1.2全等三角形 讲义2025-2026学年苏科版（2024）数学八年级上册

1.2全等三角形 📚基础知识 1. 全等三角形 · 一个三角形经过平移轴对称或旋转变换后得到另一个三角形这两个三角形可以重合我们把两个能完全重合的三角形叫做全等三角形。符号记作：“≌” 2. 全等三角形性质 · 全等三角形的对应边相等，对应角相等 ✨基础题型 1 学科网（北京）股份有限公司 【题型1】图形的全等 【题型2】利用全等图形求网格中的角度 【题型3】将图形分割成全等图形 【题型4】全等三角形的概念 【题型5】全等三角形的性质 🔍例题精讲 例1：下列各组中的两个图形中，属于全等图形的是（    ） A． B． C． D． 例2：如图，网格中的所有小正方形的边长相同，则 例3：试在下列两个图中，沿正方形的网格线（虚线）把这两个图形分别分割成两个全等的图形，将其中一部分涂上阴影． 例4：如图，，下列结论：①与是对应边；②与是对应边；③与是对应角；④与是对应角．其中正确的有（    ） A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 例5：如图，，点，，，在一条直线上． (1)求证：； (2)连接．若，求的度数． 课堂巩固 1．下列判断正确的个数是（    ） （1）形状相同的两个三角形是全等形； （2）全等图形的周长都相等； （3）面积相等的两个等腰三角形是全等形； （4）全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠3-∠2=（   ） A．30° B．45° C．60° D．135° 3．沿着图中的虚线，请将如图的图形分割成4个全等的图形，并能拼成一个正方形．    4．如图，，C，B是对应点，下列结论错误的是（    ）    A．和是对应角 B．和是对应角 C．与是对应边 D．和是对应边 5．（如图，，，，点在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上以的速度由点B向点D运动，它们运动的时间为，当与全等时，的值是 ． 6．如图，已知，那么的度数是（　　） A． B． C． D． 课后作业 1．下列说法正确的是（    ） A．形状相同的两个三角形全等 B．面积相等的两个三角形全等 C．完全重合的两个三角形全等 D．所有的等边三角形全等 2．如图，已知方格纸中是9个相同的小正方形，则的度数为 ． 3．如图，由4个相同的小正方形组成的格点图中，∠1+∠2+∠3= 度． 4．下图所示的图形分割成两个全等的图形，正确的是（　　） A． B． C． D． 5．如图所示，在两个全等三角形中，点A和点E是一组对应顶点，写出其余的对应顶点、对应边和对应角． 6．如图，已知，，，则的长度为 ． 7．如图，，，若，，，则等于（   ） A．2 B．2.5 C．3 D．4 8．如图，且，，，． (1)求的长度． (2)求的度数． 9．如图，与关于点A成中心对称，若，，，则的长为（    ）    A．6 B．4 C．3 D．2 10．如图，，顶点A、C分别与顶点D、B对应，点E在边上，边与边相交于点F． (1)若，求线段的长； (2)若，求的度数 $$ 1.2全等三角形 📚基础知识 1. 全等三角形 · 一个三角形经过平移轴对称或旋转变换后得到另一个三角形这两个三角形可以重合我们把两个能完全重合的三角形叫做全等三角形。符号记作：“≌” 2. 全等三角形性质 · 全等三角形的对应边相等，对应角相等 ✨基础题型 1 学科网（北京）股份有限公司 【题型1】图形的全等 【题型2】利用全等图形求网格中的角度 【题型3】将图形分割成全等图形 【题型4】全等三角形的概念 【题型5】全等三角形的性质 🔍例题精讲 例1：下列各组中的两个图形中，属于全等图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】图形的全等 【分析】本题考查全等图形的定义，根据能够完全重合的两个图形称为全等图形进行逐项判断即可． 【详解】解：A中两个图形不是全等图形，故不符合题意； B中两个图形不是全等图形，故不符合题意； C中两个图形是全等图形，故符合题意； D中两个图形不是全等图形，故不符合题意； 故选：C． 例2：如图，网格中的所有小正方形的边长相同，则 【答案】/90度 【知识点】利用全等图形求正方形网格中角度之和(全等图形） 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，先证明得出，即可得解，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：如图， 在和中 ， ， ， ， ， 故答案为：． 例3：试在下列两个图中，沿正方形的网格线（虚线）把这两个图形分别分割成两个全等的图形，将其中一部分涂上阴影． 【答案】见解析（第一个图答案不唯一） 【知识点】将已知图形分割成几个全等图形(全等图形） 【分析】根据全等图形的定义，利用图形的对称性和互补性来分隔成两个全等的图形． 【详解】解：第一个图形分割有如下几种： 第二个图形的分割如下： 【点睛】本题主要考查了学生的动手操作能力和学生的空间想象能力，牢记全等图形的定义是解题的重点． 例4：如图，，下列结论：①与是对应边；②与是对应边；③与是对应角；④与是对应角．其中正确的有（    ） A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 【答案】B 【知识点】全等三角形的概念 【分析】本题考查了全等三角形的概念，熟练寻找全等三角形的对应边和对应角是解题的关键．根据全等三角形中的对应边、对应角的定义依次判定即可． 【详解】解：由得： ①与是对应边，故①不符合题意； ②与是对应边，故②符合题意； ③与是对应角，故③符合题意； ④与是对应角，与是对应角，故④不符合题意； 故正确的有②③， 故选：B． 例5：如图，，点，，，在一条直线上． (1)求证：； (2)连接．若，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等三角形的性质 【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形内角和定理，正确理解全等三角形的性质是解题的关键． （1）根据得出,根据，问题得证； （2）根据全等三角形的性质得出，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）解：， ，即， ； （2）， ， ， ， 平分， ， 设，则 在中，根据三角形内角和定理，得 ， 课堂巩固 1．下列判断正确的个数是（    ） （1）形状相同的两个三角形是全等形； （2）全等图形的周长都相等； （3）面积相等的两个等腰三角形是全等形； （4）全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】全等三角形的概念、全等三角形的性质、图形的全等 【分析】本题考查了全等图形的判定与性质，利用全等图形的判定与性质即可确定正确的选项． 【详解】解：（1）形状相同的两个三角形不一定是全等形，故错误； （2）全等图形的周长都相等，故正确； （3）面积相等的两个等腰三角形不一定是全等形，故错误； （4）全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等，故正确； 故选：B 2．如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠3-∠2=（   ） A．30° B．45° C．60° D．135° 【答案】B 【知识点】利用全等图形求正方形网格中角度之和(全等图形） 【分析】首先可以观察△ABC≌△DBE，根据全等三角形的性质可得∠3=∠ACB，再由∠ACB+∠1=∠1+∠3=90°，可得∠1+∠3-∠2． 【详解】 ∵△ABC≌△DBE（SAS）， ∴∠3=∠ACB， ∵∠ACB+∠1=90°， ∴∠1+∠3=90°， ∵∠2=45° ∴∠1+∠3-∠2=90°-45°=45°， 故选B． 【点睛】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等三角形的判定，以及全等三角形对应角相等． 3．沿着图中的虚线，请将如图的图形分割成4个全等的图形，并能拼成一个正方形．    【答案】见解析 【知识点】将已知图形分割成几个全等图形(全等图形） 【分析】如图所示，按图中实线部分即可将原图形划分为4个全等的图形，且能拼成一个正方形．（答案不唯一） 【详解】    【点睛】本题考查全等图形，解题的关键是掌握全等图形的定义，学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． 4．如图，，C，B是对应点，下列结论错误的是（    ）    A．和是对应角 B．和是对应角 C．与是对应边 D．和是对应边 【答案】C 【知识点】全等三角形的概念 【分析】全等三角形中，能够重合的边是对应边，能够重合的角是对应角，根据定义逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴和是对应角，和是对应角，和是对应边； 故A，B，D不符合题意； 而与是对应边，故C符合题意； 故选C 【点睛】本题考查的是全等三角形的对应边与对应角的含义，理解对应边与对应角的概念是解本题的关键． 5．（如图，，，，点在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上以的速度由点B向点D运动，它们运动的时间为，当与全等时，的值是 ． 【答案】2或3 【知识点】列代数式、全等三角形的性质 【分析】本题考查全等三角形性质，代数式表示．根据题意利用与全等分两种情况讨论，①当，时，再分别表示出线段的代数式列式计算即可；②当，时，再分别表示出线段的代数式列式计算即可得到本题答案． 【详解】解：∵与全等， ①当，时， ∵点在线段上以的速度由点A向点B运动， ∴， ∵点Q在线段上以的速度由点B向点D运动， ∴， ∵，， ∴， ∴，解得：； ②当，时， ∵点在线段上以的速度由点A向点B运动， ∴， ∵，， ∴， ∵点Q在线段上以的速度由点B向点D运动， ∴， ∴，解得：， 综上所述：的值是2或3， 故答案为：2或3． 6．如图，已知，那么的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的对应角相等，根据全等三角形的性质可得，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 课后作业 1．下列说法正确的是（    ） A．形状相同的两个三角形全等 B．面积相等的两个三角形全等 C．完全重合的两个三角形全等 D．所有的等边三角形全等 【答案】C 【知识点】图形的全等 【分析】根据全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形，以及全等三角形的判定定理可得答案． 【详解】解：A、形状相同的两个三角形全等，说法错误，应该是形状相同且大小也相同的两个三角形全等； B、面积相等的两个三角形全等，说法错误； C、完全重合的两个三角形全等，说法正确； D、所有的等边三角形全等，说法错误； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等形的概念． 2．如图，已知方格纸中是9个相同的小正方形，则的度数为 ． 【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质、利用全等图形求正方形网格中角度之和(全等图形） 【分析】本题考查了利用全等的性质求网格中的角度，三角形外角的性质，等腰直角三角形的性质，得出是解题的关键．观察图形可知与所在的直角三角形全等，则，根据外角的性质卡得，即可求解． 【详解】解：观察图形可知与所在的直角三角形全等（两直角边分别为1和2）， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 3．如图，由4个相同的小正方形组成的格点图中，∠1+∠2+∠3= 度． 【答案】135 【知识点】利用全等图形求正方形网格中角度之和(全等图形） 【分析】首先利用全等三角形的判定和性质求出的值，即可得出答案； 【详解】如图所示， 在△ACB和△DCE中， ， ∴， ∴， ∴； 故答案是：． 【点睛】本题主要考查了全等图形的应用，准确分析计算是解题的关键． 4．下图所示的图形分割成两个全等的图形，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】将已知图形分割成几个全等图形(全等图形） 【分析】直接利用全等图形的概念进而得出答案． 【详解】解：图形分割成两个全等的图形，如图所示： 故选B． 【点睛】此题主要考查全等图形的识别，解题的关键是熟知全等的性质. 5．如图所示，在两个全等三角形中，点A和点E是一组对应顶点，写出其余的对应顶点、对应边和对应角． 【答案】见解析 【知识点】全等三角形的概念 【分析】本题考查全等三角形的有关概念，关键是掌握全等三角形的对应顶点，对应边，对应角的定义．由全等三角形的对应顶点，对应边、对应角的定义，即可得到答案． 【详解】解：对应顶点是点C和点C、点B和点D，对应边是和和和，对应角是和和和． 6．如图，已知，，，则的长度为 ． 【答案】 【知识点】全等三角形的性质 【分析】此题考查了全等三角形的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质及其应用．根据全等三角形的性质，，再由线段和差即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故答案为：． 7．如图，，，若，，，则等于（   ） A．2 B．2.5 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键．先根据全等三角形的性质可得，，再根据线段的和差即可得． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， 故选：C． 8．如图，且，，，． (1)求的长度． (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等． （1）根据题意求出的长，根据全等三角形的性质得到答案； （2）根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：，， ， ， ； （2）解：∵ ∴． 9．如图，与关于点A成中心对称，若，，，则的长为（    ）    A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、根据中心对称的性质求面积、长度、角度、全等三角形的性质 【分析】本题主要考查了中心对称的性质、全等三角形的性质、勾股定理等知识点，掌握中心对称的两个三角形是全等三角形成为解题的关键． 由中心对称的性质可得得到，即，然后运用勾股定理求得的长即可． 【详解】解：∵与关于点A成中心对称， ∴， ∴，即， ∵， ∴． 故选C． 10．如图，，顶点A、C分别与顶点D、B对应，点E在边上，边与边相交于点F． (1)若，求线段的长； (2)若，求的度数 【答案】(1)6 (2) 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等三角形的性质 【分析】本题主要考查了三角形全等的性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键． （1）由全等三角形的性质可得，再由进行计算即可得到答案； （2）由全等三角形的性质可得，再由三角形内角和定理可得，最后由进行计算即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ， ． $$