精品解析：2025年福建省莆田市初中毕业班质量调研测试中考二模数学试题

莆田市2025届初中毕业班质量调研测试试卷 数学 （满分150分；考试时间：120分钟） 友情提示：本试卷分为“试题”和“答题卡”两部分，答题时，请按答题卡中的“注意事项”认真作答，答案写在答题卡上的相应位置． 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各数中，最小的数是（ ） A －l B. 0 C. 1 D. 2. “巳巳如意”图案是2025年乙巳蛇年春晚的主题图案，将两个“巳”字对称摆放，恰似中国传统的如意纹样．双巳合璧，事事如意，饱含喜庆美满的家国祝福．下列“巳”字图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 至2025年4月14日，在全球热映的国产动画片《哪吒之魔童闹海》票房收入已经突破156.36亿元，创造了国产电影的票房最高记录．156.36亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. “榫卯结构”是中国家具的灵魂，展现了传统工艺的精湛，其中突出部分叫做榫，凹进部分叫卯．如图所示的“榫”和“卯”中，“榫”的主视图是（ ） A. B. C. D. 5. 下列各式运算结果为的是（    ） A. B. C. D. 6. 斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”．如图给出了它的画法：以斐波那契数1，1，2，3，5，…，为边的正方形依序拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角为的圆弧，这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线．则图中的长为（ ） A. B. C. D. 7. 2024年3月17日惠州举办了首届马拉松，本届赛事以“畅跑山海惠州，尽享东坡文化”为主题，以弘扬惠州东坡文化为主旨，是一场体现文旅体深度融合的“嘉年华”赛事．已知总赛程约为，在同一场比赛中A选手的平均速度是B选手的1.2倍，最终A选手冲刺终点的时间比B选手提前20分钟，若设B选手的平均速度是，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 小媛在物理实验课上研究光的折射现象，了解到当光从空气射入介质时，折射率（为入射角，为折射角）．如图，一束光从空气射向横截面为直角三角形的硫系玻璃透镜斜面，经折射后沿垂直边的方向射出，若，，，则该玻璃透镜的折射率为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，将反比例函数的图象向右平移1个单位，可以得到函数的图象．下列关于函数的说法中，正确的是（ ） A. 该函数图象交y轴于点 B. 该函数图象关于点对称 C. 该函数图象关于直线对称 D. 该函数图象上任取两点，，若，则 10. 甲、乙两人各有三张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片分别标有数字，，，乙的卡片分别标有数字，，，两人进行轮比赛．每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得分，数字小的人得分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后轮次中不能使用）．则三轮比赛后，甲能得分的概率是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 请写出一个比2大且比4小的无理数：________. 12. 不等式的解集是 ________． 13. 如图，直尺的一边经过三角板的顶点，另一边与三角板的两条直角边分别相交，若，则的度数是________． 14. 如图，矩形中，，，将矩形绕点旋转得到矩形，若恰好经过点，则的长为______． 15. 某市试点区域的垃圾收集情况如图所示，每月可回收垃圾共收集吨，且全市人口约为试点区域人口的倍，估计全市每月收集的垃圾总量为______吨． 16. 二次函数的图象过，，三个点．若，则a的取值范围是________． 三、解答题：本大题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 等边三角形中，点D，E，F分别在，，的延长线上，且，连接，，求证：． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 某大型超市对4种畅销商品促销策略进行调整，据统计调整前后各商品的日均销售量不变，有关数据如表： 商品 A B C D 原售价（元） 8 8 12 16 现售价（元） 6 6 12 20 日均销售量（件） 100 100 200 300 （1）超市声称调整前后这4种商品平均售价不变．请问超市是怎样计算的？ （2）然而部分消费者认为调整后这4种商品的平均售价增加了．请问消费者是怎样计算的？你认为超市和消费者哪一个的说法较能反映整体实际情况？ 21. 如图，将沿AC翻折得到，． （1）求证：四边形是菱形； （2）过点D作交延长线于点E，连接．若，，求长． 22. 已知a，b，c均为正数，满足如下三个条件： ①，②，③． （1）小明探究发现结论：， 证明如下：由①②，得④ 由④③，得． 小红探究发现结论：， 证明如下：由①②，得④， 请你将小红的证明过程补充完整； （2）请你利用小明和小红发现的结论或者按照自己的思路，求出a和c的值． 23. 问题探究 （1）如图1，在四边形中，点在直线上，且，求作，使得点，在直线上，边，，分别经过点，，（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），并直接写出的值； 问题解决 （2）如图2，某市郊野公园现有一块四边形草坪，顶点，，，处均有一棵荔枝古树，点处有一座八角观景亭，园林管理部门准备扩建草坪，想使草坪面积扩大一倍，又想保持棵荔枝古树、八角观景亭在草坪边不动，并要求扩建后的草坪成平行四边形的形状．请问能否实现这一设想？若能，请你设计出所要画的图形；若不能，请说明理由． 24. 问题背景】 在古代，人们通过观察日出日落时间来确定二十四节气、安排农事活动．某校综合实践小组希望通过建立数学模型来探究2024年某地在冬至日前后昼长的变化规律． 【数据收集】 研究小组收集了如下几个节气的数据： 日期 日出时间 日落时间 白昼时长（日落时间-日出时间）/小时 11月7日立冬 06：16 17：19 11.05 11月22日小雪 06：26 17：14 10.80 12月7日大雪 06：38 17：14 10.60 12月22日冬至 06：46 17：19 10.55 1月6日小寒 06：51 17：27 10.60 1月21日大寒 06：51 17：39 10.80 2月4日立春 06：46 17：50 11.07 【建立模型】 从11月7日开始的每15天记作一个单位时间，记为时间，白昼时长记为y（单位：小时），列出下表，并在直角坐标系中描出表格中各对数值所对应的点，然后连接这些点，画出该函数的图象（如图）．实践小组观察曲线发现，可以用抛物线近似地刻画y与x的关系． x 0 1 2 3 4 5 6 y 11.05 10.8 10.6 10.55 10.6 10.8 11.07 任务1：请求出以点为顶点，且过点的抛物线的解析式； 【反思优化】 经检验，发现图中有其他的点不在任务1中的抛物线上，存在偏差．小组决定利用以下方法优化函数解析式，减少偏差．选取x为1，2，3，4，5，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与表格中对应y的值之差的平方和S．若S的值越小，则偏差越小． 任务2：请求出a的值，使得的值最小； 【模型应用】 很多智能手机开发了护眼模式，可以识别日出、日落时刻，并在黑夜时长内开启该模式． 任务3：请利用任务2中优化后的函数解析式来推测2024年11月7日—2025年2月4日期间手机开启护眼模式时长（即黑夜时长）超过13小时的天数．（白昼时长黑夜时长小时，参考数据：，） 25. 定义：中，是它的中线，点在上，若，则称是的“陪位中线”． （1）如图，在中，，是的中点，，垂足为，求证：是的“陪位中线”； （2）内接于，是的中点，连接． 如图，点在上，连接交于点，连接，，若是的“陪位中线”，请从以下的结论中，选择一个正确的结论并给予证明； ⅰ）； ⅱ）是的“陪位中线”； ⅲ）； 如图，过点作的切线交延长线于点，连接交于点，请判断是否为的“陪位中线”，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 莆田市2025届初中毕业班质量调研测试试卷 数学 （满分150分；考试时间：120分钟） 友情提示：本试卷分为“试题”和“答题卡”两部分，答题时，请按答题卡中的“注意事项”认真作答，答案写在答题卡上的相应位置． 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各数中，最小的数是（ ） A. －l B. 0 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据实数的大小比较法则，比较即可解答． 【详解】解：∵， ∴最小的数是-1． 故选：A 【点睛】本题考查实数的大小比较，负数都小于0，正数都大于0，正数大于一切负数，两个负数，其绝对值大的反而小． 2. “巳巳如意”图案是2025年乙巳蛇年春晚的主题图案，将两个“巳”字对称摆放，恰似中国传统的如意纹样．双巳合璧，事事如意，饱含喜庆美满的家国祝福．下列“巳”字图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可． 【详解】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故A选项不合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故B选项不合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C选项不合题意； D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故D选项符合题意． 故选：D． 3. 至2025年4月14日，在全球热映的国产动画片《哪吒之魔童闹海》票房收入已经突破156.36亿元，创造了国产电影的票房最高记录．156.36亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：亿, 故选C． 4. “榫卯结构”是中国家具的灵魂，展现了传统工艺的精湛，其中突出部分叫做榫，凹进部分叫卯．如图所示的“榫”和“卯”中，“榫”的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三视图，熟练掌握三视图的画法，是解题的关键．根据主视图是从正面观察到的图形，进行判断即可． 【详解】解：由题意得“榫”的主视图是， 故选：C． 5. 下列各式运算结果为的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘除法等计算，掌握运算法则是解题的关键．根据相关运算法则对选项进行运算，并判断，即可解题． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故不符合题意； B、，符合题意； C、，不符合题意； D、，不符合题意； 故选：B． 6. 斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”．如图给出了它的画法：以斐波那契数1，1，2，3，5，…，为边的正方形依序拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角为的圆弧，这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线．则图中的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了弧长公式，根据弧长公式求解即可，掌握弧长公式是解题的关键． 【详解】解：由题意可得： ， 故选：C． 7. 2024年3月17日惠州举办了首届马拉松，本届赛事以“畅跑山海惠州，尽享东坡文化”为主题，以弘扬惠州东坡文化为主旨，是一场体现文旅体深度融合的“嘉年华”赛事．已知总赛程约为，在同一场比赛中A选手的平均速度是B选手的1.2倍，最终A选手冲刺终点的时间比B选手提前20分钟，若设B选手的平均速度是，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用——行程问题．熟练掌握路程与速度和时间的关系列代数式，时间差列方程，是解决问题的关键． 20分钟化为小时，根据时间差20分钟列出方程，逐一判断即得． 【详解】∵在同一场比赛中A选手的平均速度是B选手的1.2倍， B选手的平均速度是， ∴A选手的平均速度为， ∵总赛程约为，最终A选手冲刺终点的时间比B选手提前20分钟， ， ∴． 故选：B． 8. 小媛在物理实验课上研究光的折射现象，了解到当光从空气射入介质时，折射率（为入射角，为折射角）．如图，一束光从空气射向横截面为直角三角形的硫系玻璃透镜斜面，经折射后沿垂直边的方向射出，若，，，则该玻璃透镜的折射率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，同角的余角相等，掌握知识点的应用是解题的关键． 由题意得，，则，所以，然后通过折射率即可求解． 【详解】解：如图， ∵折射光线沿垂直边的方向射出， ∵法线垂直于， ∴， ∴， ∴， ∴折射率， 故选：． 9. 如图，将反比例函数的图象向右平移1个单位，可以得到函数的图象．下列关于函数的说法中，正确的是（ ） A. 该函数图象交y轴于点 B. 该函数图象关于点对称 C. 该函数图象关于直线对称 D. 该函数图象上任取两点，，若，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数平移后的图象性质，包括对称性质、增减性及与坐标轴的交点． 根据图象结合相关计算逐选项判断即可． 【详解】解：A．当时，，该函数图象交y轴于点，此选项错误； B．该函数图象关于点对称，此选项错误； C．关于直线对称，将反比例函数的图象向右平移1个单位，直线也向右平移1个单位，为直线， 该函数图象关于直线对称，此选项正确； D．该函数图象上任取两点，，若或，则，此选项错误； 故答案为：C． 10. 甲、乙两人各有三张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片分别标有数字，，，乙的卡片分别标有数字，，，两人进行轮比赛．每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得分，数字小的人得分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后轮次中不能使用）．则三轮比赛后，甲能得分的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了列举法求概率，根据题意一一列举即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：三轮比赛结果 甲 乙 甲得分 三轮比赛后，甲能得分的概率是， 故选：． 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 请写出一个比2大且比4小的无理数：________. 【答案】（或） 【解析】 【分析】利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算，然后找出无理数即可 【详解】设无理数为，，所以x的取值在4~16之间都可，故可填 【点睛】本题考查估算无理数的大小，能够判断出中间数的取值范围是解题关键 12. 不等式的解集是 ________． 【答案】 【解析】 【分析】解不等式即可求解． 【详解】解：， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的解题步骤是解题关键. 13. 如图，直尺的一边经过三角板的顶点，另一边与三角板的两条直角边分别相交，若，则的度数是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质．由平行线的性质推出，求出，得到，由对顶角的在得到． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 如图，矩形中，，，将矩形绕点旋转得到矩形，若恰好经过点，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，矩形的判定的性质以，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键． 由矩形性质可知，，又旋转可知，，，然后通过勾股定理和线段和差即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， 由旋转性质可知，，，， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 某市试点区域的垃圾收集情况如图所示，每月可回收垃圾共收集吨，且全市人口约为试点区域人口的倍，估计全市每月收集的垃圾总量为______吨． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图，根据扇形统计图列出算式，然后求解即可，掌握知识点应用是解题的关键． 【详解】解：由题意得， （吨）， 故答案为：． 16. 二次函数的图象过，，三个点．若，则a的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．根据二次函数解析式求出对称轴以及函数的增减性，根据函数增减性进行判断得到，，则，解不等式组即可得到答案． 【详解】解：二次函数对称轴为：， ∴与函数值对应的点为， 当时，， ∴抛物线与轴相交于点，即交于正半轴， ， ∴函数开口向下， ∴， ∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， 故，，三个点，则的大小关系为． ∵， ∴，， ∴ 解得 故答案为：． 三、解答题：本大题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了实数的混合运算，利用零指数幂、绝对值、二次根式的性质进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 18. 等边三角形中，点D，E，F分别在，，的延长线上，且，连接，，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形，三角形全等，解题的关键是掌握相应的判定定理；利用等边三角形及条件得出，再利用证明三角形全等即可求解． 【详解】证明：是等边三角形， ，， ， ， ，即， 在和中，， ， ． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，根据平方差公式，完全平方公式，分式的混合运算法则化简，再把代入即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解： ， ， ， 当时，原式． 20. 某大型超市对4种畅销商品的促销策略进行调整，据统计调整前后各商品的日均销售量不变，有关数据如表： 商品 A B C D 原售价（元） 8 8 12 16 现售价（元） 6 6 12 20 日均销售量（件） 100 100 200 300 （1）超市声称调整前后这4种商品的平均售价不变．请问超市是怎样计算的？ （2）然而部分消费者认为调整后这4种商品的平均售价增加了．请问消费者是怎样计算的？你认为超市和消费者哪一个的说法较能反映整体实际情况？ 【答案】（1）见解析 （2）消费者的说法较能反映整体实际情况，计算过程见解析 【解析】 【分析】本题考查平均数、加权平均数，熟知加权平均数的求法及其意义是解答的关键． （1）根据平均数求解方法解答即可； （2）利用加权平均数的求解方法求的调整前后的加权平均数，再根据加权平均数反映整体实际情况可得结论． 【小问1详解】 解：超市是这样计算的， 调整前的平均售价：元， 调整后的平均售价：元； 【小问2详解】 解：部分消费者是这样计算的， 调整前的平均售价：元， 调整后的平均售价：元， ， 部分消费者认为调整后这4种商品的平均售价增加了． 根据加权平均数的定义可知，消费者的说法较能反映整体实际情况． 21. 如图，将沿AC翻折得到，． （1）求证：四边形是菱形； （2）过点D作交延长线于点E，连接．若，，求的长． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据翻折，得到，，平行得到，进而推出，即可得证； （2）在中，勾股定理求出的长，进而求出的长，再利用勾股定理进行求解即可． 【小问1详解】 证明：由翻折，得，，． ∵， ， ， ， ， 四边形是菱形． 【小问2详解】 四边形是菱形，， ． ，， 中，， ， 中，． 22. 已知a，b，c均为正数，满足如下三个条件： ①，②，③． （1）小明探究发现结论：， 证明如下：由①②，得④ 由④③，得． 小红探究发现结论：， 证明如下：由①②，得④， 请你将小红的证明过程补充完整； （2）请你利用小明和小红发现的结论或者按照自己的思路，求出a和c的值． 【答案】（1）见解析； （2），． 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，解一元二次方程，分式的四则运算，正确理解题意是解题的关键． （1）由，得，进而推出，再根据题意即可证明结论； （2）先证明，再由得到，解方程求出a的值，进而求出c的值即可． 【小问1详解】 证明：由①②，得④， 由，得， ∴ ∴， 又∵， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴，即， 解得：或（舍去）， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 23 问题探究 （1）如图1，在四边形中，点在直线上，且，求作，使得点，在直线上，边，，分别经过点，，（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），并直接写出的值； 问题解决 （2）如图2，某市郊野公园现有一块四边形草坪，顶点，，，处均有一棵荔枝古树，点处有一座八角观景亭，园林管理部门准备扩建草坪，想使草坪面积扩大一倍，又想保持棵荔枝古树、八角观景亭在草坪边不动，并要求扩建后的草坪成平行四边形的形状．请问能否实现这一设想？若能，请你设计出所要画的图形；若不能，请说明理由． 【答案】（1）图见解析，；（2）能，图见解析． 【解析】 【分析】本题考查了作图——基本作图，平行四边形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识． （1）连接，过点作的平行线，再过点、点分别作的平行线，四条线的交点为、、、，则四边形即为所求，根据平行四边形的性质可得出的值； （2）连接，过点和分别作的平行线，再连接分别交过点、过点的直线于点、，最后过点作的平行线分别交过点、过点的直线于点、，则四边形即为所求． 【详解】解（1）如图，即为所求， ，， 四边形和四边形均是平行四边形， ， 直线与间的距离处处相等，与间的距离处处相等， ，， ， ； （2）能实现这一设想，如图，连接，过点和分别作的平行线，再连接分别交过点、过点的直线于点、，最后过点作的平行线分别交过点、过点的直线于点、，则四边形即为所求， 理由如下： ，， 四边形、四边形和四边形均是平行四边形， ， 直线与间的距离处处相等，与间的距离处处相等， ，， ， ． 24. 【问题背景】 在古代，人们通过观察日出日落时间来确定二十四节气、安排农事活动．某校综合实践小组希望通过建立数学模型来探究2024年某地在冬至日前后昼长的变化规律． 【数据收集】 研究小组收集了如下几个节气的数据： 日期 日出时间 日落时间 白昼时长（日落时间-日出时间）/小时 11月7日立冬 06：16 17：19 11.05 11月22日小雪 06：26 17：14 10.80 12月7日大雪 06：38 17：14 10.60 12月22日冬至 06：46 17：19 10.55 1月6日小寒 06：51 17：27 10.60 1月21日大寒 06：51 17：39 10.80 2月4日立春 06：46 17：50 11.07 【建立模型】 从11月7日开始的每15天记作一个单位时间，记为时间，白昼时长记为y（单位：小时），列出下表，并在直角坐标系中描出表格中各对数值所对应的点，然后连接这些点，画出该函数的图象（如图）．实践小组观察曲线发现，可以用抛物线近似地刻画y与x的关系． x 0 1 2 3 4 5 6 y 11.05 10.8 10.6 10.55 10.6 10.8 11.07 任务1：请求出以点为顶点，且过点的抛物线的解析式； 【反思优化】 经检验，发现图中有其他的点不在任务1中的抛物线上，存在偏差．小组决定利用以下方法优化函数解析式，减少偏差．选取x为1，2，3，4，5，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与表格中对应y的值之差的平方和S．若S的值越小，则偏差越小． 任务2：请求出a的值，使得的值最小； 【模型应用】 很多智能手机开发了护眼模式，可以识别日出、日落时刻，并在黑夜时长内开启该模式． 任务3：请利用任务2中优化后的函数解析式来推测2024年11月7日—2025年2月4日期间手机开启护眼模式时长（即黑夜时长）超过13小时的天数．（白昼时长黑夜时长小时，参考数据：，） 【答案】任务1：；任务2：；任务3：81天． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意求出对应的函数解析式是解题的关键． 任务1：把解析式设为顶点式，再利用待定系数法求解即可； 任务2：求出当，2，3，4，5时，对应的函数值，进而根据题意求出S关于a的函数关系式，据此利用二次函数的性质求解即可； 任务3：根据任务2所求，求出当时，对应的自变量的值，再根据从11月7日开始，每15天记作一个单位时间即可求出答案． 【详解】解：任务1：二次函数的顶点坐标为， ∴可设抛物线解析式为， 该二次函数过， ， 解得， 与x的函数解析式为． 任务2：当，2，3，4，5时， 对应的函数值分别为，，10.55，，， ， ∴当时，S最小， ． 任务3：由任务2得到优化后的函数解析式为． 白昼时长黑夜时长小时， 若黑夜时长13小时，则白昼时长为11小时， 令，则，即或5.7． 从11月7日开始，每15天记作一个单位时间， 或85.5， 白昼时长小于11小时的天数从2024年11月12日—2025年1月31日共天，即黑夜时长大于13小时的天数为81天． 25. 定义：中，是它的中线，点在上，若，则称是的“陪位中线”． （1）如图，在中，，是的中点，，垂足为，求证：是的“陪位中线”； （2）内接于，是的中点，连接． 如图，点在上，连接交于点，连接，，若是的“陪位中线”，请从以下的结论中，选择一个正确的结论并给予证明； ⅰ）； ⅱ）是的“陪位中线”； ⅲ）； 如图，过点作的切线交延长线于点，连接交于点，请判断是否为的“陪位中线”，并说明理由． 【答案】（1）见解析； （2）ⅰ）见解析； ⅱ）见解析； ⅲ）见解析； 是，理由见解析． 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可知，根据等边对等角可得：，因为，所以，根据同角的余角相等可证，等量代换可得，从而可证结论成立； ⅰ）根据陪位中线的定义可知，根据圆周角定理可知，可证，根据相似三角形的性质可得：，根据中线的定义可知，从而可得：，根据陪位中线的定义可证，从而可证，根据相似三角形的性质可证结论成立； ⅱ）根据圆周角定理可得：，根据三角形外角的性质可知，，所以可得：， 根据圆周角定理可证：，所以可得； ⅲ）若，则，即只有当时，才成立； 连接，，，根据切线的性质可知，为的中点，因为可知，根据同角的余角相等可得,从而可证，根据相似三角形的性质可得，从而可得：，又因为，可得，根据相似三角形的性质可知 ，根据三角形外角的性质可得：，又因为，所以可得：，从而可证，可证结论成立． 【小问1详解】 证明：在中，，为上的中线， ， ， ， ， ， ， ， 是的“陪位中线”； 【小问2详解】 解：ⅰ）：证明：是的“陪位中线”， ， ， ， ， ， 为上的中线， ， ． ， ， ， ， ， ， ； ⅱ）证明：， ， ，， ， ， ， ， 是的“陪位中线”； ⅲ）解：若， 则， 由ⅰ）可知， ， ， ， ， 即只有当时，成立； ：解是的“陪位中线”， 如下图所示，连接，，， 是的切线， ， ，为的中点， ， ， ， ， ， ， ， ． ， ， ． ， ． ， ， ，， ， ，， ， ， 是的“陪位中线”． 【点睛】本题主要考查了相似三角形判定与性质、圆周勾股定理、切线的判定与性质、新定义，解决本题的关键是理解“陪位中线”的定义，根据定义进行解答即可 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$