陕西省安康市2025届高三下学期模拟（考前最后一卷）数学试题

数学 全解全析及评分标准 第1页（共10页） 2025 届高考考前最后一卷（新课标卷） 数学·全解全析及评分标准 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 A C B C D D C B AC ABD AD 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1．A 【解析】由 2 i + = zz ，得 2i 2i(1 i) 1 i 1 i (1 i)(1 i) z −= = = + + + − ，所以 | | 1 1 2= + =z ．故选 A． 2．C 【解析】因为 3 1 1{ | 0} { | 0} { | 0 1}− −= ≤ = ≤ = < ≤x xA x x x x x x ， =A B A，所以 ⊆A B ，所以 0≤a ． 故选 C． 3．B 【解析】由题意，知 ( )f x 的定义域为 (0, )+∞ ,排除 A，C, 1 1( ) ln ln(1 )+= = +xf x x x ,当 x增大时， 1 =y x 减小, ( )f x 也减小,即 ( )f x 在 (0, )+∞ 上单调递减,排除D.故选B． 4．C 【解析】C 【解析】由 : : 1: 2 : 5=a b c ，不一定得 1, 2, 5= = =a b c ，故 A，D 错误； 对于 B，由题意，知C 的渐近线方程为 2= ± = ± by x x a ，故 B 错误； 对于 C，因为 : 1: 5=a c ,所以C 的离心率 5=e ，故 C 正确．故选 C． 5．D 【解析】因为 ( ) e cos= xf x x，所以 (cos( sin) e )′ = −xf x xx .由题意，得 0( ) 0′ =f x ， 即 0 00(cose ) 0sin− = x xx .因为 0 π0 2 < <x ，所以 0 π 4 =x ，所以 π π 4 4π π 2( ) e cos e 4 4 2 f = = ， 所以该切线的方程为 π 42 e 2 =y .故选 D． 6．D 【解析】由题意，知 0, 0> >x y .由 ln( 4 ) 2ln ln+ = +x y x y ，得 24+ =x y x y ，两边同时除以 xy ，得 1 4 + = x y x . 因为 12 1 8 4 1 8 8( ) 2 4 2x x x y x x y x x + = + + = + ≥ ⋅ = ，当且仅当 8 ,= x x 即 22 2, 2 = =x y 时取等号， 所以 12 1 + x y 的最小值为 4 2 .故选 D． 7．C 【解析】由题意，知 2( ) sin cos 1sin( )f x a bx bx a bx θ= − = + + ，其中 1tan a θ = − . 因为 ( )f x 在区间 π 2π( , ) 18 9 上单调递增，在区间 2π 5π( , ) 9 9 上单调递减， 数学 全解全析及评分标准 第2页（共10页） 所以 2π 9 =x 为 ( )f x 图象的一条对称轴，所以 2π π 2 π, 9 2 × + = + ∈b k kθ Z． 又 7π( ) 0 18 =f ，所以 7π π 2 π, 18 × + = + ∈b k kθ Z ，解得 π 6 = −θ ， 3=a ， 3=b ， 所以 π( ) 2sin(3 ) 6 = −f x x .将 ( )f x 的图象向左平移 ( 0)>ϕ ϕ 个单位长度后， 得到 π( ) 2sin(3 3 ) 6 + = + −f x xϕ ϕ 的图象.由 ( )+f x ϕ 的图象关于 y 轴对称，得 1 1 π π3 (2 1), 6 2 k kϕ − = + ∈Z， 所以 1 1 π2π , 9 3 k kϕ = + ∈Z ，所以ϕ的最小值为 2π 9 ．故选 C． 8．B 【解析】如图，设∠ =BAD α ,则 π 2 C'AD CAD α∠ = ∠ = − ，过点 ′C 作C'F AD⊥ 于点 F． 因为二面角 ′ − −C AD B的大小为90，所以平面 ′ ⊥C AD 平面 ABD . 又平面 ′ C AD 平面 =ABD AD ，C'F ⊂平面C'AD ,所以 ′ ⊥C F 平面 ABD． 过点 B 作 ⊥BE AD于点 E ，则 2cos , 2sin ,AE BEα α= = 又 2sin( ) 2cos , 2cos( ) 2sin , 2 2 C F AFα α α απ π′ = − = = − = 所以 | | 2 | sin cos |EF AE AF α α= − = − ． 因为二面角 ′ − −C AD B的大小为90，所以 2 2 2 2 4sin 2 8BC BE EF C F α′ ′= + + = − + ， 当 π 4 =α 时， BC' 有最小值 2，此时 AD 平分∠BAC ,且 ,D ,E F 三点重合, 三棱锥 −C' ABD 可看作是棱长为 2 的正方体的一角.设三棱锥 −C' ABD 外接球的半径为 R , 则 2 2 2 2(2 ) ( 2) ( 2) ( 2) 6= + + =R ,解得 6 2 =R ．故选 B． 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部 选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。 9．AC 【解析】对于 A，因为10 75% 7.5× = ，所以第 75 百分位数为第 8 个数，为 19，故 A 正确； 对于 B，两个随机变量的线性相关性越强,相关系数的绝对值越接近于 1，一个是正相关，一个是负相关， 1 2| | | | 0.98= =r r ，相关性一样，故 B 错误； 对于 C， 1 2, , , na a a 的方差为 2 22 1 1 1 1 1 1( ) ( 2 ) (11 2 3 3 9 ) 2 n n n i i i i i i a a a a a na n n n n n n= = = − = − + = − × × + =∑ ∑ ∑ ， 故 C 正确； 数学 全解全析及评分标准 第3页（共10页） 对于 D，由 ~ 2,4（ ）Nξ ，得 ( ) 2=E ξ ，则 (3 1) 2− =E η ，所以3 ( ) 1 2− =E η ，解得 ( ) 1=E η ，故 D 错误． 故选 AC． 10．ABD 【解析】对于 A，由题意，知 E 与直线 =y x 相切，由 2 2 ( 1), ,  = −  = y p x y x 消去 y ，整理得 2 2 2 0=− +px px . 由 24 8 0= − =p p∆ ，得 2=p ，故 A 正确； 对于 B，由选项 A，知 E 与直线 =y x 的切点为 (2,2)P ，则 | 2 2|=OP ， 由题意，旋转后 | | | | | 2| 2= = =OA OD OP ，所以 | | 4=AD ，故 B 正确； 对于 C，如图，设直线 =y x 与星形图案在第一象限的交点为 M，由 E 的方程，知当 0y = 时， 1x = ， 即 | | 1OM = ，星形图案的面积 4( ) 4 (4 2) 8AOD AMDS S S< − = × − =△ △阴影 ，故 C 错误； 对于 D，直线 =y x 与星形图案相交的弦长为 2 | | 2OM = ，故 D 正确．故选 ABD． 11．AD 【解析】对于 A，因为 2( ) ln( 1)= + +f x x x ，所以 2 1 0+ + >x x ，解得 ∈x R . 又 2 2 1( ) ln( ( ) 1) ln ( ) 1 f x x x f x x x − = − + − + = = − + + ，所以 ( )f x 是R 上的奇函数，故 A 正确； 对于 B，因为 2( ) ln( 1 )= + −g x x x ，所以 21 0+ − >x x ，解得 2 1 2 − < ≤x ， 所以不能说 ( )g x 在 ( 1,0)− 上单调递增，故 B 错误； 对于 C，由 ( ) ( )= −f x f x ，得 2 ( ) 0=f x ，即 ( ) 0=f x .因为 ( )f x 是R 上的奇函数，所以 (0) 0,=f 当 0>x 时， ( )f x 单调递增，由对称性，知当 0<x 时， ( )f x 单调递增，所以 ( ) 0=f x 只有一个零点， 故 C 错误； 对于 D， ( )g x 的定义域为 2( ,1] 2 − ，当 2( ,0] 2 x∈ − 时， ( ) 0g x ≤ . 令 2( ) 1 ,= + −h x x x 则 2 2 1( ) 1 − − = − x xh' x x ，当 2(0, ) 2 ∈x 时， ( ) 0>h' x ， ( )h x 单调递增. 又 ln=y x 单调递增，所以 ( )g x 在 2(0, ) 2 上单调递增， 1 1 5 52 1( ) ln 2, 2 e , ln 2 ln e 2 5 = > > =g ， 1(0) 0 5 = <g ，结合函数 ( )g x 的图象（图略），知存在唯一的 0 2(0, ), 2 ∈x 使得 0 1( ) 5 =g x . 数学 全解全析及评分标准 第4页（共10页） 当 2( ,1] 2 ∈x 时， ( ) 0<h' x ， ( )h x 单调递减.又 ln=y x 单调递增，所以 ( )g x 在 2( ,1] 2 上单调递减， 2 1( ) ln 2 2 5 = >g ， 1(1) 0 5 = <g ，结合函数 ( )g x 的图象（图略），知存在唯一的 1 2( ,1] 2 x ∈ ，使得 1 1( ) 5 =g x ， 所以 1( ) 5 =g x 有两个不同的解，故 D 正确．故选 AD． 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12．3 2 【解析】因为 2 2| | 2 2 2 2= + =b ，所以 | | | | | | | | 3 2= − + ≤ − + =a a b b a b b ．故填3 2 ． 13．21600 【解析】先安排开场和结束的歌曲类节目，方法数为 23A ， 除了已经安排的歌曲类节目和两次抽奖活动，还有 5 个节目需要安排，方法数为 55A ， 抽奖活动可以从 6 个空中选两个，方法数为 26A ，所以方法总数为 2 5 2 3 5 6A A A 21600× × = .故填 21600． 14． 5 5 【解析】设∠ =BAD α ， 在△ABD中，由余弦定理，得 2 2 2 2 cos 1 1 2cos 2 2cos= + − ⋅ = + − = −BD AD AB AD AB α α α . 因为 2=BC BD ，所以 2 24 4(2 2cos )= = −BC BD α . 由正弦定理，得 1 sin sin sin = = ∠ ∠ BD AD ABD ABDα ，所以 2 sis sin 2cos nin ABD BD αα α− ∠ = = . 因为 ⊥BD BC ，所以 90∠ = °CBD . 在△ABC 中，由余弦定理，得 2 2 2 2 cos= + − ⋅ ∠AC AB BC AB BC ABC 21 4(2 2cos ) 2 4(2 2cos ) sin= + − + − ⋅ ∠ABDα α sin9 8cos 2 4(2 2cos ) 2 2cos = − + − × − αα α α 9 8cos 4sin= − +α α 9 4 5( sin 1 2 cos ) 5 5 = + −α α 9 4 5 sin( )= + −α ϕ ， 其中 2 1sin ,cos 5 5 = =ϕ ϕ ，所以当 sin( ) 1− =α ϕ 时， max 9 4 5 2 5= + = +AC ， 所以 sin sin[( ) ] sin( )cos cos( )sin= − + = − + −α α ϕ ϕ α ϕ ϕ α ϕ ϕ 1 51 55 = × = . 综上，当 AC 的长最大时， sin∠BAD 的值为 5 5 .故填 5 5 . 说明： 1.第 12 题，只有填3 2 才给 5 分. 2.第 13 题，只有填 21600 才给 5 分，其他情况不给分. 3.第 14 题，只有填 5 5 才给 5 分. 数学 全解全析及评分标准 第5页（共10页） 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13 分） 【解析】（1）设等差数列{ }na 的公差为 d ，等比数列{ }nb 的公比为 q， 由题意，得 6 1 10 1 5 , 10 910 , 2 = +   × = + a a d S a d 即 1 1 11 5 , 10 9100 10 , 2 = +   × = + a d a d 解得 1 1, 2, =  = a d （ 3 分） 所以 2 1= −na n ，（4 分） 所以 3 5 9==b a ， 14 4 27= =b a ，所以 4 3 27 3 9 = = = bq b ，（5 分） 所以 3 3 13 9 3 3 − − −= = × =n n nnb b q ．（7 分） （2）因为 3 3 1 2 (log 1)(log 1)+ = + +n n n c b b ，由 13 −= nnb ，得 3log 1= −nb n ， 3 1log + =nb n ， 所以 2 1 12( ) ( 1) 1 = = − + +n c n n n n ，（9 分） 所以 1 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 22[(1 ) ( ) ( ) ( )] 2(1 ) 2 2 3 3 4 1 1 1 = + + + + = − + − + − + + − = − = + + +  n n nT c c c c n n n n ，（10 分） 所以不等式 1 0+ >nTλ 可转化为 1− <nTλ ，即 1 1(1 ) 2 − < + n λ .（11 分） 因为 11= +y n 在 (0, )+∞ 上单调递减，且 11 1< + n ，所以 1 2 − ≤λ ，（12 分） 即 1 2 ≥ −λ ，所以λ的取值范围为 1[ , ) 2 − +∞ .（13 分） 说明： 1.7 分处，不写 33 n nb b q −= ，扣 1 分. 2.10 分处，若过程有省略但结果正确，不扣分. 16．（15 分） 【解析】（1）由题意，得 X 的可能取值为 0，10，30，（1 分） 则 ( 0) 1 0.6 0.4= = − =P X ，（2 分） ( 10) 0.6 [1 (0.5 0.1)] 0.24= = × − + =P X ，（4 分） ( 30) 0.6 (0.5 0.1) 0.36= = × + =P X ，（6 分） 所以 X 的分布列为 X 0 10 30 P 0 4． 0 24． 0 36． （7 分） （2）当该同学先回答“拯救海洋”类问题时，由（1），得 ( ) 0 0.4 10 0.24 30 0.36 13.2= × + × + × =E X .（8 分） 数学 全解全析及评分标准 第6页（共10页） 当该同学先回答“回收报废电力设备”类问题时，记Y 为该同学的累计得分，则Y 的可能取值为 0，20，30， （9 分） 所以 ( 0) 1 0.5 0.5= = − =P Y ，（10 分） ( 20) 0.5 [1 (0.6 0.1)] 0.15P Y = = × − + = ，（11 分） ( 30) 0.5 (0.6 0.1) 0.35P Y = = × + = ，（12 分） 所以 ( ) 0 0.5 20 0.15 30 0.35 13.5= × + × + × =E Y .（13 分） 因为13 5 13 2>． ．，所以 ( ) ( )>E Y E X ，（14 分） 所以为了使累计得分的期望较大，该同学应该选择先回答“回收报废电力设备”类问题．（15 分） 说明： 1.1 分处，不写 X 的可能取值，扣 1 分. 2.9 分处，不写Y 的可能取值，扣 1 分. 3.14 分处，不写13 5 13 2>． ．，不扣分. 17．（15 分） 【解析】（1）如图，取 AD 的中点 M，连接 ,MP MC .由 ，P M 分别是 DF AD, 的中点，得 ∥PM AF . 又 ⊂AF 平面 FAG ， ⊄PM 平面 FAG ，所以 ∥PM 平面 FAG .（1 分） 因为四边形 ABCD是菱形， 60∠ = °ABC ，G 是 BC 的中点，所以 ,⊥ ∥CM AD CM AG . 因为 ⊂AG 平面 FAG ， ⊄CM 平面 FAG ，所以 ∥CM 平面 FAG .（2 分） 又 =PM CM M ， PM ⊂平面CPM ，CM ⊂平面CPM ，所以平面 ∥CPM 平面 FAG .（3 分） 由平面 ⊥FAG 平面 FCD，得平面 ⊥CPM 平面 FCD，且平面 CPM 平面 =FCD CP， 过点 M 作 ⊥MH CP 于点 H ， MH ⊂平面CPM ，则 ⊥MH 平面 FCD . 又 ⊂DF 平面 FCD，所以 ⊥MH DF .（4 分） 因为 ⊥AE 平面 ABCD， ⊂CM 平面 ABCD，所以 ⊥AE CM .（5 分） 又 ,CM AD AD AE A⊥ = , ⊂AD 平面 ADF ， ⊂AE 平面 ADF ，所以 ⊥CM 平面 ADF . 又 ⊂DF 平面 ADF ，所以 ⊥CM DF .（6 分） 又 =CM MH M , ⊂CM 平面CPM ， ⊂MH 平面CPM ，所以 ⊥DF 平面CPM ,所以 ⊥DF 平面 FAG . （7 分） （2）如图，由（1），知 ⊥DF 平面 FAG .又 ⊂AF 平面 FAG ，所以 ,⊥DF AF 连接 FM ， 数学 全解全析及评分标准 第7页（共10页） 则 1 1 2 = =FM AD 且 1= =EF AM .又 ∥EF AD，所以四边形 AEFM 为平行四边形，所以 1= =AE FM . 又 ⊥AE 平面 ABCD， AD ⊂平面 ABCD，所以 AE AD⊥ ，所以四边形 AEFM 为正方形.（8 分） 以 A 为原点， , ,AG AD AE 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，（9 分） 则 ( 3, 1,0)−B ， ( 3,1,0)C ， (0,1,1)F ， (0,2,0)D ， (0,0,1)E ， 3 1(0, , ) 2 2 P ， 所以 1 1( 3, , ) 2 2 CP = −  , ( 3,3,0)BD = −  , ( 3,1,1)BE = −  .（10 分） 设平面 BDE 的法向量为 ( , , )= x y zn ，则 0, 0, BD BE  ⋅ =  ⋅ =   n n 即 3 3 0, 3 0, x y x y z − + =  − + + = （12 分） 令 3=x ，则 1, 2= =y z ，所以平面 BDE 的一个法向量为 ( 3,1,2)=n ，(13 分） 所以直线CP 与平面 BDE 所成角的正弦值为 3| || | 3 72| cos , | 28| || | 72 2 2 CPCP CP −⋅ 〈 〉 = = = ×    nn n .（15 分） 说明： 1.6 分处，不写 AD AE A= ，扣 1 分. 2.15 分处， | cos , |CP〈 〉  n 不加绝对值，扣 1 分. 18．（17 分） 【解析】（1）因为 E 的短轴长为 2，所以 1=d .（1 分） 因为 E 的离心率为 2 1 3 , 2 be b − = = 所以 2b = .（2 分） 又C 的离心率 2 2 2 4 3 , 2 a b ae a a − − = = = 所以 4a = ，（4 分） 所以C 的标准方程为 2 2 1 16 4 + = x y ．（5 分） （2）由（1），知 E： 2 2 1 4 + = x y ．（6 分） 设 0 0( , )P x y ，过点 P 的直线方程为 y kx m= + ． 由 2 2 , 1, 4 y kx m x y = +   + = 得 2 2 2(1 4 ) 8 4 4 0k x kmx m+ + + − = ．（7 分） 因为直线 y kx m= + 与 E 相切，所以 2 2 2(8 ) 4(1 4 )(4 4) 0km k m∆ = − + − = ,即 2 24 1+ =k m ①， 所以 0 2 4 4 1 4 km kx k m = − = − + ， 0 4 1( )ky k m m m = ⋅ − + = ，（8 分） 数学 全解全析及评分标准 第8页（共10页） 所以直线OP 的斜率 0 0 1 4OP yk x k = = − ，方程为 1 4 = −y x k ．（9 分） 由 2 2 1 , 4 1, 16 4 y x k x y  = −   + = 得 2 2 2(1 4 ) 64k x k+ = ，设 ( , )Q QQ x y ，所以 2 2 2 64 1 4Q kx k = + ，所以 2 2 2 2 20 64 1 4 44( ) Q k x k kx m += = − .（10 分） 由题意，得 ,P Q 位于 y 轴两侧，所以 02= −Qx x ，所以 3ABQ AOBS S=△ △ ．（11 分） 设 3 3( , )A x y ， 4 4( , )B x y ，由 2 2 , 1, 16 4 y kx m x y = +   + = 得 2 2 2(1 4 ) 8 4 16 0+ + + − =k x kmx m ， 0>∆ ，（12 分） 由根与系数的关系，得 3 4 2 8 1 4 + = − + kmx x k ， 2 3 4 2 4 16 1 4 − = + mx x k ，（13 分） 所以 3 4 3 4 3 4 2 2 2 2 4 16 4| | ( ) 4 1 4 + − − = + − = + k mx x x x x x k ，将①代入,得 3 4 2 4 3| | 1 4 − = + x x k ．（14 分） 由直线 = +y kx m 与 y 轴交于点 (0, )m ， 得 3 4 2 1 1 4 3| | | | | | 2 3 2 2 1 4 AOBS m x x m k = ⋅ − = ⋅ = + △ ，（16 分） 所以 3 6 3ABQ AOBS S= =△ △ ，即△ABQ的面积为定值 6 3 ．（17 分） 说明： 1.4 分处，中间过程有省略，结果正确，不扣分； 2.12 分处，没有写 0>∆ ，不扣分； 3.14 分处，没有中间过程，直接得到 3 4 2 4 3| | 1 4 − = + x x k ，不扣分. 19．（17 分） 【解析】（1）由 2 1( ) ( 1)e 2 = − +xf x a x x ，得 x∈R ， ( ) e′ = +xf x ax x .（1 分） 令 ( ) e= +xh x ax x ，x∈R ，则 ( ) ( 1)e 1′ = + +xh x a x ．由题意，知 (1) 2 e 1 0′ = + =h a ,解得 1 2e = −a ．（2 分） 当 1 2e = −a 时，令 1( ) ( 1)e 1 2e = − + +xg x x ， 0x > ，则 1( ) ( 2)e 2e = − + xg' x x , 当 (0, )x∈ +∞ 时， ( ) 0<g' x ， ( )g x 即 ( )h' x 单调递减．（3 分） 又 (1) 0′ =h ,所以当 (0,1)∈x 时， ( ) 0>h' x ， ( )h x 即 ( )′f x 单调递增， 当 (1, )∈ +∞x 时， ( ) 0<h' x ， ( )h x 即 ( )′f x 单调递减， 所以 1=x 为 ( )′f x 的极大值点．（4 分） 数学 全解全析及评分标准 第9页（共10页） （2）由（1），得 ( ) ( e 1)′ = +xf x x a ． 若 0≥a ，则 e 1 0+ >xa ，当 ( ,0)∈ −∞x 时， ( ) 0′ <f x ， ( )f x 单调递减， 当 (0, )∈ +∞x 时， ( ) 0′ >f x ， ( )f x 单调递增.（5 分） 若 0<a ，令 ( ) 0′ =f x ，得 0=x 或 1ln( )x a = − ． ①当 10 ln( ) a < − ，即 1 0− < <a 时， 若 ( ,0)∈ −∞x ，则 ( ) 0′ <f x ， ( )f x 单调递减， 若 1(0, ln( ))x a ∈ − ，则 ( ) 0′ >f x ， ( )f x 单调递增， 若 1(ln( ), )x a ∈ − +∞ ，则 ( ) 0′ <f x ， ( )f x 单调递减；（6 分） ②当 10 ln( ) a = − ，即 1= −a 时， ( ) 0′ ≤f x ， ( )f x 在R 上单调递减；（7 分） ③当 10 ln( ) a > − ，即 1< −a 时， 若 1( , ln( ))x a ∈ −∞ − ，则 ( ) 0′ <f x ， ( )f x 单调递减， 若 1(ln( ),0)x a ∈ − ，则 ( ) 0′ >f x ， ( )f x 单调递增， 若 (0, )∈ +∞x ，则 ( ) 0′ <f x ， ( )f x 单调递减． 综上，当 0≥a 时， ( )f x 在 ( ,0)−∞ 上单调递减，在 (0, )+∞ 上单调递增； 当 1 0a− < < 时， ( )f x 在 ( ,0)−∞ 上单调递减，在 1(0, ln( )) a − 上单调递增，在 1(ln( ), ) a − +∞ 上单调递减； 当 1a = − 时， ( )f x 在R 上单调递减； 当 1a < − 时， ( )f x 在 1( , ln( )) a −∞ − 上单调递减，在 1(ln( ),0) a − 上单调递增，在 (0, )+∞ 上单调递减． （9 分） （3）由（2），得当 1 2 =a 时， 2 1 1( ) ( 1)e 2 2 = − +xf x x x ， ( )f x 在 [0, )+∞ 上单调递增，（10 分） 所以 1( ) (0) 2 ≥ = −f x f ，即 2 1 1 1( 1)e 2 2 2 − + ≥ −xx x ，（11 分） 当 0 1x≤ < 时，整理，得 21e 1 x x x + ≤ − ，（12 分） 令 *1 ( 1, ) 2 x n n n = > ∈N且 ,得 2 1 2 2 2 2 11 ( ) 4 1 2 1 12e 1 11 24 2 4 21 2 2 2 2 1 + + + ≤ = = + = + < − −− − + + n n nn n n n n n n n 数学 全解全析及评分标准 第10页（共10页） 1 2 11 2 2 2 2 n n n − + = − − ，（14 分） 两边同时取自然对数，得 1 2 1ln 2 2 2 n n n − < − ，（15 分） 则 1 1 1 1 3 5 7 2 1( ) ln ln ln ln 2 2 3 2 4 6 2 2 n n n − + + + < + + + + = −   3 5 7 (2 1)ln 2 4 6 (2 2) n n × × × × − × × × × −   ，（16 分） 即当 1>n 且 *∈n N 时， 1 1 1 3 5 7 (2 1)2ln 2 3 2 4 6 (2 2) × × × × − + + + < × × × × −    n n n ．（17 分） 说明： 1.第（1）问中直接判断 1=x 为 ( )′f x 的极大值点，没有说明理由，给 1 分； 2.第（2）问中没有综上，讨论都正确，不扣分； 3.14 分处，只要写出“ 2 1 2 11 ( ) 2e 11 2 n n n + ≤ − ”，就给 1 分. 绝密★启用前 2025届高三数 学 本卷满分150分,考试时间120分钟。 注意事项: 1. 答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2. 回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的。 1. 已知复数z满足z+二-2,则1z= 1 A. 2 B.3 C. 2 D.5 A. [0,+) B.(0+) C.(-o,0] D. (-oo,0) 3. 函数/(x)=ln(x+1)-lnx的图象大致为 D 的是 A. C的实轴长为2 C. C的离心率为5 D. C的右焦点的坐标为(5.0 新课标卷 数学 第1页(共4页) C扫全能王 5. 已知函数/(x)-ce{cosx的图象在x=xo(0<x<)处的切线平行于x轴,则该切线的方程为 -#。#} A. y=1 B.y- ) A. 2 C. 22 B.2 D. 42 于y轴对称,则的最小值为 B. C.22 A. D.7 8. 如图,△ABC为等腰直角三角形,AB=AC-2,D为斜边BC上一动点,将△ACD沿AD 折起,使C的对应点为C',且二面角C'-AD-B的大小为90o,当BC'的长最小时,三梭锥 C"-ABD外接球的半径为 #_# # C.6 D.2 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题 目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。 9. 下列说法正确的是 A. 一组数据5,7,9,11,13,15,17,19,21,23的第75百分位数为19 B. 相关系数为=0.98的两个随机变量比相关系数为=-0.98的两个随机变量的线性相关 性强 C. 若数据a,,..,a.的均值为3,2},a},..,a}的均值为11,则数据,,,a.的方差为2 D. 已知随机变量~N(2.4).若=377-1.则E(n)=6 新课标卷 数学 第2页(共4页) C扫全能王 10.“探索对称之美,感受数学魅力”,如图①的星形图案ABCD,它可看作是由图②中的抛物 线E:y2=2p(x-1)(p>0)绕坐标原点O按逆时针方向分别旋转45^,135*,225*,315*后所 得的四条曲线围成的图形.若A,B,C,D分别为相邻曲线的切点,则下列结论正确的是 C 图① 图② A. p=2 B. 1AD-4 C. 星形图案ABCD的面积大于8 D. 直线y三x与星形图案ABCD相交的弦长为2 11. 已知函数f(x)=ln(x+x2+1),g(x)=ln(x+1-x}),则 A. /(x)是R上的奇函数 B. g(x)在(-1.0)上单调递增 C. f(-x)与/(x)的图象有三个不同的交点 D. 8(x)-有两个不同的解 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。 12. 已知向量a,b满足b=(2,2),且la-b-2,则lal的最大值是 13. 某班级策划五一活动,其中歌曲类3个节目,语言类1个节目,才艺展示类3个节目,抽 奖2次(一次抽一等奖名单,一次抽二等奖名单),要求开场和结束安排歌曲类,2次抽 奖不连续,则有 种安排方法。(用数字作答) 14. 如图,由一个等腰三角形ABD与一个直角三角形DBC拼接成一个平面四边形ABCD,且 AB=AD=1,BC=2BD,BD1BC,则当AC的长最大时,sin BAD的值为 四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 已知等差数列(a.)的前n项和为S,a=11,S。=100,(5.)是等比数列,且b=, b=. (1)求(a),)的通项公式; (2)设.-(og,.og:_1 数列(c.)的前n项和为T.,若不等式1.+1>0对任 意正整数”恒成立,求2的取值范围 新课标卷 数学 第3页(共4页) C扫全能王 16.(15分) 目前,我国正在开展新一轮大规模设备更新和消费品以旧换新, 加强回收循环利用能力建 设是“两新”政策部署的重要内容,某校为了加快学生对这方面知识的了解,组织了知识问答 活动,有“拯救海洋”类和“回收报废电力设备”类问题,每位参加活动的同学随机选择一类 问题进行回答,若回答错误,则活动结束:若回答正确,则从另一类问题中再随机抽取一 个问题回答,无论回答正确与否,活动结束,“拯救海洋”类问题回答正确,每题得10分, “回收报废电力设备”类问题回答正确,每题得20分,答错均不得分,若某同学参加了此 次活动,该同学回答“拯救海洋”类问题时正确的概率为0.6,回答“回收报废电力设备”类 问题时正确的概率为0.5,且第一题答题正确的情况下,第二题答题正确的概率会增大0.1. (1)若该同学先回答“拯救海洋”类问题,记X为该同学的累计得分,求X的分布列; (2)为了使累计得分的期望较大,该同学应该选择先回答哪类问题? 17.(15分) 如图,在多面体ABCDFE中,四边形ABCD为菱形,ABC=60{,AE1平面ABCD.AB-2 EF//AD,EF=1,P是DF的中点,G是BC的中点,平面FAG1平面FCD. (1)求证:DF1平面FAG; (2)求直线CP与平面BDE所成角的正弦值 18.(17分) (1)求C的标准方程 (2)设O为坐标原点,P为E上的动点,过点P且斜率为k(k;0)的直线与E相切,与C 交于A,B两点,射线PO交C于点O,试问:△ABO的面积是否为定值?若为定值,求 出定值;若不为定值,请说明理由. 19.(17分) 己知函数/(x)=a(x-1)ex+x,其导函数为/(x). (1)若y=f'(x)的一个极值点为1.求a的值,并判断该极值点是极大值点还是极小值点; (2)讨论/(x)的单调性: (3)证明:当n>1且n=N*时, 3x5x7x..x(2n-1) 2x4x6x.x(2n-2) 新课标卷 数学 第4页(共4页) C扫全能王