精品解析：上海市进才中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷

进才中学2024-2025学年第二学期高一年级数学期中 2025.4 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 函数的定义域为___________________ 2. 已知扇形的弧长为，周长为，则这个扇形的面积为______． 3. 在平面直角坐标系中，角的终边上有一点，则_________． 4. 已知函数，则______． 5. 已知是第三象限角，，则_________. 6. 在中，若，则___________ 7. 若函数在上为减函数，则实数的取值范围是_________． 8. 已知方程在上有两个不相等的实数解，则实数的取值范围是_________. 9. 将函数的图象向左平移个单位长度后，所得函数在内不是单调函数，则的取值范围是__________. 10. 若过点可作曲线的三条切线，则的取值范围为_______． 11. 在中，，，分别为角，，所对的边，若，且，则面积的最大值为_________． 12. 已知，，且满足，则__________． 二、选择题（本大题共4题，满分18分，13-14题每题4分，15-16题每题5分．） 13. 是的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 14. 中，已知，且，则是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 15. 已知函数的定义域为，则下列条件中，能推出1一定不是的极小值点的为（ ） A. 存在无穷多个，满足 B. 对任意有理数，均有 C. 函数在区间上为严格减函数，在区间上为严格增函数 D. 函数在区间上为严格增函数，在区间上为严格减函数 16. 设函数的最大值为，最小值为，则（ ） A. B. C. D. 三、解答题（本大题共5题，满分78分．） 17. 已知函数，. （1）求的值，并写出该函数在点处的切线方程； （2）求函数在区间上的最大值和最小值. 18. 已知函数，． （1）求函数的单调增区间； （2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 19. 如下图所示，某市郊外景区内一条笔直的公路经过三个景点、、.景区管委会又开发了风景优美的景点.经测量景点位于景点的北偏东方向处，位于景点的正北方向，还位于景点的北偏西方向上.已知. （1）景区管委会准备由景点向景点修建一条笔直的公路.求线段的长度（长度单位精确到0.1km）； （2）求线段的长度（长度单位精确到0.1km）（）. 20. 已知函数的图象如图所示． （1）求函数的解析式及最小正周期； （2）将函数的图象向右平移个单位长度得到曲线，把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的曲线对应的函数记作，求函数的最小值以及取得最小值时的值； （3）在（2）的题干下，若函数在内恰有6个零点，求的值． 21. 设定义域为的函数在上可导，导函数为.若区间及实数满足：对任意成立，则称函数为上的“函数”. （1）判断是否为上的函数，说明理由； （2）若实数满足：为上的函数，求的取值范围； （3）已知函数存在最大值．对于：：对任意与恒成立，：对任意正整数都是上的函数，问：是否为的充分条件？是否为的必要条件？证明你的结论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 进才中学2024-2025学年第二学期高一年级数学期中 2025.4 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 函数的定义域为___________________ 【答案】. 【解析】 【分析】由正切函数的定义域得出，解出不等式可得出所求函数的定义域． 【详解】由于正切函数为， 解不等式，得， 因此，函数的定义域为， 故答案为． 【点睛】本题考查正切型函数定义域的求解，解题时需结合正切函数的定义域列不等式进行计算，考查计算能力，属于中等题． 2. 已知扇形的弧长为，周长为，则这个扇形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】求出扇形的半径，利用扇形的面积公式可求得结果. 【详解】由题意可知，扇形的半径为，因此，该扇形的面积为. 故答案为：. 3. 在平面直角坐标系中，角的终边上有一点，则_________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据三角函数的定义计算可得. 【详解】因为角的终边上有一点，所以. 故答案为：. 4. 已知函数，则______． 【答案】8 【解析】 【分析】根据函数在某点处的导数的定义求解。 【详解】根据题意，，则，又． 故答案为：8 5. 已知是第三象限角，，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】结合同角三角函数的基本关系和诱导公式求解即可. 【详解】因为是第三象限角，，所以， 所以， 故答案为：. 6. 在中，若，则___________ 【答案】 【解析】 【分析】根据正弦定理可知，设，利用余弦定理即可求出． 【详解】由正弦定理，且，则，设， 由余弦定理，可得. 故答案为：. 7. 若函数在上为减函数，则实数的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用函数在某区间上为减函数等价于导函数在该区间上恒不大于0，再利用分离参数法解决不等式恒成立问题，即可得结果. 【详解】由求导可得， 因为函数在上为减函数，所以在上恒成立， 即，由题意知，故分离参数可得， 二次函数开口向下，对称轴为， 所以时，函数在处取得最大值， 所以，即实数的取值范围是. 故答案为：. 8. 已知方程在上有两个不相等的实数解，则实数的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】令，则直线与的图像有两个不同的交点，考虑的单调性后可得实数的取值范围. 【详解】令，则， 当时，，令， 因在为增函数，在为增函数， 故在为增函数. 当时，，令， 因在为减函数，在为增函数， 故在为减函数. 因，，， 由直线与的图像有两个不同的交点可得即， 故答案为. 【点睛】对于形如的函数，我们可将其化简为，其中，，再根据复合函数的讨论方法求该函数的单调区间、对称轴方程和对称中心等． 9. 将函数的图象向左平移个单位长度后，所得函数在内不是单调函数，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出平移后图象对应的解析式，根据单调性可求参数的取值范围. 【详解】由题设可得平移后图象对应的函数解析式为， 因为，故， 因为在不单调，故或， 即或， 所以或，故. 故答案为：. 10. 若过点可作曲线的三条切线，则的取值范围为_______． 【答案】 【解析】 【分析】设切点为,利用导数的几何意义先求切线方程，由切线方程过点得，令，即与的图像有三个交点， 利用导数研究极值即可求解. 【详解】设切点为，则，所以， 所以切线方程为， 又切线过点，所以， 即，令， 所以，即与的图象有三个交点， 所以，令有或， 由得或，得， 所以在单调递减，在上单调递增， 所以的极大值为，的极小值为， 所以，即， 故答案为：. 11. 在中，，，分别为角，，所对的边，若，且，则面积的最大值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】切化弦后化简，利用正弦定理得出，再由余弦定理及三角形面积公式转化为关于的二次函数求最值. 【详解】，， 则， ， 所以的面积 ， ，即时，的面积的最大值为 故答案为： 12. 已知，，且满足，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】原式等价于.构造，根据导函数求出函数的最值，可得，即可得出，，求出的值，即可得出答案. 【详解】因为， 构造，， 当时，，所以在上单调递增； 当时，，所以在上单调递减. 所以，在处取得极大值，也是最大值， 所以. 由题意可知，，所以，. 因为，所以，， 所以. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：同构变形后，构造函数，根据导函数研究函数的性质，进而得出结论. 二、选择题（本大题共4题，满分18分，13-14题每题4分，15-16题每题5分．） 13. 是的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据，得出值即得答案. 【详解】因为，所以或，所以是的充分非必要条件. 故选A. 14. 中，已知，且，则是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦定理得到，和差公式化简得到，代换得到，得到答案. 【详解】 故，即是直角三角形 故选： 【点睛】本题考查了正弦定理，和差公式，意在考查三角函数知识的综合应用. 15. 已知函数的定义域为，则下列条件中，能推出1一定不是的极小值点的为（ ） A. 存在无穷多个，满足 B. 对任意有理数，均有 C. 函数在区间上为严格减函数，在区间上为严格增函数 D. 函数在区间上为严格增函数，在区间上为严格减函数 【答案】B 【解析】 【分析】举例说明判断ACD；利用极小值的意义推理判断A. 【详解】对于A，函数的图象如图， 显然函数满足题设条件，而1是的极小值点，A错误； 对于B，在附近的任意区间内，总存在有理数，这些有理数的函数值小于，因此1一定不是极小值点，B正确； 对于C，函数在上为严格减函数，在上为严格增函数，1是的极小值点，C错误； 对于D，函数图象如图， 函数在上为严格增函数，在上为严格减函数，1是的极小值点，D错误. 故选：B 16. 设函数的最大值为，最小值为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将函数整理为，再由辅助角公式和正弦函数的值域，得到不等式，结合韦达定理，即可得到答案. 【详解】因为， 所以有，即 ，为辅助角， 因为， 所以， 化简得：， 由于恒成立， 则判别式： 恒成立， 即有不等式的解集为， 由韦达定理可得 故选：D 【点睛】本题考查了利用三角函数的范围，辅助角公式以及韦达定理，考查了学生的计算能力，属于较难题. 三、解答题（本大题共5题，满分78分．） 17. 已知函数，. （1）求的值，并写出该函数在点处的切线方程； （2）求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】（1） （2）最大值是，最小值是1. 【解析】 【分析】（1）求出，根据导数的几何意义得出切线的斜率，求出，即可得出答案； （2）根据导函数得出导函数的单调性，结合端点值，即可得出函数的最值. 【小问1详解】 由已知可得，所以， 则根据导数的几何意义可知，函数在点处的切线的斜率为. 又，所以函数在点处的切线的方程为. 【小问2详解】 当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增. 所以，在处取得唯一极小值，也是最小值. 又，， 所以，函数在区间上的最大值是，最小值是1. 18. 已知函数，． （1）求函数的单调增区间； （2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换先化简，利用正弦函数的单调性求解； （2）先求在的值域，在利用在上恒成立，即在上恒成立，即在的值域含在即可. 【小问1详解】 由题意有， 令，解得， 所以函数的单调增区间为； 【小问2详解】 由在上恒成立，即在上恒成立， 由得，所以，即， 所以， 即. 19. 如下图所示，某市郊外景区内一条笔直的公路经过三个景点、、.景区管委会又开发了风景优美的景点.经测量景点位于景点的北偏东方向处，位于景点的正北方向，还位于景点的北偏西方向上.已知. （1）景区管委会准备由景点向景点修建一条笔直的公路.求线段的长度（长度单位精确到0.1km）； （2）求线段的长度（长度单位精确到0.1km）（）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理计算可得； （2）先求出，的正弦、余弦值，再利用和角的正弦公式求出，最后利用正弦定理计算可得. 【小问1详解】 依题意可得，，， 在中由余弦定理， 即，即， 解得（舍去）或， 所以线段的长度约为. 【小问2详解】 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴ ， ， ∴ ． 又， 在中由正弦定理， 即，解得， 所以线段的长度约为. 20. 已知函数的图象如图所示． （1）求函数的解析式及最小正周期； （2）将函数的图象向右平移个单位长度得到曲线，把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的曲线对应的函数记作，求函数的最小值以及取得最小值时的值； （3）在（2）的题干下，若函数在内恰有6个零点，求的值． 【答案】（1） （2）当时，的最小值为 （3）或． 【解析】 【分析】（1）由图像求即可求解 （2）利用图像变换先求，进而得，由三角恒等变换化简即可求解； （3）令，可得，令，得，利用二次方程根的分布即可求解. 【小问1详解】 由图可得，最小正周期，则， 由，可得 又，所以，，所以， 【小问2详解】 由题意得， ， 所以的最小值为，当，即； 【小问3详解】 ， 令，可得，令，得， 由于，故方程必有两个不同的实数根，，且， 由知异号，不妨设， 若，则，无解， 在内有四个零点，不符题意； 若，则在内有2个零点，在内有4个零点，符合题意，此时，得； 若在有4个零点， 故在内应恰有2个零点，，此时 综上所述，或． 21. 设定义域为的函数在上可导，导函数为.若区间及实数满足：对任意成立，则称函数为上的“函数”. （1）判断是否为上的函数，说明理由； （2）若实数满足：为上的函数，求的取值范围； （3）已知函数存在最大值．对于：：对任意与恒成立，：对任意正整数都是上的函数，问：是否为的充分条件？是否为的必要条件？证明你的结论. 【答案】（1） 因为，根据题意可知， 等价于在时恒成立， 所以是上的函数． （2）且． （3） 若成立，则对任意正整数，有：， 即为上的函数，成立．故为的充分条件． 若成立，即对任意正整数，有：②， 记函数的最大值为． 先证明恒成立． 反证法，假如存在使得，则取正整数，使得， 此时有，与②矛盾． 这意味着为上的严格减函数． 再证明恒成立． 取为的一个最大值点， 则当时，由单调性知，但， 所以， 于是． 对任意，可取一个与有关的正整数，使得， 由②知：． 于是成立．故也为的必要条件． 【解析】 【分析】（1）根据函数的定义求解可得； （2）由题意可得，即，令，求出的单调性即可求出，再由求出，即可得出答案. （3）先推导出为的充分条件，若成立，即对任意正整数，有：②，记函数的最大值为．用反证法证明与恒成立，从而可证明也为的必要条件． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 实数满足：， 即．① 特别地，在①中取，可知， 反之，当时，①成立． 令，由于，且满足的为离散的数， 故为严格减函数，又，所以． 又． 从而的取值范围是：且． 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：函数新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $