第3章 空间向量及其应用全章高频重点题型突破（六大高频+三大重难题型，专项训练）高二数学沪教版选择性必修第一册

第3章 空间向量及其应用全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 空间向量的线性运算（高频） 题型2 数量积与夹角（高频） 题型3 共面与基底（高频） 题型4 坐标表示与运算（高频） 题型5 用向量判定平行与垂直（高频） 题型6 线线角与线面角（高频） 核心提升：重难题型归纳 题型1 四点共面求参数（难） 题型2 点面距离（难） 题型3 探索性条件（难） 题型专练：高频重难特训 ◆题型1 空间向量的线性运算 题型归纳 空间向量的线性运算 向量相等要长度相等并且方向相同。负向量与原向量长度相等、方向相反。 平行（共线）的充要条件： 时， 存在实数 使 。 1．（25-26高二下·江苏淮安·期中）如图所示，四面体所有棱长均为4，则（   ） A． B． C． D． 2．（26-27高二上·天津河北·阶段检测）如图，在平行六面体中，，，，是的中点，点在上，且，用，，表示下列向量： (1)； (2)； (3)． 3．（25-26高二上·江苏南通·期中）如图，在棱长为2的正四面体中，已知是线段的中点，点在线段上，且.    (1)用向量表示； (2)求； (3)求向量与夹角的余弦值. ◆题型2 数量积与夹角 题型归纳 数量积与夹角 。垂直 数量积为 。 夹角范围是 。求模时先算 。 4．（26-27高二上·山东烟台·期中）若，，为空间两两夹角都是的三个单位向量，则________． 5．（26-27高二上·河北邯郸·期中）在三棱锥中，，，，，，点满足，则________． 6．（24-25高二上·上海·期中）在平行六面体中，，，是的中点. (1)求的长； (2)求. ◆题型3 共面与基底 题型归纳 共面与基底 时， 与它们共面 。 三个不共面向量是空间的一组基底，分解唯一。 7．（26-27高二上·广西·期中）若，，，四点共面，为空间中任意一点，且，则（     ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·江西·期中）已知是空间的一个基底，则下列向量不共面的是（　　） A． B． C． D． 9．（25-26高二上·福建泉州·期中）若不是空间的一组基底，则（   ） A． B． C． D． ◆题型4 坐标表示与运算 题型归纳 坐标表示与运算 ， 时，。 平行 对应坐标成比例；垂直 数量积为 。两点距离 。 10．（25-26高二上·浙江金华·阶段检测）在棱长为2的正方体中，为其体对角线上的动点，点在该正方体表面上运动，球为该正方体的内切球，为球的一条直径.则（   ） A．当点在体对角线上运动时，的值也在随之变化 B．当点在底面内运动时，的值也在随之变化 C．的取值范围是 D．的最大值为2 11．（26-27高二上·安徽阜阳·阶段检测）在空间直角坐标系中，已知点，，，点在线段上运动，当取得最小值时，点的坐标为______，此时点到线段的中点的距离为______． 12．（26-27高二上·四川资阳·阶段检测）已知，. (1)求； (2)求的值 (3)若，求实数的值； ◆题型5 用向量判定平行与垂直 题型归纳 用向量判定平行与垂直 线面平行（直线在平面外） 方向向量垂直于法向量。面面平行 法向量平行。 线面垂直 方向向量是法向量。面面垂直 法向量垂直。 13．（25-26高二上·河北邯郸·阶段检测）若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，且 ，则______. 14．（25-26高二上·北京·期中）已知平面，两条不重合的直线，，，给出三个论断：①；②；③.以其中两个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出一个正确的命题______________. 15．（26-27高二上·贵州贵阳·阶段检测）如图，在长方体中，，点与分别是棱与的中点．设，，． (1)用向量、、表示、； (2)判断与是否垂直． ◆题型6 线线角与线面角 题型归纳 线线角与线面角 线线角 ，。 线面角 。 16．（25-26高二上·河南·期中）设直线与平面相交，且的方向向量为，的法向量为，若，则与所成的角为（   ） A． B． C． D． 17．已知四棱锥中，底面是正方形，平面，且，点、分别是、的中点，求直线和所成角的余弦值； 18．（25-26高二上·广东中山·阶段检测）已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，底面，且，是棱的中点，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系． (1)求点的坐标； (2)求直线的方向向量与平面的法向量； (3)求直线与平面所成角的度数． ◆题型1 四点共面求参数 题型归纳 四点共面求参数 四点共面 其中一条向量能写成另外两条的线性组合。 点在平面上时，三个系数的和等于 。 1．（25-26高二上·湖北孝感·阶段检测）如图，在四棱锥中，，，，，，在棱上，若，，，四点共面，则______. 2．（26-27高二上·重庆渝北·阶段检测）如图，在四棱锥中，，，，，，在棱上，若，，，四点共面，则_________． ◆题型2 点面距离 题型归纳 点面距离 ， 在平面上。 线面、面面距离都化成点面，不用向量积。 3．（25-26高二上·上海金山·期末）如图，某正方体的顶点在平面内，三条棱，，都在平面的同侧．若顶点到平面的距离分别为，则该正方体的棱长为_____． 4．（26-27高二上·上海黄浦·阶段检测）在棱长为1的正方体中，若点为的中线上一点，且到平面、平面、平面的距离的平方和记为，则的取值范围为_________． ◆题型3 探索性条件 题型归纳 探索性条件 存在点使角或距离为定值时，先建系写出方向向量或法向量，再按范围讨论参数。 能夹住几何体的两平行平面，距离就是点面距离的最小值。 5．（2026·上海嘉定·二模）在包装设计中，常用长度和宽度描述物体体型．长度定义为物体上最远两点间的距离，宽度定义为能夹住物体的两平行平面间的最小距离，即存在一对平行平面，使得物体上的所有点均位于两平面之间（包括平面上）．现有一圆柱，其底面半径R与高h可任意调节，则的最小值为___________ 6．（25-26高二上·上海·期末）在空间中有两个定点，点满足，且.平面与平面互相垂直，，且.则异面直线与所成角的余弦值为________.    一、选择题 1．（26-27高二上·宁夏·阶段检测）已知空间中三点，，，则下列说法不正确的是（     ） A．与方向相同的单位向量的坐标是 B．与夹角的余弦值是 C．在上的投影向量的坐标是 D．两点间距离为 2．（26-27高二上·山西长治·阶段检测）如图，正方体 的棱长为 1，动点 在线段 上，动点 在平面 上，且 平面 ，则线段 长度的取值范围为（　　）    A． B． C． D． 3．（25-26高二上·广西北海·期末）在四棱锥S-ABCD中，，，，则三棱锥S-ABD的体积为（   ） A． B． C．1 D．2 4．（2025·上海黄浦·二模）如图，在平行六面体中，设，，若、、组成空间向量的一个基底，则可以是（    ）    A． B． C． D． 二、填空题 5．（25-26高二上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知M，A，B，C为空间中四点，任意三点不共线，若M，A，B，C四点共面，O不在该平面上，且 则 的最小值为____. 6．（25-26高二上·上海·期末）在棱长为1的正方体中，点P、Q分别是棱、上的点，满足.若过线段中点且垂直于的平面与正方体的棱、均有公共点，则这两个公共点之间距离的取值范围为_____.    7．（25-26高二上·上海·期中）阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为．阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为___________． 8．（25-26高二上·上海黄浦·期末）在棱长为的正方体中，平面与棱分别交于点.若为菱形，，则点到平面的距离的取值范围是____________. 9．（25-26高二上·上海·期中）在三棱锥中，已知，则和所成角余弦值的取值范围为__________. 10．（24-25高二上·吉林·阶段检测）正三棱柱的侧棱长为2，底面边长为1，M是的中点．在直线上求一点N，当的长为________时，． 三、解答题 11．（24-25高二下·江苏扬州·期中）如图，在空间四边形OABC中，D为棱BC上一点，且满足，E为线段AD的中点，设． (1)试用向量表示向量； (2)若，求的值． 12．（25-26高二上·贵州铜仁·阶段检测）如图，正方体的棱长为1，设，求： (1) (2) 13．（25-26高二上·安徽·期中）如图，在平行六面体中，，是棱的中点，记，，.    (1)用、、表示向量； (2)若，，点满足，且，求. 14．（26-27高二上·新疆和田·期中）如图，在平行六面体中，，．    (1)以为基底向量，表示向量、； (2)求的长． 15．（26-27高二上·湖北武汉·阶段检测）已知空间中三点，，，设，． (1)若，且，求向量； (2)若点在平面上，求m的值． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 空间向量及其应用全章高频重点题型突破 ◆题型1 空间向量的线性运算 1．【答案】A 【详解】由题意知，为等边三角形，所以. 所以 . 2．【详解】（1）因为，所以根据向量加法的法则可得，. （2）根据向量加法的法则可得． （3）由向量的减法法则及已知得. 3．【详解】（1） ； （2） （3）因为， 所以 . . 由正四面体的棱长为2，可得， 所以. ◆题型2 数量积与夹角 4．【答案】 【详解】已知，，为空间两两夹角都是的三个单位向量， 则，，，， ， 代入数值可得， 所以 5．【答案】 【详解】由，得， 且， ∴ ，， ， ， 代入得： . 6．【详解】（1）连接， ， ， ， ， ， ∴，即的长为. （2）， ∴ . ◆题型3 共面与基底 7．【答案】C 【详解】由题意知，，，四点共面，且， 根据四点共面的充要条件知，解得. 8．【答案】B 【详解】对于A，由，所以共面，故A错误； 对于B，假设共面，设，所以与矛盾， 所以不共面，故B正确； 对于C，由，所以共面，故C错误； 对于D，由，所以共面，故D错误； 故选：B. 9．【答案】B 【详解】因为不是空间的一组基底，所以共面，则存在实数使得，则，可得方程组，解得 故选：B ◆题型4 坐标表示与运算 10．【答案】D 【详解】    以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设，则， 由，则，解得， 所以，所以， 又，所以，故A错误； 因为点在底面内运动，故设， 则，， 所以，故B错误； 因为，， 所以，故C错误； 因为为球的一条直径， 所以， 又因为点在该正方体表面上运动，所以，所以， 所以的最大值为2，故D正确. 故选：D. 11．【答案】 【详解】设点，因为点M在线段OA上运动，所以， 因为点，，， 设，则点， 所以，， 则， 当时， 取得最小值为，此时点M的坐标为． 因为点，， 所以线段BC的中点的坐标为， 所以点M到线段BC的中点的距离为. 12．【详解】（1）由题意得，， 则； （2）由题意得，， 则； （3）由题意得，， 因为，所以， 得 ◆题型5 用向量判定平行与垂直 13．【答案】2 【详解】由题可得， 所以. 故答案为：2 14．【答案】①②③或①③② 【详解】，的方向向量为，平面的法向量为， ①②③ 因为，所以， 又，所以，即， 又，所以， 又因为所以； ①③② 因为，所以，即 因为，所以， 所以，即； ②③① 若，， 则，或相交，或，不成立 故答案为：①②③或①③② 15．【详解】（1）由题意可得：， ； （2）由题设，而， 所以， 即与垂直. ◆题型6 线线角与线面角 16．【答案】B 【详解】，与的法向量所在直线所成锐角为， 与所成的角为， 故选：B 17．【详解】已知底面是正方形，平面，以为坐标原点，建立如下图所示空间直角坐标系， ，点、分别是、的中点，则， ， ， 直线和所成角余弦值为． 18．【详解】（1）由底面ABCD是边长为的正方形，底面，且，是棱PD的中点， 由图知，，，，，，． （2）由（1）知，直线AM，PB的方向向量分别为，， 因，， 设是平面PCD的一个法向量， 则，故可取． （3）设直线与平面所成角为， 由（2），， 因，故直线PB与平面PCD所成角为． ◆题型1 四点共面求参数 1．【答案】 【详解】由题知，设， 则， 又， 且 ， 因为，，，四点共面， 所以， 即， 又因为，则， 即， 所以， 所以， 所以 ， 所以，解得， 故，所以. 故答案为： 2．【答案】 【详解】设， 因为，，所以， 即， 所以. 由题意知，，，， 所以， ，. 代入的表达式可得： . 所以. 因为，，，四点共面， 且为平面外一点， 根据空间向量共面定理的推论，可得系数之和为1， 即 ， 解得 ，即. 所以，即 . 所以. 故答案为：. ◆题型2 点面距离 3．【答案】 【详解】设正方体的棱长为，取作为空间向量的一组基底， 设单位向量是平面的一个方向向上的法向量，根据空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组， 使得. 由题意：在上的投影长度为， 所以 同理：，. 所以， 又，所以. 故答案为： 4．【答案】 【详解】以为坐标原点，分别以、、的方向为、、轴正方向建立空间直角坐标系， 由正方体棱长为1得：，，，的中点. 设，，则点坐标为. 平面的方程为，到该平面的距离平方为； 平面的方程为，到该平面的距离平方为； 平面的方程为，到该平面的距离平方为. 因此，， 该二次函数开口向上，对称轴为， 当时，取最小值； 当时，取最大值. 故的取值范围为. ◆题型3 探索性条件 5．【答案】 【详解】圆柱体中，最远两点间的距离为， 当，即时，，， 当且仅当时，等号成立； 当，即时，，. 所以的最小值为. 6．【答案】 【详解】取的中点，连接，易有平面， 故， , , 设， 由题意，则， ， 则， 则， 设与所成的角为， 则有， 故答案为：.    一、选择题 1．C 2．D 3．C 4．B 二、填空题 5．【答案】 【详解】根据共面向量定理的推论，因为四点共面，不在该平面上，满足， 所以，即， 所以， 因为 当且仅当，即时等号成立， 代入得， 故的最小值为. 6．【答案】 【详解】设正方体的顶点坐标为：，，    设（），则点和的坐标为：，， 中点的坐标：由中点公式，， 向量， 设为法向量，为平面内任一点，由点法式平面方程， 展开得：， 化简后，平面方程为：， 棱的交点：上的点满足，代入平面方程得：， 因在线段上（），故，此时， 棱的交点：上的点满足，代入平面方程得：，故， 在平面上，方向距离为方向距离为，由两点间距离公式：， 当时，，故，因此：， 故答案为：. 7．【答案】 或 【详解】设直线的方向向量为，由材料可知平面的一个法向量， 平面的一个法向量，平面的一个法向量， 因为直线是两平面与的交线，则有， 即，取，则， 所以，故则直线与平面所成角的正弦值为. 故答案为： 8．【答案】 【详解】如图，建立空间直角坐标系，则， 设，则； 因为为菱形，由，得； 由，得，所以或； 当时，由知，与条件矛盾，所以，此时，； 设平面的法向量为，则 ，即，令，则，所以； 又，所以点到平面的距离为； 由且，得； 所以，所以，所以， 所以，即点到平面的距离的取值范围是. 故答案为：. 9．【答案】 【详解】过作，且， 设， 得， 以为原点，以所在直线分别为轴，过作平面为轴建立空间直角坐标系， 设， 则， 故， 设和所成角为. 故答案为：. 10．【答案】 或 0.125 【详解】取的中点为，连接，，由正三棱柱性质可得，，， 以M为原点，，，所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 由正三棱柱的性质，结合题意可知底面为边长是1的等边三角形，棱长为2， ， ，设的长为a，则，； ， 若，则，解得， 当时，． 故答案为：． 三、解答题 11．【详解】（1）解：因为，由向量的线性运算法则， 可得： . （2）解：由， 所以 . 12．【详解】（1）由题设，则； （2）由（1）及已知，. 13．【详解】（1）由题意可得 . （2） ， 因为，所以，解得， 所以， 故. 14．【详解】（1）在中，根据空间向量的减法运算可得， （2）由（1）， 所以 ， 所以，即的长为． 15．【详解】（1）由已知，设， 因为，而，所以， 故或； （2）点在平面上，则成立， 已知，，， 则， 所以， 则，解得：． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 空间向量及其应用全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 空间向量的线性运算（高频） 题型2 数量积与夹角（高频） 题型3 共面与基底（高频） 题型4 坐标表示与运算（高频） 题型5 用向量判定平行与垂直（高频） 题型6 线线角与线面角（高频） 核心提升：重难题型归纳 题型1 四点共面求参数（难） 题型2 点面距离（难） 题型3 探索性条件（难） 题型专练：高频重难特训 ◆题型1 空间向量的线性运算 题型归纳 空间向量的线性运算 向量相等要长度相等并且方向相同。负向量与原向量长度相等、方向相反。 平行（共线）的充要条件： 时， 存在实数 使 。 1．（25-26高二下·江苏淮安·期中）如图所示，四面体所有棱长均为4，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意知，为等边三角形，所以. 所以 . 2．（26-27高二上·天津河北·阶段检测）如图，在平行六面体中，，，，是的中点，点在上，且，用，，表示下列向量： (1)； (2)； (3)． 【详解】（1）因为，所以根据向量加法的法则可得，. （2）根据向量加法的法则可得． （3）由向量的减法法则及已知得. 3．（25-26高二上·江苏南通·期中）如图，在棱长为2的正四面体中，已知是线段的中点，点在线段上，且.    (1)用向量表示； (2)求； (3)求向量与夹角的余弦值. 【详解】（1） ； （2） （3）因为， 所以 . . 由正四面体的棱长为2，可得， 所以. ◆题型2 数量积与夹角 题型归纳 数量积与夹角 。垂直 数量积为 。 夹角范围是 。求模时先算 。 4．（26-27高二上·山东烟台·期中）若，，为空间两两夹角都是的三个单位向量，则________． 【答案】 【详解】已知，，为空间两两夹角都是的三个单位向量， 则，，，， ， 代入数值可得， 所以 5．（26-27高二上·河北邯郸·期中）在三棱锥中，，，，，，点满足，则________． 【答案】 【详解】由，得， 且， ∴ ，， ， ， 代入得： . 6．（24-25高二上·上海·期中）在平行六面体中，，，是的中点. (1)求的长； (2)求. 【详解】（1）连接， ， ， ， ， ， ∴，即的长为. （2）， ∴ . ◆题型3 共面与基底 题型归纳 共面与基底 时， 与它们共面 。 三个不共面向量是空间的一组基底，分解唯一。 7．（26-27高二上·广西·期中）若，，，四点共面，为空间中任意一点，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知，，，四点共面，且， 根据四点共面的充要条件知，解得. 8．（25-26高二上·江西·期中）已知是空间的一个基底，则下列向量不共面的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，由，所以共面，故A错误； 对于B，假设共面，设，所以与矛盾， 所以不共面，故B正确； 对于C，由，所以共面，故C错误； 对于D，由，所以共面，故D错误； 故选：B. 9．（25-26高二上·福建泉州·期中）若不是空间的一组基底，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为不是空间的一组基底，所以共面，则存在实数使得，则，可得方程组，解得 故选：B ◆题型4 坐标表示与运算 题型归纳 坐标表示与运算 ， 时，。 平行 对应坐标成比例；垂直 数量积为 。两点距离 。 10．（25-26高二上·浙江金华·阶段检测）在棱长为2的正方体中，为其体对角线上的动点，点在该正方体表面上运动，球为该正方体的内切球，为球的一条直径.则（   ） A．当点在体对角线上运动时，的值也在随之变化 B．当点在底面内运动时，的值也在随之变化 C．的取值范围是 D．的最大值为2 【答案】D 【详解】    以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设，则， 由，则，解得， 所以，所以， 又，所以，故A错误； 因为点在底面内运动，故设， 则，， 所以，故B错误； 因为，， 所以，故C错误； 因为为球的一条直径， 所以， 又因为点在该正方体表面上运动，所以，所以， 所以的最大值为2，故D正确. 故选：D. 11．（26-27高二上·安徽阜阳·阶段检测）在空间直角坐标系中，已知点，，，点在线段上运动，当取得最小值时，点的坐标为______，此时点到线段的中点的距离为______． 【答案】 【详解】设点，因为点M在线段OA上运动，所以， 因为点，，， 设，则点， 所以，， 则， 当时， 取得最小值为，此时点M的坐标为． 因为点，， 所以线段BC的中点的坐标为， 所以点M到线段BC的中点的距离为. 12．（26-27高二上·四川资阳·阶段检测）已知，. (1)求； (2)求的值 (3)若，求实数的值； 【详解】（1）由题意得，， 则； （2）由题意得，， 则； （3）由题意得，， 因为，所以， 得 ◆题型5 用向量判定平行与垂直 题型归纳 用向量判定平行与垂直 线面平行（直线在平面外） 方向向量垂直于法向量。面面平行 法向量平行。 线面垂直 方向向量是法向量。面面垂直 法向量垂直。 13．（25-26高二上·河北邯郸·阶段检测）若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，且 ，则______. 【答案】2 【详解】由题可得， 所以. 故答案为：2 14．（25-26高二上·北京·期中）已知平面，两条不重合的直线，，，给出三个论断：①；②；③.以其中两个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出一个正确的命题______________. 【答案】①②③或①③② 【详解】，的方向向量为，平面的法向量为， ①②③ 因为，所以， 又，所以，即， 又，所以， 又因为所以； ①③② 因为，所以，即 因为，所以， 所以，即； ②③① 若，， 则，或相交，或，不成立 故答案为：①②③或①③② 15．（26-27高二上·贵州贵阳·阶段检测）如图，在长方体中，，点与分别是棱与的中点．设，，． (1)用向量、、表示、； (2)判断与是否垂直． 【详解】（1）由题意可得：， ； （2）由题设，而， 所以， 即与垂直. ◆题型6 线线角与线面角 题型归纳 线线角与线面角 线线角 ，。 线面角 。 16．（25-26高二上·河南·期中）设直线与平面相交，且的方向向量为，的法向量为，若，则与所成的角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，与的法向量所在直线所成锐角为， 与所成的角为， 故选：B 17．已知四棱锥中，底面是正方形，平面，且，点、分别是、的中点，求直线和所成角的余弦值； 【详解】已知底面是正方形，平面，以为坐标原点，建立如下图所示空间直角坐标系， ，点、分别是、的中点，则， ， ， 直线和所成角余弦值为． 18．（25-26高二上·广东中山·阶段检测）已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，底面，且，是棱的中点，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系． (1)求点的坐标； (2)求直线的方向向量与平面的法向量； (3)求直线与平面所成角的度数． 【详解】（1）由底面ABCD是边长为的正方形，底面，且，是棱PD的中点， 由图知，，，，，，． （2）由（1）知，直线AM，PB的方向向量分别为，， 因，， 设是平面PCD的一个法向量， 则，故可取． （3）设直线与平面所成角为， 由（2），， 因，故直线PB与平面PCD所成角为． ◆题型1 四点共面求参数 题型归纳 四点共面求参数 四点共面 其中一条向量能写成另外两条的线性组合。 点在平面上时，三个系数的和等于 。 1．（25-26高二上·湖北孝感·阶段检测）如图，在四棱锥中，，，，，，在棱上，若，，，四点共面，则______. 【答案】 【详解】由题知，设， 则， 又， 且 ， 因为，，，四点共面， 所以， 即， 又因为，则， 即， 所以， 所以， 所以 ， 所以，解得， 故，所以. 故答案为： 2．（26-27高二上·重庆渝北·阶段检测）如图，在四棱锥中，，，，，，在棱上，若，，，四点共面，则_________． 【答案】 【详解】设， 因为，，所以， 即， 所以. 由题意知，，，， 所以， ，. 代入的表达式可得： . 所以. 因为，，，四点共面， 且为平面外一点， 根据空间向量共面定理的推论，可得系数之和为1， 即 ， 解得 ，即. 所以，即 . 所以. 故答案为：. ◆题型2 点面距离 题型归纳 点面距离 ， 在平面上。 线面、面面距离都化成点面，不用向量积。 3．（25-26高二上·上海金山·期末）如图，某正方体的顶点在平面内，三条棱，，都在平面的同侧．若顶点到平面的距离分别为，则该正方体的棱长为_____． 【答案】 【详解】设正方体的棱长为，取作为空间向量的一组基底， 设单位向量是平面的一个方向向上的法向量，根据空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组， 使得. 由题意：在上的投影长度为， 所以 同理：，. 所以， 又，所以. 故答案为： 4．（26-27高二上·上海黄浦·阶段检测）在棱长为1的正方体中，若点为的中线上一点，且到平面、平面、平面的距离的平方和记为，则的取值范围为_________． 【答案】 【详解】以为坐标原点，分别以、、的方向为、、轴正方向建立空间直角坐标系， 由正方体棱长为1得：，，，的中点. 设，，则点坐标为. 平面的方程为，到该平面的距离平方为； 平面的方程为，到该平面的距离平方为； 平面的方程为，到该平面的距离平方为. 因此，， 该二次函数开口向上，对称轴为， 当时，取最小值； 当时，取最大值. 故的取值范围为. ◆题型3 探索性条件 题型归纳 探索性条件 存在点使角或距离为定值时，先建系写出方向向量或法向量，再按范围讨论参数。 能夹住几何体的两平行平面，距离就是点面距离的最小值。 5．（2026·上海嘉定·二模）在包装设计中，常用长度和宽度描述物体体型．长度定义为物体上最远两点间的距离，宽度定义为能夹住物体的两平行平面间的最小距离，即存在一对平行平面，使得物体上的所有点均位于两平面之间（包括平面上）．现有一圆柱，其底面半径R与高h可任意调节，则的最小值为___________ 【答案】 【详解】圆柱体中，最远两点间的距离为， 当，即时，，， 当且仅当时，等号成立； 当，即时，，. 所以的最小值为. 6．（25-26高二上·上海·期末）在空间中有两个定点，点满足，且.平面与平面互相垂直，，且.则异面直线与所成角的余弦值为________.    【答案】 【详解】取的中点，连接，易有平面， 故， , , 设， 由题意，则， ， 则， 则， 设与所成的角为， 则有， 故答案为：.    一、选择题 1．（26-27高二上·宁夏·阶段检测）已知空间中三点，，，则下列说法不正确的是（     ） A．与方向相同的单位向量的坐标是 B．与夹角的余弦值是 C．在上的投影向量的坐标是 D．两点间距离为 【答案】C 【详解】， 对于选项A，由单位向量的定义可知与方向相同的单位向量的坐标是，故A正确； 对于选项B，，故B正确； 对于选项C，在上的投影向量的坐标是，故C错误； 对于选项D，两点间的距离即，故D正确. 2．（26-27高二上·山西长治·阶段检测）如图，正方体 的棱长为 1，动点 在线段 上，动点 在平面 上，且 平面 ，则线段 长度的取值范围为（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】以 为原点， 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系，则 ，，．    设 （），． ，，取平面 的法向量 ． ∵ 平面 ，∴ 与 共线，得 ，． ∴ ． ∵ ，∴ 当 时 取最小值 ，当 或 时取最大值 ． ∴ ． 3．（25-26高二上·广西北海·期末）在四棱锥S-ABCD中，，，，则三棱锥S-ABD的体积为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【详解】，，， ， ，， 根据三角形面积公式， 设平面的法向量为，则，即， 令，则，故平面的法向量为， 又，则， 故点到平面的距离为， 则三棱锥的体积为. 故选：C. 4．（2025·上海黄浦·二模）如图，在平行六面体中，设，，若、、组成空间向量的一个基底，则可以是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，，、、组成空间向量的一个基，得向量、、不共面， 对于A，在平行六面体中，，则与、共面，A不是； 对于C，，与、共面，C不是； 对于D，，与、共面，D不是； 对于B，由，得，不共面， 假设与、共面，则存在，使得， 而，则， 整理得，从而，此方程组无解， 假设不成立，因此与、不共面，可以是. 故选：B 二、填空题 5．（25-26高二上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知M，A，B，C为空间中四点，任意三点不共线，若M，A，B，C四点共面，O不在该平面上，且 则 的最小值为____. 【答案】 【详解】根据共面向量定理的推论，因为四点共面，不在该平面上，满足， 所以，即， 所以， 因为 当且仅当，即时等号成立， 代入得， 故的最小值为. 6．（25-26高二上·上海·期末）在棱长为1的正方体中，点P、Q分别是棱、上的点，满足.若过线段中点且垂直于的平面与正方体的棱、均有公共点，则这两个公共点之间距离的取值范围为_____.    【答案】 【详解】设正方体的顶点坐标为：，，    设（），则点和的坐标为：，， 中点的坐标：由中点公式，， 向量， 设为法向量，为平面内任一点，由点法式平面方程， 展开得：， 化简后，平面方程为：， 棱的交点：上的点满足，代入平面方程得：， 因在线段上（），故，此时， 棱的交点：上的点满足，代入平面方程得：，故， 在平面上，方向距离为方向距离为，由两点间距离公式：， 当时，，故，因此：， 故答案为：. 7．（25-26高二上·上海·期中）阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为．阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为___________． 【答案】 或 【详解】设直线的方向向量为，由材料可知平面的一个法向量， 平面的一个法向量，平面的一个法向量， 因为直线是两平面与的交线，则有， 即，取，则， 所以，故则直线与平面所成角的正弦值为. 故答案为： 8．（25-26高二上·上海黄浦·期末）在棱长为的正方体中，平面与棱分别交于点.若为菱形，，则点到平面的距离的取值范围是____________. 【答案】 【详解】如图，建立空间直角坐标系，则， 设，则； 因为为菱形，由，得； 由，得，所以或； 当时，由知，与条件矛盾，所以，此时，； 设平面的法向量为，则 ，即，令，则，所以； 又，所以点到平面的距离为； 由且，得； 所以，所以，所以， 所以，即点到平面的距离的取值范围是. 故答案为：. 9．（25-26高二上·上海·期中）在三棱锥中，已知，则和所成角余弦值的取值范围为__________. 【答案】 【详解】过作，且， 设， 得， 以为原点，以所在直线分别为轴，过作平面为轴建立空间直角坐标系， 设， 则， 故， 设和所成角为. 故答案为：. 10．（24-25高二上·吉林·阶段检测）正三棱柱的侧棱长为2，底面边长为1，M是的中点．在直线上求一点N，当的长为________时，． 【答案】 或 0.125 【详解】取的中点为，连接，，由正三棱柱性质可得，，， 以M为原点，，，所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 由正三棱柱的性质，结合题意可知底面为边长是1的等边三角形，棱长为2， ， ，设的长为a，则，； ， 若，则，解得， 当时，． 故答案为：． 三、解答题 11．（24-25高二下·江苏扬州·期中）如图，在空间四边形OABC中，D为棱BC上一点，且满足，E为线段AD的中点，设． (1)试用向量表示向量； (2)若，求的值． 【详解】（1）解：因为，由向量的线性运算法则， 可得： . （2）解：由， 所以 . 12．（25-26高二上·贵州铜仁·阶段检测）如图，正方体的棱长为1，设，求： (1) (2) 【详解】（1）由题设，则； （2）由（1）及已知，. 13．（25-26高二上·安徽·期中）如图，在平行六面体中，，是棱的中点，记，，.    (1)用、、表示向量； (2)若，，点满足，且，求. 【详解】（1）由题意可得 . （2） ， 因为，所以，解得， 所以， 故. 14．（26-27高二上·新疆和田·期中）如图，在平行六面体中，，．    (1)以为基底向量，表示向量、； (2)求的长． 【详解】（1）在中，根据空间向量的减法运算可得， （2）由（1）， 所以 ， 所以，即的长为． 15．（26-27高二上·湖北武汉·阶段检测）已知空间中三点，，，设，． (1)若，且，求向量； (2)若点在平面上，求m的值． 【详解】（1）由已知，设， 因为，而，所以， 故或； （2）点在平面上，则成立， 已知，，， 则， 所以， 则，解得：． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $