上海市嘉定区第一中学等四校2024-2025学年高二下学期期中联考数学试题

2024学年第二学期期中考试

高二数学试卷

练习时间：120分钟  满分：150分

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.

1. 在正方体中，异面直线与所成的角为_____.

2. 若，则_____.

3. 已知函数，则_____.

4. 已知双曲线的渐近线与x轴的夹角为，则该双曲线的离心率为________.

5. 若点和点关于直线对称，则______．

6. 一辆列车沿直线轨道前进，从刹车开始到停车这段时间为，测得刹车后内列车前进的距离为，则列车刹车后__________车停了下来.

7. 某球形巧克力设计了一种圆柱形包装盒，每盒可装7个球形巧克力，每盒只装一层，相邻的球形巧克力相切，与包装盒接触的6个球形巧克力与圆柱形包装盒侧面及上下底面都相切，如图是平行于底面且过圆柱母线中点的截面，设包装盒的底面半径为，球形巧克力的半径为，每个球形巧克力的体积为，包装盒的体积为，则下列结论正确的有___________.

①  ②  ③  ④

8. 已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则_____.

9. 函数的导函数的图像如图所示，则下列说法正确的是_____.

①函数在区间上严格递减；

②；

③函数在处取极大值；

④函数在区间内有两个极小值点.

10. 已知是定义域在上的函数，若对于任意，都有，则实数的取值范围是_____.

11. 在正三棱柱每条棱的中点中任取2个点，则这两点所在直线平行于正三棱柱的某个侧面或底面所在平面的概率为______.

12. 已知是抛物线上一点，则的最小值为__________．

二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.

13. 下列说法一定正确的是（   ）

A. 一名篮球运动员，号称“百发百中”，若罚球三次，不会出现三投都不中的情况

B. 随机事件发生的概率与试验次数无关

C. 若买彩票中奖的概率为万分之一，则买一万元的彩票一定会中奖一元

D. 一个骰子掷一次得到2的概率是，则掷6次一定会出现一次2

14. 若把英语单词“receive”的字母顺序写错了，则出现的错误写法共有（   ）

A. 840种 B. 839种 C. 2520种 D. 2519 种

15. 已知三棱锥的体积为是空间中一点，，则三棱锥的体积是（   ）

A. 5 B. 4 C. 3 D. 2

16. 如图，直线与曲线相切于两点，则函数在上的极大值点个数为（    ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题，必须在答题纸的相应位置写出必要的步

骤.

17. 如图，在正方体中，，E为棱的中点，是正方形内（含边界）的一个动点，且平面，

 

（1）求平面与平面所成二面角的余弦值；

（2）求动点的轨迹长度.

18. 已知方程（）．

（1）求该方程表示直线的条件；

（2）当为何实数时，方程表示的直线斜率不存在？求出此时的直线方程；

（3）直线是否过定点，若存在直线过定点，求出此定点，若不存在，说明理由．

19. 骰子通常作为桌游小道具，最常见的骰子是一个质地均匀的正方体，六个面的点数从小到大分别为1，2，3，4，5，

（1）先后抛掷骰子两次，记“两次点数之和为4”，求事件A的概率；

（2）甲、乙两人玩游戏，双方约定：游戏有2关，第一关抛掷一次，所得的点数不小于2，则算闯过第1关；第二关抛掷两次，所得的点数之和不小于7，则算闯过第2关.假定每次闯关互不影响.由甲连续挑战两关并均过关，则甲胜；否则，乙获胜.这种游戏规则公平吗？请说明理由.