精品解析：2025年山西省太原市万柏林区中考一模数学试卷

万柏林区2025年初中阶段学业综合检测试卷数学 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，全卷共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 下列各数中，最大的是（　　） A. B. 0 C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先化简绝对值，然后把选项中的4个数按从小到大排列，即可得出最大的数． 【详解】∵， ∴， ∴最大的数是2． 故选：C． 【点睛】本题考查了有理数的大小比较，一般地，正数大于零，零大于负数，两个负数，绝对值大的反而小． 2. 花钿是古时汉族妇女脸上的一种花饰，是用黄金，翡翠等珠宝制成的花形首饰，在唐代达到鼎盛，下列四种眉心花钿图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义． 【详解】解：A、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； C、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、该图形既是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，涉及合并同类项、同底数幂的乘法、完全平方公式和积的乘方等知识，熟练掌握整式的相关运算法则是关键； 根据合并同类项法则、同底数幂的乘法法则、完全平方公式和积的乘方法则逐项判断即可得出答案. 【详解】解：A、，故选项计算错误； B、，故选项计算错误； C、，故选项计算错误； D、，故选项计算正确； 故选：D. 4. 已知一个几何体如图所示，则该几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看到的视图．根据三视图进行判断即可，注意看得见的部分用实线，看不见的部分用虚线表示． 【详解】解：从上面可看，是一个矩形，矩形的中间有两条纵向的实线和两条纵向的虚线， 故选：D． 5. 如图，在空气中平行的两条入射光线，在水中的两条折射光线也是平行的．若水面和杯底互相平行，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的性质解答即可． 【详解】解：如图， ∵两条入射光线平行， ∴， ∵， ∴． 6. 在2025年春晚的舞台上，名为《秧》的创新节目惊艳亮相！这场科技与艺术的跨界盛宴不仅是一场精彩的表演，更是中国机器人产业“软硬协同”能力的集中展现．机器人爱好者小刚同学为了解某种搬运机器人的工作效率，将一台机器人的搬运时间和搬运货物的重量记录如下表： 搬运时间（） 1 2 3 4 … 搬运货物的重量 160 240 320 400 … 则与 之间的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了列函数关系式，观察表格可知，搬运时间每增加1小时，搬运货物的重量增加80千克，据此求解即可． 【详解】解：观察表格可知，搬运时间每增加1小时，搬运货物的重量增加80千克， ∴， 故选：D． 7. 不等式组的解在数轴上表示正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元一次不等式组的解法先求出不等式组的解集，再在数轴上表示即可得到答案． 【详解】解：， 由①得； 由②得； 原不等式组的解集为， 在数轴上表示该不等式组的解集如图所示： ， 故选：C． 【点睛】本题考查一元一次不等式组解集的求法及在数轴上的表示，熟练掌握不等式组解集的求解原则“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了”是解决问题的关键． 8. 山西是具有光荣传统的革命老区，也是红色文化资源的重要聚集地．为追忆历史、缅怀先烈，假期学校准备组织学生去山西国民师范旧址革命活动纪念馆、徐向前纪念馆、刘胡兰纪念馆参观学习，由于时间有限，每个学生只能选择其中一个纪念馆参观学习，则小明和小花选择去同一个纪念馆参观学习的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了列表法或画树状图求概率，分别用A表示山西国民师范旧址革命活动纪念馆，B表示徐向前纪念馆，C表示刘胡兰纪念馆，列出表格得出总的情况数，再用小明和小花选择去同一个纪念馆参观学习的情况数除以总的情况数求解即可． 【详解】解：分别用A表示山西国民师范旧址革命活动纪念馆，B表示徐向前纪念馆，C表示刘胡兰纪念馆，列出表格如下： 小明 小花 A A C A B C 由表格可知，共有9种等可能的情况，其中小明和小花选择去同一个纪念馆参观学习的情况有3种， ∴ 小明和小花选择去同一个纪念馆参观学习． 故选：B 9. 《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的 ）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点在同一水平线上，和均为直角，与相交于点 ．测得，则树高 为（　　） A. B. 6m C. D. 25.8m 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定， 先说明，可得，再代入数值计算得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， 解得， 所以树高 为． 故选：B． 10. 如图，在矩形 中， 是的中点，以 为圆心， 长为半径画弧，分别交 ， 于点 ， ，若 ，，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质、解直角三角形、勾股定理，扇形的面积公式，根据矩形的性质和已知条件可得，，，利用勾股定理求出，解直角三角形求出，进而求出，再根据即可求解． 【详解】解：在矩形 中， 是的中点， ，， ∴， ∵ 是的中点，以 为圆心， 长为半径画弧，分别交 ， 于点 ， ， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， 故选：A． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 如图，是我区 月份某天的天气预报，则我区这一天的温差是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的减法的应用，用最高气温减去最低气温列出算式，然后再依据有理数的减法法则计算即可，掌握减法法则是解题的关键． 【详解】解：这一天的温差是（）， 故答案为：． 12. 太原地铁1号线于2025年2月22日10时30分正式开通初期运营，起点是河龙湾站，终点是武宿1号2号航站楼站，全长28.737公里，设车站24座．开通首日全网总客运量破42.7万人次．则数据42.7万用科学记数法可表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法．科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：万， 故答案为：． 13. 蓄电池的电压为定值，使用此电源时，用电器的电流（单位： ）与电阻 （单位：）之间的函数关系如图所示．若以该蓄电池为电源的用电器的电阻为时，电流为______A． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，设该反比函数解析式为，利用待定系数法求出反比例函数解析式，再把代入所得解析式计算即可求解，利用待定系数法求出反比例函数解析式是解题的关键． 【详解】解：设该反比函数解析式为， 把代入得，， ∴， ∴， 把代入得，， ∴， 故答案为：4． 14. 如图，正五边形内接于 ，过点作 的切线，连接 ．则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正多边形和圆．连接，， ，先求得，利用等边对等角求得，利用切线的性质求得，据此求解即可． 【详解】解：连接，， ， ∵正五边形内接于 ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是 的切线， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在中，，，， 是边的中线，点 是 上的一点，且，连接 ．则 的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】取 的中点 ，连接，作于点 ，因为，所以，则，推导出，则，所以，可证明，得，由是边的中线，求得，则，由，得，则，求得，所以，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：取 的中点 ，连接，作于点 ， 则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的中线， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】此题重点考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及负整数与零指数幂的运算，二次根式的除法与化简；解分式方程等知识，这是基础题，正确求解是关键； （1）从左至右依次计算负整数指数幂、二次根式的除法、零指数幂及化简二次根式，最后进行加减运算即可； （2）方程化整理后，两边同乘，化为整式方程，再解整式方程，最后检验即可． 【详解】解：（1）原式； （2）原方程可化为， 方程两边同乘，得， 解得：， 检验：将代入得：， 是原方程的根． 17. 从2025年起，山西中考体育测试分值提高为60分，增加了专项运动技能测试，分值为10分，学生可选择足球、篮球、排球中的一项专项运动技能进行测试．某校为加强专项运动技能的训练，用6800元从体育用品商店购买篮球30个，足球40个．已知篮球的单价比足球的单价贵40元．求篮球和足球的单价分别为多少元？ 【答案】篮球和足球的单价分别为120元和80元 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意；由题意可设篮球和足球的单价分别为 元和元，然后可得方程组，进而求解即可． 【详解】解：设篮球和足球的单价分别为 元和元， 根据题意得：， 解得： 答：篮球和足球的单价分别为120元和80元． 18. 为大力弘扬中华优秀传统文化，引导学生从千年中华传统文化中汲取养分，推动文化自信自强．某校开展了“诵国家经典，承传统文化”朗诵比赛活动，七年级和八年级各有400名学生参加竞赛，学校为了解这两个年级的成绩情况，进行了抽样调查，过程如下： 收集数据 从七、八两个年级各随机抽取20名学生，在这次竞赛中他们的成绩如下： 七年级：70 70 80 90 80 80 90 60 100 80 80 80 90 90 70 90 70 70 100 60 八年级：60 70 80 70 70 90 60 90 90 90 70 90 100 70 70 60 90 90 90 100 整理数据 成绩 人数 年级 七年级 八年级 （说明：优秀成绩为，良好成绩为，合格成绩为） 分析数据 两组样本数据的平均分、中位数、众数、方差如下表所示： 平均分 中位数 众数 方差 七年级 80 80 130 八年级 80 90 170 请解答下列问题： （1）______；______； （2）估计八年级参加此次竞赛的学生中达到良好成绩以上的学生有多少名？ （3）小明认为七，八年级竞赛成绩的平均数相等，因此两个年级的成绩一样好，你认为小明的说法正确吗？请你用所学的统计知识说明理由.（写出一条即可） 【答案】（1）85；80 （2）220名 （3） 解：小明的说法是错误的，理由如下： 虽然八年级和七年级的平均分相同，都是80分，但是从中位数看，八年级的中位数为85，大于七年级的中位数80，说明八年级80分以上的人数更多， 八年级学生的竞赛成绩较好； 或从众数看，八年级竞赛成绩的众数是90，大于七年级竞赛成绩的众数80， 八年级学生的竞赛成绩较好； 或从方差看，八年级竞赛成绩的方差大于七年级竞赛成绩的方差， 七年级竞赛成绩比较稳定． 【解析】 【分析】本题考查了频数（率）分布表，众数、中位数以及平均数，掌握众数、中位数以及平均数、方差的定义是解题的关键． （1）由原始数据根据中位数和众数的概念可得； （2）利用八年级学生被抽取20名学生中在这次竞赛中成绩达到良好成绩以上的学生的比例乘总人数可得； （3）根据平均数、众数、中位数和方差多方面的意义解答可得． 【小问1详解】 解： 八年级的名同学的成绩按照从小到大的顺序排列，第个和第个数据是和， 中位数； 七年级的名同学的成绩中分出现次数最多， 众数为分，即； 【小问2详解】 解：（名） 答：估计八年级参加此次竞赛的学生中达到良好成绩以上的学生有220名； 【小问3详解】 略 19. 为提高饮水质量，越来越多的居民选购家用净水器，一商场抓住商机，从厂家购进了A，B两种型号家用净水器，其数量和进价如表： 为使每台B型号家用净水器的售价是A型号的2倍，且保证售完这批家用净水器的利润不低于1650元，每台A型号家用净水器的售价至少应为多少元？（注：利润=售价-进价） 【答案】245元． 【解析】 【分析】设每台A型家用净水器售价为x元，根据题意列一元一次不等式解答即可． 【详解】解：设每台A型家用净水器售价为x元，根据题意可得： 10（x-150）+5（2x-350）≥1650， 解得：x≥245， 故x的最小值为245， 答：每台A型号家用净水器的售价至少245元． 【点睛】本题考查一元一次不等式的实际应用，根据题意正确的列出一元一次不等式是解题的关键． 20. 太原吾悦广场的具体位置是山西省太原市万柏林区千峰北路与漪汾街交叉口处，其摩天轮（图1）是太原大型商场中独一无二的摩天轮．才思数学兴趣小组利用所学知识开展“测量太原吾悦广场摩天轮高度”的综合实践活动，并写出如下报告，请完成任务． 课题 测量太原吾悦广场摩天轮高度 测量工具 无人机、测角仪、秒表等 测量示意图 测量过程 如图2，测量小组使用无人机在点 处竖直上升至点 处，在点 处测得摩天轮 顶部 的仰角为，然后以的速度沿水平方向向左飞行至点处，在点处测得摩天轮 顶部 的仰角为，底部 的俯角为． 说明 点 ， ，， ， 均在同一竖直平面内，且点 ， 在同一水平线上．（参考数据．，，，） 任务 求太原吾悦广场摩天轮 的高度（结果精确到） 【答案】太原吾悦广场摩天轮 的高度约为 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数是解题的关键；延长交 于点 ，设，则四边形是矩形，依题意得，，解直角三角形求出，，，由，建立方程求解即可． 【详解】解：如图，延长交 于点 ，设， 则四边形是矩形， 依题意得，， 在中，，，则， 在中，，，则， 在中，，，则， ， ， 解得，， ， 答：太原吾悦广场摩天轮 的高度约为． 21. 阅读与思考 请仔细阅读下列研究报告，并完成相应的任务． 关于“双心四边形”的研究报告 研究对象：双心四边形 研究思路：根据研究几何图形的一般路径，按照“概念—性质—判定”的路径展开研究． 研究方法：观察—猜想—推理证明一应用拓展 研究内容： 【概念提出】我们知道，任意三角形都有外接圆和内切圆．类似地，如果一个四边形既有外接圆又有内切圆，我们称这样的四边形为双心四边形． 【特例感知】我们研究过的平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是双心四边形的是______；（填特殊四边形的名称） 【性质探究】根据双心四边形的定义，对其性质研究如下： 对角：双心四边形的对角______； 对边：双心四边形两组对边之和相等． 理由如下： 如图1，四边形 是双心四边形，其中是四边形 的外接圆，是四边形 的内切圆，切点分别为 ， ， ， ．连接，，． 与 ，分别相切于点 ， ，（依据1______） ． ， （依据2______） … 任务： （1）填空：材料中“______”处空缺的内容依次为：______，______，______，______； （2）请将材料中关于对边性质的证明过程补充完整； （3）如图2， ，是 的两条弦， ，，且．请你用无刻度直尺和圆规，求作双心四边形 ，并直接写出其外接圆与内切圆圆心之间的距离．（要求：保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1）正方形；互补；圆的切线垂直于过切点的半径； （2） 证明：连接． 与分别相切于点， ， ， ， ． ， 同理，． ， 即； ∴双心四边形两组对边之和相等； （3） 如图， 【解析】 【分析】本题考查了正多边形与圆，双心四边形的定义，切线的性质，解直角三角形； （1）根据正方形的特点可得一定是双心四边形的是正方形，双心四边形的对角互补；根据题意可得的依据圆的切线垂直于经过切点的半径； （2）根据定义画出四边形 的外接圆与内切圆圆心 ，连接 ，作的角平分线交 于点 ，以 为直径作，过点 作于点，以为半径作，则 分别为四边形 的外接圆与内切圆圆心，进而解直角三角形，即可求解； （3）利用利用等弧对等弦的性质和双心四边形两组对边之和相等的性质解答即可；连接 ，利用圆周角定理得到 为 的直径，利用全等三角形的判定与性质得到四边形 的内切圆的圆心P在 上，设与 切于点M，与切于点N，连接，，利用圆的切线的性质定理，正方形的判定与性质和相似三角形的判定与性质求得，利用勾股定理求得，则． 【小问1详解】 解：平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是双心四边形的是正方形； 对角：双心四边形的对角互补； 的依据：圆的切线垂直于经过切点的半径； 的依据：； 故答案为：正方形；互补；圆的切线垂直于经过切点的半径；； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：以点C为圆心，为半径画弧交 于点D，连接，则四边形 为所画的双心四边形 ， 其外接圆与内切圆圆心之间的距离为，理由： 连接 ，如图， 由题意得：， ∵， ∴， ∴ 为 的直径， ∴． ∴． ∴． 在和中， ， ∴， ∴，， ∴四边形 的内切圆的圆心P在 上， 设与 切于点M，与切于点N，连接， 则，， ∵， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形． ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的性质定理，直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，圆的内接四边形的性质，正方形的判定与性质，本题是新定义型，正确理解相对应的规定并熟练运用是解题的关键． 22. 如图1，一灌溉车正为绿化带浇水，喷水口 离地竖直高度为米．建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点 离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口米，灌溉车到绿化带的距离为米． （1）求上边缘抛物线喷出水的最大射程； （2）求下边缘抛物线与 轴交点 的坐标； （3）若米，灌溉车行驶时喷出的水______（填“能”或“不能”）浇灌到整个绿化带，并说明理由． 【答案】（1）上边缘抛物线喷出水的最大射程为； （2）； （3） 解：灌溉车行驶时喷出的水不能浇灌到整个绿化带，理由如下； ∵， ∴绿化带的左边部分可以灌溉到， 由题意可得： 将代入到可得： 因此灌溉车行驶时喷出的水不能浇灌到整个绿化带． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用： （1）求得上边缘的抛物线解析式，即可求解； （2）根据二次函数的性质，确定平移的单位，求得下边缘抛物线解析式，即可求解； （3）根据题意，求得点 的坐标，判断上边缘抛物线能否经过点 即可； 【小问1详解】 解：由题意可得：， 且上边缘抛物线的顶点为 ，故设抛物线解析式为： 将代入可得： 即上边缘的抛物线为： 将代入可得： 解得：（舍去）或 即 上边缘抛物线喷出水的最大射程为； 【小问2详解】 解：由（1）可得， 上边缘抛物线为：，可得对称轴为： 点 关于对称轴对称的点为： 下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，可得上边缘抛物线向左平移个单位，得到下边缘抛物线，即下边缘的抛物线解析式为： 将代入可得： 解得：（舍去）或 即点； 【小问3详解】 略 23. 综合与探究 问题情境： 如图1，在边长为4的正方形 中，点 在对角线 上一点，连接 ，将 绕着点 顺时针方向旋转得到，过点 作交射线于点 ，连接 ，． 数学猜想： （1）猜想 与有怎样的位置关系，并说明理由； 拓展延伸： （2）求证：四边形是正方形； （3）如图2，连接交于点，若．请直接写出的长． 【答案】 （1），理由如下： ∵四边形 是正方形， ∴， 由旋转可知：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即； （2）证明：如图，过点E作 的平行线分别交 ， 于点P，Q， 则四边形均为矩形， ∴， ∵四边形 是正方形， 是对角线， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； 由旋转得，， ， ， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ， ∴四边形是正方形； （3）或 【解析】 【分析】（1）导角易证，进而可得，即可得解； （2）过点E作 的平行线分别交 ， 于点P，Q，先证可得，再证，即可得到四边形是平行四边形，从而得证； （3）由点F在射线上可以分类讨论，点F在线段上，或者延长线上，先求的长度，进而利用勾股定理求出的长度，再构造8字相似求出的值，进而得解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：①当点F在线段 上时， 如图，过点E作 的平行线分别交 ， 于点P，Q， 由（2）知， ∴设， ， ， ，解得 ， ，则， ， ， 由（1）知，， ， 在中，， 过G作于点K，则， ， ∴， ， ∴； ②当点F在线段延长线上时， 如图，过点E作 的平行线分别交 ， 于点P，Q， 同理可得， ， 在中，， 过G作于点K，则， ∵， ∴， ， ∴； 综上，的长度为或． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、旋转的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 万柏林区2025年初中阶段学业综合检测试卷数学 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，全卷共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 下列各数中，最大的是（　　） A. B. 0 C. 2 D. 2. 花钿是古时汉族妇女脸上的一种花饰，是用黄金，翡翠等珠宝制成的花形首饰，在唐代达到鼎盛，下列四种眉心花钿图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知一个几何体如图所示，则该几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在空气中平行的两条入射光线，在水中的两条折射光线也是平行的．若水面和杯底互相平行，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 在2025年春晚的舞台上，名为《秧》的创新节目惊艳亮相！这场科技与艺术的跨界盛宴不仅是一场精彩的表演，更是中国机器人产业“软硬协同”能力的集中展现．机器人爱好者小刚同学为了解某种搬运机器人的工作效率，将一台机器人的搬运时间和搬运货物的重量记录如下表： 搬运时间（） 1 2 3 4 … 搬运货物的重量 160 240 320 400 … 则 与 之间的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 7. 不等式组的解在数轴上表示正确的是( ) A. B. C. D. 8. 山西是具有光荣传统的革命老区，也是红色文化资源的重要聚集地．为追忆历史、缅怀先烈，假期学校准备组织学生去山西国民师范旧址革命活动纪念馆、徐向前纪念馆、刘胡兰纪念馆参观学习，由于时间有限，每个学生只能选择其中一个纪念馆参观学习，则小明和小花选择去同一个纪念馆参观学习的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的 ）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点在同一水平线上，和均为直角，与相交于点 ．测得，则树高 为（　　） A. B. 6m C. D. 25.8m 10. 如图，在矩形中， 是的中点，以 为圆心， 长为半径画弧，分别交 ， 于点 ， ，若，，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 如图，是我区 月份某天的天气预报，则我区这一天的温差是______． 12. 太原地铁1号线于2025年2月22日10时30分正式开通初期运营，起点是河龙湾站，终点是武宿1号2号航站楼站，全长28.737公里，设车站24座．开通首日全网总客运量破42.7万人次．则数据42.7万用科学记数法可表示为______． 13. 蓄电池的电压为定值，使用此电源时，用电器的电流（单位： ）与电阻 （单位：）之间的函数关系如图所示．若以该蓄电池为电源的用电器的电阻为时，电流为______A． 14. 如图，正五边形内接于，过点 作的切线，连接 ．则的度数为______． 15. 如图，在中，，，， 是边的中线，点 是 上的一点，且，连接 ．则 的长为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：； （2）解方程：． 17. 从2025年起，山西中考体育测试分值提高为60分，增加了专项运动技能测试，分值为10分，学生可选择足球、篮球、排球中的一项专项运动技能进行测试．某校为加强专项运动技能的训练，用6800元从体育用品商店购买篮球30个，足球40个．已知篮球的单价比足球的单价贵40元．求篮球和足球的单价分别为多少元？ 18. 为大力弘扬中华优秀传统文化，引导学生从千年中华传统文化中汲取养分，推动文化自信自强．某校开展了“诵国家经典，承传统文化”朗诵比赛活动，七年级和八年级各有400名学生参加竞赛，学校为了解这两个年级的成绩情况，进行了抽样调查，过程如下： 收集数据 从七、八两个年级各随机抽取20名学生，在这次竞赛中他们的成绩如下： 七年级：70 70 80 90 80 80 90 60 100 80 80 80 90 90 70 90 70 70 100 60 八年级：60 70 80 70 70 90 60 90 90 90 70 90 100 70 70 60 90 90 90 100 整理数据 成绩 人数 年级 七年级 八年级 （说明：优秀成绩为，良好成绩为，合格成绩为） 分析数据 两组样本数据的平均分、中位数、众数、方差如下表所示： 平均分 中位数 众数 方差 七年级 80 80 130 八年级 80 90 170 请解答下列问题： （1）______；______； （2）估计八年级参加此次竞赛的学生中达到良好成绩以上的学生有多少名？ （3）小明认为七，八年级竞赛成绩的平均数相等，因此两个年级的成绩一样好，你认为小明的说法正确吗？请你用所学的统计知识说明理由.（写出一条即可） 19. 为提高饮水质量，越来越多的居民选购家用净水器，一商场抓住商机，从厂家购进了A，B两种型号家用净水器，其数量和进价如表： 为使每台B型号家用净水器的售价是A型号的2倍，且保证售完这批家用净水器的利润不低于1650元，每台A型号家用净水器的售价至少应为多少元？（注：利润=售价-进价） 20. 太原吾悦广场的具体位置是山西省太原市万柏林区千峰北路与漪汾街交叉口处，其摩天轮（图1）是太原大型商场中独一无二的摩天轮．才思数学兴趣小组利用所学知识开展“测量太原吾悦广场摩天轮高度”的综合实践活动，并写出如下报告，请完成任务． 课题 测量太原吾悦广场摩天轮高度 测量工具 无人机、测角仪、秒表等 测量示意图 测量过程 如图2，测量小组使用无人机在点 处竖直上升至点 处，在点 处测得摩天轮 顶部 的仰角为，然后以的速度沿水平方向向左飞行至点 处，在点 处测得摩天轮 顶部 的仰角为 ，底部 的俯角为． 说明 点 ， ， ， ， 均在同一竖直平面内，且点 ， 在同一水平线上．（参考数据．，，，） 任务 求太原吾悦广场摩天轮 的高度（结果精确到） 21. 阅读与思考 请仔细阅读下列研究报告，并完成相应的任务． 关于“双心四边形”的研究报告 研究对象：双心四边形 研究思路：根据研究几何图形的一般路径，按照“概念—性质—判定”的路径展开研究． 研究方法：观察—猜想—推理证明一应用拓展 研究内容： 【概念提出】我们知道，任意三角形都有外接圆和内切圆．类似地，如果一个四边形既有外接圆又有内切圆，我们称这样的四边形为双心四边形． 【特例感知】我们研究过的平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是双心四边形的是______；（填特殊四边形的名称） 【性质探究】根据双心四边形的定义，对其性质研究如下： 对角：双心四边形的对角______； 对边：双心四边形两组对边之和相等． 理由如下： 如图1，四边形是双心四边形，其中是四边形的外接圆，是四边形的内切圆，切点分别为 ， ， ， ．连接，，． 与 ，分别相切于点 ， ，（依据1______） ． ， （依据2______） … 任务： （1）填空：材料中“______”处空缺的内容依次为：______，______，______，______； （2）请将材料中关于对边性质的证明过程补充完整； （3）如图2， ，是的两条弦， ，，且．请你用无刻度直尺和圆规，求作双心四边形，并直接写出其外接圆与内切圆圆心之间的距离．（要求：保留作图痕迹，不写作法） 22. 如图1，一灌溉车正为绿化带浇水，喷水口 离地竖直高度为米．建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点 离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口米，灌溉车到绿化带的距离 为米． （1）求上边缘抛物线喷出水的最大射程； （2）求下边缘抛物线与 轴交点 的坐标； （3）若米，灌溉车行驶时喷出的水______（填“能”或“不能”）浇灌到整个绿化带，并说明理由． 23. 综合与探究 问题情境： 如图1，在边长为4的正方形中，点 在对角线 上一点，连接 ，将 绕着点 顺时针方向旋转得到，过点 作交射线于点 ，连接 ，． 数学猜想： （1）猜想 与有怎样的位置关系，并说明理由； 拓展延伸： （2）求证：四边形是正方形； （3）如图2，连接交于点，若．请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $