圆的方程专项练习【16个题型】-2026年高三数学一轮复习
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内容正文：
高考数学常考题型归纳
【圆的方程，直线和圆，圆与圆的方程】
总览
题型梳理
一．圆的标准方程（共3小题）
二．根据圆的几何属性求圆的标准方程（共3小题）
三．根据圆的几何属性求圆的一般式方程（共1小题）
四．由圆的一般式方程求圆的几何属性（共1小题）
五．圆的切线方程（共1小题）
六．过圆上一点的圆的切线方程（共1小题）
七．过圆外一点的圆的切线方程（共6小题）
八．直线与圆相交的性质（共8小题）
九．直线及坐标轴被圆截得的弦及弦长（共1小题）
一十．直线与圆的位置关系（共12小题）
一十一．根据圆心到直线距离与圆的半径求解直线与圆的位置关系（共1小题）
一十二．圆上的点到定点的距离及其最值（共1小题）
一十三．圆与圆的位置关系及其判定（共2小题）
一十四．根据两圆的圆心距与两圆半径之和求解圆与圆的位置关系（共4小题）
一十五．根据联立两圆方程解的情况求解圆与圆的位置关系（共1小题）
一十六．由圆与圆的位置关系求解圆的方程或参数（共2小题）
【知识总览】
1.点到直线的距离公式
【知识点的认识】
﹣点到直线距离：点（x0，y0）到直线Ax+By+C＝0的距离为：
2.圆的标准方程
【知识点的认识】
1．圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）叫做圆．定点叫做圆心，定长就是半径．
2．圆的标准方程：
（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0），
其中圆心C（a，b），半径为r．
特别地，当圆心为坐标原点时，半径为r的圆的方程为：
x2+y2＝r2．
其中，圆心（a，b）是圆的定位条件，半径r是圆的定形条件．
【解题方法点拨】
已知圆心坐标和半径，可以直接带入方程写出，在所给条件不是特别直接的情况下，关键是求出a，b，r的值再代入．一般求圆的标准方程主要使用待定系数法．步骤如下：
（1）根据题意设出圆的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2；
（2）根据已知条件，列出关于a，b，r的方程组；
（3）求出a，b，r的值，代入所设方程中即可．
3.根据圆的几何属性求圆的标准方程
【知识点的认识】
1．圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）叫做圆．定点叫做圆心，定长就是半径．
2．圆的标准方程：
（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0），
其中圆心C（a，b），半径为r．
特别地，当圆心为坐标原点时，半径为r的圆的方程为：
x2+y2＝r2．
其中，圆心（a，b）是圆的定位条件，半径r是圆的定形条件．
4.根据圆的几何属性求圆的一般式方程
【知识点的认识】
1．圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）叫做圆．定点叫做圆心，定长就是半径．
2．圆的一般方程：
x2+y2+Dx+Ey+F＝0（D2+E2﹣4F＞0）
其中圆心坐标为（，），半径r．
3．圆的一般方程的特点：
（1）x2和y2系数相同，且不等于0；
（2）没有xy这样的二次项．
以上两点是二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F＝0表示圆的必要非充分条件．
5.圆的切线方程
【知识点的认识】
圆的切线方程一般是指与圆相切的直线方程，特点是与圆只有一个交点，且过圆心与切点的直线垂直切线．
圆的切线方程的类型：
（1）过圆上一点的切线方程：对于这种情况我们可以通过圆心与切点的连线垂直切线求出切线的斜率，继而求出直线方程
（2）过圆外一点的切线方程．这种情况可以先设直线的方程，然后联立方程求出他们只有一个解（交点）时斜率的值，进而求出直线方程．
6.过圆上一点的圆的切线方程
【知识点的认识】
﹣切线方程：给定圆的方程（x﹣h）2+（y﹣k）2＝r2和圆上的点（x1，y1），切线的方程为：
【解题方法点拨】
﹣求切线方程：
1．代入点坐标：将圆上的点（x1，y1）代入切线方程公式．
2．简化方程：得到切线的方程形式．
7.过圆外一点的圆的切线方程
【知识点的认识】
﹣外切线方程：给定圆的方程（x﹣h）2+（y﹣k）2＝r2和外点（x0，y0），可以使用切线公式：
其中R是与圆外切的圆的半径．
8.直线与圆相交的性质
【知识点的认识】
直线与圆的关系分为相交、相切、相离．判断的方法就是看圆心到直线的距离和圆半径谁大谁小：
①当圆心到直线的距离小于半径时，直线与圆相交；
②当圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切；
③当圆心到直线的距离大于半径时，直线与圆相离．
9.直线与圆的位置关系
【知识点的认识】
直线与圆的位置关系
【解题方法点拨】
判断直线与圆的位置关系的方法
直线Ax+By+C＝0与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0）的位置关系的判断方法：
（1）几何方法：利用圆心到直线的d和半径r的关系判断．
圆心到直线的距离d
①相交：d＜r
②相切：d＝r
③相离：d＞r
（2）代数方法：联立直线与圆的方程，转化为一元二次方程，用判别式△判断．
由消元，得到一元二次方程的判别式△
①相交：△＞0
②相切：△＝0
③相离：△＜0．
10.圆上的点到定点的距离及其最值
【知识点的认识】
﹣最值问题：圆上的点到定点的距离范围是最小和最大值，分别是圆心到定点距离减去半径和加上半径．
【解题方法点拨】
﹣最值计算：
1．计算距离：使用点到圆心的距离和半径计算最小值和最大值．
2．应用几何性质：利用圆的几何性质计算距离的范围．
11.圆与圆的位置关系及其判定
【知识点的认识】
圆与圆的位置关系
【解题方法点拨】
圆与圆的位置关系的判定
设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，|O1O2|＝d
（1）几何法：利用两圆的圆心距与两圆半径的关系判断
①外离（4条公切线）：d＞r1+r2
②外切（3条公切线）：d＝r1+r2
③相交（2条公切线）：|r1﹣r2|＜d＜r1+r2
④内切（1条公切线）：d＝|r1﹣r2|
⑤内含（无公切线）：0＜d＜|r1﹣r2|
（2）代数法：联立两圆方程，转化为一元二次方程，但要注意一个x值可能对应两个y值．
12.两圆的公切线条数及方程的确定
【知识点的认识】
之前谈到过圆外一点可以做两条圆的相切，那么当有两个圆的时候，他们的公切线有几条呢？这里面不得不考虑两个圆的位置关系．①当两圆相离时，公切线有四条；②当两圆外切时，公切线有三条；③当两圆内切时，公切线仅有一条；④当两圆的关系为内含时，没有公切线．
【解题方法点拨】
初中知识，在高考中较少涉及，求切线的方法无外乎先设出切线方程，然后根据切线的性质求出切线的参数即可．
题型分类
知识讲解与常考题型
一．圆的标准方程（共3小题）
1．（2025•西安模拟）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，H（m，4）是抛物线C上一点，以点H为圆心的圆与直线相切于点T．若，则圆H的标准方程为（ ）
A．（x﹣4）2+（y﹣4）2＝9 B．（x﹣4）2+（y﹣4）2＝16
C．（x﹣2）2+（y﹣4）2＝4 D．（x﹣3）2+（y﹣4）2＝9
2．（2024秋•邢台期末）已知直线l：kx﹣y﹣4k+1＝0恒过定点P，则以P为圆心，2为半径的圆的方程为（ ）
A．（x﹣4）2+（y﹣1）2＝2 B．（x+4）2+（y+1）2＝2
C．（x﹣4）2+（y﹣1）2＝4 D．（x+4）2+（y+1）2＝4
3．（2024秋•长宁区校级期末）已知点A（﹣4，2），B（﹣4，﹣2），C（﹣2，2），则△ABC外接圆的方程是（ ）
A．x2+（y﹣3）2＝5 B．（x+3）2+y2＝5
C．x2+（y+3）2＝5 D．（x﹣3）2+y2＝5
二．根据圆的几何属性求圆的标准方程（共3小题）
4．（2025•海淀区二模）圆心坐标为C（﹣1，2），且与x轴相切的圆的方程为（ ）
A．（x﹣1）2+（y+2）2＝1 B．（x﹣1）2+（y+2）2＝4
C．（x+1）2+（y﹣2）2＝1 D．（x+1）2+（y﹣2）2＝4
5．（2024秋•重庆期末）已知圆C经过O（0，0），A（2，0）两点，且圆心C在直线l：x﹣y＝0上，则圆C的标准方程为（ ）
A．（x﹣1）2+（y+1）2＝2 B．（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2
C．（x+1）2+（y+1）2＝2 D．（x+1）2+（y﹣1）2＝2
6．（2025•南京二模）若圆心在x轴上的圆C与直线l：x﹣y+1＝0相切于点A（1，2），则圆心C的坐标为 ．
三．根据圆的几何属性求圆的一般式方程（共1小题）
7．（2025•安顺模拟）已知抛物线C：y2＝8x的顶点和焦点分别为O，F，则以线段OF为直径的圆的方程是 ．
四．由圆的一般式方程求圆的几何属性（共1小题）
8．（2025•济宁二模）若圆x2+y2﹣2ax﹣2y﹣1＝0关于直线x+by﹣2＝0对称，其中a＞0，b＞0，则的最小值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
五．圆的切线方程（共1小题）
9．（2024秋•武汉期末）若圆C1：x2+y2+2ax+a2﹣4＝0（a∈R）与圆C2：x2+y2﹣2by﹣1+b2＝0（b∈R）恰有三条切线，则a+b的最大值为（ ）
A．﹣3 B．﹣3 C．3 D．3
六．过圆上一点的圆的切线方程（共1小题）
10．（2025•顺德区模拟）已知圆O：x2+y2＝1，过圆M：（x+1）2+（y）2＝25上一点P作圆O的两条切线PA，PB，切点为A，B，则四边形OAPB面积的最小值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
七．过圆外一点的圆的切线方程（共6小题）
11．（2025•泰安模拟）过直线y＝﹣x+1上任一点P向圆x2+（y+1）2＝1作两条切线，切点为A，B．则|AB|的最小值为（ ）
A． B． C． D．
12．（2025•济宁校级二模）定义：到定点（a，b）的距离为定值d的直线系方程为（x﹣a）cosθ+（y﹣b）sinθ＝d（θ∈R），此方程也是以（a，b）为圆心，d为半径的圆的切线方程．则当θ变动时，动直线xcos2θ+ysin2θ＝2cos2θ（θ∈R）围成的封闭图形的面积为（ ）
A．1 B．2 C．π D．4π
13．（2025•晋中模拟）若过点（0，3）且与圆（x﹣2）2+y2＝2相切的两条直线的夹角为θ，则cosθ＝（ ）
A． B． C． D．
14．（2024秋•南平期末）过点P（0，2）作圆C：x2+y2﹣4x﹣1＝0的切线PA，PB，切点分别为A，B，则四边形PACB的面积为（ ）
A．2 B． C． D．
15．（2024秋•邢台期末）已知直线l：2x+y﹣5＝0与y轴交于点A，点P在直线l上（异于点A），过点P作圆O：x2+y2＝1的两条切线，切点分别为M，N，当∠MPN最大时，四边形PMON的面积为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
16．（2024秋•衡水期末）若过点P（2，2）向圆C：x2+y2＝1作两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（ ）
A． B． C． D．
八．直线与圆相交的性质（共8小题）
17．（2025•南岗区校级三模）已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝5，直线l：2mx+y﹣4m﹣1＝0，直线l被圆C所截得的弦长最短时，实数m的值为（ ）
A． B． C．0 D．﹣1
18．（2025•景德镇模拟）动圆M经过直线l：y＝x与⊙C：（x﹣6）2+y2＝20的交点A，B，过原点O向动圆M作切线，切点为P，若恒成立，则实数λ的最大值是（ ）
A． B． C． D．
19．（2025•西城区校级模拟）已知圆C：（x﹣4）2+（y﹣3）2＝1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0）．若圆C上存点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
20．（2024秋•苏州期末）直线cosθx+sinθy+1＝0交x轴于A，交y轴于B，点C在圆O：x2+y2＝1上，且距离直线cosθx+sinθy+1＝0距离最远，则△ABC面积的最小值为（ ）
A． B． C．4 D．2
21．（2024秋•广州期末）已知直线mx﹣y+2m+1＝0与圆C：（x+1）2+（y﹣2）2＝4相交于M，N两点，则的最小值为（ ）
A． B．2 C．4 D．
22．（2025•射阳县校级模拟）已知圆O：x2+y2＝4，过（0，1）的直线l与圆O交于M，N两点，则直线l的方程为（ ）
A． B． C． D．
23．（2025•黑龙江一模）已知M，N是圆C：（x﹣2）2+（y+3）2＝5上的两个动点，且|MN|＝2，P为直线3x﹣4y+12＝0上的动点，则的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．15 D．16
24．（2025•重庆模拟）若直线kx﹣y﹣2＝0与曲线有两个不同的交点，则实数k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
九．直线及坐标轴被圆截得的弦及弦长（共1小题）
25．（2025•汕尾校级模拟）已知点M是圆x2+y2＝1上一点，点N是圆C：（x﹣3）2+y2＝3上一点，则∠CMN的最大值为（ ）
A． B． C． D．
一十．直线与圆的位置关系（共12小题）
26．（2025•郑州模拟）已知P点坐标为（2cosθ，sinθ），直线与圆交于A，B两点，则的取值范围是（ ）
A．[﹣1，1] B．[﹣4，4]
C． D．
27．（2025春•广东期中）已知点A在圆C：x2+y2﹣10x﹣4y+29﹣m2＝0（m＞0）上，直线l：6x+y+12＝0与两坐标轴分别交于M，N两点，若存在点A使得AM⊥AN，则m的取值范围为（ ）
A．[4，16] B．
C． D．
28．（2025春•昌江区校级期中）已知圆C：（x+2）2+y2＝4，直线l：（m+1）x+2y﹣1+m＝0（m∈R），则下列错误的是（ ）
A．直线l与圆C不可能相切
B．当m＝0时，圆C上恰有三个点到直线l距离等于1
C．直线l与直线2x﹣（m+1）y＝0垂直
D．若圆C与圆x2+y2﹣2x+8y+a＝0恰有三条公切线，则a＝8
29．（2025春•北仑区校级期中）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，0），B（﹣2，2），若点P为圆C：x2+y2＝1上的动点，则的最大值为（ ）
A．3 B． C．5 D．
30．（2025•石景山区一模）已知点M，N为圆x2+y2﹣2y﹣3＝0上两点，且|MN|＝2，点P在直线x﹣y﹣5＝0上，点Q为线段MN中点，则|PQ|的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
31．（2025春•观山湖区校级月考）已知直线l：y＝x+b与圆C：（x﹣5）2+（y﹣3）2＝4交于A，B两点，则的一个充分不必要条件是（ ）
A．b∈[﹣3，﹣1] B．b∈[﹣3，0] C． D．b∈[﹣3，1]
32．（2025•龙岗区校级一模）已知直线l：ax+by﹣r2＝0与图C：x2+y2＝r2，点A（a，b），则下列说法错误的是（ ）
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切
B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离
D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
33．（2025•南京模拟）已知点P为直线l：x+y﹣2＝0上的一点，过点P作圆C：（x+1）2+（y+1）2＝1的切线PA，切点为A，则cos∠PCA的最大值为（ ）
A． B． C． D．
34．（2025•锦州模拟）设直线l：y＝x+5与x轴交于点A，圆O：x2+y2＝10，过l上一点P作圆O的两条切线PC，PD，C，D为切点，CD中点为M，则|AM|的取值范围是（ ）
A．， B．
C．[3，5] D．[4，6]
35．（2025春•宝山区校级月考）点M（x，y）在圆x2+（y﹣2）2＝1上运动，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
36．（2025•池州模拟）已知直线l：xcosθ+ysinθ+1＝0（θ∈R），圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝4，过l上一点P作C的两条切线，切点分别为M，N，使四边形PMCN的面积为的点P有且仅有一个，则此时直线MN的方程为（ ）
A．3x+4y﹣20＝0 B．9x+12y﹣65＝0
C．11x+17y﹣81＝0 D．19x+23y﹣129＝0
37．（2025春•黄浦区校级月考）瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．若△ABC满足AC＝BC，顶点A（0，1），B（2，﹣1），且其“欧拉线”与圆M：（x﹣4）2+y2＝r2相切，则下列结论错误的是（ ）
A．题中的“欧拉线”方程为x﹣y﹣1＝0
B．圆M上的点到直线x﹣y＝0的最小距离为
C．若圆M与圆x2+（y﹣a）2＝8有公共点，则a∈[﹣4，4]
D．若点（x，y）在圆M上，则的最大值是
一十一．根据圆心到直线距离与圆的半径求解直线与圆的位置关系（共1小题）
38．（2024秋•仓山区校级期末）已知b是a，c的等差中项，直线ax+by+c＝0与圆x2+y2+4y﹣1＝0交于A，B两点，则|AB|的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．
一十二．圆上的点到定点的距离及其最值（共1小题）
39．（2025•南京校级二模）若圆x2+y2＝4上总存在两个点到点（a，1）的距离为3，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣1，1） B．
C．（﹣1，0）∪（0，1） D．
一十三．圆与圆的位置关系及其判定（共2小题）
40．（2024秋•龙岗区校级期末）若圆x2+y2﹣2x﹣5＝0与圆x2+y2+2x﹣4y﹣4＝0相交于A、B，则AB所在直线方程是（ ）
A．4x﹣4y+1＝0 B．4x﹣4y﹣1＝0 C．x+y﹣1＝0 D．x﹣y+1＝0
41．（2024秋•丰城市校级期末）已知圆，圆，则下列说法正确的是（ ）
A．圆C1与圆C2公共弦所在直线的方程为3x+4y﹣5＝0
B．圆C1与圆C2有两条公切线
C．x＝﹣1是圆C1与圆C2的一条公切线
D．圆C1与圆C2上均恰有两点到直线3x+4y﹣5＝0的距离为2
一十四．根据两圆的圆心距与两圆半径之和求解圆与圆的位置关系（共4小题）
42．（2025•山东模拟）已知圆C1：x2+y2＝1与圆C：（x﹣3）2+y2＝r2（r＞0）有3条公切线，圆C覆盖圆C1，C2，则圆C面积的最小值为（ ）
A．9π B．12π C．16π D．18π
43．（2024秋•赫章县期末）已知圆M：x2+y2﹣2ay＝0（a＞0）截直线x﹣y＝0所得线段的长度为4，则圆M与圆N：x2+y2﹣6x+12y+20＝0的位置关系是（ ）
A．内切 B．外切 C．相交 D．外离
44．（2024秋•泰安期末）已知圆与圆有两个公共点，则实数a的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
45．（2024秋•宜春校级期末）已知动圆C的方程为（x﹣cosθ）2+（y﹣sinθ）2＝θ，其中θ为常数，θ∈[π，2π），有下列两个命题：
①存在θ∈[π，2π），使圆C与圆相切；
②对任意θ∈[π，2π），直线l：xcosθ+ysinθ+1＝0上都存在点P，圆C上都存在两点A、B，使PA⊥PB．则（ ）
A．①②都为真命题
B．①为真命题，②为假命题
C．①为假命题，②为真命题
D．①②都为假命题
一十五．根据联立两圆方程解的情况求解圆与圆的位置关系（共1小题）
46．（2025•长春模拟）圆x2+y2﹣4＝0与圆x2+y2﹣4x+4y﹣12＝0的公共弦长为（ ）
A． B． C． D．
一十六．由圆与圆的位置关系求解圆的方程或参数（共2小题）
47．（2025•山东模拟）已知圆C1：x2+y2＝4与圆C2：（x+a）2+（y+2）2＝9有三条公切线，则a＝（ ）
A． B． C． D．
48．（2024秋•泰州期末）已知圆（x﹣a）2+（y﹣1）2＝1与圆x2+y2＝3相交于A，B两点，若直线AB的倾斜角为45°，则实数a的值为 ．
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$$高考数学常考题型归纳
【圆的方程，直线和圆，圆与圆的方程】
总览
题型梳理
一．圆的标准方程（共3小题）
二．根据圆的几何属性求圆的标准方程（共3小题）
三．根据圆的几何属性求圆的一般式方程（共1小题）
四．由圆的一般式方程求圆的几何属性（共1小题）
五．圆的切线方程（共1小题）
六．过圆上一点的圆的切线方程（共1小题）
七．过圆外一点的圆的切线方程（共6小题）
八．直线与圆相交的性质（共8小题）
九．直线及坐标轴被圆截得的弦及弦长（共1小题）
一十．直线与圆的位置关系（共12小题）
一十一．根据圆心到直线距离与圆的半径求解直线与圆的位置关系（共1小题）
一十二．圆上的点到定点的距离及其最值（共1小题）
一十三．圆与圆的位置关系及其判定（共2小题）
一十四．根据两圆的圆心距与两圆半径之和求解圆与圆的位置关系（共4小题）
一十五．根据联立两圆方程解的情况求解圆与圆的位置关系（共1小题）
一十六．由圆与圆的位置关系求解圆的方程或参数（共2小题）
【知识总览】
1.点到直线的距离公式
【知识点的认识】
﹣点到直线距离：点（x0，y0）到直线Ax+By+C＝0的距离为：
2.圆的标准方程
【知识点的认识】
1．圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）叫做圆．定点叫做圆心，定长就是半径．
2．圆的标准方程：
（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0），
其中圆心C（a，b），半径为r．
特别地，当圆心为坐标原点时，半径为r的圆的方程为：
x2+y2＝r2．
其中，圆心（a，b）是圆的定位条件，半径r是圆的定形条件．
【解题方法点拨】
已知圆心坐标和半径，可以直接带入方程写出，在所给条件不是特别直接的情况下，关键是求出a，b，r的值再代入．一般求圆的标准方程主要使用待定系数法．步骤如下：
（1）根据题意设出圆的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2；
（2）根据已知条件，列出关于a，b，r的方程组；
（3）求出a，b，r的值，代入所设方程中即可．
3.根据圆的几何属性求圆的标准方程
【知识点的认识】
1．圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）叫做圆．定点叫做圆心，定长就是半径．
2．圆的标准方程：
（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0），
其中圆心C（a，b），半径为r．
特别地，当圆心为坐标原点时，半径为r的圆的方程为：
x2+y2＝r2．
其中，圆心（a，b）是圆的定位条件，半径r是圆的定形条件．
4.根据圆的几何属性求圆的一般式方程
【知识点的认识】
1．圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）叫做圆．定点叫做圆心，定长就是半径．
2．圆的一般方程：
x2+y2+Dx+Ey+F＝0（D2+E2﹣4F＞0）
其中圆心坐标为（，），半径r．
3．圆的一般方程的特点：
（1）x2和y2系数相同，且不等于0；
（2）没有xy这样的二次项．
以上两点是二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F＝0表示圆的必要非充分条件．
5.圆的切线方程
【知识点的认识】
圆的切线方程一般是指与圆相切的直线方程，特点是与圆只有一个交点，且过圆心与切点的直线垂直切线．
圆的切线方程的类型：
（1）过圆上一点的切线方程：对于这种情况我们可以通过圆心与切点的连线垂直切线求出切线的斜率，继而求出直线方程
（2）过圆外一点的切线方程．这种情况可以先设直线的方程，然后联立方程求出他们只有一个解（交点）时斜率的值，进而求出直线方程．
6.过圆上一点的圆的切线方程
【知识点的认识】
﹣切线方程：给定圆的方程（x﹣h）2+（y﹣k）2＝r2和圆上的点（x1，y1），切线的方程为：
【解题方法点拨】
﹣求切线方程：
1．代入点坐标：将圆上的点（x1，y1）代入切线方程公式．
2．简化方程：得到切线的方程形式．
7.过圆外一点的圆的切线方程
【知识点的认识】
﹣外切线方程：给定圆的方程（x﹣h）2+（y﹣k）2＝r2和外点（x0，y0），可以使用切线公式：
其中R是与圆外切的圆的半径．
8.直线与圆相交的性质
【知识点的认识】
直线与圆的关系分为相交、相切、相离．判断的方法就是看圆心到直线的距离和圆半径谁大谁小：
①当圆心到直线的距离小于半径时，直线与圆相交；
②当圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切；
③当圆心到直线的距离大于半径时，直线与圆相离．
9.直线与圆的位置关系
【知识点的认识】
直线与圆的位置关系
【解题方法点拨】
判断直线与圆的位置关系的方法
直线Ax+By+C＝0与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0）的位置关系的判断方法：
（1）几何方法：利用圆心到直线的d和半径r的关系判断．
圆心到直线的距离d
①相交：d＜r
②相切：d＝r
③相离：d＞r
（2）代数方法：联立直线与圆的方程，转化为一元二次方程，用判别式△判断．
由消元，得到一元二次方程的判别式△
①相交：△＞0
②相切：△＝0
③相离：△＜0．
10.圆上的点到定点的距离及其最值
【知识点的认识】
﹣最值问题：圆上的点到定点的距离范围是最小和最大值，分别是圆心到定点距离减去半径和加上半径．
【解题方法点拨】
﹣最值计算：
1．计算距离：使用点到圆心的距离和半径计算最小值和最大值．
2．应用几何性质：利用圆的几何性质计算距离的范围．
11.圆与圆的位置关系及其判定
【知识点的认识】
圆与圆的位置关系
【解题方法点拨】
圆与圆的位置关系的判定
设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，|O1O2|＝d
（1）几何法：利用两圆的圆心距与两圆半径的关系判断
①外离（4条公切线）：d＞r1+r2
②外切（3条公切线）：d＝r1+r2
③相交（2条公切线）：|r1﹣r2|＜d＜r1+r2
④内切（1条公切线）：d＝|r1﹣r2|
⑤内含（无公切线）：0＜d＜|r1﹣r2|
（2）代数法：联立两圆方程，转化为一元二次方程，但要注意一个x值可能对应两个y值．
12.两圆的公切线条数及方程的确定
【知识点的认识】
之前谈到过圆外一点可以做两条圆的相切，那么当有两个圆的时候，他们的公切线有几条呢？这里面不得不考虑两个圆的位置关系．①当两圆相离时，公切线有四条；②当两圆外切时，公切线有三条；③当两圆内切时，公切线仅有一条；④当两圆的关系为内含时，没有公切线．
【解题方法点拨】
初中知识，在高考中较少涉及，求切线的方法无外乎先设出切线方程，然后根据切线的性质求出切线的参数即可．
题型分类
知识讲解与常考题型
一．圆的标准方程（共3小题）
1．（2025•西安模拟）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，H（m，4）是抛物线C上一点，以点H为圆心的圆与直线相切于点T．若，则圆H的标准方程为（ ）
A．（x﹣4）2+（y﹣4）2＝9 B．（x﹣4）2+（y﹣4）2＝16
C．（x﹣2）2+（y﹣4）2＝4 D．（x﹣3）2+（y﹣4）2＝9
2．（2024秋•邢台期末）已知直线l：kx﹣y﹣4k+1＝0恒过定点P，则以P为圆心，2为半径的圆的方程为（ ）
A．（x﹣4）2+（y﹣1）2＝2 B．（x+4）2+（y+1）2＝2
C．（x﹣4）2+（y﹣1）2＝4 D．（x+4）2+（y+1）2＝4
3．（2024秋•长宁区校级期末）已知点A（﹣4，2），B（﹣4，﹣2），C（﹣2，2），则△ABC外接圆的方程是（ ）
A．x2+（y﹣3）2＝5 B．（x+3）2+y2＝5
C．x2+（y+3）2＝5 D．（x﹣3）2+y2＝5
二．根据圆的几何属性求圆的标准方程（共3小题）
4．（2025•海淀区二模）圆心坐标为C（﹣1，2），且与x轴相切的圆的方程为（ ）
A．（x﹣1）2+（y+2）2＝1 B．（x﹣1）2+（y+2）2＝4
C．（x+1）2+（y﹣2）2＝1 D．（x+1）2+（y﹣2）2＝4
5．（2024秋•重庆期末）已知圆C经过O（0，0），A（2，0）两点，且圆心C在直线l：x﹣y＝0上，则圆C的标准方程为（ ）
A．（x﹣1）2+（y+1）2＝2 B．（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2
C．（x+1）2+（y+1）2＝2 D．（x+1）2+（y﹣1）2＝2
6．（2025•南京二模）若圆心在x轴上的圆C与直线l：x﹣y+1＝0相切于点A（1，2），则圆心C的坐标为 ．
三．根据圆的几何属性求圆的一般式方程（共1小题）
7．（2025•安顺模拟）已知抛物线C：y2＝8x的顶点和焦点分别为O，F，则以线段OF为直径的圆的方程是 ．
四．由圆的一般式方程求圆的几何属性（共1小题）
8．（2025•济宁二模）若圆x2+y2﹣2ax﹣2y﹣1＝0关于直线x+by﹣2＝0对称，其中a＞0，b＞0，则的最小值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
五．圆的切线方程（共1小题）
9．（2024秋•武汉期末）若圆C1：x2+y2+2ax+a2﹣4＝0（a∈R）与圆C2：x2+y2﹣2by﹣1+b2＝0（b∈R）恰有三条切线，则a+b的最大值为（ ）
A．﹣3 B．﹣3 C．3 D．3
六．过圆上一点的圆的切线方程（共1小题）
10．（2025•顺德区模拟）已知圆O：x2+y2＝1，过圆M：（x+1）2+（y）2＝25上一点P作圆O的两条切线PA，PB，切点为A，B，则四边形OAPB面积的最小值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
七．过圆外一点的圆的切线方程（共6小题）
11．（2025•泰安模拟）过直线y＝﹣x+1上任一点P向圆x2+（y+1）2＝1作两条切线，切点为A，B．则|AB|的最小值为（ ）
A． B． C． D．
12．（2025•济宁校级二模）定义：到定点（a，b）的距离为定值d的直线系方程为（x﹣a）cosθ+（y﹣b）sinθ＝d（θ∈R），此方程也是以（a，b）为圆心，d为半径的圆的切线方程．则当θ变动时，动直线xcos2θ+ysin2θ＝2cos2θ（θ∈R）围成的封闭图形的面积为（ ）
A．1 B．2 C．π D．4π
13．（2025•晋中模拟）若过点（0，3）且与圆（x﹣2）2+y2＝2相切的两条直线的夹角为θ，则cosθ＝（ ）
A． B． C． D．
14．（2024秋•南平期末）过点P（0，2）作圆C：x2+y2﹣4x﹣1＝0的切线PA，PB，切点分别为A，B，则四边形PACB的面积为（ ）
A．2 B． C． D．
15．（2024秋•邢台期末）已知直线l：2x+y﹣5＝0与y轴交于点A，点P在直线l上（异于点A），过点P作圆O：x2+y2＝1的两条切线，切点分别为M，N，当∠MPN最大时，四边形PMON的面积为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
16．（2024秋•衡水期末）若过点P（2，2）向圆C：x2+y2＝1作两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（ ）
A． B． C． D．
八．直线与圆相交的性质（共8小题）
17．（2025•南岗区校级三模）已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝5，直线l：2mx+y﹣4m﹣1＝0，直线l被圆C所截得的弦长最短时，实数m的值为（ ）
A． B． C．0 D．﹣1
18．（2025•景德镇模拟）动圆M经过直线l：y＝x与⊙C：（x﹣6）2+y2＝20的交点A，B，过原点O向动圆M作切线，切点为P，若恒成立，则实数λ的最大值是（ ）
A． B． C． D．
19．（2025•西城区校级模拟）已知圆C：（x﹣4）2+（y﹣3）2＝1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0）．若圆C上存点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
20．（2024秋•苏州期末）直线cosθx+sinθy+1＝0交x轴于A，交y轴于B，点C在圆O：x2+y2＝1上，且距离直线cosθx+sinθy+1＝0距离最远，则△ABC面积的最小值为（ ）
A． B． C．4 D．2
21．（2024秋•广州期末）已知直线mx﹣y+2m+1＝0与圆C：（x+1）2+（y﹣2）2＝4相交于M，N两点，则的最小值为（ ）
A． B．2 C．4 D．
22．（2025•射阳县校级模拟）已知圆O：x2+y2＝4，过（0，1）的直线l与圆O交于M，N两点，则直线l的方程为（ ）
A． B． C． D．
23．（2025•黑龙江一模）已知M，N是圆C：（x﹣2）2+（y+3）2＝5上的两个动点，且|MN|＝2，P为直线3x﹣4y+12＝0上的动点，则的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．15 D．16
24．（2025•重庆模拟）若直线kx﹣y﹣2＝0与曲线有两个不同的交点，则实数k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
九．直线及坐标轴被圆截得的弦及弦长（共1小题）
25．（2025•汕尾校级模拟）已知点M是圆x2+y2＝1上一点，点N是圆C：（x﹣3）2+y2＝3上一点，则∠CMN的最大值为（ ）
A． B． C． D．
一十．直线与圆的位置关系（共12小题）
26．（2025•郑州模拟）已知P点坐标为（2cosθ，sinθ），直线与圆交于A，B两点，则的取值范围是（ ）
A．[﹣1，1] B．[﹣4，4]
C． D．
27．（2025春•广东期中）已知点A在圆C：x2+y2﹣10x﹣4y+29﹣m2＝0（m＞0）上，直线l：6x+y+12＝0与两坐标轴分别交于M，N两点，若存在点A使得AM⊥AN，则m的取值范围为（ ）
A．[4，16] B．
C． D．
28．（2025春•昌江区校级期中）已知圆C：（x+2）2+y2＝4，直线l：（m+1）x+2y﹣1+m＝0（m∈R），则下列错误的是（ ）
A．直线l与圆C不可能相切
B．当m＝0时，圆C上恰有三个点到直线l距离等于1
C．直线l与直线2x﹣（m+1）y＝0垂直
D．若圆C与圆x2+y2﹣2x+8y+a＝0恰有三条公切线，则a＝8
29．（2025春•北仑区校级期中）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，0），B（﹣2，2），若点P为圆C：x2+y2＝1上的动点，则的最大值为（ ）
A．3 B． C．5 D．
30．（2025•石景山区一模）已知点M，N为圆x2+y2﹣2y﹣3＝0上两点，且|MN|＝2，点P在直线x﹣y﹣5＝0上，点Q为线段MN中点，则|PQ|的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
31．（2025春•观山湖区校级月考）已知直线l：y＝x+b与圆C：（x﹣5）2+（y﹣3）2＝4交于A，B两点，则的一个充分不必要条件是（ ）
A．b∈[﹣3，﹣1] B．b∈[﹣3，0] C． D．b∈[﹣3，1]
32．（2025•龙岗区校级一模）已知直线l：ax+by﹣r2＝0与图C：x2+y2＝r2，点A（a，b），则下列说法错误的是（ ）
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切
B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离
D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
33．（2025•南京模拟）已知点P为直线l：x+y﹣2＝0上的一点，过点P作圆C：（x+1）2+（y+1）2＝1的切线PA，切点为A，则cos∠PCA的最大值为（ ）
A． B． C． D．
34．（2025•锦州模拟）设直线l：y＝x+5与x轴交于点A，圆O：x2+y2＝10，过l上一点P作圆O的两条切线PC，PD，C，D为切点，CD中点为M，则|AM|的取值范围是（ ）
A．， B．
C．[3，5] D．[4，6]
35．（2025春•宝山区校级月考）点M（x，y）在圆x2+（y﹣2）2＝1上运动，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
36．（2025•池州模拟）已知直线l：xcosθ+ysinθ+1＝0（θ∈R），圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝4，过l上一点P作C的两条切线，切点分别为M，N，使四边形PMCN的面积为的点P有且仅有一个，则此时直线MN的方程为（ ）
A．3x+4y﹣20＝0 B．9x+12y﹣65＝0
C．11x+17y﹣81＝0 D．19x+23y﹣129＝0
37．（2025春•黄浦区校级月考）瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．若△ABC满足AC＝BC，顶点A（0，1），B（2，﹣1），且其“欧拉线”与圆M：（x﹣4）2+y2＝r2相切，则下列结论错误的是（ ）
A．题中的“欧拉线”方程为x﹣y﹣1＝0
B．圆M上的点到直线x﹣y＝0的最小距离为
C．若圆M与圆x2+（y﹣a）2＝8有公共点，则a∈[﹣4，4]
D．若点（x，y）在圆M上，则的最大值是
一十一．根据圆心到直线距离与圆的半径求解直线与圆的位置关系（共1小题）
38．（2024秋•仓山区校级期末）已知b是a，c的等差中项，直线ax+by+c＝0与圆x2+y2+4y﹣1＝0交于A，B两点，则|AB|的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．
一十二．圆上的点到定点的距离及其最值（共1小题）
39．（2025•南京校级二模）若圆x2+y2＝4上总存在两个点到点（a，1）的距离为3，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣1，1） B．
C．（﹣1，0）∪（0，1） D．
一十三．圆与圆的位置关系及其判定（共2小题）
40．（2024秋•龙岗区校级期末）若圆x2+y2﹣2x﹣5＝0与圆x2+y2+2x﹣4y﹣4＝0相交于A、B，则AB所在直线方程是（ ）
A．4x﹣4y+1＝0 B．4x﹣4y﹣1＝0 C．x+y﹣1＝0 D．x﹣y+1＝0
41．（2024秋•丰城市校级期末）已知圆，圆，则下列说法正确的是（ ）
A．圆C1与圆C2公共弦所在直线的方程为3x+4y﹣5＝0
B．圆C1与圆C2有两条公切线
C．x＝﹣1是圆C1与圆C2的一条公切线
D．圆C1与圆C2上均恰有两点到直线3x+4y﹣5＝0的距离为2
一十四．根据两圆的圆心距与两圆半径之和求解圆与圆的位置关系（共4小题）
42．（2025•山东模拟）已知圆C1：x2+y2＝1与圆C：（x﹣3）2+y2＝r2（r＞0）有3条公切线，圆C覆盖圆C1，C2，则圆C面积的最小值为（ ）
A．9π B．12π C．16π D．18π
43．（2024秋•赫章县期末）已知圆M：x2+y2﹣2ay＝0（a＞0）截直线x﹣y＝0所得线段的长度为4，则圆M与圆N：x2+y2﹣6x+12y+20＝0的位置关系是（ ）
A．内切 B．外切 C．相交 D．外离
44．（2024秋•泰安期末）已知圆与圆有两个公共点，则实数a的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
45．（2024秋•宜春校级期末）已知动圆C的方程为（x﹣cosθ）2+（y﹣sinθ）2＝θ，其中θ为常数，θ∈[π，2π），有下列两个命题：
①存在θ∈[π，2π），使圆C与圆相切；
②对任意θ∈[π，2π），直线l：xcosθ+ysinθ+1＝0上都存在点P，圆C上都存在两点A、B，使PA⊥PB．则（ ）
A．①②都为真命题
B．①为真命题，②为假命题
C．①为假命题，②为真命题
D．①②都为假命题
一十五．根据联立两圆方程解的情况求解圆与圆的位置关系（共1小题）
46．（2025•长春模拟）圆x2+y2﹣4＝0与圆x2+y2﹣4x+4y﹣12＝0的公共弦长为（ ）
A． B． C． D．
一十六．由圆与圆的位置关系求解圆的方程或参数（共2小题）
47．（2025•山东模拟）已知圆C1：x2+y2＝4与圆C2：（x+a）2+（y+2）2＝9有三条公切线，则a＝（ ）
A． B． C． D．
48．（2024秋•泰州期末）已知圆（x﹣a）2+（y﹣1）2＝1与圆x2+y2＝3相交于A，B两点，若直线AB的倾斜角为45°，则实数a的值为 ．
【解析】
一．圆的标准方程（共3小题）
1．（2025•西安模拟）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，H（m，4）是抛物线C上一点，以点H为圆心的圆与直线相切于点T．若，则圆H的标准方程为（ ）
A．（x﹣4）2+（y﹣4）2＝9 B．（x﹣4）2+（y﹣4）2＝16
C．（x﹣2）2+（y﹣4）2＝4 D．（x﹣3）2+（y﹣4）2＝9
【考点】圆的标准方程．版权所有
【分析】根据点H在抛物线上和，结合抛物线定义列方程组可解得m和p，即可得出抛物线的方程．
【解答】解：过点H作HM垂直于直线，垂足为M，
以点H为圆心的圆与直线相切于点T．
则，
因为，
所以，得m＝2p．
因为H（m，4）是抛物线C上一点，
所以2pm＝16，得p＝2，m＝4，
则|TH|＝3，H（4，4），
故圆H的标准方程为（x﹣4）2+（y﹣4）2＝9．
故选：A．
【点评】本题主要考查圆的标准方程的求解，属于中档题．
2．（2024秋•邢台期末）已知直线l：kx﹣y﹣4k+1＝0恒过定点P，则以P为圆心，2为半径的圆的方程为（ ）
A．（x﹣4）2+（y﹣1）2＝2 B．（x+4）2+（y+1）2＝2
C．（x﹣4）2+（y﹣1）2＝4 D．（x+4）2+（y+1）2＝4
【考点】圆的标准方程．版权所有
【分析】先求出定点，再根据圆心和半径写出圆的方程即可．
【解答】解：已知直线l：kx﹣y﹣4k+1＝0恒过定点P，
由直线l：kx﹣y﹣4k+1＝0，得k（x﹣4）﹣y+1＝0，
令，解得，即P（4，1），
所以以P为圆心，2为半径的圆的方程为（x﹣4）2+（y﹣1）2＝4．
故选：C．
【点评】本题考查了圆的方程的求解，属于基础题．
3．（2024秋•长宁区校级期末）已知点A（﹣4，2），B（﹣4，﹣2），C（﹣2，2），则△ABC外接圆的方程是（ ）
A．x2+（y﹣3）2＝5 B．（x+3）2+y2＝5
C．x2+（y+3）2＝5 D．（x﹣3）2+y2＝5
【考点】圆的标准方程．版权所有
【分析】根据点A是直角三角形ABC的直角顶点，求出圆心的坐标和圆的半径，则圆的方程可得．
【解答】
解：由题意知，△ABC是直角三角形，且∠A＝90°
∴圆的半径为，圆心为（﹣3，0）
∴圆的方程为（x+3）2+y2＝5
故选：B．
【点评】本题主要考查了圆的标准方程．解题的关键求得圆的圆心和半径．
二．根据圆的几何属性求圆的标准方程（共3小题）
4．（2025•海淀区二模）圆心坐标为C（﹣1，2），且与x轴相切的圆的方程为（ ）
A．（x﹣1）2+（y+2）2＝1 B．（x﹣1）2+（y+2）2＝4
C．（x+1）2+（y﹣2）2＝1 D．（x+1）2+（y﹣2）2＝4
【考点】根据圆的几何属性求圆的标准方程．版权所有
【分析】圆心坐标为C（﹣1，2），且与x轴相切的圆的半径r＝2，由此能求出圆的方程．
【解答】解：∵圆心坐标为C（﹣1，2），且与x轴相切的圆，
∴圆半径r＝2，
∴圆心坐标为C（﹣1，2），且与x轴相切的圆的方程为（x+1）2+（y﹣2）2＝4．
故选：D．
【点评】本题考查圆的方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意切线性质、圆的性质的合理运用．
5．（2024秋•重庆期末）已知圆C经过O（0，0），A（2，0）两点，且圆心C在直线l：x﹣y＝0上，则圆C的标准方程为（ ）
A．（x﹣1）2+（y+1）2＝2 B．（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2
C．（x+1）2+（y+1）2＝2 D．（x+1）2+（y﹣1）2＝2
【考点】根据圆的几何属性求圆的标准方程．版权所有
【分析】由圆的性质可得垂直弦平分弦，可得圆心C在线段OA的中垂线上，由O，A的坐标，可得OA的中垂线的方程，又在直线l上，联立这两个方程，可得圆心C的坐标，进而求出圆的半径r＝|OC|，进而求出圆的标准方程．
【解答】解：由题意设圆心C在线段OA的中垂线上，即在x＝1上，
联立，可得x＝y＝1，
即圆心C（1，1），半径r＝|OC|，
所以圆C的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2．
故选：B．
【点评】本题考查圆的性质的应用及圆的标准方程的求法，属于基础题．
6．（2025•南京二模）若圆心在x轴上的圆C与直线l：x﹣y+1＝0相切于点A（1，2），则圆心C的坐标为 （3，0） ．
【考点】根据圆的几何属性求圆的标准方程．版权所有
【分析】求出过点A（1，2）且与直线l垂直的直线方程，再令y＝0求出x，即可得解．
【解答】解：由题意圆心在x轴上的圆C与直线l：x﹣y+1＝0相切于点A（1，2），
可设过点A（1，2）且与直线l：x﹣y+1＝0垂直的直线为x+y+m＝0，
则1+2+m＝0，解得m＝﹣3，
所以x+y﹣3＝0，即圆心在直线x+y﹣3＝0，又圆心在x轴上，
令y＝0，可得x＝3，所以圆心坐标为（3，0）．
故答案为：（3，0）．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，是中档题．
三．根据圆的几何属性求圆的一般式方程（共1小题）
7．（2025•安顺模拟）已知抛物线C：y2＝8x的顶点和焦点分别为O，F，则以线段OF为直径的圆的方程是 （x﹣1）2+y2＝1 ．
【考点】根据圆的几何属性求圆的一般式方程；求抛物线的焦点和焦准距．版权所有
【分析】根据圆和抛物线的性质即可求解．
【解答】解：抛物线y2＝8x，其中p＝4，顶点O为原点（0，0），焦点F坐标为（2，0），
以OF为直径的圆中，圆心为OF中点，即（1，0），半径，
因此，圆的方程为（x﹣1）2+y2＝1．
故答案为：（x﹣1）2+y2＝1．
【点评】本题考查了圆和抛物线的性质，属于基础题．
四．由圆的一般式方程求圆的几何属性（共1小题）
8．（2025•济宁二模）若圆x2+y2﹣2ax﹣2y﹣1＝0关于直线x+by﹣2＝0对称，其中a＞0，b＞0，则的最小值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【考点】由圆的一般式方程求圆的几何属性；运用基本不等式求最值．版权所有
【分析】由圆的方程可得圆心的坐标，由题意可得直线过圆心，可得a，b的关系，由“1”的转化及基本不等式，可得的最小值．
【解答】解：圆x2+y2﹣2ax﹣2y﹣1＝0整理可得（x﹣a）2+（y﹣1）2＝a2+2，
可得圆的圆心为（a，1），
由题意可得直线x+by﹣2＝0过圆心，所以a+b﹣2＝0，
即a+b＝2，
所以4（）（a+b）﹣4（19）﹣4（10+2）﹣4＝4，
当且仅当，即a，b时等号成立．
故选：C．
【点评】本题考查直圆关于直线的对称的性质的应用，基本不等式的性质的应用，“1“的转化，属于基础题．
五．圆的切线方程（共1小题）
9．（2024秋•武汉期末）若圆C1：x2+y2+2ax+a2﹣4＝0（a∈R）与圆C2：x2+y2﹣2by﹣1+b2＝0（b∈R）恰有三条切线，则a+b的最大值为（ ）
A．﹣3 B．﹣3 C．3 D．3
【考点】圆的切线方程．版权所有
【分析】由题意可得两圆相外切，根据两圆的标准方程求出圆心和半径，由3，得到a2+b2＝9，故满足条件的点（a，b）在以原点为圆心，以3为半径的圆上，
法一：令a+b＝t，利用线性规划求出t的最大值；
法二、可令a＝3cosα，b＝3sinα（0≤α＜2π），运用两角和的正弦公式，结合正弦函数的值域，即可得到所求最大值．
【解答】解：由题意可得，两圆相外切，
两圆的标准方程分别为（x+a）2+y2＝4，x2+（y﹣b）2＝1，
圆心分别为（﹣a，0），（0，b），半径分别为2和1，
故有3，∴a2+b2＝9，
故满足条件的点（a，b）在以原点为圆心，以3为半径的圆上．
法一、令a+b＝t，利用线性规划求出t的最大值．
如图：可行域为圆a2+b2＝9，t＝a+b为目标函数，
点A（，）和点B（，）为最优解，
故B（，）使a+b＝t 取得最大值为3．
法二、令a＝3cosα，b＝3sinα（0≤α＜2π），
则a+b＝3cosα+3sinα＝3sin（α），
当sin（α）＝1，即α时，可得a+b的最大值为3．
故选：D．
【点评】本题考查两圆的位置关系，两圆相外切的性质，圆的标准方程的特征，简单的线性规划的应用，体现了数形结合与转化的数学思想，属于中档题．
六．过圆上一点的圆的切线方程（共1小题）
10．（2025•顺德区模拟）已知圆O：x2+y2＝1，过圆M：（x+1）2+（y）2＝25上一点P作圆O的两条切线PA，PB，切点为A，B，则四边形OAPB面积的最小值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【考点】过圆上一点的圆的切线方程．版权所有
【分析】利用切线长最小时即是面积最小时，求出最小弦长即可求出面积的最小值．
【解答】解：已知圆O：x2+y2＝1，过圆M：（x+1）2+（y）2＝25上一点P作圆O的两条切线PA，PB，切点为A，B，
如图，，
因为当M，O，P三点共线时，，
此时|OP|min＝|MP|﹣|OM|＝5﹣2＝3，
所以四边形OAPB面积的最小值为．
故选：B．
【点评】本题考查了圆的切线长的计算，属于中档题．
七．过圆外一点的圆的切线方程（共6小题）
11．（2025•泰安模拟）过直线y＝﹣x+1上任一点P向圆x2+（y+1）2＝1作两条切线，切点为A，B．则|AB|的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】过圆外一点的圆的切线方程．版权所有
【分析】根据圆心到直线的距离，再根据勾股定理，结合锐角三角函数可得，即可求解|PC|的最小值．
【解答】解：圆x2+（y+1）2＝1的圆心和半径分别为C（0，﹣1），R＝1，
圆心C（0，﹣1）到直线l：y＝﹣x+1的距离为d，
|AB|＝2|PA|sin∠APC＝2|PA|•22，
故当|PC|最小时，此时|AB|最小，又知|PC|的最小值为，
故．
故选：C．
【点评】本题主要考查圆上的点到直线距离的最值，属于中档题．
12．（2025•济宁校级二模）定义：到定点（a，b）的距离为定值d的直线系方程为（x﹣a）cosθ+（y﹣b）sinθ＝d（θ∈R），此方程也是以（a，b）为圆心，d为半径的圆的切线方程．则当θ变动时，动直线xcos2θ+ysin2θ＝2cos2θ（θ∈R）围成的封闭图形的面积为（ ）
A．1 B．2 C．π D．4π
【考点】过圆外一点的圆的切线方程；点到直线的距离公式．版权所有
【分析】先确定直线xcos2θ+ysin2θ＝2cos2θ（θ∈R）围成的封闭图形的形状，就可以求它的面积．
【解答】解：由xcos2θ+ysin2θ＝2cos2θ（θ∈R）⇒（x﹣1）cos2θ+ysin2θ＝1．
根据条件中的定义：到定点（a，b）的距离为定值d的直线系方程为（x﹣a）cosθ+（y﹣b）sinθ＝d（θ∈R），此方程也是以（a，b）为圆心，d为半径的圆的切线方程，
可得：动直线是以（1，0）为圆心，以1为半径的圆的切线．
所以动直线围成的封闭图形为：以（1，0）为圆心，以1为半径的圆．
其面积为：π．
故选：C．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，是中档题．
13．（2025•晋中模拟）若过点（0，3）且与圆（x﹣2）2+y2＝2相切的两条直线的夹角为θ，则cosθ＝（ ）
A． B． C． D．
【考点】过圆外一点的圆的切线方程．版权所有
【分析】根据题意有半径且（0，3）与圆心的距离，结合及二倍角余弦公式求cosθ．
【解答】解：圆（x﹣2）2+y2＝2的圆心为C（2，0），半径，
所以点（0，3）与圆心的距离，
所以，则．
故选：B．
【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查运算求解能力，属于基础题．
14．（2024秋•南平期末）过点P（0，2）作圆C：x2+y2﹣4x﹣1＝0的切线PA，PB，切点分别为A，B，则四边形PACB的面积为（ ）
A．2 B． C． D．
【考点】过圆外一点的圆的切线方程．版权所有
【分析】由圆的方程求圆心坐标和半径，再求|PC|，结合切线性质求|PA|，|PB|，再利用三角形面积公式求△PAB和△PBC的面积，结合对称性可得结论．
【解答】解：由已知可得圆x2+y2﹣4x﹣1＝0的圆心为C（2，0），半径，
根据切线性质可得，PA⊥CA，PB⊥CB，
又因为点P的坐标为（0，2），
所以，
所以，
所以△PBC的面积，
△PAC的面积，
所以四边形PACB的面积．
故选：D．
【点评】本题考查过圆外一点的圆的切线方程，属于中等题．
15．（2024秋•邢台期末）已知直线l：2x+y﹣5＝0与y轴交于点A，点P在直线l上（异于点A），过点P作圆O：x2+y2＝1的两条切线，切点分别为M，N，当∠MPN最大时，四边形PMON的面积为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
【考点】过圆外一点的圆的切线方程．版权所有
【分析】根据题意，当∠MPN最大时，∠MPO同时达最大值，此时sin∠MPO也最大，|PO|最小，从而运用点到直线的距离公式与三角形的面积公式求出答案．
【解答】解：连接OP，可得A（0，5），∠OPN＝∠OPM，
在Rt△OPM中，，
结合0＜∠MPO，可得：当∠MPN最大时，∠MPO同时达最大值．
此时sin∠MPO也最大，即|PO|最小，
|PO|的最小值等于点O到直线l的距离，
所以当∠MPN最大时，四边形PMON的面积为．
故选：A．
【点评】本题主要考查圆的方程、直线与圆的位置关系、锐角三角函数的定义等知识，属于中档题．
16．（2024秋•衡水期末）若过点P（2，2）向圆C：x2+y2＝1作两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（ ）
A． B． C． D．
【考点】过圆外一点的圆的切线方程．版权所有
【分析】求出以PC为直径的圆的方程，再与已知圆的方程相减即得公共弦AB所在直线的方程．
【解答】解：过点P（2，2）向圆C：x2+y2＝1作两条切线，切点分别为A、B，则CA⊥PA，CB⊥PB，
于是点A、B在以PC为直径的圆上，而C（0，0），则PC的中点为Q（1，1），，
因此以PC为直径的圆Q方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2，
圆Q与圆C方程相减，得公共弦AB所在直线的方程为2x+2y﹣1＝0，
所以直线AB的方程为．
故选：A．
【点评】本题考查了圆的方程，属于基础题．
八．直线与圆相交的性质（共8小题）
17．（2025•南岗区校级三模）已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝5，直线l：2mx+y﹣4m﹣1＝0，直线l被圆C所截得的弦长最短时，实数m的值为（ ）
A． B． C．0 D．﹣1
【考点】直线与圆相交的性质．版权所有
【分析】首先判断直线所过定点，再由弦长最短，可知定点为弦的中点，根据斜率关系，即可求解．
【解答】解：由题意圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝5，直线l：2mx+y﹣4m﹣1＝0，
可得直线l：2m（x﹣2）+y﹣1＝0，所以直线l恒过点（2，1），
点（2，1）在圆C的内部，所以当点（2，1）是弦的中点时，此时弦长最短，
圆心（1，2）和点（2，1）连线的斜率为，
所以直线l：2mx+y﹣4m﹣1＝0的斜率为1，即﹣2m＝1，即．
故选：B．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，是中档题．
18．（2025•景德镇模拟）动圆M经过直线l：y＝x与⊙C：（x﹣6）2+y2＝20的交点A，B，过原点O向动圆M作切线，切点为P，若恒成立，则实数λ的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【考点】直线与圆相交的性质．版权所有
【分析】联立直线l与圆C的方程，解得A，B的坐标，可得切线长|OP|为定值，可得点P的轨迹，设AB的中点D，可得点D的坐标，求出•的表达式，再由|PD|∈（|OD|﹣r，|OD|+r），进而可得•的范围，再由题意可得λ的值．
【解答】解：联立，解得x＝2或x＝4，
设A（2，2），B（4，4），动圆M的方程为（x﹣6）2+y2﹣20+λ（x﹣y）＝0，
切线长，
即P的轨迹是以O为圆心r＝4为半径的圆，
设线段AB中点为D（3，3），因为32+32＝18＞16，
可得点D在圆O外，
，且AD，
因为•（）•（）22＝PD2﹣2，
而（O，P，D不能三点共线），
所以•|PD|2﹣2＞（34）2﹣2＝32﹣24，
而•λ，
所以λ的最大值是．
故选：D．
【点评】本题考查直线与圆相交的点的坐标的求法及向量的运算性质的应用，属于中档题．
19．（2025•西城区校级模拟）已知圆C：（x﹣4）2+（y﹣3）2＝1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0）．若圆C上存点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【考点】直线与圆相交的性质．版权所有
【分析】将问题转化为以AB为直径的圆O与圆C有公共点的问题来列不等式，解不等式求得m点的取值范围，由此求得m的最大值．
【解答】解：因为A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），
所以以AB为直径的圆O的方程为x2+y2＝m2，圆心为原点O（0，0），半径为r1＝m，
圆C：（x﹣4）2+（y﹣3）2＝1的圆心为（4，3），半径为r2＝1，
要使圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则圆O与圆C有公共点，
因为|OC|5，
所以|r1﹣r2|≤|OC|≤|r1+r2|，即|m﹣1|≤5≤|m+1|，
解得4≤m≤6，
所以m的最大值为6．
故选：C．
【点评】本题考查两个圆有交点的性质的应用，属于中档题．
20．（2024秋•苏州期末）直线cosθx+sinθy+1＝0交x轴于A，交y轴于B，点C在圆O：x2+y2＝1上，且距离直线cosθx+sinθy+1＝0距离最远，则△ABC面积的最小值为（ ）
A． B． C．4 D．2
【考点】直线与圆相交的性质．版权所有
【分析】根据点到直线的距离公式、同角三角函数的关系，算出圆O与直线cosθx+sinθy+1＝0相切，从而可得点C到直线AB距离最大值为2，然后求出AB长的最大值，结合三角形的面积公式求出答案．
【解答】解：由题意圆O：x2+y2＝1的圆心为O（0，0），半径r＝1，
由点到直线的距离公式可得点O（0，0）到直线cosθx+sinθy+1＝0的距离d1，
所以d＝r，可知直线cosθx+sinθy+1＝0与圆O相切，
结合点C在圆O上，可得点C到AB距离的最大值为2d＝2，
根据题意，直线cosθx+sinθy+1＝0交x轴于A（，0），交y轴于B（0，），
所以|AB|，
则S△ABC|AB|×2d2，
即△ABC面积的最小值为2．
故选：D．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，是基础题．
21．（2024秋•广州期末）已知直线mx﹣y+2m+1＝0与圆C：（x+1）2+（y﹣2）2＝4相交于M，N两点，则的最小值为（ ）
A． B．2 C．4 D．
【考点】直线与圆相交的性质．版权所有
【分析】首先求出圆心坐标与半径，再求出直线过定点P（﹣2，1），即可求出|MN|min，设MN的中点为D，则CD⊥MN，根据数量积的几何意义得到，即可得解．
【解答】解：圆C：（x+1）2+（y﹣2）2＝4的圆心为C（﹣1，2），半径r＝2，
直线mx﹣y+2m+1＝0，即（x+2）m+（1﹣y）＝0恒过点P（﹣2，1），
又，
所以当CP⊥MN时，弦MN的长度取得最小值，即，
设MN的中点为D，则CD⊥MN，
所以．
故选：C．
【点评】本题主要考查了直线与圆位置关系的应用，属于中档题．
22．（2025•射阳县校级模拟）已知圆O：x2+y2＝4，过（0，1）的直线l与圆O交于M，N两点，则直线l的方程为（ ）
A． B． C． D．
【考点】直线与圆相交的性质．版权所有
【分析】由向量的分解及数量积的定义得到，在△OMN中，由余弦定理得|MN|，由垂径定理得|OP|，设直线l：y＝kx+1，由点到直线的距离解出k的值．
【解答】解：由题意圆O：x2+y2＝4，过（0，1）的直线l与圆O交于M，N两点，
作出图象如图：
可得，
因为，所以，
又因为，
所以，
在△OMN中，由余弦定理得，所以，
过点O作MN的垂线，垂足为P，由垂径定理得点O到直线l的距离，
设直线l：y＝kx+1，则，解得，
所以直线l的方程为：．
故选：A．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，是中档题．
23．（2025•黑龙江一模）已知M，N是圆C：（x﹣2）2+（y+3）2＝5上的两个动点，且|MN|＝2，P为直线3x﹣4y+12＝0上的动点，则的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．15 D．16
【考点】直线与圆相交的性质．版权所有
【分析】若A为MN的中点，利用向量加法的几何意义及数量积的运算律得，数形结合|PA|最小时取最小值，即可得答案．
【解答】解：根据题意可知，M，N是圆C：（x﹣2）2+（y+3）2＝5上的两个动点，且|MN|＝2，
若A为MN的中点，如下图示，，，
所以
，
由C：（x﹣2）2+（y+3）2＝5，即圆心C（2，﹣3），半径，所以，
C到3x﹣4y+12＝0的距离，即直线与圆相离，
结合图知，最小，此时．
故选：C．
【点评】本题考查了向量加法的几何意义及数量积的运算，属于基础题．
24．（2025•重庆模拟）若直线kx﹣y﹣2＝0与曲线有两个不同的交点，则实数k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】直线与圆相交的性质．版权所有
【分析】将直线化成斜截式，可得直线经过点（0，﹣2），将曲线方程化简整理，得该曲线是以（1，1）为圆心，半径为1的圆位于直线x＝1右侧的部分．作出图形，观察直线的斜率k的变化，再结合计算即可得到实数k的取值范围．
【解答】解：直线kx﹣y﹣2＝0化成y＝kx﹣2，可得它必定经过点（0，﹣2）
而曲线，可变形整理为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1（x≥1）
∴该曲线是以（1，1）为圆心，半径为1的圆位于直线x＝1右侧的部分
设直线在圆下方与圆相切时的斜率为k1，直线过点（1，0）与圆有两个交点时的斜率为k2．
可得当直线kx﹣y﹣2＝0与曲线有两个不同的交点时，斜率k满足k1＜k≤k2．
由点（1，1）到直线kx﹣y﹣2＝0的距离d，解得k1
而k22，由此可得k≤2
故选：A．
【点评】本题给出动直线与半圆有两个不同的交点，求直线斜率k的取值范围，着重考查了曲线与方程的化简和直线与圆的位置关系等知识，属于基础题．
九．直线及坐标轴被圆截得的弦及弦长（共1小题）
25．（2025•汕尾校级模拟）已知点M是圆x2+y2＝1上一点，点N是圆C：（x﹣3）2+y2＝3上一点，则∠CMN的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】直线及坐标轴被圆截得的弦及弦长．版权所有
【分析】利用圆的最值问题和正弦定理即可求解．
【解答】解：圆x2+y2＝1的圆心O（0，0），半径r1＝1，
圆C：（x﹣3）2+y2＝3的圆心C（3，0），半径，
在三角形CMN中，，
根据正弦定理可得，，即，
所以，
因为|CM|≥|CO|﹣r1＝3﹣1＝2，sin∠CNM≤1，
所以，
因为|CN|＜|CM|，所以∠CMN是锐角，
所以∠CMN的最大值为．
故选：B．
【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，属于基础题．
一十．直线与圆的位置关系（共12小题）
26．（2025•郑州模拟）已知P点坐标为（2cosθ，sinθ），直线与圆交于A，B两点，则的取值范围是（ ）
A．[﹣1，1] B．[﹣4，4]
C． D．
【考点】直线与圆的位置关系．版权所有
【分析】由直线l的方程可以判断直线l过定点，恰好为圆心M，所以，且，从而得，由，换元即可得到取值范围，进而得到的取值范围．
【解答】解：直线与圆交于A，B两点，如图，
由化为，
由，可得，即直线l过定点，
由的标准方程为，可知圆的圆心，圆的半径r＝1
直线经过的定点与圆的圆心M重合，
可知A，B是圆M的直径的两端点，可得，并且r＝1，
∴，
∵，∴，
，
令cosθ＝t∈[﹣1，1]，则，
∴当t＝1时，取得最小值；当t＝﹣1时，取得最大值，
∴．
故选：C．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，向量数量积的应用，是中档题．
27．（2025春•广东期中）已知点A在圆C：x2+y2﹣10x﹣4y+29﹣m2＝0（m＞0）上，直线l：6x+y+12＝0与两坐标轴分别交于M，N两点，若存在点A使得AM⊥AN，则m的取值范围为（ ）
A．[4，16] B．
C． D．
【考点】直线与圆的位置关系．版权所有
【分析】易得直线l与两坐标轴的交点坐标，根据直径所对的圆周角为直角，故点A在以MN为直径的圆上，
同时也在圆C上，即两圆相交，根据两圆相交的条件即可解得m的取值范围．
【解答】解：由题意点A在圆C：x2+y2﹣10x﹣4y+29﹣m2＝0（m＞0）上，
直线l：6x+y+12＝0与两坐标轴分别交于M，N两点，
可得圆C：（x﹣5）2+（y﹣2）2＝m2，
由题意可知直线l与两坐标轴的交点为（﹣2，0），（0，﹣12），
不妨设M（﹣2，0），N（0，﹣12），则，根据直径所对的圆周角为直角，
故以MN为直径的圆C′：（x+1）2+（y+6）2＝37与圆C有交点，
而|CC′|＝10，由两圆相交得，
解得．
故选：B．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，是中档题．
28．（2025春•昌江区校级期中）已知圆C：（x+2）2+y2＝4，直线l：（m+1）x+2y﹣1+m＝0（m∈R），则下列错误的是（ ）
A．直线l与圆C不可能相切
B．当m＝0时，圆C上恰有三个点到直线l距离等于1
C．直线l与直线2x﹣（m+1）y＝0垂直
D．若圆C与圆x2+y2﹣2x+8y+a＝0恰有三条公切线，则a＝8
【考点】直线与圆的位置关系．版权所有
【分析】对于A项，求出直线l经过的定点坐标，判断该点与圆的关系，即可判断；对于B项，代入m＝0，得出直线的方程，求出圆心到直线的距离，即可得出答案；对于C项，根据两直线的系数计算即可得出；对于D项，根据已知可知两圆外切，根据已知求出两圆圆心、半径，列出方程，求解即可得出答案．
【解答】解：对于A项，直线l：（m+1）x+2y﹣1+m＝0（m∈R），即m（x+1）+x+2y﹣1＝0，
解方程组可得，直线l过定点A（﹣1，1）．
圆C：（x+2）2+y2＝4的圆心为C（﹣2，0），半径为r＝2，
则，
所以点A在圆内，即直线l过圆内一定点，
所以，直线l与圆C一定相交，不可能相切．故A正确；
对于B项，当m＝0时，直线l：（m+1）x+2y﹣1+m＝0（m∈R），
直线l化为x+2y﹣1＝0．
圆C：（x+2）2+y2＝4的圆心为C（﹣2，0），半径为r＝2，
此时有圆心C（﹣2，0）到直线l的距离，且1＜d＜2，
因此圆C上只有两个点到直线l的距离等于1．故B错误；
对于C项，因为（m+1）×2﹣2（m+1）＝0，
所以直线l与直线2x﹣（m+1）y＝0垂直．故C正确；
对于D项，要使圆C与圆x2+y2﹣2x+8y+a＝0恰有三条公切线，则应满足两圆外切．
圆x2+y2﹣2x+8y+a＝0可化为（x﹣1）2+（y+4）2＝17﹣a（a＜17），
圆心为M（1，﹣4），半径为．
因为两圆外切，所以有|MC|＝r+R，
即，化简可得17﹣a＝9，解得a＝8．故D项正确．
故选：B．
【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，属于中档题．
29．（2025春•北仑区校级期中）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，0），B（﹣2，2），若点P为圆C：x2+y2＝1上的动点，则的最大值为（ ）
A．3 B． C．5 D．
【考点】直线与圆的位置关系．版权所有
【分析】设P（x，y）为圆C：x2+y2＝1上任意一点，利用向量的坐标运算得，进而利用的几何意义可求得的最大值．
【解答】解：∵A（﹣2，0），B（﹣2，2），∴，
设P（x，y）为圆C：x2+y2＝1上任意一点，
可知，
∴，∴，
表示点P（x，y）到点D（﹣2，﹣2）的距离，
又C：x2+y2＝1的圆心C（0，0）到点D（﹣2，﹣2）的距离为，
又圆C：x2+y2＝1的半径为r＝1，
∴P（x，y）到点D（﹣2，﹣2）的距离的最大值为，
∴的最大值为．
故选：D．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，向量模的求法，是中档题．
30．（2025•石景山区一模）已知点M，N为圆x2+y2﹣2y﹣3＝0上两点，且|MN|＝2，点P在直线x﹣y﹣5＝0上，点Q为线段MN中点，则|PQ|的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】直线与圆的位置关系．版权所有
【分析】将圆的方程化为标准方程，从而得到圆心坐标和半径，再根据弦长求出圆心到弦MN的距离，进而确定点Q的轨迹，最后根据点到直线的距离公式求出|PQ|的最小值．
【解答】解：因为圆的方程为x2+y2﹣2y﹣3＝0，
所以x2+（y﹣1）2＝4，
所以圆心坐标为C（0，1），半径r＝2．
因为点Q为线段MN的中点，根据垂径定理可知CQ⊥MN，
已知，则．
在Rt△CQM中，．
所以点Q的轨迹是以C（0，1）为圆心，1为半径的圆．
已知点P在直线上，可得圆心C（0，1）到直线的距离为：
．
因为点Q的轨迹是以C（0，1）为圆心，1为半径的圆，
所以|PQ|的最小值等于圆心C到直线的距离d减去圆C的半径1，即3﹣1＝2．
故选：B．
【点评】本题考查直线与圆的方程的应用，属于中档题．
31．（2025春•观山湖区校级月考）已知直线l：y＝x+b与圆C：（x﹣5）2+（y﹣3）2＝4交于A，B两点，则的一个充分不必要条件是（ ）
A．b∈[﹣3，﹣1] B．b∈[﹣3，0] C． D．b∈[﹣3，1]
【考点】直线与圆的位置关系．版权所有
【分析】根据直线和圆相交的弦长公式，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】解：圆C：（x﹣5）2+（y﹣3）2＝4的圆心（5，3），圆的半径为2，
圆的圆心到直线l：y＝x+b的距离d，
直线l：y＝x+b与圆C：（x﹣5）2+（y﹣3）2＝4交于A，B两点，则的充要条件是，解得b∈[﹣2，﹣2]．
直线l：y＝x+b与圆C：（x﹣5）2+（y﹣3）2＝4交于A，B两点，则的一个充分不必要条件是[﹣3，﹣1]
故选：A．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合直线和圆相交的弦长公式是解决本题的关键，是中档题．
32．（2025•龙岗区校级一模）已知直线l：ax+by﹣r2＝0与图C：x2+y2＝r2，点A（a，b），则下列说法错误的是（ ）
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切
B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离
D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
【考点】直线与圆的位置关系．版权所有
【分析】求得圆心C（0，0）到直线l的距离，再根据直线与圆的位置关系相应条件判断即可．
【解答】解：圆心C（0，0）到直线l的距离d，
若点A（a，b）在圆C上，则a2+b2＝r2，
所以dr（r＞0），则直线l与圆C相切，故A正确；
若点A（a，b）在圆C内，则a2+b2＜r2，
所以dr（r＞0），则直线l与圆C相离，故B正确；
若点A（a，b）在圆C外，则a2+b2＞r2，
所以dr（r＞0），则直线l与圆C相交，故C错误；
若点A（a，b）在直线l上，则a2+b2﹣r2＝0，即a2+b2＝r2，
所以dr（r＞0）直线l与圆C相切，故D正确．
故选：C．
【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查转化思想，属于中档题．
33．（2025•南京模拟）已知点P为直线l：x+y﹣2＝0上的一点，过点P作圆C：（x+1）2+（y+1）2＝1的切线PA，切点为A，则cos∠PCA的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】直线与圆的位置关系．版权所有
【分析】求解圆的圆心与半径，利用 cos∠PCA的最大值，转化求解点到直线的距离，推出结果．
【解答】解：圆C：（x+1）2+（y+1）2＝1的圆心C（﹣1，﹣1），半径为r＝1，
点P为直线l：x+y﹣2＝0上的一点，过点P作圆C：（x+1）2+（y+1）2＝1的切线PA，切点为A，
cos∠PCA，cos∠PCA取得最大值，只有|PC|取得最小值，
当PC与直线x+y﹣2＝0垂直时，满足题意，此时|PC|2，
所以cos∠PCA的最大值为：．
故选：A．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，是中档题．
34．（2025•锦州模拟）设直线l：y＝x+5与x轴交于点A，圆O：x2+y2＝10，过l上一点P作圆O的两条切线PC，PD，C，D为切点，CD中点为M，则|AM|的取值范围是（ ）
A．， B．
C．[3，5] D．[4，6]
【考点】直线与圆的位置关系．版权所有
【分析】根据题意，求出CD方程，根据OM⊥CD，求出M的运动轨迹为（﹣1，1）为圆心，为半径的圆，进而得到圆外点到圆上点距离的最大值，最小值得到答案．
【解答】解：因为直线l：y＝x+5与x轴交于点A，所以A（﹣5，0），
因为P为l上一点，所以P（t，t+5），
设C（x1，y1），D（x2，y2），
则OC⊥PC，得直线PC的方程为x1x+y1y＝10，
故x1t+y1（t+5）＝10，
同理得PD的方程为x2x+y2y＝10，x2t+y2（t+5）＝10，
故直线CD的方程为tx+（t+5）y＝10，
因为M为CD中点，所以OM⊥CD，
所以OM方程为，
即ty﹣（t+5）x＝0，
联立，
消t得（x+1）2+（y﹣1）2＝2，
所以M为（﹣1，1）为圆心，为半径的圆，
其中点A（﹣5，0）到圆心（﹣1，1）的距离为，
所以，，
所以|AM|的取值范围是．
故选：A．
【点评】本题考查直线与圆的方程的应用，属于中档题．
35．（2025春•宝山区校级月考）点M（x，y）在圆x2+（y﹣2）2＝1上运动，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】直线与圆的位置关系．版权所有
【分析】设，将目标转化为直线与圆存在交点的问题，利用d≤r即可．
【解答】解：圆x2+（y﹣2）2＝1的圆心（0，2），半径为1，
设，则y＝kx，
因点M（x，y）在圆x2+（y﹣2）2＝1上运动，且在直线y＝kx上，
则直线y＝kx与圆x2+（y﹣2）2＝1有交点，
则圆心（0，2）到直线y＝kx的距离，得或，
故的取值范围是．
故选：D．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，是中档题．
36．（2025•池州模拟）已知直线l：xcosθ+ysinθ+1＝0（θ∈R），圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝4，过l上一点P作C的两条切线，切点分别为M，N，使四边形PMCN的面积为的点P有且仅有一个，则此时直线MN的方程为（ ）
A．3x+4y﹣20＝0 B．9x+12y﹣65＝0
C．11x+17y﹣81＝0 D．19x+23y﹣129＝0
【考点】直线与圆的位置关系．版权所有
【分析】根据题意，可得|PC|＝6，且CP⊥l，由点到直线的距离公式求得，进而求得直线/的方程，再求出直线PC的方程，求得点P的坐标，求出以PC为直径的圆的方程，易 知直线MN是圆C与以PC为直径的圆的公共弦所在直线，两圆方程相减得解．
【解答】解：如图，．解得．
所以，因这样的点P有且仅有一个，
由图知此时CP⊥l，则圆心C（3.4）到直线l：xcosθ+ysinθ+1＝0的距离为6，
即，化简得|5sin（θ+φ）+1|＝6，其中，
∴sin（θ+φ）＝1，则，
∴，
所以，即3x+4y+5＝0，则直线CP的斜率为，
所以直线CP：，即4x﹣3y＝0，
联立，解得，即，
因PC的中点坐标为且|PC|＝6，
则以PC为直径的圆的方程为，
整理得5x2+5y2﹣12x﹣16y﹣25＝0，
易知直线MN是圆C与以PC为直径的圆的公共弦所在直线，
将两圆的方程相减得9x+12y﹣65＝0，故直线MN的方程为9x+12y﹣65＝0．
故选：B．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，直线方程的求法，是中档题．
37．（2025春•黄浦区校级月考）瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．若△ABC满足AC＝BC，顶点A（0，1），B（2，﹣1），且其“欧拉线”与圆M：（x﹣4）2+y2＝r2相切，则下列结论错误的是（ ）
A．题中的“欧拉线”方程为x﹣y﹣1＝0
B．圆M上的点到直线x﹣y＝0的最小距离为
C．若圆M与圆x2+（y﹣a）2＝8有公共点，则a∈[﹣4，4]
D．若点（x，y）在圆M上，则的最大值是
【考点】直线与圆的位置关系；点到直线的距离公式．版权所有
【分析】A选项，分析得到其欧拉线过线段AB的中点（1，0），且与直线AB垂直，从而求出△ABC的欧拉线方程；B选项，根据△ABC的欧拉线与M：（x﹣4）2+y2＝r2相切，列出方程，求出r，得到圆M上的点到直线x﹣y＝0的最小值为圆心M到直线x﹣y＝0的距离减去半径，求出答案；C选项，根据两圆有公共点，列出不等式组，求出；D选项，的几何意义为点（x，y）与（﹣1，0）两点的斜率，数形结合得到当过（﹣1，0）的直线l与M相切，且斜率为正时，取得最大值，利用点到直线距离公式求出答案．
【解答】解：对于选项A，A（0，1），B（2，﹣1），线段AB的中点坐标为（1，0），
直线AB的斜率为，
因为AC＝BC，所以△ABC为等腰三角形，
三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，其欧拉线过点（1，0），且与直线AB垂直，
故△ABC的欧拉线斜率为1，则方程为y＝x﹣1，即x﹣y﹣1＝0，A选项正确；
对于选项B，△ABC的欧拉线与M：（x﹣4）2+y2＝r2相切，
故，
圆心M（4，0）到直线x﹣y＝0的距离为，
则圆M上的点到直线x﹣y＝0的最小距离为，B选项正确；
对于选项C，若圆与圆x2+（y﹣a）2＝8有公共点，
则，
解得：，C选项错误；
对于选项D，为点（x，y）与（﹣1，0）两点的斜率，
当过（﹣1，0）的直线l与相切，且直线l的斜率为正时，
取得最大值，
设直线l：y＝k（x+1），由，解得：，
故的最大值是，D选项正确．
故选：C．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，是中档题．
一十一．根据圆心到直线距离与圆的半径求解直线与圆的位置关系（共1小题）
38．（2024秋•仓山区校级期末）已知b是a，c的等差中项，直线ax+by+c＝0与圆x2+y2+4y﹣1＝0交于A，B两点，则|AB|的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．
【考点】根据圆心到直线距离与圆的半径求解直线与圆的位置关系．版权所有
【分析】结合等差数列性质将c代换，求出直线恒过的定点，采用数形结合法即可求解．
【解答】解：因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a+c，c＝2b﹣a，
代入直线方程ax+by+c＝0得ax+by+2b﹣a＝0，
即a（x﹣1）+b（y+2）＝0，
令得，
故直线恒过（1，﹣2），设P（1，﹣2），
圆化为标准方程得：C：x2+（y+2）2＝5，
设圆心为C，画出直线与圆的图形，由图可知，
当PC⊥AB时，|AB|最小，
，
此时．
故选：C．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属于中档题．
一十二．圆上的点到定点的距离及其最值（共1小题）
39．（2025•南京校级二模）若圆x2+y2＝4上总存在两个点到点（a，1）的距离为3，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣1，1） B．
C．（﹣1，0）∪（0，1） D．
【考点】圆上的点到定点的距离及其最值．版权所有
【分析】问题转化为两圆相交，进而可得，求解即可．
【解答】解：若圆x2+y2＝4上总存在两个点到点（a，1）的距离为3，
圆x2+y2＝4的圆心为O（0，0），半径为r＝2，
设圆（x﹣a）2+（y﹣1）2＝9，
由题意，两圆有两个公共点，即两圆相交，所以，
解得0＜a2＜24，即或．
所以实数a的取值范围是．
故选：D．
【点评】本题考查了两圆的位置关系，属于中档题．
一十三．圆与圆的位置关系及其判定（共2小题）
40．（2024秋•龙岗区校级期末）若圆x2+y2﹣2x﹣5＝0与圆x2+y2+2x﹣4y﹣4＝0相交于A、B，则AB所在直线方程是（ ）
A．4x﹣4y+1＝0 B．4x﹣4y﹣1＝0 C．x+y﹣1＝0 D．x﹣y+1＝0
【考点】圆与圆的位置关系及其判定．版权所有
【分析】将两圆方程作差，可得出直线AB的方程．
【解答】解：因为圆x2+y2﹣2x﹣5＝0与圆x2+y2+2x﹣4y﹣4＝0相交于A、B，
可得交点A，B满足两圆方程，
将这两圆方程作差可得4x﹣4y+1＝0，
可得交点A，B满足方程4x﹣4y+1＝0，
因此，直线AB的方程为4x﹣4y+1＝0．
故选：A．
【点评】本题主要考查公共弦直线方程的求解，属于基础题．
41．（2024秋•丰城市校级期末）已知圆，圆，则下列说法正确的是（ ）
A．圆C1与圆C2公共弦所在直线的方程为3x+4y﹣5＝0
B．圆C1与圆C2有两条公切线
C．x＝﹣1是圆C1与圆C2的一条公切线
D．圆C1与圆C2上均恰有两点到直线3x+4y﹣5＝0的距离为2
【考点】圆与圆的位置关系及其判定；直线与圆的位置关系．版权所有
【分析】求出圆的圆心与半径，判断公切线的条数，求解公切线方程，公共弦的方程，以及圆和直线的位置关系依次判断选项即可．
【解答】解：已知圆，圆，
可得：圆 的圆心为C1（0，0），半径r1＝1；圆 的圆心为C2（3，4），半径r2＝4．
∵，圆C1与圆C2外切，选项A，B错误；
对于选项C，圆心C1（0，0）到直线x＝﹣1的距离d1＝|0﹣（﹣1）|＝1＝r1；圆心为C2（3，4到直线x＝﹣1的距离d2＝|3﹣（﹣1）|＝4＝r2，所以x＝﹣1是圆C1与圆C2的一条公切线，选项C正确；
对于选项D，圆心C1（0，0）到直线3x+4y﹣5＝0的距离，所以圆 上有且仅有一点到直线的距离为2，选项D错误．
故选：C．
【点评】本题考查圆和圆的位置关系，圆的切线方程等基础知识，考查直观想象的核心素养，属于中档题．
一十四．根据两圆的圆心距与两圆半径之和求解圆与圆的位置关系（共4小题）
42．（2025•山东模拟）已知圆C1：x2+y2＝1与圆C：（x﹣3）2+y2＝r2（r＞0）有3条公切线，圆C覆盖圆C1，C2，则圆C面积的最小值为（ ）
A．9π B．12π C．16π D．18π
【考点】根据两圆的圆心距与两圆半径之和求解圆与圆的位置关系．版权所有
【分析】根据已知条件，结合两圆的位置关系，以及圆的面积公式，即可求解．
【解答】解：圆C1：x2+y2＝1，
则圆心C1（0，0），半径r1＝1，
圆C：（x﹣3）2+y2＝r2（r＞0），
则圆心C2（3，0），r2＝r，
圆C1：x2+y2＝1与圆C：（x﹣3）2+y2＝r2（r＞0）有3条公切线，
则两圆外切，即r+1＝|C1C2|＝3，解得r＝2，
圆C覆盖圆C1，C2，
则圆C半径的最小值为r1+r2＝1+2＝3，
所以圆C面积的最小值为π×32＝9π．
故选：A．
【点评】本题主要考查两圆的位置关系，属于基础题．
43．（2024秋•赫章县期末）已知圆M：x2+y2﹣2ay＝0（a＞0）截直线x﹣y＝0所得线段的长度为4，则圆M与圆N：x2+y2﹣6x+12y+20＝0的位置关系是（ ）
A．内切 B．外切 C．相交 D．外离
【考点】根据两圆的圆心距与两圆半径之和求解圆与圆的位置关系．版权所有
【分析】根据圆的弦长公式，结合点到直线的距离公式可得a，即可根据圆心距与半径的关系求解．
【解答】解：圆M：x2+y2﹣2ay＝0（a＞0）的圆心为M（0，a），半径为r1＝a，a＞0，
圆心M（0，a）到直线x﹣y＝0的距离为，
又圆M：x2+y2﹣2ay＝0（a＞0）截直线x﹣y＝0所得线段的长度为4，
所以，所以M（0，4），r1＝4．
圆N的圆心为N（3，﹣6），半径，
所以两个圆的位置关系是外离．
故选：D．
【点评】本题主要考查两圆的位置关系，考查计算能力，属于中档题．
44．（2024秋•泰安期末）已知圆与圆有两个公共点，则实数a的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】根据两圆的圆心距与两圆半径之和求解圆与圆的位置关系．版权所有
【分析】由两圆圆心距与半径和差得关系即可求解；
【解答】解：圆，
则圆心O1（a，﹣1），r1＝3，
圆，
则圆心O2（﹣2a，0），r2＝2，
故，
圆与圆有两个公共点，
则r1﹣r2＜|O1O2|＜r1+r2，
故1＜9a2+1＜25，解得，且a≠0，
所以a的取值范围为．
故选：C．
【点评】本题主要考查两圆的位置关系，属于中档题．
45．（2024秋•宜春校级期末）已知动圆C的方程为（x﹣cosθ）2+（y﹣sinθ）2＝θ，其中θ为常数，θ∈[π，2π），有下列两个命题：
①存在θ∈[π，2π），使圆C与圆相切；
②对任意θ∈[π，2π），直线l：xcosθ+ysinθ+1＝0上都存在点P，圆C上都存在两点A、B，使PA⊥PB．则（ ）
A．①②都为真命题
B．①为真命题，②为假命题
C．①为假命题，②为真命题
D．①②都为假命题
【考点】根据两圆的圆心距与两圆半径之和求解圆与圆的位置关系．版权所有
【分析】对于①，求得两圆的圆心距与两圆的半径，可得两圆总相交，可判断①；对于②，当C1A与圆C相切时，可得，可判断②．
【解答】解：已知动圆C的方程为（x﹣cosθ）2+（y﹣sinθ）2＝θ，其中θ为常数，θ∈[π，2π），
可得圆心C（cosθ，sinθ），半径为，
由，可得圆心C1（﹣cosθ，﹣sinθ），半径R＝1，
由，所以r﹣R＜|CC1|＜R+r，
所以两圆相交，故不存在θ∈[π，2π），使圆C与圆C1相切，
故①错误；
因为﹣cos2θ﹣sin2θ+1＝0，所以直线l：xcosθ+ysinθ+1＝0过点C1（﹣cosθ，﹣sinθ），
当C1A与圆C相切时，可得，所以，
所以对任意θ∈[π，2π），直线l：xcosθ+ysinθ+1＝0上都存在点P，
圆C上都存在两点A、B，使PA⊥PB．故②正确；
则①为假命题，②为真命题．
故选：C．
【点评】本题考查了圆与圆的位置关系，属于中档题．
一十五．根据联立两圆方程解的情况求解圆与圆的位置关系（共1小题）
46．（2025•长春模拟）圆x2+y2﹣4＝0与圆x2+y2﹣4x+4y﹣12＝0的公共弦长为（ ）
A． B． C． D．
【考点】根据联立两圆方程解的情况求解圆与圆的位置关系．版权所有
【分析】两圆的一般方程相减得到公共弦所在直线的方程，可与任一圆联立方程求出交点坐标，根据两点间距离公式得到公共弦长（法一）；也可求出圆心到公共弦的距离d，然后结合弦长公式可求（法二）．
【解答】解：联立方程：，
两式相减可得公共弦方程x﹣y+2＝0，
方法一：联立方程：，
得x2+2x＝0，
解得 x1＝0，x2＝﹣2，即公共弦的端点坐标为（0，2），（﹣2，0），
根据点到直线距离公式可得公共弦长为；
方法二：圆x2+y2﹣4＝0的圆心坐标为（0，0），半径为r＝2，
圆心到公共弦的距离为，
公共弦长为．
故选：B．
【点评】本题主要考查了两圆相交位置关系的应用，还考查了弦长公式的应用，属于基础题．
一十六．由圆与圆的位置关系求解圆的方程或参数（共2小题）
47．（2025•山东模拟）已知圆C1：x2+y2＝4与圆C2：（x+a）2+（y+2）2＝9有三条公切线，则a＝（ ）
A． B． C． D．
【考点】由圆与圆的位置关系求解圆的方程或参数；两圆的公切线条数及方程的确定．版权所有
【分析】结合圆与圆的位置关系求解即可．
【解答】解：已知圆C1：x2+y2＝4与圆C2：（x+a）2+（y+2）2＝9有三条公切线，
则圆C1与圆C2外切，
则，
即a2＝21，
则a．
故选：D．
【点评】本题考查了圆与圆的位置关系，属基础题．
48．（2024秋•泰州期末）已知圆（x﹣a）2+（y﹣1）2＝1与圆x2+y2＝3相交于A，B两点，若直线AB的倾斜角为45°，则实数a的值为 ﹣1 ．
【考点】由圆与圆的位置关系求解圆的方程或参数；直线与圆的位置关系．版权所有
【分析】根据题意，将两圆的方程相减，化简得2ax+2y﹣a2﹣3＝0，即为直线AB的方程，然后根据直线AB的k＝tan45°＝1，算出实数a的值．
【解答】解：圆（x﹣a）2+（y﹣1）2＝1化成一般式方程，可得x2+y2﹣2ax﹣2y+a2＝0，
圆x2+y2＝3即x2+y2﹣3＝0，两圆相减，整理得2ax+2y﹣a2﹣3＝0，即为直线AB的方程．
因为直线AB的倾斜角为45°，所以直线AB的斜率k＝tan45°＝1，即1，解得a＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题主要考查直线的斜率与倾斜角、两圆的位置关系等知识，属于基础题．
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