：根据题意，得，抛物线的顶点坐标为，设抛物线的解析式为， 把代入，得到， 抛物线变形为， 当时，， 解得； 当时，， 解得． 故k的范围是． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，抛物线与一元二次方程，抛物线与不等式，抛物线的生活应用，熟练掌握应用是解题的关键． 24. 为了全面推进素质教育，助力学生健康成长，公能学校开设了多门选修课程．其中南南和开开想从刺绣、糖画、国家疆土、巧匠工坊中选修一门课程，两名同学恰好选修同一门课程的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．画树状图展示所有种等可能的结果数，再找出他们两人恰好选修同一门课程的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：用、、、分别表示刺绣、糖画、国家疆土、巧匠工坊， 画树状图如图， 共有种等可能的结果，其中他们两人恰好选修同一门课程的结果数为， 所以他们两人恰好选修同一门课程的概率为：． 25. 已知正方形中，是上一动点，过点作交正方形的外角的平分线于点． （1）【动手操作】 如图①，在上截取，连接，根据题意在图中画出图形，图中_____度． （2）【深入探究】是线段上的一个动点，如图②，过点作交直线于点，以为斜边向右作等腰直角三角形，点在射线上，连接．试判断四边形的形状，并证明． （3）【拓展应用】 是射线上的一个动点，过点作交直线于点，以为斜边向右作等腰直角三角形，点在射线上，连接．若，，求线段的长． 【答案】（1）； （2） 解：四边形为正方形，证明如下： 在上截取，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，即， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中，，，， ∴， ∴， 在上截取，连接，则， ∵，， ∴，， 是等腰直角三角形， ，， ，， ， ， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形， 又∵， ∴矩形是正方形； （3）线段的长为或． 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质与判定、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理，关键是通过构造辅助线证明三角形全等，推导线段相等关系，结合特殊四边形的判定定理进行推理，并根据动点的位置进行分类讨论． （1）利用正方形的直角性质，结合证为等腰直角三角形，再通过邻补角的和差关系计算的度数； （2）先在上截取，证明得，再构造辅助线证得，结合证平行四边形，再由垂直证矩形，最后由邻边相等证正方形； （3）分点在线段上和点在延长线上两种情况，先证明两种情况下四边形均为正方形，得到，再利用勾股定理分别计算的长度，即可得的长． 【小问1详解】 解：根据题意画图如图； ∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①当点在线段上时， 由（2）知四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴； ②当点在延长线上时，延长至，使得，连接， ∵，，且，， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵，， ∴． 在和中，， ∴， ∴． ∵，， ∴，即． 延长至点，使，连接， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴，且是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 在和中，， ∴， ∴． 结合，可得， 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴平行四边形是矩形， 又∵， ∴矩形是正方形． ， 综上所述，线段的长为或． 26. 新定义：如果二次函数的图象经过点，那么称此二次函数图象为“定点抛物线”． （1）若抛物线是“定点抛物线”，求该抛物线的表达式． （2）已知抛物线（，为常数，且）． ①求证：该抛物线为“定点抛物线”； ②若，当抛物线的顶点在最低位置时，抛物线上有两点，，当时，求的取值范围． 【答案】（1） （2）①证明：将代入，得， 点在抛物线上， ∴该抛物线为“定点抛物线”. ② 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键； （1）将代入，求解即可； （2）①将代入，得，可知点在抛物线上，进而求解； ②求得该二次函数的对称轴和顶点坐标为，结合题意画出图象，进而求解 【小问1详解】 解：将代入， 得， 解得， 故抛物线的表达式为； 【小问2详解】 ①略 ②， 该抛物线的开口向下， 由题可知该抛物线经过点， 当抛物线的顶点在最低位置时，顶点坐标为. 此时抛物线的对称轴为直线， 点关于直线的对称点为. 画出抛物线的大致图象如图所示； 结合图象可知，当时，点在直线上方， 此时； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $