三角函数与解三角形【19个题型】-2026年高三数学一轮复习

高考数学常考题型归纳 【三角恒等变换+三角函数+解三角形专项练习】 总览 题型梳理 一．三角函数的周期性（共1小题） 二．正弦函数的图象（共4小题） 三．正弦函数的单调性（共1小题） 四．正弦函数的奇偶性和对称性（共3小题） 五．余弦函数的图象（共1小题） 六．函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换（共4小题） 七．由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式（共6小题） 八．同角三角函数间的基本关系（共2小题） 九．两角和与差的三角函数（共5小题） 一十．求两角和与差的三角函数值（共4小题） 一十一．二倍角的三角函数（共4小题） 一十二．求二倍角的三角函数值（共2小题） 一十三．三角函数的恒等变换及化简求值（共1小题） 一十四．三角函数中的恒等变换应用（共4小题） 一十五．平面向量数量积的性质及其运算与三角函数（共1小题） 一十六．利用正弦定理解三角形（共2小题） 一十七．三角形中的几何计算（共1小题） 一十八．解三角形（共3小题） 一十九．几何法求解二面角及两平面的夹角（共1小题） 【知识总览】 1.三角函数的周期性 【知识点的认识】 周期性 ①一般地，对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有 f（x+T）＝f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期． ②对于一个周期函数f（x），如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期． ③函数y＝Asin（ωx+φ），x∈R及函数y＝Acos（ωx+φ）；x∈R（其中A、ω、φ为常数，且A≠0，ω＞0）的周期T． 【知识点的认识】 2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R k∈Z 值域 [﹣1，1] [﹣1，1] R 单调性 递增区间： （2kπ，2kπ） （k∈Z）； 递减区间： （2kπ，2kπ） （k∈Z） 递增区间： （2kπ﹣π，2kπ） （k∈Z）； 递减区间： （2kπ，2kπ+π） （k∈Z） 递增区间： （kπ，kπ） （k∈Z） 最　值 x＝2kπ（k∈Z）时，ymax＝1； x＝2kπ（k∈Z）时， ymin＝﹣1 x＝2kπ（k∈Z）时，ymax＝1； x＝2kπ+π（k∈Z） 时， ymin＝﹣1 无最值 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 对称性 对称中心：（kπ，0）（k∈Z） 对称轴：x＝kπ，k∈Z 对称中心：（kπ，0）（k∈Z） 对称轴：x＝kπ，k∈Z 对称中心：（，0）（k∈Z） 无对称轴 周期 2π 2π π 3.函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换 【知识点的认识】 函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象的步骤 两种变换的差异 先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是（ω＞0）个单位．原因是相位变换和周期变换都是针对x而言的． 4.由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式 【知识点的认识】 根据图象确定解析式的方法： 在由图象求三角函数解析式时，若最大值为M，最小值为m，则A，k，ω由周期T确定，即由T求出，φ由特殊点确定． 5.三角恒等变换公式 【知识点的认识】 1．同角三角函数的基本关系 （1）平方关系：sin2α+cos2α＝1． （2）商数关系：tanα． 2．诱导公式 公式一：sin（α+2kπ）＝sin α，cos（α+2kπ）＝cos _ α ，其中k∈ Z． 公式二：sin（π+α）＝﹣sin _ α ，cos（π+α）＝﹣cos _ α ，tan（π+α）＝tan α． 公式三：sin（﹣α）＝﹣sin _ α ，cos（﹣α）＝cos _ α ． 公式四：sin（π﹣α）＝sin α，cos（π﹣α）＝﹣cos _ α ． 公式五：sin（α）＝cosα ，cos（α）＝sinα． 公式六：sin（α）＝cos α ，cos（α）＝﹣sin α 3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 （1）C（α﹣β）：cos （α﹣β）＝ cos αcosβ + sin αsinβ ； （2）C（α+β）：cos（α+β）＝ cos αcosβ ﹣ sin αsinβ ； （3）S（α+β）：sin（α+β）＝ sin αcosβ + cos αsinβ ； （4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝ sin αcosβ ﹣ cos αsinβ ； （5）T（α+β）：tan（α+β）． （6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）． 4．二倍角的正弦、余弦、正切公式 （1）S2α：sin 2α＝2sin _ α cos _ α ； （2）C2α：cos 2α＝cos2α﹣sin2α ＝2cos2α﹣1 ＝1﹣2sin2α ； （3）T2α：tan 2α． 【解题方法点拨】 诱导公式记忆口诀： 对于角“±α”（k∈Z）的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”． 6.利用正弦定理解三角形 【知识点的认识】 1．正弦定理 定理 正弦定理 内容 2R （ R是△ABC外接圆半径） 变形 形式 ①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC； ②sinA，sinB，sinC； ③a：b：c＝sinA：sinB：sinC； ④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA 解决 三角 形的 问题 ①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边； ②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 7.余弦定理 【知识点的认识】 1．正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理 内容 2R （ R是△ABC外接圆半径） a2＝b2+c2﹣2bccos A， b2＝a2+c2﹣2accos_B， c2＝a2+b2﹣2abcos_C　 变形 形式 ①a＝2Rsin A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C； ②sin A，sin B，sin C； ③a：b：c＝sinA：sinB：sinC； ④asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A cos A， cos B， cos C 解决 三角 形的 问题 ①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边； ②②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 ①已知三边，求各角； ②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角 8.三角形中的几何计算 【知识点的认识】 1、几何中的长度计算： （1）利用正弦定理和三角形内角和定理可以求解： ①已知两角和任一边，求其他两边和一角． ②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）． （2）利用余弦定理可以求解： ①解三角形； ②判断三角形的形状； ③实现边角之间的转化．包括：a、已知三边，求三个角；b、已知两边和夹角，求第三边和其他两角． 2、与面积有关的问题： （1）三角形常用面积公式 ①Sa•ha（ha表示边a上的高）； ②SabsinCacsinBbcsinA． ③Sr（a+b+c）（r为内切圆半径）． （2）面积问题的解法： ①公式法：三角形、平行四边形、矩形等特殊图形，可用相应面积公式解决． ②割补法：若是求一般多边形的面积，可采用作辅助线的办法，通过分割或补形把不是三角形的几何图形分割成不重叠的几个三角形，再由三角形的面积公式求解． 9.解三角形 【知识点的认识】 1．已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C＝π求C，由正弦定理求a、b． 2．已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C＝π，求另一角． 3．已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况． 4．已知三边a、b、c，应用余弦定理求A、B，再由A+B+C＝π，求角C． 5．方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成．正北或正南，北偏东××度，北偏西××度，南偏东××度，南偏西××度． 6．俯角和仰角的概念： 在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角．如图中OD、OE是视线，是仰角，是俯角． 7．关于三角形面积问题 ①S△ABCahabhbchc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）； ②S△ABCabsinCbcsinAacsinB； ③S△ABC＝2R2sinAsinBsinC．（R为外接圆半径） ④S△ABC； ⑤S△ABC，（s（a+b+c））； ⑥S△ABC＝r•s，（ r为△ABC内切圆的半径） 题型分类 知识讲解与常考题型 一．三角函数的周期性（共1小题） 1．（2025•西安校级模拟）已知函数的最小正周期T满足，且该函数的图象关于点中心对称，则ω的值为（　　） A．1 B． C． D． 二．正弦函数的图象（共4小题） 2．（2025•皇姑区校级一模）已知为曲线y＝cosx与y＝sin（2x+φ）（0≤φ＜π）的一个交点的横坐标，则函数f（x）＝sin（2x+φ）的一个单调增区间为（　　） A． B． C． D． 3．（2024秋•温州期末）已知f（x）＝x3，g（x）＝sinx，则如图表示的函数可能是（　　） A．f（x）+g（x） B．f（x）﹣g（x） C．f（x）g（x） D． 4．（2025•郑州模拟）函数与函数g（x）＝log2x的图象交点个数为（　　） A．3 B．5 C．6 D．7 5．（2025春•浦东新区校级月考）已知ω＞0，顺次连接函数与的任意三个相邻的交点都构成一个等腰直角三角形，则ω＝（　　） A． B． C． D． 三．正弦函数的单调性（共1小题） 6．（2025•西城区校级模拟）已知函数f（x）＝sinωxcosωx（ω＞0）的最小正周期为π，f（x1）+f（x2）＝0，且函数f（x）在区间（x1，x2）上具有单调性，则|x1+x2|的最小值为（　　） A． B． C． D． 四．正弦函数的奇偶性和对称性（共3小题） 7．（2024秋•黔东南州期末）设函数f（x）＝﹣2sinωxsin（ωx）（0＜ω＜5）图象的一条对称轴方程为，若|f（x1）﹣f（x2）|＝2，则|x1﹣x2|的最小值是（　　） A． B． C． D． 8．（2025•延吉市校级三模）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期为π，若将f（x）的图象向右平移个单位长度后所得的图象与曲线y＝f（x）关于对称，则φ＝（　　） A． B． C． D． 9．（2025•德州模拟）已知函数在上单调递增，且其图象关于点对称，则（　　） A． B． C． D． 五．余弦函数的图象（共1小题） 10．（2025•浙江模拟）已知函数和函数g（x）＝2cos（ωx+φ）的图象上相邻的四个交点构成的四边形的面积为，且f（1）＝g（1），则（　　） A．ω＝4π， B．ω＝4π， C．ω＝8π， D．ω＝8π， 六．函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换（共4小题） 11．（2025春•海淀区校级月考）将函数y＝sinx图象上所有点纵坐标不变，横坐标变为原来的，再向左平移个单位，得到函数f（x）的图象，已知f（x）在[0，2π]上恰有5个零点．下列四个命题中： ①f（x）的图象关于点对称； ②f（x）在（0，2π）内恰有5个最值点； ③f（x）在内单调递减； ④ω的取值范围是． 所有真命题的序号是（　　） A．①③ B．①④ C．①②③ D．③④ 12．（2025春•皇姑区校级期中）将函数f（x）＝sinx的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象，若函数g（x）在上没有零点，则ω的取值范围是（　　） A． B． C． D．（0，1） （多选）13．（2025春•鲤城区校级期中）如图是函数图象的一部分，对不同的x1，x2∈[a，b]，若f（x1）＝f（x2），有，则（　　） A．函数f（x）的最小正周期为π B．f（x）在上单调递减 C．将曲线y＝f（x）向右平移个单位长度，得到函数的图象 D．直线是曲线y＝f（x）的一条对称轴 14．（2025春•马山县期中）已知函数，若为偶函数，y＝f（x）的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列．将函数f（x）图象上每一点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位后得到函数g（x）的图象，则 　 　 ． 七．由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式（共6小题） 15．（2025春•临川区校级期中）已知函数的部分图象如图所示，则不正确的是（　　） A．若，则f（x）的值域为 B． C．∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤4 D． 16．（2025春•广东月考）已知函数y＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|）的图象如图所示，则ω•φ＝（　　） A． B． C． D． 17．（2025•天河区模拟）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|）的部分图象如图所示，C为图象与y轴的交点，B为图象与x轴的一个交点，且|BC|，若实数x1，x2满足f（x1）•f（x2）＝﹣4，则f（x1+x2）＝（　　） A．﹣1 B．0 C． D．2 18．（2025•随州模拟）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，其中A＞0，ω＞0，φ＜0．在已知的条件下，则下列选项中可以确定其值的量为（　　） A．ω B．φ C． D．Asinφ （多选）19．（2024秋•莆田期末）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（　　） A． B．f（ω1x）（ω1＞0）在上单调递增，则ω1的取值范围为 C．不等式的解集为 D．将f（x）的图象向右平移个单位长度，再向上平移2个单位后所得函数的图象对称中心为 （多选）20．（2024秋•兴化市期末）函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（　　） A． B．f（x）的一个单调递增区间为 C．函数f（x）的图象关于点对称 D．若函数f（λx）（λ＞0）在[0，π]上没有零点，则 八．同角三角函数间的基本关系（共2小题） 21．（2025•项城市模拟）已知α，β∈（0，），3sinβcosα，3cosβ＝2﹣sinα，则α+β＝（　　） A． B． C． D． 22．（2024秋•丹阳市期末）设，则（　　） A． B． C．﹣1 D．1 九．两角和与差的三角函数（共5小题） 23．（2025•渝中区校级模拟）已知，且，则cos（2α+2β）＝（　　） A． B． C． D． 24．（2025•成都校级模拟）若tan（α+β）＝3tanα，sin（2α+β），则sinβ＝（　　） A． B． C． D． 25．（2025•房县校级模拟）已知为钝角，，则tanβ＝（　　） A． B． C．7 D．﹣7 26．（2025•宜宾模拟）已知，，则sin2α﹣cos2β＝（　　） A． B． C． D． 27．（2024秋•城中区期末）已知，则（　　） A． B． C． D． 一十．求两角和与差的三角函数值（共4小题） 28．（2025春•齐齐哈尔校级月考）已知，且，，则下面正确的为（　　） A． B． C． D． 29．（2024秋•怀化期末）已知，则cos（α+β）的值为（　　） A． B． C． D． 30．（2025•石峰区校级模拟）已知，，，则（　　） A． B． C．﹣1 D．﹣2 31．（2025•郑州模拟）已知，，则cosα＝ 　 　 ． 一十一．二倍角的三角函数（共4小题） 32．（2025春•常州期中）已知α∈（0，π），，则（　　） A． B． C． D． 33．（2025•连云港校级模拟）已知α∈（0，π），且，则（　　） A． B．12 C． D．﹣12 34．（2024秋•湖州期末）已知，则sin（α+β）的值为（　　） A．1 B．0 C． D．﹣1 35．（2025春•皇姑区校级期中）已知tanα＝2，则的值为 　 　 ． 一十二．求二倍角的三角函数值（共2小题） 36．（2025•安庆模拟）已知，则sin4θ+cos4θ＝（　　） A． B． C． D． 37．（2024秋•平凉校级期末）设，，则cos2α＝（　　） A． B． C． D． 一十三．三角函数的恒等变换及化简求值（共1小题） 38．（2025•长春模拟）若，且，则tanα＝（　　） A． B． C． D． 一十四．三角函数中的恒等变换应用（共4小题） 39．（2025春•湖北期中）设函数，若函数f（x）在区间上恰有2个零点，则实数ω的取值范围为（　　） A． B． C． D． 40．（2025•江苏校级一模）若函数f（x）＝sin2ωx﹣2cos2ωx（ω＞0）在（0，）上只有一个零点，则ω的取值范围为（　　） A．（，] B．[，） C．（，] D．[，） 41．（2025•重庆模拟）已知函数，若存在x1，满足，则cos（x2﹣x1）的值为（　　） A． B． C． D． 42．（2025•海淀区二模）已知函数． （Ⅰ）若，求f（0）及f（x）的单调递增区间； （Ⅱ）已知f（x）在区间上单调递增，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数f（x）存在且唯一确定，求f（x）的最小正周期． 条件①：； 条件②：是f（x）的一个极值点； 条件③：是f（x）的一个零点． 注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 一十五．平面向量数量积的性质及其运算（共1小题） 43．（2025春•五华区校级期中）已知且f（x），下列有关函数的相关命题，正确的个数是（　　） ①函数|f（x）|的周期为π ②函数f（x）的一个对称中心为 ③函数f（x）的单调递减区间为 ④若函数在区间上是单调函数，且g（﹣π）＝g（0）＝﹣g（），则ω的值为2或 A．1 B．2 C．3 D．4 一十六．利用正弦定理解三角形（共2小题） 44．（2025•武汉模拟）已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中acosB+bcosA＝3ctanC，若，则△ABC外接圆的面积为（　　） A．16π B．25π C．36π D．49π 45．（2025春•市中区校级期中）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（2b+c）cosA+acosC＝0，，若边BC的中线长等于3，则c＝（　　） A． B． C． D． 一十七．三角形中的几何计算（共1小题） 46．（2025•枣庄模拟）已知△ABC中，BC＝1，，若∠B的平分线交AC于点D，则BD的长为（　　） A．或 B．或 C． D． 一十八．解三角形（共3小题） 47．（2025春•龙岗区校级期中）在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2，CD＝3，，若AC⊥BD，则tan∠ABD＝（　　） A． B． C． D．2 48．（2025•宜春二模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2a2+c2＝2b2，sin（A﹣B），则sinC＝（　　） A． B． C． D． 49．（2025春•姑苏区校级期中）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则△ABC的面积的最大值为（　　） A． B． C． D． 一十九．几何法求解二面角及两平面的夹角（共1小题） 50．（2025•香坊区校级二模）如图所示，将绘有函数f（x）＝Msin（x+φ）（M＞0，0＜φ＜π）部分图像的纸片沿x轴折成钝二面角，此二面角的平面角为，此时A，B之间的距离为，则φ＝（　　） A． B． C． D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$高考数学常考题型归纳 【三角恒等变换+三角函数+解三角形专项练习】 总览 题型梳理 一．三角函数的周期性（共1小题） 二．正弦函数的图象（共4小题） 三．正弦函数的单调性（共1小题） 四．正弦函数的奇偶性和对称性（共3小题） 五．余弦函数的图象（共1小题） 六．函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换（共4小题） 七．由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式（共6小题） 八．同角三角函数间的基本关系（共2小题） 九．两角和与差的三角函数（共5小题） 一十．求两角和与差的三角函数值（共4小题） 一十一．二倍角的三角函数（共4小题） 一十二．求二倍角的三角函数值（共2小题） 一十三．三角函数的恒等变换及化简求值（共1小题） 一十四．三角函数中的恒等变换应用（共4小题） 一十五．平面向量数量积的性质及其运算与三角函数（共1小题） 一十六．利用正弦定理解三角形（共2小题） 一十七．三角形中的几何计算（共1小题） 一十八．解三角形（共3小题） 一十九．几何法求解二面角及两平面的夹角（共1小题） 【知识总览】 1.三角函数的周期性 【知识点的认识】 周期性 ①一般地，对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有 f（x+T）＝f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期． ②对于一个周期函数f（x），如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期． ③函数y＝Asin（ωx+φ），x∈R及函数y＝Acos（ωx+φ）；x∈R（其中A、ω、φ为常数，且A≠0，ω＞0）的周期T． 【知识点的认识】 2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R k∈Z 值域 [﹣1，1] [﹣1，1] R 单调性 递增区间： （2kπ，2kπ） （k∈Z）； 递减区间： （2kπ，2kπ） （k∈Z） 递增区间： （2kπ﹣π，2kπ） （k∈Z）； 递减区间： （2kπ，2kπ+π） （k∈Z） 递增区间： （kπ，kπ） （k∈Z） 最　值 x＝2kπ（k∈Z）时，ymax＝1； x＝2kπ（k∈Z）时， ymin＝﹣1 x＝2kπ（k∈Z）时，ymax＝1； x＝2kπ+π（k∈Z） 时， ymin＝﹣1 无最值 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 对称性 对称中心：（kπ，0）（k∈Z） 对称轴：x＝kπ，k∈Z 对称中心：（kπ，0）（k∈Z） 对称轴：x＝kπ，k∈Z 对称中心：（，0）（k∈Z） 无对称轴 周期 2π 2π π 3.函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换 【知识点的认识】 函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象的步骤 两种变换的差异 先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是（ω＞0）个单位．原因是相位变换和周期变换都是针对x而言的． 4.由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式 【知识点的认识】 根据图象确定解析式的方法： 在由图象求三角函数解析式时，若最大值为M，最小值为m，则A，k，ω由周期T确定，即由T求出，φ由特殊点确定． 5.三角恒等变换公式 【知识点的认识】 1．同角三角函数的基本关系 （1）平方关系：sin2α+cos2α＝1． （2）商数关系：tanα． 2．诱导公式 公式一：sin（α+2kπ）＝sin α，cos（α+2kπ）＝cos _ α ，其中k∈ Z． 公式二：sin（π+α）＝﹣sin _ α ，cos（π+α）＝﹣cos _ α ，tan（π+α）＝tan α． 公式三：sin（﹣α）＝﹣sin _ α ，cos（﹣α）＝cos _ α ． 公式四：sin（π﹣α）＝sin α，cos（π﹣α）＝﹣cos _ α ． 公式五：sin（α）＝cosα ，cos（α）＝sinα． 公式六：sin（α）＝cos α ，cos（α）＝﹣sin α 3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 （1）C（α﹣β）：cos （α﹣β）＝ cos αcosβ + sin αsinβ ； （2）C（α+β）：cos（α+β）＝ cos αcosβ ﹣ sin αsinβ ； （3）S（α+β）：sin（α+β）＝ sin αcosβ + cos αsinβ ； （4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝ sin αcosβ ﹣ cos αsinβ ； （5）T（α+β）：tan（α+β）． （6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）． 4．二倍角的正弦、余弦、正切公式 （1）S2α：sin 2α＝2sin _ α cos _ α ； （2）C2α：cos 2α＝cos2α﹣sin2α ＝2cos2α﹣1 ＝1﹣2sin2α ； （3）T2α：tan 2α． 【解题方法点拨】 诱导公式记忆口诀： 对于角“±α”（k∈Z）的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”． 6.利用正弦定理解三角形 【知识点的认识】 1．正弦定理 定理 正弦定理 内容 2R （ R是△ABC外接圆半径） 变形 形式 ①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC； ②sinA，sinB，sinC； ③a：b：c＝sinA：sinB：sinC； ④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA 解决 三角 形的 问题 ①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边； ②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 7.余弦定理 【知识点的认识】 1．正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理 内容 2R （ R是△ABC外接圆半径） a2＝b2+c2﹣2bccos A， b2＝a2+c2﹣2accos_B， c2＝a2+b2﹣2abcos_C　 变形 形式 ①a＝2Rsin A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C； ②sin A，sin B，sin C； ③a：b：c＝sinA：sinB：sinC； ④asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A cos A， cos B， cos C 解决 三角 形的 问题 ①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边； ②②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 ①已知三边，求各角； ②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角 8.三角形中的几何计算 【知识点的认识】 1、几何中的长度计算： （1）利用正弦定理和三角形内角和定理可以求解： ①已知两角和任一边，求其他两边和一角． ②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）． （2）利用余弦定理可以求解： ①解三角形； ②判断三角形的形状； ③实现边角之间的转化．包括：a、已知三边，求三个角；b、已知两边和夹角，求第三边和其他两角． 2、与面积有关的问题： （1）三角形常用面积公式 ①Sa•ha（ha表示边a上的高）； ②SabsinCacsinBbcsinA． ③Sr（a+b+c）（r为内切圆半径）． （2）面积问题的解法： ①公式法：三角形、平行四边形、矩形等特殊图形，可用相应面积公式解决． ②割补法：若是求一般多边形的面积，可采用作辅助线的办法，通过分割或补形把不是三角形的几何图形分割成不重叠的几个三角形，再由三角形的面积公式求解． 9.解三角形 【知识点的认识】 1．已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C＝π求C，由正弦定理求a、b． 2．已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C＝π，求另一角． 3．已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况． 4．已知三边a、b、c，应用余弦定理求A、B，再由A+B+C＝π，求角C． 5．方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成．正北或正南，北偏东××度，北偏西××度，南偏东××度，南偏西××度． 6．俯角和仰角的概念： 在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角．如图中OD、OE是视线，是仰角，是俯角． 7．关于三角形面积问题 ①S△ABCahabhbchc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）； ②S△ABCabsinCbcsinAacsinB； ③S△ABC＝2R2sinAsinBsinC．（R为外接圆半径） ④S△ABC； ⑤S△ABC，（s（a+b+c））； ⑥S△ABC＝r•s，（ r为△ABC内切圆的半径） 题型分类 知识讲解与常考题型 一．三角函数的周期性（共1小题） 1．（2025•西安校级模拟）已知函数的最小正周期T满足，且该函数的图象关于点中心对称，则ω的值为（　　） A．1 B． C． D． 二．正弦函数的图象（共4小题） 2．（2025•皇姑区校级一模）已知为曲线y＝cosx与y＝sin（2x+φ）（0≤φ＜π）的一个交点的横坐标，则函数f（x）＝sin（2x+φ）的一个单调增区间为（　　） A． B． C． D． 3．（2024秋•温州期末）已知f（x）＝x3，g（x）＝sinx，则如图表示的函数可能是（　　） A．f（x）+g（x） B．f（x）﹣g（x） C．f（x）g（x） D． 4．（2025•郑州模拟）函数与函数g（x）＝log2x的图象交点个数为（　　） A．3 B．5 C．6 D．7 5．（2025春•浦东新区校级月考）已知ω＞0，顺次连接函数与的任意三个相邻的交点都构成一个等腰直角三角形，则ω＝（　　） A． B． C． D． 三．正弦函数的单调性（共1小题） 6．（2025•西城区校级模拟）已知函数f（x）＝sinωxcosωx（ω＞0）的最小正周期为π，f（x1）+f（x2）＝0，且函数f（x）在区间（x1，x2）上具有单调性，则|x1+x2|的最小值为（　　） A． B． C． D． 四．正弦函数的奇偶性和对称性（共3小题） 7．（2024秋•黔东南州期末）设函数f（x）＝﹣2sinωxsin（ωx）（0＜ω＜5）图象的一条对称轴方程为，若|f（x1）﹣f（x2）|＝2，则|x1﹣x2|的最小值是（　　） A． B． C． D． 8．（2025•延吉市校级三模）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期为π，若将f（x）的图象向右平移个单位长度后所得的图象与曲线y＝f（x）关于对称，则φ＝（　　） A． B． C． D． 9．（2025•德州模拟）已知函数在上单调递增，且其图象关于点对称，则（　　） A． B． C． D． 五．余弦函数的图象（共1小题） 10．（2025•浙江模拟）已知函数和函数g（x）＝2cos（ωx+φ）的图象上相邻的四个交点构成的四边形的面积为，且f（1）＝g（1），则（　　） A．ω＝4π， B．ω＝4π， C．ω＝8π， D．ω＝8π， 六．函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换（共4小题） 11．（2025春•海淀区校级月考）将函数y＝sinx图象上所有点纵坐标不变，横坐标变为原来的，再向左平移个单位，得到函数f（x）的图象，已知f（x）在[0，2π]上恰有5个零点．下列四个命题中： ①f（x）的图象关于点对称； ②f（x）在（0，2π）内恰有5个最值点； ③f（x）在内单调递减； ④ω的取值范围是． 所有真命题的序号是（　　） A．①③ B．①④ C．①②③ D．③④ 12．（2025春•皇姑区校级期中）将函数f（x）＝sinx的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象，若函数g（x）在上没有零点，则ω的取值范围是（　　） A． B． C． D．（0，1） （多选）13．（2025春•鲤城区校级期中）如图是函数图象的一部分，对不同的x1，x2∈[a，b]，若f（x1）＝f（x2），有，则（　　） A．函数f（x）的最小正周期为π B．f（x）在上单调递减 C．将曲线y＝f（x）向右平移个单位长度，得到函数的图象 D．直线是曲线y＝f（x）的一条对称轴 14．（2025春•马山县期中）已知函数，若为偶函数，y＝f（x）的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列．将函数f（x）图象上每一点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位后得到函数g（x）的图象，则 　 　 ． 七．由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式（共6小题） 15．（2025春•临川区校级期中）已知函数的部分图象如图所示，则不正确的是（　　） A．若，则f（x）的值域为 B． C．∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤4 D． 16．（2025春•广东月考）已知函数y＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|）的图象如图所示，则ω•φ＝（　　） A． B． C． D． 17．（2025•天河区模拟）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|）的部分图象如图所示，C为图象与y轴的交点，B为图象与x轴的一个交点，且|BC|，若实数x1，x2满足f（x1）•f（x2）＝﹣4，则f（x1+x2）＝（　　） A．﹣1 B．0 C． D．2 18．（2025•随州模拟）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，其中A＞0，ω＞0，φ＜0．在已知的条件下，则下列选项中可以确定其值的量为（　　） A．ω B．φ C． D．Asinφ （多选）19．（2024秋•莆田期末）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（　　） A． B．f（ω1x）（ω1＞0）在上单调递增，则ω1的取值范围为 C．不等式的解集为 D．将f（x）的图象向右平移个单位长度，再向上平移2个单位后所得函数的图象对称中心为 （多选）20．（2024秋•兴化市期末）函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（　　） A． B．f（x）的一个单调递增区间为 C．函数f（x）的图象关于点对称 D．若函数f（λx）（λ＞0）在[0，π]上没有零点，则 八．同角三角函数间的基本关系（共2小题） 21．（2025•项城市模拟）已知α，β∈（0，），3sinβcosα，3cosβ＝2﹣sinα，则α+β＝（　　） A． B． C． D． 22．（2024秋•丹阳市期末）设，则（　　） A． B． C．﹣1 D．1 九．两角和与差的三角函数（共5小题） 23．（2025•渝中区校级模拟）已知，且，则cos（2α+2β）＝（　　） A． B． C． D． 24．（2025•成都校级模拟）若tan（α+β）＝3tanα，sin（2α+β），则sinβ＝（　　） A． B． C． D． 25．（2025•房县校级模拟）已知为钝角，，则tanβ＝（　　） A． B． C．7 D．﹣7 26．（2025•宜宾模拟）已知，，则sin2α﹣cos2β＝（　　） A． B． C． D． 27．（2024秋•城中区期末）已知，则（　　） A． B． C． D． 一十．求两角和与差的三角函数值（共4小题） 28．（2025春•齐齐哈尔校级月考）已知，且，，则下面正确的为（　　） A． B． C． D． 29．（2024秋•怀化期末）已知，则cos（α+β）的值为（　　） A． B． C． D． 30．（2025•石峰区校级模拟）已知，，，则（　　） A． B． C．﹣1 D．﹣2 31．（2025•郑州模拟）已知，，则cosα＝ 　 　 ． 一十一．二倍角的三角函数（共4小题） 32．（2025春•常州期中）已知α∈（0，π），，则（　　） A． B． C． D． 33．（2025•连云港校级模拟）已知α∈（0，π），且，则（　　） A． B．12 C． D．﹣12 34．（2024秋•湖州期末）已知，则sin（α+β）的值为（　　） A．1 B．0 C． D．﹣1 35．（2025春•皇姑区校级期中）已知tanα＝2，则的值为 　 　 ． 一十二．求二倍角的三角函数值（共2小题） 36．（2025•安庆模拟）已知，则sin4θ+cos4θ＝（　　） A． B． C． D． 37．（2024秋•平凉校级期末）设，，则cos2α＝（　　） A． B． C． D． 一十三．三角函数的恒等变换及化简求值（共1小题） 38．（2025•长春模拟）若，且，则tanα＝（　　） A． B． C． D． 一十四．三角函数中的恒等变换应用（共4小题） 39．（2025春•湖北期中）设函数，若函数f（x）在区间上恰有2个零点，则实数ω的取值范围为（　　） A． B． C． D． 40．（2025•江苏校级一模）若函数f（x）＝sin2ωx﹣2cos2ωx（ω＞0）在（0，）上只有一个零点，则ω的取值范围为（　　） A．（，] B．[，） C．（，] D．[，） 41．（2025•重庆模拟）已知函数，若存在x1，满足，则cos（x2﹣x1）的值为（　　） A． B． C． D． 42．（2025•海淀区二模）已知函数． （Ⅰ）若，求f（0）及f（x）的单调递增区间； （Ⅱ）已知f（x）在区间上单调递增，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数f（x）存在且唯一确定，求f（x）的最小正周期． 条件①：； 条件②：是f（x）的一个极值点； 条件③：是f（x）的一个零点． 注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 一十五．平面向量数量积的性质及其运算（共1小题） 43．（2025春•五华区校级期中）已知且f（x），下列有关函数的相关命题，正确的个数是（　　） ①函数|f（x）|的周期为π ②函数f（x）的一个对称中心为 ③函数f（x）的单调递减区间为 ④若函数在区间上是单调函数，且g（﹣π）＝g（0）＝﹣g（），则ω的值为2或 A．1 B．2 C．3 D．4 一十六．利用正弦定理解三角形（共2小题） 44．（2025•武汉模拟）已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中acosB+bcosA＝3ctanC，若，则△ABC外接圆的面积为（　　） A．16π B．25π C．36π D．49π 45．（2025春•市中区校级期中）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（2b+c）cosA+acosC＝0，，若边BC的中线长等于3，则c＝（　　） A． B． C． D． 一十七．三角形中的几何计算（共1小题） 46．（2025•枣庄模拟）已知△ABC中，BC＝1，，若∠B的平分线交AC于点D，则BD的长为（　　） A．或 B．或 C． D． 一十八．解三角形（共3小题） 47．（2025春•龙岗区校级期中）在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2，CD＝3，，若AC⊥BD，则tan∠ABD＝（　　） A． B． C． D．2 48．（2025•宜春二模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2a2+c2＝2b2，sin（A﹣B），则sinC＝（　　） A． B． C． D． 49．（2025春•姑苏区校级期中）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则△ABC的面积的最大值为（　　） A． B． C． D． 一十九．几何法求解二面角及两平面的夹角（共1小题） 50．（2025•香坊区校级二模）如图所示，将绘有函数f（x）＝Msin（x+φ）（M＞0，0＜φ＜π）部分图像的纸片沿x轴折成钝二面角，此二面角的平面角为，此时A，B之间的距离为，则φ＝（　　） A． B． C． D． 【解析】 一．三角函数的周期性（共1小题） 1．（2025•西安校级模拟）已知函数的最小正周期T满足，且该函数的图象关于点中心对称，则ω的值为（　　） A．1 B． C． D． 【考点】三角函数的周期性．版权所有 【分析】根据周期的范围可得，再根据对称中心可得，即可求出ω． 【解答】解：函数， 则，因为，所以，计算可得， 又函数f（x）的图象关于点中心对称，所以， 所以，k∈Z， 计算可得，k∈Z，因为， 所以当k＝4时，． 故选：C． 【点评】本题考查了三角函数的性质，属于基础题． 二．正弦函数的图象（共4小题） 2．（2025•皇姑区校级一模）已知为曲线y＝cosx与y＝sin（2x+φ）（0≤φ＜π）的一个交点的横坐标，则函数f（x）＝sin（2x+φ）的一个单调增区间为（　　） A． B． C． D． 【考点】正弦函数的图象；余弦函数的图象．版权所有 【分析】根据求解，即可利用整体法求解函数的单调区间，即可求解． 【解答】解：根据题意，，由于0≤φ＜π， 所以，所以，解得，所以， 令，解得， 所以单调递增区间为， 当k＝0时，一个单调递增区间为， 当k＝1时，一个单调递增区间为， 当k＝﹣1时，一个单调递增区间为． 故选：B． 【点评】本题考查了三角函数的性质，属于基础题． 3．（2024秋•温州期末）已知f（x）＝x3，g（x）＝sinx，则如图表示的函数可能是（　　） A．f（x）+g（x） B．f（x）﹣g（x） C．f（x）g（x） D． 【考点】正弦函数的图象．版权所有 【分析】根据函数图象的对称性可排除CD，根据函数值的符号可排除A，故可得正确的选项． 【解答】解：由图象可得题设中图象对应的函数为奇函数， 而f（﹣x）g（﹣x）＝﹣x3（﹣sinx）＝f（x）g（x），故f（x）g（x）为偶函数； 的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，该定义域关于原点对称， 而， 故为定义域上的偶函数，故CD错误； 当0＜x＜1时，f（x）+g（x）＝x3+sinx＞0，故A错误． 故选：B． 【点评】本题考查了函数图象的对称性，属于基础题． 4．（2025•郑州模拟）函数与函数g（x）＝log2x的图象交点个数为（　　） A．3 B．5 C．6 D．7 【考点】正弦函数的图象；对数函数图象特征与底数的关系．版权所有 【分析】利用五点法作出三角型函数图象，再用两点法作出对数函数图象，即可通过图象观察交点个数． 【解答】解：通过五点法作出周期函数f（x）的图象， 再通过两点法（1，0），（4，2）作出单调函数g（x）＝log2x的图象， 因为，所以通过图象可判断它们有3个交点． 故选：A． 【点评】本题考查了五点法作出三角型函数图象，属于基础题． 5．（2025春•浦东新区校级月考）已知ω＞0，顺次连接函数与的任意三个相邻的交点都构成一个等腰直角三角形，则ω＝（　　） A． B． C． D． 【考点】正弦函数的图象；余弦函数的图象．版权所有 【分析】先大致画出正弦函数图像和余弦函数图像，通过观察可知，三角形左右两个顶点之间为一个周期，故只需求出等腰直角三角形的斜边长即可，再根据可知等腰直角三角形的斜边上的高，由此求得斜边长即函数的周期，再由周期公式求得ω的值． 【解答】解：如图所示，在函数与的交点中，， 令，即tanωx＝1， 不妨取，即， 因为三个相邻的交点构成一个等腰直角三角形， 当正弦值等于余弦值时，函数值为， 故等腰直角三角形斜边上的高为，即， 所以，所以． 故选：D． 【点评】本题考查了正弦函数图像和余弦函数图像，属于基础题． 三．正弦函数的单调性（共1小题） 6．（2025•西城区校级模拟）已知函数f（x）＝sinωxcosωx（ω＞0）的最小正周期为π，f（x1）+f（x2）＝0，且函数f（x）在区间（x1，x2）上具有单调性，则|x1+x2|的最小值为（　　） A． B． C． D． 【考点】正弦函数的单调性．版权所有 【分析】根据辅助角公式与三角函数的周期公式，算出f（x）＝2sin（2x），然后求出f（x）的零点，结合题意算出x1+x2kπ（k∈Z），进而可得|x1+x2|的最小值． 【解答】解：根据题意，f（x）＝sinωxcosωx＝2（sinωxcoscosωxsin）＝2sin（ωx）， 因为ω＞0，且f（x）的周期为π，所以π，可得ω＝2，f（x）＝2sin（2x）， 又因为f（x1）+f（x2）＝0，且函数f（x）在区间（x1，x2）上具有单调性， 所以点（x1，f（x1））与（x2，f（x2））关于（，0）对称． 而f（x）＝2sin（2x）的零点满足2xkπ（k∈Z），解得xkπ（k∈Z）． 所以kπ（k∈Z），可得x1+x2kπ（k∈Z）， 当k＝0时，x1+x2，此时|x1+x2|取得最小值． 故选：B． 【点评】本题主要考查三角恒等变换公式、正弦函数的图象与性质等知识，考查了计算能力、概念的理解能力，属于中档题． 四．正弦函数的奇偶性和对称性（共3小题） 7．（2024秋•黔东南州期末）设函数f（x）＝﹣2sinωxsin（ωx）（0＜ω＜5）图象的一条对称轴方程为，若|f（x1）﹣f（x2）|＝2，则|x1﹣x2|的最小值是（　　） A． B． C． D． 【考点】正弦函数的奇偶性和对称性；三角函数的周期性．版权所有 【分析】首先由三角恒等变换化简f（x），由已知对称轴方程以及ω的范围可得ω的值，结合正弦函数的性质可知|x1﹣x2|的最小值为即可求解． 【解答】解： ， 故． f（x）图象的一条对称轴方程为， 故，可得ω＝1+6k（k∈Z）， 因为0＜ω＜5，所以k＝0，ω＝1，所以， 所以若|f（x1）﹣f（x2）|＝2，则得到． 故选：B． 【点评】本题考查了三角恒等变换，属于基础题． 8．（2025•延吉市校级三模）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期为π，若将f（x）的图象向右平移个单位长度后所得的图象与曲线y＝f（x）关于对称，则φ＝（　　） A． B． C． D． 【考点】正弦函数的奇偶性和对称性；函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．版权所有 【分析】先由周期求出参数ω，再由题设结合对称性公式、正弦型函数性质即可求解． 【解答】解：f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期为π，则，得ω＝2，则f（x）＝sin（2x+φ）， 由，即， 得， 解得，∵0＜φ＜π，∴． 故选：D． 【点评】本题考查了正弦型函数性质，属于基础题． 9．（2025•德州模拟）已知函数在上单调递增，且其图象关于点对称，则（　　） A． B． C． D． 【考点】正弦函数的奇偶性和对称性；正弦函数的单调性．版权所有 【分析】根据给定条件，利用最小正周期及对称中心求出ω，进而求出函数值． 【解答】解：根据题意可知，函数在上单调递增，得， 解得0＜ω≤2，由f（x）的图象关于点对称，得， 解得，于是，， 所以． 故选：C． 【点评】本题考查了三角函数的性质，属于中档题． 五．余弦函数的图象（共1小题） 10．（2025•浙江模拟）已知函数和函数g（x）＝2cos（ωx+φ）的图象上相邻的四个交点构成的四边形的面积为，且f（1）＝g（1），则（　　） A．ω＝4π， B．ω＝4π， C．ω＝8π， D．ω＝8π， 【考点】余弦函数的图象；正弦函数的图象．版权所有 【分析】根据三角函数的诱导公式，算出y＝g（x）的图象可以看作是由y＝f（x）的图象向左平移个单位而得．然后根据正弦曲线与曲线曲线的性质，结合平行四边形的面积公式列式算出ω的值，结合f（1）＝g（1）求出φ，即可得到本题的答案． 【解答】解：根据题意得g（x）＝2cos（ωx+φ）＝2sin[（ωx+φ）]＝2sin[ω（x）+φ]， 所以y＝g（x）的图象可以看作是由y＝f（x）的图象向左平移个单位而得． 根据正弦曲线与余弦曲线的性质， 可知f（x）图象与g（x）图象的相邻四个交点构成的四边形是平行四边形， 该平行四边形平行于x轴的边长等于周期，且平行于x轴的对边间的距离d＝2[（）]， 所以该平行四边形的面积S，解得ω＝8π． 由f（1）＝g（1），可得2sin（8π+φ）＝2cos（8π+φ）， 即sinφ＝cosφ，tanφ＝1，所以φkπ（k∈Z），结合|φ|，取k＝0得φ． 综上所述，ω＝8π，φ． 故选：C． 【点评】本题主要考查三角函数的诱导公式、正弦函数与余弦函数的性质等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题． 六．函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换（共4小题） 11．（2025春•海淀区校级月考）将函数y＝sinx图象上所有点纵坐标不变，横坐标变为原来的，再向左平移个单位，得到函数f（x）的图象，已知f（x）在[0，2π]上恰有5个零点．下列四个命题中： ①f（x）的图象关于点对称； ②f（x）在（0，2π）内恰有5个最值点； ③f（x）在内单调递减； ④ω的取值范围是． 所有真命题的序号是（　　） A．①③ B．①④ C．①②③ D．③④ 【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的单调性．版权所有 【分析】根据题意，运用正弦函数的图象变换公式求出函数f（x）的解析式，然后根据正弦函数的零点公式求出ω的取值范围，并根据正弦函数的对称性、最值、单调性逐一判断，即可得到本题的答案． 【解答】解：根据题意，可得f（x）＝sin[ω（x）]＝sin（ωx）的图象， 当x∈[0，2π]时，， 根据函数f（x）在[0，2π]上有且只有5个零点，且ω＞0， 可知，解得， 由，k∈N，取k＝0得到，解得． 当k∈N*时，，即，不等式的解集为空集，故④正确； 对于①，根据，可知f（x）的图象关于点对称，故①正确； 对于②，因为x∈[0，2π]，所以， 结合，可得， 而，当ω＝2.5π时，，此时函数有4个最值点，故②为假命题； 对于③，由，得， 结合，可知，而，可知③假命题． 综上所述，①④为真命题． 故选：B． 【点评】本题主要考查了正弦函数的图象与性质、函数图象的变换公式等知识，属于中档题． 12．（2025春•皇姑区校级期中）将函数f（x）＝sinx的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象，若函数g（x）在上没有零点，则ω的取值范围是（　　） A． B． C． D．（0，1） 【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的图象．版权所有 【分析】根据函数图象的变换公式，求出g（x）＝sin（ωx），然后根据正弦函数的零点建立关于ω的不等式，解出ω的取值范围． 【解答】解：将函数f（x）＝sinx的图象先向右平移个单位长度，可得y＝f（x）的图象， 再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，可得y＝f（ωx）的图象， 所以g（x）＝sin（ωx）， 当x∈时，ωx∈（，）， 若函数g（x）在上没有零点， 则必须（），即，解得0＜ω≤2． 因此g（x）可能的零点满足ωx0或π或2π， 要使g（x）在上没有零点， 则必须0或0π或π2π， ①若0，则0，解得0； ②若0π，则，解得； ③π2π，则，解得ω∈∅． 综上所述，0或，B项符合题意． 故选：B． 【点评】本题主要考查了正弦函数的图象与性质、不等式的解法等知识，属于中档题． （多选）13．（2025春•鲤城区校级期中）如图是函数图象的一部分，对不同的x1，x2∈[a，b]，若f（x1）＝f（x2），有，则（　　） A．函数f（x）的最小正周期为π B．f（x）在上单调递减 C．将曲线y＝f（x）向右平移个单位长度，得到函数的图象 D．直线是曲线y＝f（x）的一条对称轴 【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的奇偶性和对称性．版权所有 【分析】根据正弦函数的图象与性质，求出A＝2，a+b＝x1+x2φ，结合且φ∈[，]，求得φ，所以f（x）＝2sin（2x），然后根据三角函数的周期公式、正弦函数的单调性与对称性，结合三角函数图象变换的公式对各项依次进行判断，即可得到本题的答案． 【解答】解：由题意得f（x）的最大值为A＝2， 对不同的x1，x2∈[a，b]，若f（x1）＝f（x2），则，可得x1+x2＝a+b， 根据“五点法”作图，可知2a+φ＝0，2b+φ＝π，所以a+bφ， 因为f（a+b），所以f（φ），即2sin（π﹣φ）， 可得sinφ，结合φ∈[，]，可得φ，f（x）＝2sin（2x）． 对于A，f（x）的周期Tπ，可知A正确； 对于B，当x∈时，存在x，f（x）＝2sin2，是最小值， 所以f（x）在上不是单调递减函数，故B项不正确； 对于C，将曲线y＝f（x）向右平移个单位长度， 可得f（x）＝2sin（2x）的图象，故C项正确； 对于D，当x时，f（x）＝2sin（）＝﹣2，是最小值， 结合正弦函数的对称性，可知直线是曲线y＝f（x）的一条对称轴，D项正确． 故选：ACD． 【点评】本题主要考查正弦函数的图象与性质、函数图象的变换公式、由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式等知识，属于中档题． 14．（2025春•马山县期中）已知函数，若为偶函数，y＝f（x）的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列．将函数f（x）图象上每一点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位后得到函数g（x）的图象，则 　0　 ． 【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．版权所有 【分析】根据f（x）图象与x轴交点的横坐标构成公差为的等差数列，算出f（x）的周期T＝π，进而求出ω＝2．然后由为偶函数，得到f（x）的图象关于直线x对称，列式求出φ，可得f（x）的表达式，进而根据函数图象变换公式求出g（x）表达式，代入数据算出答案． 【解答】解：因为f（x）＝sin（ωx+φ）的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列， 所以f（x）的周期T＝2π，即π，结合ω为正数，解得ω＝2． 又因为为偶函数， 所以f（x）＝f（﹣x），可知f（x）的图象关于直线x对称， 可得ω•φkπ（k∈Z），即φkπ（k∈Z），结合|φ|，取k＝0得φ． 所以f（x）＝sin（2x），可得g（x）＝f[2（x）]＝sin（4x）＝cos4x． 因此，sincos（）＝0． 故答案为：0． 【点评】本题主要考查三角函数图象的变换公式、正弦函数的图象与性质等知识，考查了计算能力、等价转化的数学思想，属于中档题． 七．由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式（共6小题） 15．（2025春•临川区校级期中）已知函数的部分图象如图所示，则不正确的是（　　） A．若，则f（x）的值域为 B． C．∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤4 D． 【考点】由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．版权所有 【分析】根据三角函数的周期公式算出ω＝2，由f（x）的最小值算出A＝2，然后根据当x时f（x）有最大值，列式算出φ的值，从而得f到（x）的解析式，进而利用正弦函数的性质对各项的结论逐一判断，即可得到本题的答案． 【解答】解：由图象可得f（x）的周期T＝4（）＝π，ω2． 根据f（x）的最小值为﹣A＝﹣2，可得A＝2． 因为当x时，f（x）有最大值， 所以2φ2kπ（k∈Z），结合|φ|，取k＝0，解得φ，f（x）＝2sin（2x）． 对于A，当时，由f（x）的图象可知当x时，f（x）有最大值2， 所以f（x）在[0，]的值域不可能是[，]，故A项不正确； 对于B，由f（）＝2sin（π）＝﹣2sin，可知B项正确； 对于C，根据f（x）的最大值为2，最小值为﹣2， 可知∀x1、x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤2﹣（﹣2）＝4，故C项正确； 对于D，由前面的分析可知φ，故D项正确． 故选：A． 【点评】本题主要考查由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式、正弦函数的图象与性质等知识，属于基础题． 16．（2025春•广东月考）已知函数y＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|）的图象如图所示，则ω•φ＝（　　） A． B． C． D． 【考点】由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．版权所有 【分析】根据函数图象经过点（0，﹣1）求出φ的值，然后根据周期的取值范围以及点，求出ω的值，即可得到本题的答案． 【解答】解：根据题意，当x＝0时，y＝2sinφ＝﹣1， 即sinφ，结合，可得． 函数的周期T满足，可得，解得， 由，解得，所以． 因为函数图象经过点， 所以，解得，即， 结合，取k＝0，得ω＝3，所以． 故选：A． 【点评】本题主要考查由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式、正弦函数的图象与性质等知识，考查了计算能力、概念的理解能力，属于中档题． 17．（2025•天河区模拟）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|）的部分图象如图所示，C为图象与y轴的交点，B为图象与x轴的一个交点，且|BC|，若实数x1，x2满足f（x1）•f（x2）＝﹣4，则f（x1+x2）＝（　　） A．﹣1 B．0 C． D．2 【考点】由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．版权所有 【分析】由题意知f（x）的最大值为A＝2，根据B（，0）且|BC|，利用勾股定理求出C（0，），由此算出sinφ，解得φ．然后根据f（x）的周期T满足，利用三角函数的周期公式算出ω，结合f（x）图象经过B（，0），列式算出ω，从而可得f（x）＝2sin（x）．接下来根据f（x1）•f（x2）＝﹣4，设f（x1）＝2，f（x2）＝﹣2，利用正弦函数的性质算出（x1+x2）2k1π+2k2π，k1∈Z且k2∈Z，将其代入f（x）的表达式，即可求出f（x1+x2）的值． 【解答】解：根据f（x）的最大值为2，可知A＝2， 因为Rt△OBC中，|BC|，|OB|， 所以，解得|OC|，即C（0，）． 根据f（0）＝2sinφ，可得sinφ，结合|φ|，解得φ． 观察图象，可得f（x）的周期T满足， 解得T＜5，即5，解得ω． 因为x是f（x）位于减区间的零点，所以ωπ+2kπ，k∈Z， 结合ω∈（，），取k＝0，得ω，所以f（x）＝2sin（x）． 因为实数x1、x2满足f（x1）•f（x2）＝﹣4， 所以x1、x2分别是f（x）的最大值点与最小值点， 不妨设f（x1）＝2，f（x2）＝﹣2， 则x12k1π，k1∈Z，且x22k2π，k2∈Z． 相加可得（x1+x2）2k1π+2k2π， 即（x1+x2）2k1π+2k2π，k1∈Z且k2∈Z． 所以f（x1+x2）＝2sin[（x1+x2）]＝2sin（2k1π+2k2π）＝2sin． 故选：C． 【点评】本题主要考查根据三角函数的部分图象求解析式、勾股定理、正弦函数的图象与性质等知识，考查了计算能力、等价转化的数学思想，属于中档题． 18．（2025•随州模拟）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，其中A＞0，ω＞0，φ＜0．在已知的条件下，则下列选项中可以确定其值的量为（　　） A．ω B．φ C． D．Asinφ 【考点】由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．版权所有 【分析】令f（x）＝Asin（ωx+φ）＝0，找到零点的关系，观察可得． 【解答】解：令f（x）＝Asin（ωx+φ）＝0， 根据“五点法”可得：ωx1+φ＝2k1π，k1∈Z， ωx2+φ＝2k2π+π，k2∈Z， 则ωx1＝2k1π﹣φ，k1∈Z，ωx2＝2k2π+π﹣φ，k2∈Z， 则，k1，k2∈Z，设m（m为常数）， 则φ，k∈Z，再根据φ＜0确定φ的取值． 故选：B． 【点评】本题考查三角函数的图象，属于中档题． （多选）19．（2024秋•莆田期末）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（　　） A． B．f（ω1x）（ω1＞0）在上单调递增，则ω1的取值范围为 C．不等式的解集为 D．将f（x）的图象向右平移个单位长度，再向上平移2个单位后所得函数的图象对称中心为 【考点】由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．版权所有 【分析】根据函数y＝Asin（ωx+φ）的图象与性质，结合题意求出f（x）的解析式，然后对各项中的结论依次加以验证，可得正确答案． 【解答】解：对于A，由图象可得f（x）的最小正周期， 所以，可得f（x）＝3sin（x+φ）， 结合f（x）的最大值为f（）＝3，可得， 所以，结合，取k＝0得，所以，故A项错误； 对于B，，由得， 若f（ω1x）在上单调递增， 可得，结合ω1＞0，解得，所以ω1的取值范围为，故B项正确； 对于C，f（x）即，化简得， 结合正弦函数的性质，可得， 解得x，k∈Z， 所以不等式的解集为，故C项正确． 对于D，将f（x）的图象向右平移个单位长度，再向上平移2个单位， 所得函数图象的对称中心的纵坐标为2，故D项错误． 故选：BC． 【点评】本题主要考查由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式、正弦函数的图象与性质等知识，属于中档题． （多选）20．（2024秋•兴化市期末）函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（　　） A． B．f（x）的一个单调递增区间为 C．函数f（x）的图象关于点对称 D．若函数f（λx）（λ＞0）在[0，π]上没有零点，则 【考点】由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．版权所有 【分析】A：利用图象求出函数的周期，由此求出ω，再由0，求出φ的值，然后根据f（0）＝1求出A的值，进而可以判断；B：利用x的范围求出2x的范围，然后利用正弦函数的单调性以及整体代换的性质即可判断；C：判断f（）与0的关系，由此即可判断；D：利用图象变换的性质以及数形结合建立不等式关系，由此即可判断． 【解答】解：A：由函数图象可得，则T＝π，所以ω＝2， 又0，则Asin（2φ）＝0，则，则，则由，解得A＝2， 所以f（x）＝2sin（2x），故A正确； B：当x时，2x；，则函数f（x）在x不单调递增，故B错误； C：当 时，，所以 f（x）的图象关于点（，0）对称，故C正确； D：f（λx）的图象是由f（x）的图象上所有点的横坐标变为原来的 倍得到的，由图可知f（x） 在[0，）上 没有零点，则f（λx） 在[0，） 上没有零点，由题意得 ，所以 ，故D正确． 故选：ACD． 【点评】本题考查三角函数的图象与性质，属于中档题． 八．同角三角函数间的基本关系（共2小题） 21．（2025•项城市模拟）已知α，β∈（0，），3sinβcosα，3cosβ＝2﹣sinα，则α+β＝（　　） A． B． C． D． 【考点】同角三角函数间的基本关系．版权所有 【分析】由同角三角函数的关系，结合特殊角的三角函数值求解即可． 【解答】解：已知α，β∈（0，），3sinβcosα，3cosβ＝2﹣sinα， 则（3sinβ）2+（3cosβ）2， 即， 又sin2α+cos2α＝1，cosα＞0，sinα＞0， 则，， 即， 则， 则， 则α+β． 故选：C． 【点评】本题考查了同角三角函数的关系，属中档题． 22．（2024秋•丹阳市期末）设，则（　　） A． B． C．﹣1 D．1 【考点】同角三角函数间的基本关系．版权所有 【分析】由题意利用同角三角函数基本关系式即可求解． 【解答】解：因为， 所以． 故选：A． 【点评】本题考查了同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题． 九．两角和与差的三角函数（共5小题） 23．（2025•渝中区校级模拟）已知，且，则cos（2α+2β）＝（　　） A． B． C． D． 【考点】两角和与差的三角函数；求二倍角的三角函数值．版权所有 【分析】根据且，运用两角差的余弦公式、同角三角函数的关系，求出sinαsinβ、cosαcosβ的值，进而求出cos（α+β），然后根据二倍角的余弦公式算出答案． 【解答】解：由，得cosαcosβ+sinαsinβ①， 根据，可得，即sinαsinβ＝2cosαcosβ…②． 由①②组成方程组，解得，所以cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ． 可得cos（2α+2β）＝cos[2（α+β）]＝2cos2（α+β）﹣1． 故选：A． 【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和与差的三角函数公式与二倍角公式等知识，属于基础题． 24．（2025•成都校级模拟）若tan（α+β）＝3tanα，sin（2α+β），则sinβ＝（　　） A． B． C． D． 【考点】两角和与差的三角函数．版权所有 【分析】根据同角三角函数的关系化简tan（a+β）＝3tanα，得到sin（α+β）cosα＝3cos（α+β）sinα，利用配角的方法化简sin（2α+β），得到sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα，从而解出cos（α+β）sinα，sin（α+β）cosα，由此结合β＝（α+β）﹣α，运用两角差的正弦公式算出sinβ的值． 【解答】解：由tan（α+β）＝3tanα，可得，即sin（α+β）cosα＝3cos（α+β）sinα， 因为sin（2α+β）＝sin[（α+β）+α]， 所以sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα，可得4cos（α+β）sinα， 所以cos（α+β）sinα，sin（α+β）cosα， 可得sinβ＝sin[（α+β）﹣α]＝sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα． 故选：C． 【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和与差的三角函数公式等知识，属于基础题． 25．（2025•房县校级模拟）已知为钝角，，则tanβ＝（　　） A． B． C．7 D．﹣7 【考点】两角和与差的三角函数．版权所有 【分析】利用同角公式求出tanα，再利用差角的正切公式，即可得出答案． 【解答】解：∵为钝角， ∴，， 又， ∴． 故选：D． 【点评】本题考查两角和与差的三角函数，考查转化思想和整体思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题． 26．（2025•宜宾模拟）已知，，则sin2α﹣cos2β＝（　　） A． B． C． D． 【考点】两角和与差的三角函数．版权所有 【分析】根据，，运用两角差的余弦公式算出cosαcosβ，进而求出cos（α+β）.然后运用降幂公式，结合配方化简得sin2α﹣cos2βcos2αcos2β＝﹣cos（α+β）cos（α﹣β），代入数据算出答案． 【解答】解：由，可得cosαcosβ+sinαsinβ，即cosαcosβ，解得cosαcosβ， 所以cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ（）． 因为sin2α，cos2β， 所以sin2α﹣cos2βcos2αcos2β cos[（α+β）+（α﹣β）]cos[（α+β）﹣（α﹣β）]＝﹣cos（α+β）cos（α﹣β）． 故选：D． 【点评】本题主要考查两角和与差的三角函数公式、二倍角公式等知识，考查了计算能力、等价转化的数学思想，属于中档题． 27．（2024秋•城中区期末）已知，则（　　） A． B． C． D． 【考点】两角和与差的三角函数；二倍角的三角函数．版权所有 【分析】根据三角恒等变换公式求解． 【解答】解：已知， 所以， 所以， 则， 即． 故选：B． 【点评】本题考查了两角和与差的三角函数，重点考查了二倍角公式，属中档题． 一十．求两角和与差的三角函数值（共4小题） 28．（2025春•齐齐哈尔校级月考）已知，且，，则下面正确的为（　　） A． B． C． D． 【考点】求两角和与差的三角函数值；求二倍角的三角函数值．版权所有 【分析】由已知及同角三角函数的关系求sinβ，sin（β﹣α），再由二倍角公式可求sin2β，最后利用两角和差公式计算cosα＝cos[β﹣（β﹣α）]即可． 【解答】解：对于A，因为，则，故A错误； 对于B，因为， 所以，故B错误； 对于C，cosα＝cos[β﹣（β﹣α）]＝cosβcos（β﹣α）+sinβsin（β﹣α） ，故C错误． 对于D，sin2β＝2sinβcosβ，故D正确． 故选：D． 【点评】本题考查同角三角函数的基本关系，考查二倍角公式，考查两角差的余弦公式，考查运算求解能力，属于中档题． 29．（2024秋•怀化期末）已知，则cos（α+β）的值为（　　） A． B． C． D． 【考点】求两角和与差的三角函数值．版权所有 【分析】结合两角和与差的三角函数求解． 【解答】解：已知tanα﹣tanβ＝2且， 则， 整理得， 又， 整理得， 所以． 故选：B． 【点评】本题考查了两角和与差的三角函数，属中档题． 30．（2025•石峰区校级模拟）已知，，，则（　　） A． B． C．﹣1 D．﹣2 【考点】求两角和与差的三角函数值．版权所有 【分析】将转化为，整体代入求解． 【解答】解：因为，，， 所以sin（α﹣β）＞0， 故sin（α﹣β），且， 故， 故． 故选：D． 【点评】本题考查了同角三角函数的关系，重点考查了两角和与差的三角函数，属基础题． 31．（2025•郑州模拟）已知，，则cosα＝ 　　 ． 【考点】求两角和与差的三角函数值．版权所有 【分析】利用凑角法和同角三角函数关系得到方程组，求出，，从而利用cosα＝cos[（α+β）﹣β]进行求解． 【解答】解：根据题意可知，， ， 故cos（α+β）cosβ＝3sin（α+β）sinβ， 所以， 解得，故， 所以cosα＝cos[（α+β）﹣β]＝cos（α+β）cosβ+sin（α+β）sinβ． 故答案为：． 【点评】本题考查了同角三角函数关系，属于基础题． 一十一．二倍角的三角函数（共4小题） 32．（2025春•常州期中）已知α∈（0，π），，则（　　） A． B． C． D． 【考点】二倍角的三角函数．版权所有 【分析】根据三角函数的诱导公式，算出cosα，然后利用二倍角公式，结合∈（0，）算出的大小． 【解答】解：根据，可得﹣cosα，即cosα， 由二倍角公式，可得cosα＝1﹣2sin2，所以sin2（1﹣cosα）（）2． 因为α∈（0，π），可得∈（0，），所以sin（舍负）． 故选：A． 【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的三角函数公式等知识，属于基础题． 33．（2025•连云港校级模拟）已知α∈（0，π），且，则（　　） A． B．12 C． D．﹣12 【考点】二倍角的三角函数；三角函数的恒等变换及化简求值．版权所有 【分析】根据同角三角函数的平方关系，求出2sinαcosα，再求出sinα﹣cosα，由三角恒等变换化简后代入求解即可． 【解答】解：因为， 所以1+2sinαcosα，即2sinαcosα， 由α∈（0，π），可知，α∈（，π）， 所以（sinα﹣cosα）2＝1﹣2sinαcosα， 所以sinα﹣cosα， 所以． 故选：A． 【点评】本题考查了三角函数恒等变换在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题． 34．（2024秋•湖州期末）已知，则sin（α+β）的值为（　　） A．1 B．0 C． D．﹣1 【考点】二倍角的三角函数；两角和与差的三角函数．版权所有 【分析】由二倍角公式，结合同角三角函数的关系求解． 【解答】解：已知， 则， 即， 所以， 即， 所以， 即，k∈Z， 则，k∈Z， 即sin（α+β）＝1． 故选：A． 【点评】本题考查了二倍角公式，重点考查了同角三角函数的关系，属中档题． 35．（2025春•皇姑区校级期中）已知tanα＝2，则的值为 　　 ． 【考点】二倍角的三角函数；同角三角函数间的基本关系．版权所有 【分析】由同角三角函数的关系，结合二倍角公式求解即可． 【解答】解：已知tanα＝2， 则 ． 故答案为：． 【点评】本题考查了同角三角函数的关系，重点考查了二倍角公式，属基础题． 一十二．求二倍角的三角函数值（共2小题） 36．（2025•安庆模拟）已知，则sin4θ+cos4θ＝（　　） A． B． C． D． 【考点】求二倍角的三角函数值．版权所有 【分析】根据同角三角函数的基本关系、两角差的正弦公式化简已知等式，算出，结合二倍的正弦公式求出sinθcosθ，进而运用配方法，结合同角三角函数的平方关系算出sin4θ+cos4θ的值． 【解答】解：由，可得，即， 所以sinθsin2θ（sinθcos2θ﹣cosθsin2θ）sin（θ﹣2θ）sinθ， 因为有意义，所以sinθ≠0，可得， 所以，即． 因此，． 故选：C． 【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和与差的三角函数公式与二倍角的三角函数公式等知识，属于中档题． 37．（2024秋•平凉校级期末）设，，则cos2α＝（　　） A． B． C． D． 【考点】求二倍角的三角函数值；同角三角函数间的基本关系．版权所有 【分析】运用完全平方公式、二倍角公式、同角三角函数平方关系及由三角函数值判断角的范围可求得结果． 【解答】解：因为， 所以， 所以， 因为， 所以， 又因为sin2α＜0， 所以， 所以． 故选：A． 【点评】本题考查了二倍角公式，重点考查了同角三角函数的关系，属中档题． 一十三．三角函数的恒等变换及化简求值（共1小题） 38．（2025•长春模拟）若，且，则tanα＝（　　） A． B． C． D． 【考点】三角函数的恒等变换及化简求值；同角三角函数间的基本关系．版权所有 【分析】根据两角和与差的三角函数公式化简已知等式，可得sin（2α）＝0，结合α为锐角算出角α，进而可得tanα的值． 【解答】解：由，得sin2αcoscos2αsincos2α＝0， 即，化简得sin2α+3sin2α＝0， 所以（sin2αcossincos2α）＝0，sin（2α）＝0，即sin（2α）＝0， 所以2αkπ（k∈Z），结合α为锐角，取k＝1，解得α，所以tanα． 故选：B． 【点评】本题主要考查两角和与差的三角函数公式、特殊角的三角函数值等知识，属于基础题． 一十四．三角函数中的恒等变换应用（共4小题） 39．（2025春•湖北期中）设函数，若函数f（x）在区间上恰有2个零点，则实数ω的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【考点】三角函数中的恒等变换应用．版权所有 【分析】根据三角恒等变换公式化简得f（x）＝sin（ωx），然后根据f（x）在区间上恰有2个零点，利用正弦函数的性质建立关于ω的不等式，解之即可得到本题的答案． 【解答】解：根据题意，可得f（x）sinωx（2cos21）sinωxcosωx＝sin（ωx）． 当x∈时，ωx∈（，）， 若f（x）在区间上恰有2个零点，则2π3π，解得ω． 故选：A． 【点评】本题主要考查两角和与差的三角函数公式、正弦函数的性质等知识，考查了计算能力，属于中档题． 40．（2025•江苏校级一模）若函数f（x）＝sin2ωx﹣2cos2ωx（ω＞0）在（0，）上只有一个零点，则ω的取值范围为（　　） A．（，] B．[，） C．（，] D．[，） 【考点】三角函数中的恒等变换应用．版权所有 【分析】根据题意，利用二倍角公式及辅助角公式化简函数式，可得f（x），然后利用正弦函数的性质建立关于ω的不等式，解之即可得到本题的答案． 【解答】解：由题意得， 求得，由， 结合（0，）上只有一个零点，可得． 故选：A． 【点评】本题主要考查三角恒等变换公式及其应用、正弦函数的图象与性质等知识，属于中档题． 41．（2025•重庆模拟）已知函数，若存在x1，满足，则cos（x2﹣x1）的值为（　　） A． B． C． D． 【考点】三角函数中的恒等变换应用；余弦函数的图象．版权所有 【分析】由解析式易得f（0）＝2，，应用辅助角公式有，进而易知f（x）在有对称轴x0满足，结合已知可得，再应用诱导公式将目标式化为sin（2x2+φ），最后利用即可求值． 【解答】解：函数， 其中，，， 因为x1，x2是在内的两根， 又，， 则f（x）在有对称轴x0满足， 所以，所以， 所以cos（x2﹣x1）， 因为，知． 故选：A． 【点评】本题考查了三角恒等变换，属于基础题． 42．（2025•海淀区二模）已知函数． （Ⅰ）若，求f（0）及f（x）的单调递增区间； （Ⅱ）已知f（x）在区间上单调递增，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数f（x）存在且唯一确定，求f（x）的最小正周期． 条件①：； 条件②：是f（x）的一个极值点； 条件③：是f（x）的一个零点． 注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的单调性．版权所有 【分析】（Ⅰ）根据两角和与差的三角函数公式与二倍角公式化简得，结合得f（x）＝sin（x），进而求出f（0）以及f（x）的单调递增区间． （Ⅱ）选择条件①：f（0）+f（）＝0，结合f（x）的表达式化简得sin（），从而根据正弦函数的性质求出ω＝1，求出f（x）的最小正周期； 选择条件②：是f（x）的一个极值点，结合题意可知f（）是f（x）的最大值，从而根据正弦函数的性质求出ω＝1，求出f（x）的最小正周期； 选条件③：是f（x）的一个零点，根据正弦函数的零点建立关于ω的等式，算出ω，k∈Z，由此算出ω或1，此种情况不符合题意． 【解答】解：（Ⅰ）由题意得， 若，则，所以， 因为y＝sinx的单调增区间为，k∈Z， 所以，k∈Z，解得，k∈Z． 可得函数f（x）的单调递增区间为，k∈Z． （Ⅱ）因为ω＞0，f（x）在区间上单调递增， 所以f（x）的周期T满足，解得0，结合（Ⅰ）的结论可知． 若选条件①：f（0）+f（）＝0，则sin（）+sin（）＝0，即sin（）． 结合f（x）在区间[0，]上单调递增，可得2kπ，k∈Z，化简得ω＝6k+1，k∈Z， 结合0，取k＝0得ω＝1，所以f（x）最小正周期T＝π． 选条件②：是f（x）的一个极值点， 因为是f（x）的一个极值点，且f（x）在区间[0，]上单调递增， 所以f（）＝1，可得2kπ，k∈Z，化简得ω＝3k+1，k∈Z， 结合，取k＝0得ω＝1，所以f（x）最小正周期T＝π． 选条件③：是f（x）的一个零点， 则f（）＝0，可得kπ，k∈Z，化简得ω，k∈Z， 结合，可得ω或1，f（x）不唯一确定，此种情况不符合题意． 综上所述，选择①或②，f（x）的最小正周期为π． 【点评】本题主要考查两角和与差的三角函数公式、正弦函数的图象与性质等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题． 一十五．平面向量数量积的性质及其运算（共1小题） 43．（2025春•五华区校级期中）已知且f（x），下列有关函数的相关命题，正确的个数是（　　） ①函数|f（x）|的周期为π ②函数f（x）的一个对称中心为 ③函数f（x）的单调递减区间为 ④若函数在区间上是单调函数，且g（﹣π）＝g（0）＝﹣g（），则ω的值为2或 A．1 B．2 C．3 D．4 【考点】平面向量数量积的性质及其运算；两角和与差的三角函数．版权所有 【分析】由得，即可判断①②③，由得g（x）＝2sin（ωx+φ），由g（x）在区间上是单调函数，所以，根据，得为g（x）的一条对称轴，为g（x）的一个对称中心，即得，解出即可判断． 【解答】解：因为，且f（x）， 所以 ， 所以f（x）的周期为，所以函数|f（x）|的周期为，故①错误； ，所以函数f（x）的一个对称中心为，故②正确； 令，解得， 所以函数f（x）的单调递减区间为，故③错误； ， 由g（x）在区间上是单调函数，所以， 又，所以为g（x）的一条对称轴，为g（x）的一个对称中心， 所以， 又， 所以k＝1或2，当k＝1时，， 当k＝2时，，所以ω的值为2或，故④正确． 故选：B． 【点评】本题考查了平面向量与三角函数性质的综合，考查了函数思想，属于中档题． 一十六．利用正弦定理解三角形（共2小题） 44．（2025•武汉模拟）已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中acosB+bcosA＝3ctanC，若，则△ABC外接圆的面积为（　　） A．16π B．25π C．36π D．49π 【考点】利用正弦定理解三角形．版权所有 【分析】根据余弦定理算出acosB+bcosA＝c，结合已知条件算出tanC，根据同角三角函数的关系求出sinC，进而利用正弦定理算出△ABC的外接圆半径，可得外接圆的面积． 【解答】解：由余弦定理得acosB+bcosAc， 结合acosB+bcosA＝3ctanC，可得c＝3ctanC，所以tanC． 根据，结合C∈（0，π），解得sinC． 由正弦定理，可知△ABC的外接圆半径R满足， 所以R5，可得△ABC的外接圆面积S＝πR2＝25π． 故选：B． 【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、正弦定理与余弦定理等知识，属于中档题． 45．（2025春•市中区校级期中）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（2b+c）cosA+acosC＝0，，若边BC的中线长等于3，则c＝（　　） A． B． C． D． 【考点】利用正弦定理解三角形．版权所有 【分析】根据题意，利用正弦定理将已知等式化为角的关系式，由两角和的正弦公式及诱导公式求出cosA，从而得出A的大小，设BC的中点为D，则，利用平面向量数量积的运算性质，算出边c的大小． 【解答】解：由（2b+c）cosA+acosC＝0， 根据正弦定理得（2sinB+sinC）cosA+sinAcosC＝0， 所以2sinBcosA+sinAcosC+sinCcosA＝0， 即2sinBcosA＝﹣sin（A+C），可得2sinBcosA＝﹣sin（π﹣B）， 所以2sinBcosA＝﹣sinB，结合sinB＞0，可得， 而A∈（0，π），所以． 设BC的中点为D，则，可得， 而， 所以c2﹣bc+b2＝36，结合，可知，解得或（舍负）． 故选：C． 【点评】本题主要考查正弦定理与余弦定理、三角恒等变换公式、平面向量数量积的运算性质等知识，属于中档题． 一十七．三角形中的几何计算（共1小题） 46．（2025•枣庄模拟）已知△ABC中，BC＝1，，若∠B的平分线交AC于点D，则BD的长为（　　） A．或 B．或 C． D． 【考点】三角形中的几何计算；两角和与差的三角函数．版权所有 【分析】根据诱导公式与同角三角函数的关系，化简sin（B）＝sin（B），可得tan（B），进而算出B.然后根据S△ABD+S△BCD＝S△ABC，利用三角形的面积公式建立关于BD的方程，解之即可得到本题的答案． 【解答】解：根据sin（B）＝sin（B），可得sin（B）＝﹣cos[（B）]， 即sin（B）＝﹣cos（B），可得tan（B）， 结合B∈（，），可知B，所以B． 因为BD平分角ABC，所以∠DBA＝∠DBC， 根据S△ABD+S△BCD＝S△ABC，可得AB•BDsinBC•BDsinAB•BCsin， 即2×BD1×BD2×1，化简得2BD+BD＝2，解得BD． 故选：C． 【点评】本题主要考查了同角三角函数的基本关系与诱导公式、三角形的面积公式等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题． 一十八．解三角形（共3小题） 47．（2025春•龙岗区校级期中）在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2，CD＝3，，若AC⊥BD，则tan∠ABD＝（　　） A． B． C． D．2 【考点】解三角形．版权所有 【分析】由题意设∠ABD＝α，将∠BDC、∠BAC、∠DBC、∠BCA用∠ABD表示出来，分别在△ABC、△BCD中运用正弦定理列式，得到关于sinα、cosα的方程，解出sinα、cosα的关系，然后根据同角三角函数的关系求出tanα的值，即可得到本题的答案． 【解答】解：设∠ABD＝α，则∠BDC＝α，，∠DBC，∠BCA， 在△ABC中，由正弦定理，得， 可得BC， 同理，在△BCD中，根据正弦定理求得BC， 所以，即2cosαsin（）＝3sinαsin（）， 所以2cosα（cosαsinα）＝3sinα（sinαcosα）， 即2cos2α+2sinαcosα＝3sin2α﹣3sinαcosα， 整理得3sin2α﹣5sinαcosα﹣2cos2α，即（3sinα+cosα）（sinα﹣2cosα）＝0， 所以3sinα+cosα＝0（舍去）或sinα﹣2cosα＝0， 可得sinα＝2cosα，tanα2，即tan∠ABD＝2． 故选：D． 【点评】本题主要考查正弦定理、两角和与差的三角函数公式、同角三角函数的基本关系等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题． 48．（2025•宜春二模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2a2+c2＝2b2，sin（A﹣B），则sinC＝（　　） A． B． C． D． 【考点】解三角形．版权所有 【分析】根据题意可得b2﹣a2c2，运用余弦定理化简得cosA，结合正弦定理化简出4cosAsinB＝3sinC．根据sinC＝sin（A+B），运用两角和的正弦公式推导出cosAsinB＝3sinAcosB…①，然后根据sin（A﹣B），求得sinAcosB﹣cosAsinB②．从而根据①②两式联解，算出sinAcosB且cosAsinB，进而根据两角和的正弦公式算出答案． 【解答】解：由2a2+c2＝2b2，得b2﹣a2c2， 根据余弦定理得cosA， 结合正弦定理，可得cosA，即4cosAsinB＝3sinC， 在△ABC中，sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB， 所以4cosAsinB＝3（sinAcosB+cosAsinB），整理得cosAsinB＝3sinAcosB…①， 根据sin（A﹣B），可得sinAcosB﹣cosAsinB②， ①②组成方程组，解得sinAcosB，cosAsinB， 所以sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB． 故选：A． 【点评】本题主要考查正弦定理与余弦定理、两角和与差的三角函数公式等知识，属于中档题． 49．（2025春•姑苏区校级期中）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则△ABC的面积的最大值为（　　） A． B． C． D． 【考点】解三角形；利用正弦定理解三角形；余弦定理．版权所有 【分析】根据正弦定理化简所给等式，结合三角恒等变换公式推导出tanB＝3tanC．然后过点A作BC边上的高AD，设AD＝h，运用锐角三角函数的定义与勾股定理求出BC，可得△ABC的面积S关于h的表达式，进而根据基本不等式求出△ABC的面积的最大值，可得答案． 【解答】解：由bcosCa+ccosB， 根据正弦定理得sinBcosCsinA+sinCcosB， 在△ABC中，sinA＝sin（B+C）＝sinBcosC+cosBsinC， 所以sinBcosC（sinBcosC+cosBsinC）+sinCcosB， 整理得sinBcosC＝3sinCcosB，可得tanB＝3tanC． 过点A作BC边上的高AD，设AD＝h， 因为Rt△ABD中，tanB；Rt△ACD中，tanC． 所以3，可得CD＝3BD． 由CD， 可得BDCD，BC＝4BD． 所以△ABC的面积SBC•AD•h， 当且仅当4﹣h2＝h2，即h时，等号成立． 因此，当BC边上的高等于时，△ABC的面积取得最大值． 故选：D． 【点评】本题主要考查两角和与差的三角函数公式、锐角三角函数的定义、运用基本不等式求最值等知识，属于中档题． 一十九．几何法求解二面角及两平面的夹角（共1小题） 50．（2025•香坊区校级二模）如图所示，将绘有函数f（x）＝Msin（x+φ）（M＞0，0＜φ＜π）部分图像的纸片沿x轴折成钝二面角，此二面角的平面角为，此时A，B之间的距离为，则φ＝（　　） A． B． C． D． 【考点】几何法求解二面角及两平面的夹角．版权所有 【分析】根据给定条件，作出二面角的平面角，结合等腰三角形性质求出BE，利用周期求出AE，再由勾股定理求出M，根据图象过点即可得解． 【解答】解：过A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为C，D，在平面ACD内作AE∥x轴，DE⊥轴交于点E， 连接AB，BE，则∠BDE是二面角的平面角，即， BD＝DE＝M，则， 由x轴垂直于BD，DE，BD∩DE＝D，BD，DE⊂平面BDE， 得x轴垂直于平面BDE，又AE∥x轴，则AE⊥平面BDE， 而BE⊂平面BDE，因此AE⊥BE， 又函数f（x）的周期，即AE＝CD＝3， 由勾股定理得BE2+AE2＝AB2， 即3M2+9＝18，解得， 而函数f（x）的图象过点， 则， 即，又0＜φ＜π， 且0在f（x）的递减区间内，所以． 故选：B． 【点评】本题考查三角函数图象与性质与二面角的应用，属于中档题． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$