精品解析：上海市嘉定区第一中学等四校2024-2025学年高二下学期期中联考数学试题

2024学年第二学期期中考试 高二数学试卷 练习时间：120分钟 满分：150分 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1. 在正方体中，异面直线与所成的角为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据几何体特征得出线面垂直进而得出线线垂直即可解题. 【详解】因为正方体，所以平面，平面， 所以，所以异面直线与所成的角为. 故答案为：. 2. 若，则_____. 【答案】3或4 【解析】 【分析】利用组合数的性质即可求解. 【详解】由有或，所以或. 故答案为：3或4. 3. 已知函数，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】求出，结合导数的概念可求得的值. 【详解】因为，则，由导数的概念可得. 故答案为：. 4. 已知双曲线的渐近线与x轴的夹角为，则该双曲线的离心率为________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据题意可得，再由即可得解. 【详解】根据渐近线的倾斜角为， 可得， 所以， 故答案为：2. 5. 若点和点关于直线对称，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由已知可得是线段的垂直平分线，据此计算可求. 【详解】因为点和点关于直线对称， 所以是线段的垂直平分线，由，可得，解得. 又AB的中点坐标为，，所以，解得， .故. 故答案为：. 6. 一辆列车沿直线轨道前进，从刹车开始到停车这段时间为，测得刹车后内列车前进的距离为，则列车刹车后__________车停了下来. 【答案】30 【解析】 【分析】先对距离表达式求导数，找到瞬时速度的表达式，令其为0，求出车停下来的时间． 【详解】∵刹车后t秒内列车前进的距离为米， ∴， 由瞬时速度 得（秒）， 故答案为：30 【点睛】本题是对导数的概念的应用．导数的概念是在某些实际背景（如瞬时速度，光滑曲线的切线等）下形成的一个抽象的数学概念．理解导数的概念可以从物理学中的瞬时速度的产生和数学中光滑曲线的切线的形成过程中得到直观的认识． 7. 某球形巧克力设计了一种圆柱形包装盒，每盒可装7个球形巧克力，每盒只装一层，相邻的球形巧克力相切，与包装盒接触的6个球形巧克力与圆柱形包装盒侧面及上下底面都相切，如图是平行于底面且过圆柱母线中点的截面，设包装盒的底面半径为，球形巧克力的半径为，每个球形巧克力的体积为，包装盒的体积为，则下列结论正确的有___________. ① ② ③ ④ 【答案】①④ 【解析】 【分析】从截面图可得与的关系，由球和圆柱的体积公式计算和，判断选项即可. 【详解】由截面图可以看出，圆柱的底面直径是球形巧克力直径的3倍，即可得， 圆柱的高等于球形巧克力的直径，即， ，，则有. 故答案为：①④. 8. 已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】由有，即，进而得解出即可. 【详解】由有，即，即， 故答案为：. 9. 函数的导函数的图像如图所示，则下列说法正确的是_____. ①函数在区间上严格递减； ②； ③函数在处取极大值； ④函数在区间内有两个极小值点. 【答案】②④ 【解析】 【分析】先由图得函数的单调性，进而逐一判断即可. 【详解】由图可知，当时，，当时，， 当时，，当时，， 所以函数在 区间递增上，在区间上递减，故①错误，②正确； 所以的极小值点为和，极大值点为，故③错误，④正确. 故答案为：②④. 10. 已知是定义域在上的函数，若对于任意，都有，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】先根据导数的运算求出，再根据恒成立列不等式组求解即可. 【详解】由题意可得， 若对于任意，都有， 则，解得， 故答案为： 11. 在正三棱柱每条棱的中点中任取2个点，则这两点所在直线平行于正三棱柱的某个侧面或底面所在平面的概率为______. 【答案】## 【解析】 【分析】分3种情况，得到满足要求的直线共有条，由组合知识得到直线总数为条，从而求出概率. 【详解】如图，将直线分成3种情况：，，均平行于上底面或下底面所在平面，有条； ，均不平行于正三棱柱的侧面或底面所在平面； ，均平行于某个侧面，有条， 故满足要求的直线共有条， 又直线总数为条，故所求概率为. 故答案为： 12. 已知是抛物线上一点，则的最小值为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】过抛物线上的动点作直线的垂线交直线于，过点作轴的垂线交轴于，交准线于点，为抛物线焦点，根据点到直线距离公式及抛物线的定义得，，则进而求解． 【详解】由题可知，过抛物线上的动点作直线的垂线交直线于，过点作轴的垂线交轴于，交准线于点，为抛物线焦点， 由，得，所以，则，如图所示， 则，动点到轴的距离为， 所以， 当且仅当三点共线时，有最小值， 所以，（为点到直线的距离）， 因为到直线的距离为， 所以要求的最值为， 故答案为：． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 下列说法一定正确的是（ ） A. 一名篮球运动员，号称“百发百中”，若罚球三次，不会出现三投都不中的情况 B. 随机事件发生的概率与试验次数无关 C. 若买彩票中奖的概率为万分之一，则买一万元的彩票一定会中奖一元 D. 一个骰子掷一次得到2的概率是，则掷6次一定会出现一次2 【答案】B 【解析】 【分析】根据频率与概率的关系得到ACD错误，B正确. 【详解】A选项，一名篮球运动员，号称“百发百中”，若罚球三次，也可能出现三投都不中的情况，A错误； B选项，随机事件发生的概率是一个固定的值，与试验次数无关，B正确； C选项，若买彩票中奖的概率为万分之一，则买一万元的彩票不一定会中奖一元，C错误； D选项，一个骰子掷一次得到2的概率是，掷6次出现2的次数不确定，可能是1次，也可能是2次或者其他次数，D错误. 故选：B 14. 若把英语单词“receive”的字母顺序写错了，则出现的错误写法共有（ ） A. 840种 B. 839种 C. 2520种 D. 2519 种 【答案】B 【解析】 【分析】7个字母中有3个字母是重复，所以共有种排法，可解问题. 【详解】7个字母的全排列有种， 因为有3个字母是重复的，所以共有种排法， 除去1种正确的写法，所以出现的错误写法共有839种. 故选：B. 15. 已知三棱锥的体积为是空间中一点，，则三棱锥的体积是（ ） A 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量运算，确定的位置，结合棱锥的体积与棱锥的体积关系，即可求得结果. 【详解】因为，所以， ， 令，则， 又，故点共面， 所以. 故选：B. 16. 如图，直线与曲线相切于两点，则函数在上的极大值点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】作出与直线平行的函数的所有的切线，即可观察得到与的大小关系的不同区间，进而得出的正负区间，得出的单调性，进而得到的极值情况，从而判定各个选项的正确与否. 【详解】由题，，则， 作出与直线平行的函数的所有切线，如图， 各切线与函数切点的横坐标依次为， 则在，处的导数都等于， 所以在上，单调递增， 在上，单调递减， 因此函数有三个极大值点，有两个极小值点. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：利用每一个的切线斜率作为该点的导数值，利用图形中任意点的切线斜率与比较，就能结合图象得出的正负取值情况，从而可得极值点的情况. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题，必须在答题纸的相应位置写出必要的步 骤. 17. 如图，在正方体中，，E为棱的中点，是正方形内（含边界）的一个动点，且平面， （1）求平面与平面所成二面角的余弦值； （2）求动点的轨迹长度. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，分别求平面与平面的法向量，利用夹角公式即可求解； （2）利用线面平行与面面平行的判定定理证得平面平面，从而得到F的轨迹是线段MN，由此得解. 【小问1详解】 如图，以A为原点，为x轴正方向，为y轴正方向， 为z轴正方向建立空间直角坐标系， 则，，，，， 设平面ABE的一个法向量为， 则，取，则， 又平面ABCD的一个法向量为， ， 故平面ABE与平面ABCD所成二面角的余弦值为. 【小问2详解】 由平面，在经过点且与平面平行的平面上， 取中点M，取中点N，连接，MN，，ME，， 由且，则四边形是平行四边形， ，平面，平面ABE上，则平面； 因为且，则， 又平面，平面，则平面， 又，，平面， 所以平面平面， 又平面正方形，F的轨迹是线段MN， 由， 所以. 18. 已知方程（）． （1）求该方程表示直线的条件； （2）当为何实数时，方程表示的直线斜率不存在？求出此时的直线方程； （3）直线是否过定点，若存在直线过定点，求出此定点，若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2） （3）不过定点，证明见解析 【解析】 【分析】（1）先令，的系数同时为时得到，即得时方程表示一条直线； （2）由（1）知时的系数为，方程表示的直线的斜率不存在，即得结果； （3）分别求出斜率不存在和斜率为时的直线方程，再求出交点坐标，若存在定点，则定点一定是此交点，将交点坐标代入原方程，若方程恒成立，则此点是定点，反之则不是定点. 【小问1详解】 当，的系数不同时为时，方程表示一条直线， 令，解得或； 令，解得或， 所以，的系数同时为零时， 故若方程表示一条直线，则， 即实数的取值范围为； 【小问2详解】 当的系数不为，的系数为时斜率不存在， 由（1）知当时，且，方程表示的直线的斜率不存在， 此时直线方程为； 【小问3详解】 不过定点，证明如下： 证明：当的系数为，的系数不为时斜率为， 由（1）知当时，且，方程表示的直线的斜率为， 此时直线方程为， 由（2）知，直线的斜率不存在时直线方程为， 由得交点为， 若直线过定点，则定点为， 将代入方程， 得， 整理得，解得或， 只有当或时，直线过， 直线不过定点. 19. 骰子通常作为桌游小道具，最常见的骰子是一个质地均匀的正方体，六个面的点数从小到大分别为1，2，3，4，5， （1）先后抛掷骰子两次，记“两次点数之和为4”，求事件A的概率； （2）甲、乙两人玩游戏，双方约定：游戏有2关，第一关抛掷一次，所得的点数不小于2，则算闯过第1关；第二关抛掷两次，所得的点数之和不小于7，则算闯过第2关.假定每次闯关互不影响.由甲连续挑战两关并均过关，则甲胜；否则，乙获胜.这种游戏规则公平吗？请说明理由. 【答案】（1） （2）不公平，理由见解析 【解析】 【分析】（1）求出基本事件总数，利用列举法求出事件包含的基本事件个数，再利用古典概型求解即可； （2）分别求出挑战第一关和第二关通过的概率，根据独立事件的乘法公式和对立事件的概率求解即可. 【小问1详解】 先后抛掷骰子两次，基本事件总数， 事件包含的基本事件有：共3个， 事件的概率为； 【小问2详解】 抛掷1次骰子有共6种结果， 出现的点数不小于2的情况有共5种，则挑战第一关通过的概率为； 抛掷骰子两次，基本事件总数， 抛掷2次出现的点数之和不小于7的情况有 共21种， 则挑战第2关通过的概率为， 则连续挑战2关并过关的概率为， 所以甲获胜的概率为，乙获胜的概率为， 因为，所以这种游戏不公平． 20. 已知椭圆的离心率为，以的短轴为直径的圆与直线相切.直线过右焦点且不平行于坐标轴，与有两交点A，B. （1）求的方程； （2）若椭圆上存在点，使得四边形为平行四边形，求此时直线的方程； （3）在轴上是否存在点使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）由已知条件列出方程组解出即可求解； （2）设直线的方程为，与椭圆方程联立消元，设，，，由四边形为平行四边形得，由韦达定理得点的坐标，又点在椭圆上，代入椭圆方程即可求解； （3）由，得，即化简整理有，由韦达定理即可求解. 【小问1详解】 由椭圆的离心率为得：，即有， 由以C的短轴为直径的圆与直线相切得：， 联立解得，，所以的方程是. 【小问2详解】 设直线的方程为，联立，消去得， ， 则恒成立， 设，，，由四边形为平行四边形， ， ， 点P在椭圆上，，解得，即， 当四边形OAPB为平行四边形时，直线l的方程为. 【小问3详解】 由，则，即， 则，则， 由（2），， 所以， 化简得，又，故. 21. 已知，. （1）求的最大值； （2）设，试根据的不同取值，讨论关于的方程解的个数； （3）求证：有且只有两条直线与曲线、均相切. 【答案】（1）最大值为-2 （2）答案见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先求导得，利用导数研究单调性，进而求得最大值； （2）由得，即，由（1）即可作出的图像，利用数形结合即可求解； （3）假设直线与曲线、均相切，与相切于，与相切于，由题意有，消去得，令，利用导数研究单调性即可求证. 【小问1详解】 有题意有，定义域为， 所以，令，解得或（舍去）， 当时，，函数严格增； 当时，，函数严格减， 故当时，函数取到最小值，最大值为-2. 【小问2详解】 令， ，即，由（1），在上严格增，在严格减， 又，， ，， 图像如图，求方程解得个数即求直线与图像的交点个数， 当时，有两个交点，即方程有2个解； 当时，有一个交点，即方程有1个解； 当时，有零个交点，即方程有0个解； 【小问3详解】 假设直线与曲线、均相切，与相切于， 与相切于， ，，则， 消去得，令， 则，令得或，又，所以， 当，，严格增， 又，， 则，，，有唯一零点； 当，，严格减， 又，， 则，，，有唯一零点， 综上所述，在区间和各有一个零点， 即证有且只有两条直线与曲线、均相切. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024学年第二学期期中考试 高二数学试卷 练习时间：120分钟 满分：150分 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1. 在正方体中，异面直线与所成的角为_____. 2. 若，则_____. 3. 已知函数，则_____. 4. 已知双曲线的渐近线与x轴的夹角为，则该双曲线的离心率为________. 5. 若点和点关于直线对称，则______． 6. 一辆列车沿直线轨道前进，从刹车开始到停车这段时间为，测得刹车后内列车前进的距离为，则列车刹车后__________车停了下来. 7. 某球形巧克力设计了一种圆柱形包装盒，每盒可装7个球形巧克力，每盒只装一层，相邻的球形巧克力相切，与包装盒接触的6个球形巧克力与圆柱形包装盒侧面及上下底面都相切，如图是平行于底面且过圆柱母线中点的截面，设包装盒的底面半径为，球形巧克力的半径为，每个球形巧克力的体积为，包装盒的体积为，则下列结论正确的有___________. ① ② ③ ④ 8. 已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则_____. 9. 函数的导函数的图像如图所示，则下列说法正确的是_____. ①函数在区间上严格递减； ②； ③函数在处取极大值； ④函数在区间内有两个极小值点. 10. 已知是定义域在上的函数，若对于任意，都有，则实数的取值范围是_____. 11. 在正三棱柱每条棱的中点中任取2个点，则这两点所在直线平行于正三棱柱的某个侧面或底面所在平面的概率为______. 12. 已知是抛物线上一点，则的最小值为__________． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 下列说法一定正确的是（ ） A. 一名篮球运动员，号称“百发百中”，若罚球三次，不会出现三投都不中的情况 B. 随机事件发生的概率与试验次数无关 C. 若买彩票中奖的概率为万分之一，则买一万元的彩票一定会中奖一元 D. 一个骰子掷一次得到2的概率是，则掷6次一定会出现一次2 14. 若把英语单词“receive”字母顺序写错了，则出现的错误写法共有（ ） A. 840种 B. 839种 C. 2520种 D. 2519 种 15. 已知三棱锥的体积为是空间中一点，，则三棱锥的体积是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 16. 如图，直线与曲线相切于两点，则函数在上的极大值点个数为（ ） A 0 B. 1 C. 2 D. 3 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题，必须在答题纸的相应位置写出必要的步 骤. 17. 如图，在正方体中，，E为棱的中点，是正方形内（含边界）的一个动点，且平面， （1）求平面与平面所成二面角的余弦值； （2）求动点的轨迹长度. 18. 已知方程（）． （1）求该方程表示直线的条件； （2）当为何实数时，方程表示的直线斜率不存在？求出此时的直线方程； （3）直线否过定点，若存在直线过定点，求出此定点，若不存在，说明理由． 19. 骰子通常作为桌游小道具，最常见的骰子是一个质地均匀的正方体，六个面的点数从小到大分别为1，2，3，4，5， （1）先后抛掷骰子两次，记“两次点数之和为4”，求事件A的概率； （2）甲、乙两人玩游戏，双方约定：游戏有2关，第一关抛掷一次，所得点数不小于2，则算闯过第1关；第二关抛掷两次，所得的点数之和不小于7，则算闯过第2关.假定每次闯关互不影响.由甲连续挑战两关并均过关，则甲胜；否则，乙获胜.这种游戏规则公平吗？请说明理由. 20. 已知椭圆的离心率为，以的短轴为直径的圆与直线相切.直线过右焦点且不平行于坐标轴，与有两交点A，B. （1）求的方程； （2）若椭圆上存在点，使得四边形为平行四边形，求此时直线的方程； （3）在轴上是否存在点使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 21. 已知，. （1）求的最大值； （2）设，试根据不同取值，讨论关于的方程解的个数； （3）求证：有且只有两条直线与曲线、均相切. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$