精品解析：浙江省文成中学2024-2025学年高一下学期第一次月考数学试题

高一下学期第一次月考数学试题卷 1. 已知向量，则（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数（其中为虚数单位）对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 设D为所在平面内一点，则（ ） A. B. C. D. 4. 在中，内角，，的对边分别是，，，若，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，（其中，），若与共线，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 为测量两塔塔尖之间的距离，某数学建模活动小组构建了如图所示的几何模型.若平面，平面，，，，，，则塔尖之间的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 在中，向量与满足，且，则为（ ） A. 直角三角形 B. 等腰直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰非等边三角形 8. 梯形中平行于,，为腰所在直线上任意一点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 9. 已知向量，不共线，则下列能作为平面向量的一个基底的有（ ） A. B. C. D. 10. 八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知点O为所在平面内一点，且，则下列选项正确的是（ ） A. B. 直线必过边的中点 C. D. 若，且，则 12. 已知为虚数单位，则复数的模为__________. 13. 设 ， 且的夹角为钝角，实数的取值范围是___________. 14. 如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为________. 15. 已知向量，，且与共线. （1）求的值； （2）若与垂直，求实数的值. 16. 在四边形中，，，，，． （Ⅰ）求角； （Ⅱ）求的长． 17. 已知平面直角坐标系内三点、、在一条直线上，满足，，，且，其中为坐标原点. （1）求实数，的值； （2）设的重心为，且，求的值. 18. 已知锐角的内角所对的边分别，且. 若，，且． （1）求角和边． （2）若点满足，求的面积． 思维拓展 19. 已知向量，函数，． （1）当时，求的值； （2）若的最小值为﹣1，求实数m的值； （3）是否存在实数m，使函数，有四个不同的零点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一下学期第一次月考数学试题卷 1. 已知向量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算公式直接计算即可. 【详解】因为， 所以． 故选：A. 【点睛】本题考查向量的坐标运算，属于基础题. 2. 在复平面内，复数（其中为虚数单位）对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】首先化简复数，再根据复数的几何意义，求对应的点所在象限. 【详解】，对应的点时，在第四象限. 故选：D 3. 设D为所在平面内一点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平面向量基本定理，把作为基底，再利用向量的加减法法则把向量用基底表示出来即可. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：C. 4. 在中，内角，，的对边分别是，，，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用正弦定理可得代入已知可得，再由余弦定理可得角，再结合求出从而得到. 【详解】在中，因为，所以由正弦定理可得， 又因为，所以， 由余弦定理可得， 由，可得， 所以，， 由可得或，而， 所以，可得. 故选：C. 5. 已知向量，（其中，），若与共线，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题首先可以根据与共线得出，然后将转化为，通过基本不等式即可得出结果. 【详解】因为与共线，，， 所以，即， 则， 当且仅当、时等号成立， 故的最小值为， 故选：B. 6. 为测量两塔塔尖之间的距离，某数学建模活动小组构建了如图所示的几何模型.若平面，平面，，，，，，则塔尖之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先在中求得，中求得，再在中利用余弦定理求即可. 【详解】依题意，在中，，，则，； 在中，，，则; 又中，，则. 故塔尖之间的距离为. 故选：B. 7. 在中，向量与满足，且，则为（ ） A. 直角三角形 B. 等腰直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰非等边三角形 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件可知角的角平分线与垂直，可得，再由向量夹角公式得，得，求出即可得的形状. 【详解】，分别为向量与的单位向量， 因为，所以角的角平分线与垂直， 所以是等腰三角形，且， 由，，所以， 所以，可得， 所以是等腰直角三角形. 故选：B 8. 梯形中平行于,，为腰所在直线上任意一点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用建系的方法，假设，分别计算以及，然后令，最后根据二次函数的性质可得结果. 【详解】依据题意，建立如图所示平面直角坐标系 设， 由， 所以 则 所以 令，则 所以 当时，有 故选：B 【点睛】本题考查利用建系的方法解决向量的问题，本题关键在于采用建系，用坐标表示向量，几何问题代数化，便于计算，属难题. 9. 已知向量，不共线，则下列能作为平面向量的一个基底的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】通过判断向量是否共线即可得解. 【详解】对于A，令，即， 所以无解， 故向量与不共线，能作为平面向量的一个基底，A正确； 对于B，因为，即向量与共线，故不能作为平面向量的一个基底；B错误； 对于C，令，即， 所以无解， 故向量与不共线，能作为平面向量的一个基底，C正确； 对于D，令，即， 所以无解， 故向量与不共线，能作为平面向量的一个基底，D正确 故选：ACD. 10. 八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用向量数量积的运算性质，向量的加减法法则及正八边形的性质逐个分析判断即可 【详解】解：对于A，，所以A正确， 对于B，由，得 ，所以B错误， 对于C， ，所以C正确， 对于D，由C可知 ，所以D错误， 故选：AC 11. 已知点O为所在平面内一点，且，则下列选项正确的是（ ） A. B. 直线必过边的中点 C. D. 若，且，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题设条件，化简得到，可判定A是正确的；根据向量的线性运算法则，化简得到，可判定B不正确；根据，得到，结合三角形的面积公式，可判定C正确；根据向量的数量积和模的运算公式，可判定D是正确的. 【详解】如图所示，点O为所在平面内一点，且， 可得，即， 即，所以，所以A是正确的； 在中，设为的中点， 由，可得， 所以，所以直线不过边的中点，所以B不正确； 由，可得且， 所以，所以，可得，所以 所以，所以C正确； 由，可得 因为，且， 可得， 所以，所以D是正确的. 故选：ACD. 【点睛】本题主要考查了平面向量的基本概念，向量的线性运算，以及向量的数量积和向量的模的运算及应用，其中解答中熟记向量的线性运算法则，以及平面向量的数量积和模的计算公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 12. 已知为虚数单位，则复数的模为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简，再计算其模. 【详解】因为， 所以复数的模为. 故答案为： 13. 设 ， 且的夹角为钝角，实数的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可知且不共线，结合向量的坐标运算列式求解. 【详解】因为的夹角为钝角，则且不共线， 可得，解得且， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 14. 如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为________. 【答案】 【解析】 【分析】解法1：先根据得到，从而可得，再根据三点共线定理，即可得到的值. 解法2：根据图形和向量的转化用同一组基底去表示，根据图形可得：，设，通过向量线性运算可得：，从而根据平面向量基本定理列方程组，解方程组得的值. 【详解】解法1：因为，所以， 又， 所以 因为点三点共线， 所以， 解得：. 解法2： 因为，设， 所以， 因为，所以， 又， 所以， 所以， 又， 所以 解得： ， 所以. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算、三点共线定理，平面向量基本定理的运用，属于基础题. 15. 已知向量，，且与共线. （1）求的值； （2）若与垂直，求实数的值. 【答案】（1），（2）. 【解析】 【分析】（1），然后利用与共线求出答案即可 （2）利用数量积的相关知识直接计算即可. 【详解】（1） 因为与共线，所以， 解得. （2）由（1）知，所以 由与垂直，得， 所以， 解得. 【点睛】本题考查共线向量、向量的坐标运算以及向量的数量积，属于基础题. 16. 在四边形中，，，，，． （Ⅰ）求角； （Ⅱ）求的长． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）. 【解析】 【分析】（Ⅰ）中，根据余弦定理求角；（Ⅱ）首先在中利用正弦定理求，即得，在中，利用正弦定理求的长. 【详解】（Ⅰ）在中，由余弦定理可得， 因为， 所以． （Ⅱ）因为， 所以． 在中，由正弦定理可得，即， 解得2，即． 因为，所以． 在中，由正弦定理可得，即， 解得． 17. 已知平面直角坐标系内三点、、在一条直线上，满足，，，且，其中为坐标原点. （1）求实数，的值； （2）设的重心为，且，求的值. 【答案】（1），或.（2） 【解析】 【分析】（１）依据题设运用向量的垂直与平行建立方程组求解；（２）借助题设及向量的数量积公式分析求解： 【详解】解：（1）因为三点，，在一条直线上，所以， 又，，所以，① 因为 ，所以，即，② 由①、②解得，或. （2）因为为的重心，且，所以点为线段的中点， 所以，. 所以，， 因此. 18. 已知锐角的内角所对的边分别，且. 若，，且． （1）求角和边． （2）若点满足，求的面积． 【答案】（1），；（2）. 【解析】 【分析】（1）由向量垂直得数量积为0，再由正弦定理化边为角，可求得角，然后由余弦定理求得，注意取舍． （2）由向量的线性运算求得在上位置，利用的面积得出结论． 【详解】（1）由，即，由正弦定理， ，又， 又． 由，代入得，1或2， 又时，，不合题意，舍； 时，，符合题意，所以． （2）， ， 在上，且为靠近的三等分点， ， ． 【点睛】关键点点睛：本题考查正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，平面向量垂直的数量积表示，解题关键是由正弦定理化边为角．在解三角形中已知两边和一边对角求第三边时也可以应用余弦定理列式求解，同样需要判断三角形解的情况． 思维拓展 19. 已知向量，函数，． （1）当时，求的值； （2）若的最小值为﹣1，求实数m的值； （3）是否存在实数m，使函数，有四个不同的零点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）利用向量数量积的公式化简函数即可． （2）求出函数的表达式，利用换元法结合一元二次函数的最值性质进行讨论求解即可． （3）由得到方程的根，利用三角函数的性质进行求解即可． 【小问1详解】 ， 当时，， 则； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴， 则， 令，则， 则，对称轴， ①当，即时， 当时，函数取得最小值，此时最小值，得（舍）， ②当，即时， 当时，函数取得最小值，此时最小值，得或（舍去）， ③当，即时， 当时，函数取得最小值，此时最小值，得（舍）， 综上：若的最小值为﹣1，则实数． 【小问3详解】 令，得或， ∴方程或在上有四个不同的实根， 则，解得，则， 即实数m的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $