湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2025届高三下学期5月练习数学试卷

数学练习卷(2025.05) 一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.设集合A=3,4,5},B={2,3,4,8},则图中阴影部分表示的集合为 A.{2,8 B.{3,4 C.{2,5,8} D.{34,5} 2.复数z满足z(0+)=2i,则= A.2 B.2W5 C.1 D.2 3.已知向量a=0,2),6=(2,),若(ma+nb)1(2a-),则 A.2m-n=0 B.2m+n=0 C.m-2n=0.k: D.m+2n=0 年知正四被台ABCD-A4C,D的体积为?万,且AB=2AA=2,则正四棱台的商为 A. 2 B:2, C.2 D:√6 1 的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等,将展开式中所有的项重新随机排列 则有理项互不相邻的概案为 A.9 8 B. 9 e D青 6.已知函数f八)=2cos(@x+p(@>0,1p水x)的图象如图,点4A(经,2),B在f(x)的图象上,过AB 分别作x箱的番钱,垂是分别为G,D,若平行四边形4CBD的面积为号,则经 2 A B.1 c.2 D.5 Inx,,x21 7.已知函数f八x)= 多<广着网+少+m有两个不同的零点,则名+名,的取值题 A.(-m,4-2n2) B.(-o,6 c.[4-2n2,+ow) D.(Je,+o) 已知梢圆号+户-1的左焦点为R过点P阳,分作E的物线以,P原,切点分别为小B则人BF 面积最大值为 A.2 B.5 0.2 D.2W2 二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分在每小题给出的四个选项中,有多项 符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.设函数f(x)=(x-)+m,则 A.当f(x)在R上单调递增时,a>0 B.当a=0时,y=0为曲线y=f(x)的切线 C.点(a)是曲线y=f(x)的对称中心 D.当a<-3时,f(x)的极大值点x<0 10,某数学研究小组发现,函数y=5x+5的图象为双曲线,两个焦点分别为M,N,记该双曲线为:, 3 点P为T上任意一点,则 Ay=5x是x的一条新近线 B.点W,3马)是r的一个顶点 3 2 C.PM-PNI=2V6 D.t的离心率为2 3 11.信息论中,如果知道事件A已发生,那么该事件所给出的信息量称为“自信息”,定义A的“自信息” I(4)=-og2p(0.设随机变量X的所有可能取值为为,x,,x,且P(x)=P>0 亿=2,网小,立A=1,定义X的信息衔H幻=-立A3:以,现抛掷两技质地均匀的敬子标 记为I号和 号),记I号和 号骰子出现的点数分别X,Y,则 A.当事件A=“X+y为偶数”时,I(4)=1 B.当事件B=“X,Y中至少一个为2”,C=“X,Y中仅一个为2"时,I(B)>I(C) c.Fx+vs1-名 D.H(X)<H(X+Y) 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.已知S.为等差数列{a}的前n项和,S+S,=10,则6a3+42= J3.在 ABC中,BC=8,点D是BC上的点,AD平分∠BAC, ABD的面积是 ADC的面积的3 倍,当 ABC的面积最大时,coS∠BAC= 14.设函数f(x)=(e-m)n(x+m),若f(x)≥0,则m+n的最小值为 2 四、解答题:本题共5小题,共77分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 15.(13分) 某学术平台引入智能检测系统对所收集的文本进行筛查,检测系统对AI生成文本的识别准确率为98%, 对人类撰写文本的识别准确率为96.5%.检测系统对所收集的文本进行筛查时,会对每篇文本输出一个“1 生成概率”得分y(分).y与文本长度x(字)可以用一元线性回归模型来刻画,其线性回归方程为y=x+0.95, 且x=480,y=0.35,已知该平台中15%的文本由A1生成. (1)求回归系数6: (2)从该平台随机选取一篇文本,求该文本被检测系统识别为人类撰写文本的概率(精确到0.001): (3)现从平台中随机抽取200篇文本进行统计分析,填写列联表(篇数四舍五入取整数): 检测结果 文本真实性 总计 识别为AI生成(篇) 识别为人类撰写(篇) 真实AI生成(篇) 真实人类撰号(篇) 总计 200 依据小概率值 -0.01的x独立性检验,能否判断“检测结果”与“文本真实性"有差异? 参考公式:x2= n(ad-be)2 (a+b)(c+d)a+c)(b+d) 提示:x独立性检验中常用的小概率值和相应的临界值 a 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 ￥。2.7063.8416.6357.879 10.828 16.(15分) 如图,AB是圆O的直径,C是圆O上异于A,B的一个动点,DC垂直于圆O所在的平面,DC∥EB, DC=EB=1,AB=4. (1)求证:DE⊥平面ACD: D (2)当三棱锥C-ADE体积最大时,求平面AED与平面ABE所成的 二面角的余弦值 3 17.(15分) 设抛物线E:y=2x(P>O)的焦点为F,过点F的直线交E于AB两点,且AB的最小值为4. (1)求E的方程: (2)设过点F的另一直线交E于C,D两点,且点M(2,2)在直线AC上 (i)证明:直线BD过定点N: ()对于0中的定点N,当 MN的面积为宁时,求直线MB的方是 18.(17分) 已知数列{an}的前n项和为S,若存在常数A(元>0),使得Aa≥Sn对任意neN都成立,则称{a}具 有性质P() (1)若{a,}为等差数列,且S=-9,S=-25,求证:{a}具有性质P3); (2)设{a}的各项均为正数,且具有性质P(). ①若{a}是公比为9的等比数列,且1=4,求g的值: ②求元的最小值. 19.(17分) 已知函数f(x)=xnr-c2-x+a. (1)当a=0时,求曲线y=f(x)在点(6,f(e)》处的切线方程: (2)当a=1时,求f(x)的零点个数: (3)若f()有两个极值点x,x(名<),证明:当1≥1时,x+nx2>1+. 数学练习卷(2025.05)解析版 题号1 “2 345 6 9 1011 答案C D B A BD BCD ACDACD 11.新定义(般字模型源于必修2第237页例6) 12,5 13. 号(何氏围,余滨定理) 14.2(将()≥0转化为(x)=e-m,(x)=血(x+n),在定义城(-”,+∞)内同正同负,函数图象 与x轴的交点面合,得到m=e”,进而m+n=e-”+n,利用导数求出最小值,参考2024年新高考2整 第14小题) 四、解答题:本题共5小题,共77分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 15.(13分=2+5+6) 【答案】1)立-ic+0.95,回归系数6=035-095=-0.0125(2分) 480 (2)记事件A=“由A1生成的文本",B=“由人类损写的文本”,C=“被检测系统识别为人类拥写的文本, 由愿意知,P(4)=0.15,P(B)=0.85,P(C10=1-0.98=0.02,P(C1B)=0.965(2分) 由全极串公式知, P(C)=P(C1A)P()+P(C|B)P(B)=0.15 0.02+0.85 0.965≈0.823,(2分) 即该文本被检测系统识别为人类撰写文本的概率约为0.823.(1分) (3)AI生成的箱数为200 15%-30,人类撰写的篇数为200-30=170, 真实A1生成且放识别为A1生成的篇数30 98%-=29.4≈29, 真实人类撰写且被识别为人类撰写的篇数170 96.5%=164.05≈164,(2分) 故列联表为 检测结果 文本真实性 总计 识别为AI生成(篇) 识别为人类撰写(篇) 真实1生成(篇) 29 30 真实人类操写(篇) 6 164 170 总计 35 165 200 (1分) 零假设为 H。:分类变量相互独立,即“检测结果与“文本真实性"无差异.(1分) 由列联表数据计算得,2.20029x164-1x2-2 190 47S0 30 170 35 165 3 7 17 33 153.213>6.635=,(1分) 所以,依据小概率值:O.01的x独立性检验,可以判断“检测结果"与“文本真实性"有差异,(1分) 16.(15分=6+9) 【解答】(1)DC⊥面ABC,BCc面ABC,:DC⊥BC,(2分) 又:AB是⊙0的直径,六AC⊥BC,AcnDC=C,AC,DCc面ACD,∴BC⊥平面ACD,(2分) 又,DC∥EB,DC=EB,四边形BCDE是平行四边形,,DE∥BC,(1分) ,DE⊥平面ACD(1分): (2):AC+BC=AB2=I6,又DE⊥平面ACD,DE=BC, 第1页共4页 则%ac-ho-时awDs-分ix4cBc-名4ccsg4CC-号a分) 2 当且仅当AC=BC 2√互时取等号, ,∴当三棱锥C-ADE体积最大时,AC=BC=2√互,(1分) 以C为原点建立如图所示空间直角坐标系,则425,0,0),D(0,0,),B0,22,0,E(0.2反,), =(-22,0,1)DE=(0,2反,0,(1分) 设平面AED的一个法向量元=(:,只), 则区25x+=0,令x=1得石-02w,2分) % DE=2N2y=0 设平面B距的一个法向量乃 (气), 4丽-22x+2%-=0 令名=1得历=(,1,0),(2分) 元 BE=名=0 12 则网前方号 元儿2 六所求平面ABD与平面BE所成的锐二面角的余弦值为互 .(强调作答) 17.(15分=4+6+5) 【解答】()设直线4B方程:x=+号,代入少=2x中,清去x得少2-2p0-p=0。 设A(,),B(名),则片+片=2m,=-P.(2分) A=1+%-=v1+4p21+)=2p+) 当t=0时,有AB的最小值为2卫, ,2p 4,故E的方程为y2=4x,(2分) (2)(1)设直线4C方程:x=y+2-2m,A(,),C(名乃): 由720去得-02 5=8m-8-① 又海0是%年-京货引腰使引a “当D的斜率不存在时,4C的斜率不存在时,不妨设4么,2),C么-22) 此时,=片D:x=克:4分 当BD的斜率存在时, 直线BD的斜串kD= 4 片+为 直线D方程为y- 化简得 4x+(%+为)y+4=0② 由①②得(8m-8)x+4y+4=0,即m(2x+y月)+1-2x=0.(2分) 由/2r+y= 11-2x= 得,直线BD过定点N小 以直线D过定点N径-小:(1分) y=-1 第2页供4页 由oM-2-+e+ -9 2 直线MN方程为:2x-y-2=0,(1分) 5)到直线MN的距离么-y-斗修-为 y2-24-4, 5 5 25 8mod-25,2-k-2%-9,1分) 21 225 解得1=-4或6所以A点坐标为(4,-4),或(9,6). 且FL0,a=k=-号子a分 综上,直线AB方程为4x+3y-4=0戚3x-4y-3=0.(2分) 18.(17分=4+5+8) 【解答】(1)设等差数列{a}的公差为d,由品=-9,8,=-25,得3a+3d=-9,54+10d=-25, 解得4=-ld=-2,则a,=-1+a-X-2)=-2n+1,3.=1-2m+严。-,(2分) 2 于是3a-S,=3(-2n+l)+(n+1)2=(n-2)2≥0,即3a,≥S1, 所似数列{a}具有性质P3).(2分) (2)①由数列{a}具有性质P(4),得4an≥S1,又等比数列{a}的公比为9, 若g=1,则44之(+1)4,解得n≤3,与n为任意正整数相矛盾;(1分) 当91时,4小24,而a,>0,整理得9≥g” 1-g -,(1分) 1 若0<g<1,则g2g-2牙,解得m<1+63,g-2可,与n为任意正整数相矛盾:1分) 若g>1,则g(g-2)≤1,当g=2时,g(g-2)s1恒成立,满足题意:(1分) 当>1且9=2时,g产≤g分,解得<1+6g分,与为任查正整数相矛面 1 所以g=2.1分) ②由a2S,得a2S2,即2(Sn1-Sn)2S2,(1分) 因此≥S+Sn222SS2,(1分) 即s2,1分) Sa 4 S. 精音异是守器中章a剂 由数列%}各项均为正数,得8<,从面1<孕受,即守>意1分) 若0<A<4,则n<1+oB S ,与n为任意正整数相矛盾,(1分) 因此当124时, 2“2之片恒成立,符合题意, 所以1的最小值为4,(1分) 19.(17分=3+5+9) 【解答】(1)当a=0时,f(x)=xhx-x,所以f(e)=0,f()=lnxr+l-1=nx,(1分) c】=】乐以曲编u=f,l在点aCll的如体剑虫1-, 所以曲线y=f(x)在点(G∫(》处的切线方程为y=x-e,即x-y- =0,(2分) (2)当a=1时,f(x)=xr-x2-x+1,定义域为(0,+∞), f(s)=r+1-2x-1=lnx-2x,(1分) 因=国=m-2,则g国-=22e>0. 当0<x<号时,8(纠>0,当x>时,8倒<0, 所以g纠在( )上单调造道,在行上单调递流 所以了四=8因=8分-h2-1<0,所以r因<0, 所以f(x)在(0,+∞)上单词递减,(2分) 2-g,y e2 e 所以存在德-的%已)使得/)-0.1分) 又f(x)在(0,+∞)上单调递减,所以当a=1时,f(x)的零点个数为1.(1分) (3)f(x)的定义域为(0,+∞),f(x)=lx-2m, 因为f(x)有两个极值点为,本(:<为),(x)有两个极值点,则f"(x)=血x-2m=0有两个不同正根(1分 设g网=lhx-2m,其导数g《0闭=1-2匹6e>0. 若a≤0,g(小0,g()在(0,+∞)递增,g()=0不会有两个正根. 当00,令因-0,得x-六在0品,:在合树,钩港藏 要使倒=0有两个正提,震8始-h石-D0,甲n之,解得0g号 所以当0<a<时,f似有两个极值点名.(2分)(参变分离法同分值给3分,a=血x) 2e 所以ln此=2a匹,且lns=2匹, In 所以n毫-2a6-),所以2a=三,(1分) 一 所以,当A21时,+nx>1+1台2m+21%1=2a(名+1x)>1+ h支 台2a>+a三、+台n点<+台h点< +刻,a分 +2名-与+杯2 五+ 令1一旁a@,即证当≥1时,m<+光-1对re0到恒成立 t+ 令a0=-0+2张-,ea.则0-北-型 t+2 + 因为0<1<1A21,所以1-1<0,1-22<0,0+}>0,所以H0>0, 所以A0在Q)上单调递道,所以h0<h0=0,即u<+张-,Q分) 1+1 所以当≥1时,nx+nx>1+2恒成立.(1分) 第4项/供4项