精品解析：上海外国语大学附属浦东外国语学校2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

浦外附中2024-2025学年第二学期高一年级数学期中 2025.4 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 若复数是纯虚数，则实数__________． 2. 已知，且为第二象限角，则________. 3. 的值是___________ 4. 函数的对称中心为_________． 5. 已知函数 f(x)═cos(x+θ)是奇函数，则θ的最小正值为___________． 6. 将函数图像向左平移个单位，得到的图像的解析式为________． 7. 已知函数，则的最小正周期为_________． 8. 向量，，．若三点共线，则______． 9. 已知平面上四个点，，，，则向量在向量上的投影向量的坐标为_________． 10. 已知，是两个单位向量，若，则的坐标为_________． 11. 已知正三角形的边长为2，动点满足，则的最小值为________． 12. 已知向量满足，，，，则的最小值是__________． 二、单选题（共18分，13至14每题4分，15至16每题5分） 13. 已知平面向量与的夹角为，，，则（ ） A. B. C. 4 D. 2 14. 在复平面上，轴与轴的交点为点，设复数和复数在复平面对应点和，则三角形的面积为（ ） A. B. C. D. 15. 已知非零向量与满足，则三角形一定是（ ） A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形 16. 已知函数，满足，且函数在单调递增，设函数在区间的最大值为，最小值为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 三、解答题（共78分） 17. 已知、、分别为三个内角、、的对边，且． （1）求； （2）若，求外接圆的面积． 18. 如图，观测站在目标的南偏西方向，经过处有一条南偏东走向的公路，在处观测到与相距31km的处有一人正沿此公路向处行走，走20km到达处，此时测得，相距21km. （1）求； （2）求，之间的距离. 19. 已知向量，． （1）若与共线，，求，的值； （2）设函数，，求的值域． 20. 如图，在等腰梯形中，，，是边上一点（含端点），与交于点，设． （1）若，证明：； （2）若，，求的值； （3）求的取值范围． 21. 若函数的部分图象如图所示． （1）求函数的解析式； （2）若当时，，求实数t的取值范围． （3）已知，若存在非零常数λ，对任意，有成立，求实数m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 浦外附中2024-2025学年第二学期高一年级数学期中 2025.4 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 若复数是纯虚数，则实数__________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据纯虚数实部为0虚部不为0，计算即可. 【详解】 由题意得解得． 故答案为：2. 2. 已知，且为第二象限角，则________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用同角三角函数关系与二倍角公式即可求得结果 【详解】，且为第二象限角，, 又， 故答案为： 3. 的值是___________ 【答案】## 【解析】 【分析】应用两角差的余弦公式计算求解. 【详解】. 故答案为：. 4. 函数的对称中心为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正弦函数对称中心列式即可得到答案. 【详解】令，解得， 所以函数的对称中心为. 故答案为：. 5. 已知函数 f(x)═cos(x+θ)是奇函数，则θ的最小正值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得，可求的最小正值. 【详解】由函数为奇函数，可得， 则的最小正值为. 故答案为：. 6. 将函数图像向左平移个单位，得到的图像的解析式为________． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用函数的图像的平移变换求解析式. 【详解】函数图像向左平移个单位， 所得图像的解析式为. 故答案为：. 7. 已知函数，则的最小正周期为_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用二倍角正切公式化简，再根据周期函数的定义求解. 【详解】因为， 设是的周期，则，即， ，故或，， 即或，， 所以的最小正周期为. 故答案为：. 8. 向量，，．若三点共线，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据平面向量共线的坐标表示计算即可. 【详解】由题意易得， 若三点共线，则有，所以. 故答案为： 9. 已知平面上四个点，，，，则向量在向量上的投影向量的坐标为_________． 【答案】 【解析】 【分析】求出向量，根据投影向量的定义求解. 【详解】由题可得，，， 所以向量在向量上的投影向量为. 故答案为：. 10. 已知，是两个单位向量，若，则的坐标为_________． 【答案】 【解析】 【分析】设，根据题意建立方程组求解. 【详解】设，又， 则，解得，， 所以的坐标为. 故答案为：. 11. 已知正三角形的边长为2，动点满足，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】易知点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，取的中点可得，易得，即可求得的最小值为. 【详解】因为动点满足，所以点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，如下图所示：    设为的中点， 则； 所以当取最小值时，取得最小值； ， 所以. 故答案为：. 12. 已知向量满足，，，，则的最小值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意，若，设，求出、坐标，法一：根据求最小值；法二：由已知，结合基本不等式求范围，再由向量数量积坐标表示求的最小值；注意取值条件. 【详解】由题意，若，设，则，， 法一：， 当且仅当时等号成立，故的最小值为． 法二：， 即，（基本不等式） 所以，当且仅当时等号成立，故． 所以的最小值为． 故答案为： 二、单选题（共18分，13至14每题4分，15至16每题5分） 13. 已知平面向量与的夹角为，，，则（ ） A. B. C. 4 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量模长的坐标表示和数量积的运算律求解即可. 【详解】因为平面向量与的夹角为，， 所以，， 所以， 故选：B 14. 在复平面上，轴与轴的交点为点，设复数和复数在复平面对应点和，则三角形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，求出点的坐标，再判断三角形形状并求出面积. 【详解】依题意，，，而， 则，是等腰直角三角形，面积为. 故选：C 15. 已知非零向量与满足，则三角形一定是（ ） A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形 【答案】C 【解析】 【分析】由，利用数量积运算化简得，得解. 【详解】由条件，即, ，展开并整理得， 故三角形为等腰三角形. 故选：C. 16. 已知函数，满足，且函数在单调递增，设函数在区间的最大值为，最小值为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出，利用单调性确定的范围，结合范围可求答案. 【详解】，，, 又时，单调递增, ，，且， ，， 或， 或， 时，， 时，， ∴和在其范围内，即取得最大值和最小值，. 又时，， 的最小值始终在处取得，且最大值， ，综上的取值范围为. 故选：B 三、解答题（共78分） 17. 已知、、分别为三个内角、、的对边，且． （1）求； （2）若，求外接圆的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理结合二倍角的正弦公式化简得出的值，结合角的范围即得； （2）利用正弦定理求出外接圆的半径，结合圆的面积公式可求. 【小问1详解】 因为，由正弦定理可得， 即，即， 因为、，所以，，，则有，故. 【小问2详解】 设外接圆的半径为，由正弦定理，，故， 因此，外接圆的面积为. 18. 如图，观测站在目标的南偏西方向，经过处有一条南偏东走向的公路，在处观测到与相距31km的处有一人正沿此公路向处行走，走20km到达处，此时测得，相距21km. （1）求； （2）求，之间的距离. 【答案】（1） （2）15km 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理求出，即可求； （2）由正弦定理有求出，再由余弦定理有即可求解. 【小问1详解】 由题意知：，， 在中，由余弦定理 因为, 所以 【小问2详解】 ，,， 由题意知： 在中，由正弦定理得：，所以 由余弦定理得：， 即， 解得：或（舍） ，之间的距离为 19. 已知向量，． （1）若与共线，，求，的值； （2）设函数，，求的值域． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量的共线得到，再利用二倍角公式以及弦化切得结果； （2）根据向量数量积坐标公式以及辅助角公式化简，再根据三角函数性质求值域. 【小问1详解】 由题，可得，由与共线， ， ，，上式化简得，则， . 【小问2详解】 ， ， 所以，则， 所以函数的值域为. 20. 如图，在等腰梯形中，，，是边上一点（含端点），与交于点，设． （1）若，证明：； （2）若，，求的值； （3）求的取值范围． 【答案】（1） 由三点共线，可知存在实数，使， 即，化简得 结合，由平面向量基本定理得， 所以． （2）4 （3） 【解析】 【分析】（1）由三点共线，可知存在实数，使，进而得出，根据平面向量基本定理即可证明； （2）用表示出，根据向量平行及即可求解； （3）用表示出，根据平面向量数量积的运算律即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在等腰梯形中，由， 可得， 根据，可得， 又，所以， 所以， 因为三点共线，所以向量互相平行， 可得，结合，解得， 所以． 【小问3详解】 由（1）的结论，可得， 过作的垂线，垂足分别为， 因为等腰梯形中，， 所以，可得， 又，得． 所以，， 可得 ， 结合，可得． 21. 若函数的部分图象如图所示． （1）求函数的解析式； （2）若当时，，求实数t的取值范围． （3）已知，若存在非零常数λ，对任意，有成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 当时，且； 当时，． 【解析】 【分析】（1）根据图象可知，，即可得，再结合最值可得，即可得函数解析式； （2）利用周期得，以为整体，结合正弦函数图象分析求解即可； （3）根据题意结合正项函数值域可得，分类讨论，结合周期性和诱导公式运算求解. 【小问1详解】 设的最小正周期为T，且， 由题图可得，且， 即，则，可得， 又因为，即， 且，则， 可得，即， 所以， 【小问2详解】 当时，利用周期等价于，则， 若，即， 则，解得， 所以实数t的取值范围为. 【小问3详解】 由题意可知：， 若存在非零常数λ，对任意，有成立， 因为在R上的值域为，则在R上的值域为， 可知，即， 当时，则，可知1为的一个周期， 即1为最小正周期的整数倍， 可得，则（且）， 当时，则， 可得， 由诱导公式可得，可得 综上所述：当时，且； 当时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $