精品解析：山东省日照市山海天旅游度假区2024-2025学年九年级中考二模考试数学试卷

2025年初中学业水平模拟考试试题 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 近年来，我国大力开发新能源产业，下面是四张新能源图标，其文字上方的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 篆刻是中华传统艺术之一、如图是一块雕刻印章的材料，从正面看这个印章，得到的平面图形是（ ） A. B. C. D. 4. 不透明的袋子中装有一个红色小球和一个白色小球，除颜色外两个小球无其它差别．从中随机取出一个小球后，放回并摇匀，再从中随机取出一个小球，则两次都取到白色小球的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 为助力数字经济发展，北京积极推进多个公共算力中心的建设.北京数字经济算力中心日前已部署上架和调试的设备的算力为Flops（Flops是计算机系统算力的一种度量单位），整体投产后，累计实现的算力将是日前已部署上架和调试的设备的算力的5倍，达到Flops，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 某商场为了更大地让利于顾客，对某种衬衣进行降价销售．当这种衬衣每件降价20元时，降价前600元与降价后480元所购买的该衬衣件数相同．设这种衬衣每件原价为元，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 对于任意的实数m、n，定义符号的含义为m，n之间的最大值，如，．定义一个新函数：，则时，x的取值范围为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 或 8. 如图，在矩形中，，，点E，F分别为，的中点，分别以点E，F为圆心，长为半径作半圆，两半圆交于点G，H，连接，，，，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，的顶点A在平面直角坐标系的y轴上，且BC边在x轴上，，小丽尺规作图保留作图痕迹后，射线BG与直线HI恰交于AD边上中点K，则点J的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图（1），在中，点为其中心，，，动点从点出发，沿匀速运动到点，再从点沿直线运动到上的点．设点运动的路程为，的面积为，则与的函数关系的图象如图（2）所示，则的长度为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：________． 12. 如图是小区内一小山的等高线示意图，小明同学计划利用这个等高线示意图计算的距离，他在点处测得处的俯角为，则______m． 13. 若关于y的不等式组无解，且关于的分式方程的解为负数，则所有满足条件的整数的值之和是______． 14. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则实数_________． 15. 如图1．中，，，将其分割成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三部分，然后再拼成如图2的菱形（不重叠、无缝隙），若，则的长为______． 16. 如图，在平面直角坐标系中，四边形ABOC是正方形，点A的坐标为（1，1），是以点B为圆心，BA为半径的圆弧；是以点O为圆心，OA1为半径的圆弧，是以点C为圆心，CA2为半径的圆弧，是以点A为圆心，AA3为半径的圆弧，继续以点B、O、C、A为圆心按上述作法得到的曲线AA1A2A3A4A5…称为正方形的“渐开线”，那么点A5的坐标是______，点A2018的坐标是______． 三、解答题 17. （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中． 18. 某物流企业为了提高配送效率和客户满意度，对公司业务流程进行了细致的分析．公司随机抽取了件某日发往市的快递包裹，称重并记录每件包裹的重量（单位：，精确到）．下面给出了部分信息． a．下图为每件包裹重量的频数分布直方图如下（数据分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组，第7组，第8组，第9组，第组，第组）： b．在这一组的数据如下： c．这件包裹重量的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 包裹重量（单位：） 根据以上信息，回答下列问题： （1）补全频数分布直方图； （2）写出的值； （3）下面五个结论中，①的值一定在这一组；②的值可能在这一组；③的值可能在这一组；④的值不可能在这一组；⑤的值不可能在这一组．所有正确结论的序号是________； （4）某日此快递公司将要发往A市的快递包裹统一打包装箱，其中一个集装箱中的包裹总重量为，请估计这个集装箱中共有多少件包裹？ 19. 单摆是一种能够产生往复摆动的装置，某兴趣小组利用摆球和摆线进行与单摆相关的实验探究，并撰写实验报告如下． 实验主题 探究摆球运动过程中高度的变化 实验用具 摆球，摆线，支架，摄像机等 实验步骤 如图1，在支架的横杆点O处用摆线悬挂一个摆球，将摆球拉高后松手，摆球开始往复运动，（摆线的长度变化忽略不计） 实验说明 如图2，摆球静止时的位置为点A，拉紧摆线将摆球拉至点B处，．，；当摆球运动至点C时，，．（点O，A，B，C，D，E在同一平面内） 解决问题：根据以上信息，求的长．（结果精确到） 参考数据：，． 20. 直线与双曲线交于点，交y轴于点． （1）求k，m的值； （2）如图1，点E是直线上A点右侧的一个动点，过点E作y轴的平行线，交反比例函数图象于点D，连接，． ①当时，求的面积； ②如图2，在①的条件下，将沿射线方向平移一定距离，得到，若点恰好落在反比例函数图象上，请直接写出点的坐标． 21. 如图，已知的对角线与交于点E，以为直径作，与边交于点F， 点E在上， （1）求证： 四边形是菱形； （2）若点G为的中点，连接， 求证：是的切线； （3）在（2）的条件下，若，求的长． 22. 综合与实践 【问题情境】 “综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和，其中，，将和按图2所示方式摆放，其中点与点重合（标记为点）．当时，延长交于点，试判断四边形的形状，并说明理由． 【数学思考】 （1）请你解答以上老师提出的问题； 【深入探究】 （2）老师将图2中的绕点逆时针方向旋转，使点落在内部，让同学们提出新的问题并请你解答此问题． “善思小组”提出问题：如图3，当时，过点A作交的延长线于点，与交于点．证明：． 23. 如图，抛物线过点，顶点为Q．抛物线（其中t为常数，且），顶点为P． （1）直接写出a的值和点Q的坐标． （2）嘉嘉说：无论t为何值，将的顶点Q向左平移2个单位长度后一定落在上． 淇淇说：无论t为何值，总经过一个定点． 请选择其中一人的说法进行说理． （3）当时， ①求直线PQ的解析式； ②作直线，当l与的交点到x轴的距离恰为6时，求l与x轴交点的横坐标． （4）设与的交点A，B的横坐标分别为，且．点M在上，横坐标为．点N在上，横坐标为．若点M是到直线PQ的距离最大的点，最大距离为d，点N到直线PQ的距离恰好也为d，直接用含t和m的式子表示n． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年初中学业水平模拟考试试题 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 近年来，我国大力开发新能源产业，下面是四张新能源图标，其文字上方的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形与中心对称图形的识别，掌握中心对称图形与轴对称图形的定义是解题的关键．如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、它是轴对称图形，不是中心对称图形； B、它是轴对称图形，也是中心对称图形； C、它既不是轴对称图形，也不是中心对称图形； D、它既不是轴对称图形，也不是中心对称图形． 故选：B 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据完全平方公式，二次根式的性质，整式的加减，有理数的除法，解答即可． 【详解】解：A. ， 本选项不符合题意； B. ， 本选项不符合题意； C. ， 本选项不符合题意； D. ， 本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】完全平方公式，二次根式的性质，整式的加减，有理数的除法，掌握公式和性质是解题的关键． 3. 篆刻是中华传统艺术之一、如图是一块雕刻印章的材料，从正面看这个印章，得到的平面图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查从不同方向看几何体；画出从正面看这个印章的平面图形，进行作答即可． 【详解】解：这个组合体从正面看，得到的平面图形如图所示：    故选：B． 4. 不透明的袋子中装有一个红色小球和一个白色小球，除颜色外两个小球无其它差别．从中随机取出一个小球后，放回并摇匀，再从中随机取出一个小球，则两次都取到白色小球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，解题的关键在于掌握概率所求情况数与总情况数之比． 根据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率，即可解题． 【详解】解：画树状图如下： 由图知，共有4种等可能的结果，其中两次都取到白色小球的结果有1种， 两次都取到白色小球的概率为． 故选：D． 5. 为助力数字经济发展，北京积极推进多个公共算力中心的建设.北京数字经济算力中心日前已部署上架和调试的设备的算力为Flops（Flops是计算机系统算力的一种度量单位），整体投产后，累计实现的算力将是日前已部署上架和调试的设备的算力的5倍，达到Flops，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】用移动小数点的方法确定a值，根据整数位数减一原则确定n值，最后写成的形式即可．本题考查了科学记数法表示大数，熟练掌握把小数点点在左边第一个非零数字的后面确定a，运用整数位数减去1确定n值是解题的关键． 【详解】， 故选D． 6. 某商场为了更大地让利于顾客，对某种衬衣进行降价销售．当这种衬衣每件降价20元时，降价前600元与降价后480元所购买的该衬衣件数相同．设这种衬衣每件原价为元，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根据实际问题列分式方程，根据这种衬衣每件降价20元时，降价前600元与降价后480元所购买的该衬衣件数相同，列出方程即可． 【详解】解：设这种衬衣每件原价为元，由题意，得：； 故选C． 7. 对于任意的实数m、n，定义符号的含义为m，n之间的最大值，如，．定义一个新函数：，则时，x的取值范围为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】符号的含义是取较大的值．则本题实为函数比较大小的问题． 【详解】解：令， 如图所示，则的值为函数较大的值， ∴比较两个函数的交点，较大的y值即为最大值． 联立方程   解得 ∴时，解得，， 当时，解得： ∴当时，或 故选：A 【点睛】本题主要考查函数比较大小的问题，正确画出函数图象是解答本题的关键． 8. 如图，在矩形中，，，点E，F分别为，的中点，分别以点E，F为圆心，长为半径作半圆，两半圆交于点G，H，连接，，，，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查等边三角形判定及性质，扇形面积公式，圆面积公式等．根据题意作，由题意可得为等边三角形，继而求出面积，再求出扇形的面积，继而求出阴影部分面积等． 【详解】解：作， ， ∵矩形中，，，点E，F分别为，的中点， ∴， ∴和为等边三角形， ∴，， ∴， ∴的面积为：， ∴扇形的面积：， ∵半圆面积为：， ∴下方两块阴影面积：， ∴总的阴影面积为：， 故选：D． 9. 如图，的顶点A在平面直角坐标系的y轴上，且BC边在x轴上，，小丽尺规作图保留作图痕迹后，射线BG与直线HI恰交于AD边上中点K，则点J的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过J作JM⊥x轴，由尺规作图可知，BK平分∠ABC，HI是CD的垂直平分线，则∠ABK=∠CBK=，KC=KD，K是AD的中点，根据平行四边形的性质得出AB=DC，AB∥CD，AD=BC，通过等边三角形的判定得出∆CDK是等边三角形，结合图形利用锐角三角函数得出OB=1，OA，根据相似三角形的判定和性质得出，代入计算可得OM，MJ=，即可确定点的坐标． 【详解】解：如图所示，过J作JM⊥x轴，由尺规作图可知，BK平分∠ABC，HI是CD的垂直平分线，则∠ABK=∠CBK=，KC=KD，K是AD的中点， ∴AK=DK=， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB=DC，ABCD，AD=BC， ∴∠AKB=∠CBK， ∴∠AKB=∠ABK， ∴AB=AK， ∴AB=AK=DK=KC=DC， ∴∆CDK是等边三角形， ∴∠CKD=∠CDK=∠DCK=60°， ∵ADCB， ∴∠DCM=∠CDK=60°， ∵ABDC， ∴∠DCM=∠ABC=60°， 在Rt∆OAB中，∠ABO=60°，AB=2， ∴OB=AB∙， OA=AB∙， ∵JM⊥x轴于点M， ∴∠JMC=∠AOB=90°， ∵∠JMC=∠ABO， ∴∆CMJ~∆BOA， ∴， ∵HI是CD的垂直平分线交CD于点J， ∴CJ=DJ=， ∴，AD=2AK=2AB=4， ∴BC=AD=4，MJ=， ∴OC=BC-OB=4-1=3，OM=OC+CM=3+， ∴J()， 故选：B． 【点睛】题目主要考查平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数解三角形等，理解题意，作出相应图形，综合运用这些知识点是解题关键． 10. 如图（1），在中，点为其中心，，，动点从点出发，沿匀速运动到点，再从点沿直线运动到上的点．设点运动的路程为，的面积为，则与的函数关系的图象如图（2）所示，则的长度为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】如图，连接，过作于，结合题意可得三点共线，由函数图象可得：当时， 可得，当时，动点从点沿直线运动到上的点，此时的面积不变，可得，，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，连接，过作于，结合题意可得三点共线， 由函数图象可得：当时，动点从点出发，沿匀速运动到点， ∴， 当时，动点从点沿直线运动到上的点， 此时的面积不变， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选B 【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，动点问题的函数图象，特殊角的三角函数值的应用，中位线的性质，平行线分线段成比例的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】先对原式变形构造公因式，再提取公因式，最后利用平方差公式进行二次因式分解，即可得到结果． 【详解】解： ． 12. 如图是小区内一小山的等高线示意图，小明同学计划利用这个等高线示意图计算的距离，他在点处测得处的俯角为，则______m． 【答案】100 【解析】 【分析】本题是跨学科综合题．根据由等高线可知、两地的高度差为50米，然后点处测得处的俯角为求值即可． 【详解】解：由等高线可得、两地的实际高度差为， 依题意作图得：，，， ∴ 故答案为：100． 13. 若关于y的不等式组无解，且关于的分式方程的解为负数，则所有满足条件的整数的值之和是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式组和分式方程的知识，解题的关键是先求出不等式组，根据不等式无解求出的值，再根据分式方程的解为负数，求出，根据为整数，确定的值，即可． 【详解】由不等式组， 解不等式：，， 解不等式：， ∵不等式无解， ∴； ， 解得：， ∵分式方程的解为负数， ∴， 解得：； ∴的取值范围为：， ∵为整数， ∴的值为：，， ∴整数的值之和为：． 故答案为：． 14. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则实数_________． 【答案】3 【解析】 【分析】利用一元二次方程有两个不相等的实数根求出m的取值范围，由根与系数关系得到，代入，解得的值，根据求得的m的取值范围，确定m的值即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， ∵，， ∴， 解得（不合题意，舍去）， ∴ 故答案为：3 【点睛】此题考查一元二次方程根的判别式和一元二次方程根与系数关系，熟练掌握根的判别式和根与系数关系的内容是解题的关键． 15. 如图1．中，，，将其分割成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三部分，然后再拼成如图2的菱形（不重叠、无缝隙），若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意， ，，菱形 ，， 设，， ，，， 由，得即，根据勾股定理，故，过点D作于点Q，根据题意，得，设，则，，故，解答即可． 【详解】解：根据题意， ，，菱形 ，， 设，， ，，， 由，得即， 根据勾股定理，得， 故， 解得（舍去）， 故， 过点D作于点Q， 根据题意，得， 设， 则，， 故， 解得， 故（舍去）， 故， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，菱形的性质，解方程，三角函数的应用，拼图的几何意义，熟练掌握性质和三角函数的应用是解题的关键． 16. 如图，在平面直角坐标系中，四边形ABOC是正方形，点A的坐标为（1，1），是以点B为圆心，BA为半径的圆弧；是以点O为圆心，OA1为半径的圆弧，是以点C为圆心，CA2为半径的圆弧，是以点A为圆心，AA3为半径的圆弧，继续以点B、O、C、A为圆心按上述作法得到的曲线AA1A2A3A4A5…称为正方形的“渐开线”，那么点A5的坐标是______，点A2018的坐标是______． 【答案】 ①. （6，0） ②. （0，﹣2018） 【解析】 【分析】根据图象的变化规律，列举每个点的坐标，找规律. 【详解】解：观察，找规律：A（1，1），A1（2，0），A2（0，﹣2），A3（﹣3，1），A4（1，5），A5（6，0），A6（0，﹣6），A7（﹣7，1），A8（1，9）…， ∴A4n=（1，4n+1），A4n+1=（4n+2，0），A4n+2=（0，﹣（4n+2）），A4n+3=（﹣（4n+3），1）． ∵5=4+1，2016=504×4+2， ∴A5的坐标为（64+2，0）=（6，0），A2018的坐标为（0，﹣2018）． 故答案为（6，0）；（0，﹣2018）． 【点睛】找规律题需要记忆常见数列 1,2,3,4……n 1,3,5,7……2n-1 2,4,6,8……2n 2,4,8,16,32…… 1,4,9,16,25…… 2,6,12,20……n(n+1) 一般题目中的数列是利用常见数列变形而来，其中后一项比前一项多一个常数，是等差数列，列举找规律.后一项是前一项的固定倍数，则是等比数列，列举找规律. 三、解答题 17. （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）4；（2）， 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，分式的化简求值． （1）先根据零指数幂、绝对值的定义、特殊三角函数值化简各式，最后算加减法即可； （2）根据分式的混合运算法则把原式化简，把x的值代入计算即可． 【详解】解：（1） ； （2） ， 当时， 原式． 18. 某物流企业为了提高配送效率和客户满意度，对公司业务流程进行了细致的分析．公司随机抽取了件某日发往市的快递包裹，称重并记录每件包裹的重量（单位：，精确到）．下面给出了部分信息． a．下图为每件包裹重量的频数分布直方图如下（数据分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组，第7组，第8组，第9组，第组，第组）： b．在这一组的数据如下： c．这件包裹重量的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 包裹重量（单位：） 根据以上信息，回答下列问题： （1）补全频数分布直方图； （2）写出的值； （3）下面五个结论中，①的值一定在这一组；②的值可能在这一组；③的值可能在这一组；④的值不可能在这一组；⑤的值不可能在这一组．所有正确结论的序号是________； （4）某日此快递公司将要发往A市的快递包裹统一打包装箱，其中一个集装箱中的包裹总重量为，请估计这个集装箱中共有多少件包裹？ 【答案】（1） 补全统计图如下； （2） （3）③⑤ （4）件 【解析】 【分析】（1）解：由题意知，第3组的人数为（人），然后补图即可； （2）由题意知， ，，的包裹数为（件），则中位数在 这一组，然后根据中位数是第个数的平均数求解作答即可； （3）由题意知，每一组共个重量值，然后根据众数的定义判断作答即可； （4）根据，计算求解即可． 【小问1详解】 解：由题意知，第3组的人数为（人）， 【小问2详解】 解：由题意知，，，的包裹数为（件）， ∴中位数在这一组， 将这一组的数从小到大依次排序为：， ∴， ∴的值为； 【小问3详解】 解：由题意知，这一组的频数为； 这一组的频数为； 这一组的频数为； 这一组的频数为； 这一组的频数为； ∵每一组共个重量值， ∴的值可能在这一组，可能性较大，①说法太绝对，错误，故不符合要求； 的值不可能在这一组，频数太小，②错误，故不符合要求； 的值可能在这一组，可能性较大，③正确，故符合要求； 的值可能在这一组，④错误，故不符合要求； 的值不可能在这一组，⑤正确，故符合要求； 故答案为：③⑤． 【小问4详解】 解：由题意知，（件）， ∴估计这个集装箱中共有件包裹． 【点睛】本题考查了条形统计图，中位数，众数，平均数等知识．熟练掌握条形统计图，中位数，众数，平均数是解题的关键． 19. 单摆是一种能够产生往复摆动的装置，某兴趣小组利用摆球和摆线进行与单摆相关的实验探究，并撰写实验报告如下． 实验主题 探究摆球运动过程中高度的变化 实验用具 摆球，摆线，支架，摄像机等 实验步骤 如图1，在支架的横杆点O处用摆线悬挂一个摆球，将摆球拉高后松手，摆球开始往复运动，（摆线的长度变化忽略不计） 实验说明 如图2，摆球静止时的位置为点A，拉紧摆线将摆球拉至点B处，．，；当摆球运动至点C时，，．（点O，A，B，C，D，E在同一平面内） 解决问题：根据以上信息，求的长．（结果精确到） 参考数据：，． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用，灵活运用三角函数解决实际问题成为解题的关键． 分别在、中解直角三角形求得、，然后根据线段的和差即可解答． 【详解】解：∵在中，．，； ∴， ∵在中，，，， ∴， ∴． ∴的长为． 20. 直线与双曲线交于点，交y轴于点． （1）求k，m的值； （2）如图1，点E是直线上A点右侧的一个动点，过点E作y轴的平行线，交反比例函数图象于点D，连接，． ①当时，求的面积； ②如图2，在①的条件下，将沿射线方向平移一定距离，得到，若点恰好落在反比例函数图象上，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）， （2）①；② 【解析】 【分析】题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求一次函数及反比例函数解析式，一次函数与反比例函数的交点，平移的性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． （1）把坐标代入一次函数解析式求出的值，确定出一次函数解析式，再求出点坐标，将坐标代入反比例函数解析式求出的值，即可确定出反比例解析式； （2）①设的坐标为，表示出的坐标，两点纵坐标之差即为的长，由已知的长求出的值，确定出的坐标，三角形面积以为底，横坐标为高，求出即可； ②连接，由平移可得：，根据两直线平行时的值相同确定出直线的解析式，与反比例函数解析式联立求出交点的坐标，根据平移的性质，由平移到的路径确定出平移到的路径，进而确定出的坐标即可． 【小问1详解】 解：∵点在直线上， ， 解得：， ∴一次函数解析式为， ∵在的图象上， ∴， ∴， ∵在的图象上， ， 解得：． 【小问2详解】 解：①由（1）得反比例函数解析式为，一次函数解析式为， 设，则有， ， ， ， 解得：（舍去）或， ， ， ； ②连接，由平移可得：，即， ∴直线的解析式为， 联立得：， 解得：或（不合题意，舍去）， ， 即通过往右平移个单位，往上平移个单位得到，又由①中知， ∴点往右平移个单位，往上平移个单位得到． 21. 如图，已知的对角线与交于点E，以为直径作，与边交于点F， 点E在上， （1）求证： 四边形是菱形； （2）若点G为的中点，连接， 求证：是的切线； （3）在（2）的条件下，若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵为的直径， ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形； （2） 证明：如图，连接 ∵四边形是菱形 ∴， ∴ ∴ ∴， ∵点G为的中点， ∴， ∵，且点O是直径的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， 又是的半径 ∴是的切线； （3） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质以及，即可证明平行四边形是菱形； （2）根据菱形的性质，得出，，结合，且点O是直径的中点，得出是的中位线，因为是的半径，即可作答． （3）根据菱形的性质，得出，，结合勾股定理，，因为，得证，代入数值计算，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵四边形是菱形， ∴， ，， 在中，由勾股定理得， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 解得， ∵，且 ∴． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的性质、切线的判定、勾股定理、相似三角的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 22. 综合与实践 【问题情境】 “综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和，其中，，将和按图2所示方式摆放，其中点与点重合（标记为点）．当时，延长交于点，试判断四边形的形状，并说明理由． 【数学思考】 （1）请你解答以上老师提出的问题； 【深入探究】 （2）老师将图2中的绕点逆时针方向旋转，使点落在内部，让同学们提出新的问题并请你解答此问题． “善思小组”提出问题：如图3，当时，过点A作交的延长线于点，与交于点．证明：． 【答案】（1）四边形为正方形． 理由如下： ， ， ， ， ， ， 四边形为矩形． ， ． 矩形为正方形；    （2）证明：， ， ， ． ，即， ， ， ． 由旋转性质得， ． 【解析】 【分析】（1）先根据“三个角是直角的四边形是矩形”证明四边形为矩形，再根据得，即可得出答案； （2）先根据“等角对等边”得，进而确定，再根据三角形面积相等得，然后由旋转性质得出答案． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了矩形和正方形的判定，全等三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，旋转的性质，平行线的判定与性质等知识．熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 23. 如图，抛物线过点，顶点为Q．抛物线（其中t为常数，且），顶点为P． （1）直接写出a的值和点Q的坐标． （2）嘉嘉说：无论t为何值，将的顶点Q向左平移2个单位长度后一定落在上． 淇淇说：无论t为何值，总经过一个定点． 请选择其中一人的说法进行说理． （3）当时， ①求直线PQ的解析式； ②作直线，当l与的交点到x轴的距离恰为6时，求l与x轴交点的横坐标． （4）设与的交点A，B的横坐标分别为，且．点M在上，横坐标为．点N在上，横坐标为．若点M是到直线PQ的距离最大的点，最大距离为d，点N到直线PQ的距离恰好也为d，直接用含t和m的式子表示n． 【答案】（1）， （2）两人说法都正确， 把向左平移2个单位长度得到对应点的坐标为：， 当时， ∴， ∴在上， ∴嘉嘉说法正确； ∵ ， 当时，， ∴过定点； ∴淇淇说法正确； （3）①；②或 （4） 【解析】 【分析】（1）直接利用待定系数法求解抛物线的解析式，再化为顶点式即可得到顶点坐标； （2）把向左平移2个单位长度得到对应点的坐标为：，再检验即可，再根据函数化为，可得函数过定点； （3）①先求解的坐标，再利用待定系数法求解一次函数的解析式即可；②如图，当（等于6两直线重合不符合题意），可得，可得交点，交点，再进一步求解即可； （4）如图，由题意可得是由通过旋转，再平移得到的，两个函数图象的形状相同，如图，连接交于，连接，，，，可得四边形是平行四边形，当点M是到直线的距离最大的点，最大距离为d，点N到直线的距离恰好也为d，此时与重合，与重合，再进一步利用中点坐标公式解答即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线过点，顶点为Q． ∴， 解得：， ∴抛物线为：， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①当时， ， ∴顶点，而， 设为， ∴， 解得：， ∴为； ②如图，当（等于6两直线重合不符合题意）， ∴， ∴交点，交点， 由直线，设直线为， ∴， 解得：， ∴直线为：， 当时，， 此时直线与轴交点的横坐标为， 同理当直线过点， 直线为：， 当时，， 此时直线与轴交点的横坐标为， 【小问4详解】 解：如图，∵，， ∴是由通过旋转，再平移得到的，两个函数图象的形状相同， 如图，连接交于，连接，，，， ∴四边形是平行四边形， 当点M是到直线的距离最大的点，最大距离为d，点N到直线的距离恰好也为d， 此时与重合，与重合， ∵，， ∴的横坐标为， ∵，， ∴的横坐标为， ∴， 解得：； 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，一次函数的综合应用，二次函数的平移与旋转，以及特殊四边形的性质，理解题意，利用数形结合的方法解题是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $