精品解析：广东省东莞市翰林高级中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

数学学科高一年级期中考试试题卷 满分：150时间 120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的四则运算化简复数，进而得复数在复平面对应的点的坐标，即可得结果. 【详解】由题意， 则复数在复平面对应的点为，在第一象限. 故选：A. 2. 已知直线，，平面，，，那么与平面的关系是（ ） A. B. C. 或 D. 与相交 【答案】C 【解析】 【分析】以正方体为载体，取，，分别取面和为平面，即可判断结果. 【详解】 在正方体中，取，， 当取面为平面时， 所以满足，，此时； 当取面为平面时， 所以满足，，此时， 所以与平面的关系是或. 故选：. 3. 下列叙述中正确的是（    ） A. 已知向量，，且，则与的方向相同或相反 B. 若，则 C. 若，，则 D. 对任一非零向量，是一个单位向量 【答案】D 【解析】 【分析】对A，若，有一个为零向量即可判断；对B，向量相等定义即可判断；对C，若即可判断；对D，由单位向量的定义判断. 【详解】对A，零向量与任意向量共线，且零向量的方向是任意的，若或时，与的方向不是相同或相反，故A错误； 对B，，且，方向相同才可判断，故B错误； 对C，当时，若，，与是任意向量，故C错误； 对D，对任一非零向量，表示与方向相同且模长为1的向量，故D正确. 故选：D 4. 已知在“斜二测”画法下，的直观图是一个边长为4的正三角形，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直观图为正三角形，求出原三角形的高和底，即可求出的面积. 【详解】若轴，轴在直观图中的位置如图所示， 过作轴交轴于， 因为的边长为， 所以的高为， 因为，所以， 所以对应的高，底， 所以的面积. 故选：B. 5. 下列四个正方体中，为所在棱的中点，为正方体的三个顶点，则能得出平面平面的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对于A，根据平面平行的定义，可得其正误；对于B，根据中位线定理可得线线平行，再根据面面平行的判定，可得其正误；对于C，利用反证法，结合面面平行的性质，可得其正误；对于D，利用反证法，根据面面平行的判定，可得其正误. 【详解】对于A选项，若平面平面，平面，则平面， 由图可知与平面相交，故平面与平面不平行，A不满足条件； 对于B选项，如图所示，连接， 因为、分别为、的中点， 则，在正方体中，且， 故四边形为平行四边形，所以，所以， 因为平面，平面，所以平面， 同理可证平面，因为， 因此，平面平面，B满足条件； 对于C选项，如图所示： 在正方体中，若平面平面，且平面平面， 平面与平面不重合，则平面平面，与平面与平面相交矛盾， 因此，平面与平面不平行，C不满足条件； 对于D选项，在正方体中，连接、、，如图所示： 因为且，则四边形为平行四边形，则， 因为平面，平面，所以平面， 同理可证平面，因为，所以平面平面， 若平面平面，则平面平面，与平面与平面相交矛盾， 故平面与平面不平行，D不满足条件． 故选：B. 6. 已知，是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】由不共线的两个非零向量才可以作为基底，结合共线定理对各项逐一判断. 【详解】对于A，因为，所以与共线，不能作为基底； 对于B，设，则，解得，所以与共线，不能作为基底； 对于C，设，则，即：，此时无解，所以与不共线，可以作为基底； 对于D，设，则，即：，解得，所以与共线，不能作为基底； 故选：C. 7. 已知某圆锥的侧面积为，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的底面半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意，先求出圆锥侧面展开图扇形的半径，再由侧面积公式列方程计算即得. 【详解】依题意，设圆锥的底面半径为，则其侧面展开图的扇形弧长为， 则扇形半径为，侧面积为，解得. 故选：B. 8. 已知复数是关于的方程（，）的一个根，若复平面内满足的点的集合为图形，则围成的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由是方程的根求出，，然后由复数减法的几何意义求解即可. 【详解】∵是关于的方程（，）的一个根， ∴（，），化简得， ∴，解得， ∴， 如图所示复平面内，复数和表示的点为和，表示的向量为和， 则由复数减法的几何意义，复数表示的向量为， 若，则， ∴点的集合图形是以为圆心，半径为的圆， ∴围成的面积为. 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 向量与的夹角为 D. 若在上的投影向量为 【答案】AD 【解析】 【分析】先利用向量减法运算的坐标运算可判断A；求得向量的模判断B；利用向量夹角坐标表示求得向量的夹角判断C；利用投影向量的运算公式求解可判断D. 【详解】因为，所以，故A正确； 由已知可得，，故B错误； 因为，又，所以，故C错误； 在上的投影向量为，故D正确. 故选：AD. 10. 对于，有如下判断，其中正确的判断是（ ） A. 若，是钝角三角形 B. 若，则 C. 若，则符合条件的有两个 D. 在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积 【答案】ABD 【解析】 【分析】结合正弦定理、余弦定理、面积公式等相关知识依次对各选项判断即可. 【详解】对于选项A：由正弦定理可得，所以，因此是 钝角，故是钝角三角形. 故A正确； 对于选项B：因为在中，，， 所以， 又，所以. 故B正确； 对于选项C：由正弦定理，矛盾， 因此，符合条件的不存在. 故C错误； 对于选项D：在三角形中，① 如果已知两边及夹角，显然可以直接用三角形面积公式求出 三角形面积；② 如果已知两边及其一边的对角，可以先用余弦定理求出第三 边，然后再用面积公式求出三角形面积. 故D正确. 故选：ABD. 11. 在棱长为4的正方体中，下列说法正确的是（ ） A. B. 直线与平面所成的角为 C. 三棱锥的体积为 D. 是的中点，点是侧面内的动点．若∥平面，则的最大值为 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，连接，可证得平面，从而可得结论，对于B，由正方体的性质可证得平面，对于C，三棱锥的体积等于正方体的体积减去4个三棱锥的体积，对于D，取的中点，的中点，的中点，连接，则证得平面∥平面，则线段扫过的图形为，然后求出其范围，从而可得答案. 【详解】对于A，连接，则，因为平面，平面， 所以，因为，平面， 所以平面，因为平面，所以，所以A正确， 对于B，因为平面，平面，所以， 因为，，平面， 所以平面，所以直线与平面所成的角为，所以B错误， 对于C，因为正方体的棱长为4，所以三棱锥的体积为 ，所以C错误， 对于D，取的中点，的中点，的中点，连接， 则∥∥，∥∥， 因为平面， 平面， 所以∥平面，∥平面， 因为，平面， 所以平面∥平面， 因为平面，所以∥平面， 所以线段扫过的图形为， 由，得，，， 所以，所以， 所以，即MP范围为， 所以的最大值为 故选：AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 化简=_______ 【答案】 【解析】 【分析】 【详解】利用平面向量的线性运算法则，=+（+）==. 13. 已知复数在复平面内对应的点在射线上，且，则复数的虚部为______ ． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据条件设复数的坐标，根据模，求解复数，再根据共轭复数的特征，即可求解. 【详解】设复数在复平面内对应的点为，， 所以，得， 所以,那么， 所以的虚部是. 故答案为： 14. 有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，这时容器中水的深度是___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据正三角形中内切圆的性质，求得半径与边长的关系，由圆锥的轴截面，明确该圆锥的高和底面半径，利用体积公式，剪力方程，可得答案. 【详解】由题意可知为等边的内切圆，则， 易知等边的边长， 圆锥的体积， 球的体积，则， 设取出球之后，水的高度为，此时水面圆的半径为， 则，解得. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，． （）若与垂直，求实数的值； （）若与的夹角为钝角，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）首先可求出、，然后根据即可得出结果； （2）本题首先可求出、，然后根据题意得出，解得，最后排除与平行的情况即可得出结果. 【详解】（1）因为，， 所以，， 因为与垂直，所以， 即，解得. （2），， 因为与的夹角为钝角， 所以， 即，解得， 当与平行时， ，解得，此时与夹角为， 故实数的取值范围为. 16. 在中，角的对边分别为，若. （1）求角的大小； （2）若，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化边为角，整理成三角方程，根据角的范围即可求角； （2）由余弦定理代值整理求得的值，代入三角形面积公式计算即得. 【小问1详解】 由和正弦定理可得，， 因，故得，即， 因，故； 【小问2详解】 由余弦定理，，代值整理可得，， 又，代入解得，， 于是，的面积为. 17. 已知复数 （1）若复数为纯虚数，求实数的值； （2）已知是关于的方程的一个根，其中，，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据纯虚数的知识列式，从而求得. （2）利用根与系数关系求得，进而求得. 【小问1详解】 若复数为纯虚数，则，解得. 【小问2详解】 已知是关于的方程的一个根， 则也是方程的根， 所以， 所以. 18. 已知四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，，AD＝CD＝1，∠BAD＝120°，，∠ACB＝90°． （1）求证：BC⊥平面PAC； （2）求直线PC与平面PAB所成的角的正弦值． 【答案】（1）因为底面，平面，则， 又因为，即， ，，平面， 所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）通过证明，即可证明平面； （2）过作于，则直线与平面所成的角为，然后解三角形求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过作于，连接， 因为底面，平面，则， ，平面， 所以平面， 所以直线与平面所成的角为， 因为，//，， 则，是等边三角形，可得， 又因为，在中，，中求得， 所以， 即直线与平面所成的角的正弦值为． 【点睛】 19. 常用测量距离的方式有3种．设，定义欧几里得距离，定义曼哈顿距离，定义余弦距离，其中（为坐标原点）． （1）若，求之间的欧几里得距离和余弦距离； （2）若点在函数的图象上且，点的坐标为，求的最小值； （3）若，求的取值范围. 【答案】（1）； （2）2 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意结合距离的定义运算求解即可； （2）根据距离定义整理可得，分、和三种情况，结合函数单调性求最值即可； （3）整理可得，令，分析可知与有交点，结合图象可得的取值范围，即可得结果. 【小问1详解】 因为，则， 所以， 又因为， 所以. 【小问2详解】 因为点在函数的图象上且， 即，且点的坐标为， 故， 当时，则， 因为函数在上单调递减， 所以，当且仅当时取等号； 当时，则， 且，则，代入可得； 当时，则， 因为函数在上单调递增， 所以， 当且仅当时取等号． 综上可知，的最小值为2． 【小问3详解】 因为， 则， 令，则， 即与有交点， 可知半圆与直线有交点， 如图，先计算直线与半圆相切和经过点时的情况. 由圆心到直线的距离，解得， 由图知此时，即； 又由，代入点，解得，. 由图知，要使两者有交点，需使， 此时， 又因为，则； 所以的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：对于（3）的关键是将代数问题转化为几何问题，结合圆的性质分析求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学学科高一年级期中考试试题卷 满分：150时间 120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知直线，，平面，，，那么与平面的关系是（ ） A. B. C. 或 D. 与相交 3. 下列叙述中正确的是（    ） A. 已知向量，，且，则与的方向相同或相反 B. 若，则 C. 若，，则 D. 对任一非零向量，是一个单位向量 4. 已知在“斜二测”画法下，的直观图是一个边长为4的正三角形，则的面积为（ ） A. B. C. D. 5. 下列四个正方体中，为所在棱的中点，为正方体的三个顶点，则能得出平面平面的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 已知某圆锥的侧面积为，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的底面半径为（ ） A. B. C. D. 8. 已知复数是关于的方程（，）的一个根，若复平面内满足的点的集合为图形，则围成的面积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 向量与的夹角为 D. 若在上的投影向量为 10. 对于，有如下判断，其中正确的判断是（ ） A. 若，是钝角三角形 B. 若，则 C. 若，则符合条件的有两个 D. 在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积 11. 在棱长为4的正方体中，下列说法正确的是（ ） A. B. 直线与平面所成的角为 C. 三棱锥的体积为 D. 是的中点，点是侧面内的动点．若∥平面，则的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 化简=_______ 13. 已知复数在复平面内对应的点在射线上，且，则复数的虚部为______ ． 14. 有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，这时容器中水的深度是___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，． （）若与垂直，求实数的值； （）若与的夹角为钝角，求实数的取值范围． 16. 在中，角的对边分别为，若. （1）求角的大小； （2）若，求的面积. 17. 已知复数 （1）若复数为纯虚数，求实数的值； （2）已知是关于的方程的一个根，其中，，求的值． 18. 已知四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，，AD＝CD＝1，∠BAD＝120°，，∠ACB＝90°． （1）求证：BC⊥平面PAC； （2）求直线PC与平面PAB所成的角的正弦值． 19. 常用测量距离的方式有3种．设，定义欧几里得距离，定义曼哈顿距离，定义余弦距离，其中（为坐标原点）． （1）若，求之间的欧几里得距离和余弦距离； （2）若点在函数的图象上且，点的坐标为，求的最小值； （3）若，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $