福建省泉州市第九中学2025届高三下学期5月适应性考试数学试题

泉州市第九中学2025届高三5月份适应性考试

数学试题

一、单选题

1. 若集合，则（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 若复数z满足，则（    ）

A. 1 B. 5 C. 7 D. 25

3. 已知函数，曲线在点处的切线与轴平行，则（   ）

A. －3 B. －1 C. 0 D. 1

4. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（   ）

A.  B.  C.  D.

5. 已知向量，若，则（    ）

A.  B.  C. 5 D. 6

6. 已知，则(　　)

A. 1 B.  C.  D.

7. 若，则（    ）

A. 180 B.  C.  D. 90

8. 在平面直角坐标系中，双曲线的右焦点为，点，在的右支上，且，点关于原点的对称点为.若，则的离心率为（   ）

A.  B.  C.  D.

二、多选题

9. 已知函数，则下列说法正确的是（    ）

A. 的最小正周期为 B. 的定义域为

C. 的图象关于点对称 D. 在上单调递增

10. 已知数列满足，，则下列说法正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

11. 在正三棱柱中，，点满足，其中，，则（    ）

A. 当时，的周长为定值

B. 当时，三棱锥的体积为定值

C. 当时，有且仅有一个点，使得

D. 当时，有且仅有一个点，使得平面

三、填空题

12. 若，使成立，则实数的取值范围是______________．

13. 已知椭圆的左，右焦点分别为，，若椭圆上存在一点使得，则该椭圆离心率的取值范围是_________.

14. 在平面四边形中，，若的面积是的面积的2倍，则的长度为______.

四、解答题

15. 甲、乙两人进行知识问答抢答赛，比赛共有3道抢答题，每道题均有人抢答，其计分规则为：初始甲、乙双方均为0分，答对一题得1分，答错一题得分，未抢到题得0分，最后累计总分多的人获胜.假设甲、乙抢到每题的成功率相同，且甲、乙两人每题答题正确的概率分别为和.求：

（1）在3题均被乙抢到的条件下，设乙答题得分为，求的分布列和期望值；

（2）甲在比赛中获胜的概率.

16. 已知数列是等差数列，记其前项和为，且，．

（1）求数列的通项公式；

（2）将数列与的所有项从小到大排列得到数列．

①求的前20项和；

②证明：．

17. 如图，在直三棱柱中，点在上，．

（1）证明：平面；

（2）若，二面角的大小为．

①求与平面所成角的正弦值；

②点在侧面内，且三棱锥的体积为，求的轨迹的长度．

18. 已知函数,.

（1）当时，设曲线在处的切线为，求与曲线的公共点个数；

（2）当时，若，恒成立，求实数的取值范围.

19. 设为坐标原点，抛物线与的焦点分别为为线段的中点．点在上在第一象限），点在上，．

（1）求曲线的方程；

（2）设直线的方程为，求直线的斜率；

（3）若直线与的斜率之积为，求四边形面积的最小值．