精品解析： 2025年宁夏银川英才学校九年级中考二模数学试卷

银川英才学校 2024—2025 学年度第二学期初三年级 第二次模拟数学试卷 （时间为 120 分钟，满分为 120 分，答卷不使用任何计算器） 一、选择题（每题 3 分，共 24 分） 1. 下列各数中，比小的数是（　　） A. B. C. 4 D. 1 2. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，则的值为（ ） A. B. 2024 C. D. 1 5. 如下图所示，一次函数的图象与二次函数的图象相交于A，B两点，点A的横坐标为-1，点B的横坐标为3．则时，与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法判断 6. 实验室的一个容器内盛有150克食盐水，其中含盐10克．如何处理能将该容器内食盐水含盐的百分比提高到原来的3倍．晓华根据这一情景中的数量关系列出方程，则未知数x表示的意义是（ ） A. 增加的水量 B. 蒸发掉的水量 C. 加入的食盐量 D. 减少的食盐量 7. 如图，在▱ABCD中，AB=2，BC=3．以点C为圆心，适当长为半径画弧，交BC于点P，交CD于点Q，再分别以点P，Q为圆心，大于PQ的长为半径画弧，两弧相交于点N，射线CN交BA的延长线于点E，则AE的长是（ ） A. B. 1 C. D. 8. 如图1，某科技小组进行野外考察时，利用压力一定时压强与接触面积成反比例关系，通过铺垫木板增大接触面积来达到减小压强的效果，顺利通过了一片烂泥湿地.已知人对木板的压力与人的质量的关系如图2所示，若小明和小亮的质量分别为和，且小明和小亮对木板的压强与木板面积的关系如图3所示，点为反比例函数图象上的一个动点，过点分别作轴和轴的垂线，交轴于点，交轴于点，交另一反比例函数图象于点，过点作轴的垂线，垂足为点，请你结合以上信息，判断下列说法中不正确的是（ ） A. 由图2可知，人对木板的压力与人的质量成正比 B. 图3中图象表示的是小明对木板的压强与木板面积之间的函数关系 C. 当木板面积为时，小亮对木板的压强比小明对木板的压强大 D. 四边形的面积为定值，表示小明、小亮两人对木板的压力相差20N 二、填空题（每题 3 分，共 24 分） 9. 式子有意义，则x的取值范围是__________． 10. 整数a满足，则整数a的值为 _____ ． 11. 反比例函数的图象在第一、三象限，则点在第______象限． 12. 将一个含角和一个含角的直角三角形按如图所示的方式放置，若点在线段上，，则的度数为_______． 13. 如图，由六块相同的含的直角三角形拼成一个大的正六边形，内部留下一个小的正六边形空隙．如果直角三角形最短边的长为，那么小正六边形的边心距是___________． 14. 传统服饰日益受到关注，图为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，马面裙可以近似地看作扇环（图）．若长为米，裙长为米，圆心角，则的长度为______米．（结果保留） 15. 随着户外露营的兴起，人们对户外帐篷的需求也越来越大．某工厂要制作一批无底帐篷，如图为 设计师设计的帐篷三视图，则该帐篷所需布料的面积为______（结果保留，门也用布料制作 ，接口处损耗不计）． 16. 图1是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈，图2是其侧面示意图．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器，可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄沿着移动，以保证太阳光线与始终垂直，已知支架长为米，且垂直于地面，某一时刻测得米，悬托架，点固定在伞面上，当伞面完全张开时，阳光线与地面的夹角设为，当时，此时悬托架的长度为______米． 三．解答题（共 66 分） 17. 计算：． 18. 下面是小云同学解分式方程的部分过程，请认真阅读并完成以下各题： 解分式方程： 解：……………………第一步 ……………………第二步 ………………………第三步 …… （1）第二步的解题依据是______； A．分式的性质 B．等式的性质 C．单项式乘以多项式法则 （2）以上解方程步骤中，第______步开始错误的，错误原因是______； （3）请写出该分式方程的正确解答过程． 19. 仅用一把无刻度的直尺，按以下要求分别作图，不写作法． （1）如图1，在正方形网格中，A，B是格点，请找一个格点C，连结，使得． （2）如图2，在正方形网格中，A，B是格点，请找到线段的中点，并用字母D表示（保留作图痕迹）． （3）如图3，在中，E是边上一点，请在边上找一点F，连结，使得四边形是平行四边形（保留作图痕迹）． 20. 随着互联网技术的飞速发展，人工智能得到了越来越广泛的应用，人们越来越习惯借助各种人工智能产品来辅助工作、学习和生活．市场上也涌现出了如、豆包等各类人工智能产品．经过市场调研，小罗决定从两个人工智能产品中选择一个进行使用．以下是小罗通过调查问卷的方式收集的10位用户对两个人工智能产品的相关评价，并整理、描述、分析如下： a．语言交互能力得分（满分10分） A：5，6，6，8，8，8，8，9，9，10 B：6，6，6，6，7，8，9，9，10，10 b．数据分析能力得分（满分10分） c．语言交互能力和数据分析能力得分统计表 统计量产品 语言交互能力得分 数据分析能力得分 平均数 中位数 众数 平均数 中位数 方差 A 8 8 7.0 B 7.7 7.5 6.9 7 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：___________，___________，___________，___________；（填“”或“”） （2）通过以上数据分析，你认为小罗应该选择哪个人工智能产品，至少从两个角度说明理由； （3）你认为小罗还需要了解哪些信息，举例说明（列出一条即可）． 21. 如图，在中，点G、H分别是、的中点，点E、F在对角线上，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）连接交于点O，若，，求的长． 22. 一年一度的校园文化节开始了，某班准备采购甲、乙两种道具，一商家对甲种道具的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种道具按40元/件的价格出售，设该班购买甲种道具x件，付款y元，y与x之间的函数关系，如图所示； （1）求y与x之间的函数解析式； （2）若该班计划一次性购买甲、乙两种道具共120件，且甲种道具数量不少于乙种道具数量的，乙种道具不少于35件，如何分配甲、乙两种道具的购进量，才能使该班付款总金额w（元）最少？ 23. 如图，为的直径，射线交于点F，点C为劣弧的中点，过点C作，垂足为E，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，求阴影部分的面积． 24. 中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡献．为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，如图是矩形充电站的平面示意图，矩形是其中一个停车位．经测量，，，，，是另一个车位的宽，所有车位的长宽相同，按图示并列划定． 根据以上信息回答下列问题：（结果精确到，参考数据） （1）求的长； （2）该充电站有20个停车位，求的长． 25. 【探究】 （）已知和都是等边三角形． ①如图，当点在上时，连接．请探究和之间的数量关系，并说明理由； ②如图，当点在线段的延长线上时，连接．请再次探究和之间的数量关系，并说明理由． 【运用】 （）如图，等边三角形中，，点在上，．点是直线上的动点，连接，以为边在的右侧作等边三角形，连接．当为直角三角形时，请直接写出的长． 26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点两点，与y轴交于点，点P是抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的表达式； （2）当点P在直线上方的抛物线上时，连接交于点D．如图1．当的值最大时，求点P的坐标及的最大值； （3）过点P作x轴的垂线交直线于点M，连接，将沿直线翻折，当点M的对应点恰好落在y轴上时，请直接写出此时点M的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 银川英才学校 2024—2025 学年度第二学期初三年级 第二次模拟数学试卷 （时间为 120 分钟，满分为 120 分，答卷不使用任何计算器） 一、选择题（每题 3 分，共 24 分） 1. 下列各数中，比小的数是（　　） A. B. C. 4 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数比较大小，根据正数大于0，0大于负数，两个负数比较大小，绝对值越大其值越小进行求解即可． 【详解】解；∵， ∴， ∴四个数中比小的数是， 故选：B． 2. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用同底数幂的乘法、合并同类项、同底数幂除法、积的乘方、幂的乘方等知识点，灵活运用相关运算法则是解题的关键． 运用同底数幂的乘法、合并同类项、同底数幂除法、积的乘方、幂的乘方逐项判断即可． 【详解】解：A. ，故选项A错误，不符合题意； B. 与不是同类项不能合并，故选项B错误，不符合题意； C. ，故选项C正确，符合题意； D. ，故选项D错误，不符合题意． 故选： C． 3. 如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了位似变换，根据点的坐标可得到位似比，再根据位似比即可求解，掌握位似变换的性质是解题的关键． 【详解】解：∵与是位似图形，点的对应点为， ∴与的位似比为， ∴点的对应点的坐标为，即， 故选：． 4. 用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，则的值为（ ） A. B. 2024 C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查配方法，一移，二配，三变形，将方程配方后，求出的值，进而求出的值即可． 【详解】解：， ， ∴， ∴， ∴； 故选C． 5. 如下图所示，一次函数的图象与二次函数的图象相交于A，B两点，点A的横坐标为-1，点B的横坐标为3．则时，与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法判断 【答案】A 【解析】 【分析】由图象可知当时，，即可判定当x=1时，与的大小关系． 【详解】解：由图象可知：当时，， 当x=1时，， 故选：A． 【点睛】本题考查了利用一次函数与反比例函数的交点比较函数值的大小，采用数形结合的思想是解决此类题的关键． 6. 实验室的一个容器内盛有150克食盐水，其中含盐10克．如何处理能将该容器内食盐水含盐的百分比提高到原来的3倍．晓华根据这一情景中的数量关系列出方程，则未知数x表示的意义是（ ） A. 增加的水量 B. 蒸发掉的水量 C. 加入的食盐量 D. 减少的食盐量 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，理解题意，找准方程中等量关系是解题关键， 根据容器内盛有150克食盐水，其中含盐10克及食盐水含盐的百分比提高到原来的3倍．可求出含盐的百分比，然后通过分式方程可知含盐仍为10克，而盐水变为克，故可得出减少了水分，即可得出答案． 【详解】根据分式方程可知： 食盐水含盐的百分比提高到原来的3倍后，含盐10克不变，而盐水总量变为克，所以应蒸发掉了水分， x表示的意义是蒸发掉的水量． 故选：B． 7. 如图，在▱ABCD中，AB=2，BC=3．以点C为圆心，适当长为半径画弧，交BC于点P，交CD于点Q，再分别以点P，Q为圆心，大于PQ的长为半径画弧，两弧相交于点N，射线CN交BA的延长线于点E，则AE的长是（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】∵由题意可知CF是∠BCD的平分线， ∴∠BCE=∠DCE． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB//CD， ∴∠DCE=∠E， ∴∠BCE=∠AEC， ∴BE=BC=3， ∵AB=2， ∴AE=BE-AB=1， 故选B． 【点睛】本题考查的是作图-基本作图，熟知角平分线的作法是解答此题的关键． 8. 如图1，某科技小组进行野外考察时，利用压力一定时压强与接触面积成反比例关系，通过铺垫木板增大接触面积来达到减小压强的效果，顺利通过了一片烂泥湿地.已知人对木板的压力与人的质量的关系如图2所示，若小明和小亮的质量分别为和，且小明和小亮对木板的压强与木板面积的关系如图3所示，点为反比例函数图象上的一个动点，过点分别作轴和轴的垂线，交轴于点，交轴于点，交另一反比例函数图象于点，过点作轴的垂线，垂足为点，请你结合以上信息，判断下列说法中不正确的是（ ） A. 由图2可知，人对木板的压力与人的质量成正比 B. 图3中图象表示的是小明对木板的压强与木板面积之间的函数关系 C. 当木板面积为时，小亮对木板的压强比小明对木板的压强大 D. 四边形的面积为定值，表示小明、小亮两人对木板的压力相差20N 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，由于压力一定时，压强和受力面积成反比，压力于质量成正比例，根据解析式逐一判断即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由图可得：人对木板的压力与人的质量的比值一定，所以人对木板的压力与人的质量成正比，故正确，不符合题意； 小明和小亮的质量分别为和，那么小明对木板的压力小于小亮对木板的压力，由物理知识可得：压强结合图可得：在受力面积相同的情况下，小明对木板的压强小于小亮对木板的压强，所以图中图象表示的是小明对木板的压强与木板面积之间的函数关系，正确，不符合题意； 设 ∵经过点, ， 解得：， ， 当时，， 当时，， ∵木板面积为， ∴小明对木板的压强， 小亮对木板的压强， ， ∴当木板面积为时，小亮对木板的压强比小明对木板的压强大， ∴正确，不符合题意； 由题意得：小明对木板的压强，小亮对木板的压强，则四边形的面积，也说明小明对木板的压力为，小亮对木板的压力，那么小明、小亮两人对木板的压力相差，故错误，符合题意； 故选: D． 二、填空题（每题 3 分，共 24 分） 9. 式子有意义，则x的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0是解题的关键．根据二次根式有意义的条件求解即可． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， ∴， 故答案为：． 10. 整数a满足，则整数a的值为 _____ ． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了无理数的大小估算，  求一个数的算术平方根与哪个整数最接近，就要看被开方数的值在哪两个相邻正整数的平方之间，与被开方数的差值较小的那个正整数的算术平方根即为与其最接近的整数． 【详解】解：， ，即， 整数a的值为， 故答案为：4． 11. 反比例函数的图象在第一、三象限，则点在第______象限． 【答案】四## 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，点所在的象限，根据反比例函数的性质得出，进而即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象在第一、三象限， ∴ ∴ ∴点在第四象限， 故答案为：四． 12. 将一个含角和一个含角的直角三角形按如图所示的方式放置，若点在线段上，，则的度数为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查三角形内角和定理，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，掌握相关性质是解题的关键． 【详解】解：一个含角和一个含角的直角三角形如图所示， ，，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 13. 如图，由六块相同的含的直角三角形拼成一个大的正六边形，内部留下一个小的正六边形空隙．如果直角三角形最短边的长为，那么小正六边形的边心距是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正多边形和圆，掌握直角三角形的边角关系以及正六边形的性质是正确解答的关键．根据直角三角形的边角关系以及正六边形的性质进行计算即可． 【详解】解：如图， 由题意得，在中，，， ，又， ， 即正六边形的边长为， 设正六边形的中心为，连接，过点作于点， 则， 在中，，， ， 即正六边形的边心距为， 故答案为：． 14. 传统服饰日益受到关注，图为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，马面裙可以近似地看作扇环（图）．若长为米，裙长为米，圆心角，则的长度为______米．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了弧长公式，由题意知，求得米，然后根据弧长公式计算求解即可，掌握弧长公式的应用是解题的关键． 【详解】解：∵长为米， ∴， ∴（米）， ∴（米） ∴的长度为米， 故答案为：． 15. 随着户外露营的兴起，人们对户外帐篷的需求也越来越大．某工厂要制作一批无底帐篷，如图为 设计师设计的帐篷三视图，则该帐篷所需布料的面积为______（结果保留，门也用布料制作 ，接口处损耗不计）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由几何体的三视图确定该几何体的形状，几何体的表面积，根据题意列出算式，然后求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：该帐篷所需布料的面积为， ， 故答案为：． 16. 图1是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈，图2是其侧面示意图．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器，可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄沿着移动，以保证太阳光线与始终垂直，已知支架长为米，且垂直于地面，某一时刻测得米，悬托架，点固定在伞面上，当伞面完全张开时，阳光线与地面的夹角设为，当时，此时悬托架的长度为______米． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了正切函数的应用，平行线的性质，等腰三角形的三线合一性质，余角的性质，熟练掌握正切函数，等腰三角形的性质是解题的关键．过点E作于点I，利用三角函数得出，根据勾股定理得出，根据等腰三角形的性质可得，最后勾股定理求得，即可． 【详解】解：过点E作于点I， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵长为米，米，， ∴（米）， ∴（米）， ∴（米）， 故答案为：． 三．解答题（共 66 分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，涉及三角函数，零指数幂，负整数幂，算术平方根，熟练掌握相关运算法则和概念是解题的关键．先分别利用三角函数，零指数幂，负整数幂，算术平方根，绝对值，平方进行化简，再进行加减即可． 【详解】解： ． 18. 下面是小云同学解分式方程的部分过程，请认真阅读并完成以下各题： 解分式方程： 解：……………………第一步 ……………………第二步 ………………………第三步 …… （1）第二步的解题依据是______； A．分式的性质 B．等式的性质 C．单项式乘以多项式法则 （2）以上解方程步骤中，第______步开始错误的，错误原因是______； （3）请写出该分式方程的正确解答过程． 【答案】（1）B （2）三；去括号时，括号前面是负号的，去括号后，括号内的第二项没有变号 （3） 解：， 整理得：， 去分母得： 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验：把代入得：， ∴是原方程的解． 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程．解题的关键是熟练掌握解分式方程的基本步骤，准确计算． （1）根据去分母的基本原理进行解答即可； （2）查找方程出错的步骤，分析其原因即可； （3）按照正确的解法求出方程的解，写出正确的结果即可． 【小问1详解】 解：第二步的解题依据是等式的基本性质，故B正确； 故选：B． 【小问2详解】 解：以上解方程步骤中，第三步开始出现错误，这一步错误的原因是：括号前面是负号的，去括号后，括号内的第二项没有变号． 【小问3详解】 略 19. 仅用一把无刻度的直尺，按以下要求分别作图，不写作法． （1）如图1，在正方形网格中，A，B是格点，请找一个格点C，连结，使得． （2）如图2，在正方形网格中，A，B是格点，请找到线段的中点，并用字母D表示（保留作图痕迹）． （3）如图3，在中，E是边上一点，请在边上找一点F，连结，使得四边形是平行四边形（保留作图痕迹）． 【答案】（1） 如图，格点和线段即为所求（答案不唯一）． ． （2） 如图，点即为所求（作法不唯一）． ． （3） 如图，点和四边形即为所求（作法不唯一）． ． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理和网格、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题关键． （1）根据勾股定理和网格可得，再结合网格画出格点即可得； （2）利用平行四边形的对角线互相平分作图即可得； （3）先连接，交于点，再连接，并延长交于点，然后连接，由此即可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 20. 随着互联网技术的飞速发展，人工智能得到了越来越广泛的应用，人们越来越习惯借助各种人工智能产品来辅助工作、学习和生活．市场上也涌现出了如、豆包等各类人工智能产品．经过市场调研，小罗决定从两个人工智能产品中选择一个进行使用．以下是小罗通过调查问卷的方式收集的10位用户对两个人工智能产品的相关评价，并整理、描述、分析如下： a．语言交互能力得分（满分10分） A：5，6，6，8，8，8，8，9，9，10 B：6，6，6，6，7，8，9，9，10，10 b．数据分析能力得分（满分10分） c．语言交互能力和数据分析能力得分统计表 统计量产品 语言交互能力得分 数据分析能力得分 平均数 中位数 众数 平均数 中位数 方差 A 8 8 7.0 B 7.7 7.5 6.9 7 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：___________，___________，___________，___________；（填“”或“”） （2）通过以上数据分析，你认为小罗应该选择哪个人工智能产品，至少从两个角度说明理由； （3）你认为小罗还需要了解哪些信息，举例说明（列出一条即可）． 【答案】（1） （2） 我认为小罗应该选择A． 理由如下：从语言交互能力得分来看，和的平均数一样，但是A的中位数和众数均高于B；从数据分析能力得分来看，的平均数高于，且的中位数也大于B．（理由合理即可） （3）还需要了解两个人工智能产品的安全性、准确性、运算速度与效率等方面 【解析】 【分析】本题考查了折线统计图，平均数，中位数，众数，方差． （1）根据平均数的定义求出，根据众数的定义求出，根据中位数的定义求出，根据方差的定义比较和即可； （2）根据统计量的意义判断，并说明理由即可； （3）根据题意结合人工智能产品的特点回答即可． 【小问1详解】 解：A人工智能产品语言交互能力得分的平均数为：， ∴； B人工智能产品语言交互能力得分的10个数据中，6分最多， ∴； A人工智能产品数据分析能力得分的10个数据由小到大排列的第5个数据为7分，第6个数据为8分， ∴； 从折线统计图明显可以看出A人工智能产品数据分析能力得分波动大于B人工智能产品数据分析能力得分， ∴； 故答案为：7.7；6；7.5；； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 21. 如图，在中，点G、H分别是、的中点，点E、F在对角线上，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）连接交于点O，若，，求的长． 【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形， ，， ， 点G、H分别是、的中点， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 又， 四边形是平行四边形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，掌握平行四边形的性质是解题关键． （1）根据平行四边形的性质，易证，得到，，进而推出，即可证明结论； （2）根据平行四边形的性质证明是的中位线，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是平行四边形，， ，， ， ，即， ， ， 点是的中点， 点G是的中点， 是的中位线， ． 22. 一年一度的校园文化节开始了，某班准备采购甲、乙两种道具，一商家对甲种道具的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种道具按40元/件的价格出售，设该班购买甲种道具x件，付款y元，y与x之间的函数关系，如图所示； （1）求y与x之间的函数解析式； （2）若该班计划一次性购买甲、乙两种道具共120件，且甲种道具数量不少于乙种道具数量的，乙种道具不少于35件，如何分配甲、乙两种道具的购进量，才能使该班付款总金额w（元）最少？ 【答案】（1） （2）购买甲道具件，则购买乙道具件时，才能使该班付款总金额w（元）最少 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，利用数形结合的思想解决问题是关键． （1）结合函数图象，分两段，待定系数法求出函数解析式即可； （2）设购买甲道具件，则购买乙道具件，根据题意列一元一次不等式组，得到的取值范围，设该班付款总金额为w，结合（1）所得关系式，得到关于的解析式，再根据一次函数的增减性求最值即可． 【小问1详解】 解：当时，设函数解析式为， 则，解得：， 即y与x之间的函数解析式为； 当时，设函数解析式为， 则，解得：； 即y与x之间的函数解析式为， 综上可知，y与x之间的函数解析式为； 【小问2详解】 解：设购买甲道具件，则购买乙道具件， 则，解得：， 设该班付款总金额为w， 则， ， 随的增大而减小， 当时，有最小值为， 即购买甲道具件，则购买乙道具件时，才能使该班付款总金额w（元）最少． 23. 如图，为的直径，射线交于点F，点C为劣弧的中点，过点C作，垂足为E，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，求阴影部分的面积． 【答案】 （1）连接， 是的直径， ，即， ， 连接， ∵点C为劣弧的中点， ， ∵， ∵OC是的半径， ∴CE是的切线； （2）． 【解析】 【分析】（1）连接BF，证明BF//CE，连接OC，证明OC⊥CE即可得到结论； （2）连接OF，求出扇形FOC的面积即可得到阴影部分的面积． 【详解】（1）略 （2）连接 ，， ∵点C为劣弧的中点， ， ， ， ， ∴S扇形FOC=， 即阴影部分的面积为：． 【点睛】本题主要考查了切线的判定以及扇形面积的求法，熟练掌握切线的判定定理以及扇形面积的求法是解答此题的关键． 24. 中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡献．为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，如图是矩形充电站的平面示意图，矩形是其中一个停车位．经测量，，，，，是另一个车位的宽，所有车位的长宽相同，按图示并列划定． 根据以上信息回答下列问题：（结果精确到，参考数据） （1）求的长； （2）该充电站有20个停车位，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，解直角三角形的实际应用： （1）先由矩形的性质得到，再解得到，接着解直角三角形得到，进而求出，据此可得答案； （2）解得到，解得到，再根据有20个停车位计算出的长即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， 在中，，， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴ 【小问2详解】 解：在中，， 在中，， ∵该充电站有20个停车位， ∴， ∵四边形是矩形， ∴． 25. 【探究】 （）已知和都是等边三角形． ①如图，当点在上时，连接．请探究和之间的数量关系，并说明理由； ②如图，当点在线段的延长线上时，连接．请再次探究和之间的数量关系，并说明理由． 【运用】 （）如图，等边三角形中，，点在上，．点是直线上的动点，连接，以为边在的右侧作等边三角形，连接．当为直角三角形时，请直接写出的长． 【答案】（）， 理由如下： ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ，理由如下： ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， 即； （）或． 【解析】 【分析】（）．证明可得，即得，进而可得；．同理即可求解； （）分点在上，和点在的延长线上，两种情况，画出图形，结合四点共圆及圆周角定理解答即可求解； 本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，四点共圆，圆周角定理，解直角三角形，等角对等边，应用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：（）略 ②略 （）解：分两种情况：如图，当点在上，时， ∵和都是等边三角形， ∴， ∴四点共圆， ∵， ∴为该圆的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴； 如图，当点在的延长线上，时， ∵和都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴四点共圆， ∵， ∴为该圆的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上，的长为或． 26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点两点，与y轴交于点，点P是抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的表达式； （2）当点P在直线上方的抛物线上时，连接交于点D．如图1．当的值最大时，求点P的坐标及的最大值； （3）过点P作x轴的垂线交直线于点M，连接，将沿直线翻折，当点M的对应点恰好落在y轴上时，请直接写出此时点M的坐标． 【答案】（1） （2）点P的坐标为；的最大值为 （3）点M的坐标为：， 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）过点P作轴，交于点Q，求出直线的解析式为，设点P的坐标为，则点，得出，根据轴，得出，根据，求出点P的坐标和最大值即可； （3）证明，得出，设，，得出，，根据，得出，求出或或，根据当时，点P、M、C、四点重合，不存在舍去，求出点M的坐标为，． 【小问1详解】 解：把，代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：过点P作轴，交于点Q，如图所示： 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 设点P的坐标为，则点， ∵点P在直线上方的抛物线上， ∴， ∵轴， ∴， ∴ ∵， ∴ ， ∴当时，有最大值， 此时点P的坐标为． 【小问3详解】 解：根据折叠可知，，，， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，， ， ， ∵， ∴， ∴， 整理得：， ∴或， 解得：或或， ∵当时，点P、M、C、四点重合，不存在， ∴， ∴点M的坐标为，． 【点睛】本题主要考查了求抛物线的解析式，二次函数的综合应用，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的判定，平行线的性质，两点间距离公式，解题的关键是数形结合，作出辅助线或画出图形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $