精品解析：福建省晋江市毓英中学2024-2025学年高一下学期期中检测数学试题

晋江市毓英中学2025年春高一年期中检测卷 数学 （三角函数、平面向量、解三角形和复数） “考试时间120分钟，试卷满分值150分 命卷：吴拓磊 审核：李福安” 一、单项选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求） 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量满足，则向量在向量方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图，塔垂直于水平面，他们选择了与灵运塔底部D在同一水平面上的A，B两点，测得米，在A，B两点观察塔顶C点，仰角分别为和，，则灵运塔的高度CD是（    ） A. 45米 B. 50米 C. 55米 D. 60米 5. 中，若非零向量与满足，，则为（ ） A. 等腰直角三角形 B. 三边均不相等的直角三角形 C. 底边和腰不相等的等腰三角形 D. 等边三角形 6. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 在中，点P是上一点，且P为靠近A点的三等分点，Q是中点，与交点为M，又，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，记方程在上的根从小到大依次为，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3个小题，每小题6分，共18分，每小题给出的四个选项中，有多项特合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得都分分，有选错的得0分） 9. 在中，内角所对的边分别为，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则是等腰三角形 C. 若，则是直角三角形 D. 若为锐角三角形，则 10. 函数（，，）的部分图象如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. 函数的图象关于点对称 C. 函数在上单调递增 D. 将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象 11. 如图，在长方形中，，，，则下列结论正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 对任意，不成立 D. 若，则 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 若，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是______. 13. 复数满足，则的最大值为________. 14. 在三角形中，已知，为三角形外接圆上一点（按逆时针方向排列），则四边形面积的最大值为___________． 四、解答题（本题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 设复数，. （1）在复平面内，复数对应的点在实轴上，求； （2）若是纯虚数，求实数的值. 16. 在中，．若， （1）求面积的最大值； （2）求周长的取值范围． 17. 已知向量，函数. （1）求的最小正周期T； （2）求函数在的单调增区间； （3）求函数在的值域． 18. 在中，角的对边分别是，且. （1）求角的大小； （2）若，为边上的一点，，且______，求的面积. （从下面①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答）. ①是的平分线； ②为线段的中点. （3）若为锐角三角形，求边上的高取值范围. 19. 设平面内两个非零向量的夹角为，定义一种运算“”：.试求解下列问题. （1）已知向量满足，求的值； （2）在平面直角坐标系中，已知点，求的值； （3）已知向量，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 晋江市毓英中学2025年春高一年期中检测卷 数学 （三角函数、平面向量、解三角形和复数） “考试时间120分钟，试卷满分值150分 命卷：吴拓磊 审核：李福安” 一、单项选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求） 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数运算得出，再应用模长公式计算求解. 【详解】因为，所以，即， 所以，所以， 故选:D． 2. 已知向量满足，则向量在向量方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量的模与数量积的关系结合向量模长的坐标运算可得，从而根据投影向量的定义运算得答案. 【详解】因为， 所以，则， 所以向量在向量方向上的投影向量为. 故选：C. 3. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两角和与差的余弦公式结合同角三角函数的基本关系，可求值. 【详解】因为； 又. 所以，. 所以. 故选：B 4. 如图，塔垂直于水平面，他们选择了与灵运塔底部D在同一水平面上的A，B两点，测得米，在A，B两点观察塔顶C点，仰角分别为和，，则灵运塔的高度CD是（    ） A. 45米 B. 50米 C. 55米 D. 60米 【答案】B 【解析】 【分析】设米，结合已知条件得，，再应用余弦定理计算求解即可. 【详解】设米，在中，，则， 在中，，则， 因为，所以由余弦定理得：，整理得：，解得（米）. 故选：B 5. 中，若非零向量与满足，，则为（ ） A. 等腰直角三角形 B. 三边均不相等的直角三角形 C. 底边和腰不相等的等腰三角形 D. 等边三角形 【答案】A 【解析】 【分析】利用和都为单位向量，得到，再利用，得到，判断即可． 【详解】和都为单位向量，垂直平分，故， ，， 为等腰直角三角形． 故选：A． 6. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正弦定理边角互化以及和差角公式可得，即可求解. 【详解】由可得, 由于， 故， 故， 由于中，，故， ，故， 故选：D 7. 在中，点P是上一点，且P为靠近A点的三等分点，Q是中点，与交点为M，又，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将、向量都用、表示出来，再利用平面向量基本定理列方程组可求的取值. 【详解】因为、、三点共线，点是中点，所以, 又因为是上靠近点三等分点，所以, 且因为，则, 即,消可解得. 故选：. 8. 已知函数，记方程在上的根从小到大依次为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知可得，再结合正弦函数图像及对称性求解即可. 【详解】，则，即， 即 ∵，∴ 令，则， 函数在上的图象如下图所示， 由图可知，与共有5个交点， 所以： 其中， 即，， 解得， 所以. 故选：C. 二、多选题（本题共3个小题，每小题6分，共18分，每小题给出的四个选项中，有多项特合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得都分分，有选错的得0分） 9. 在中，内角所对的边分别为，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则是等腰三角形 C. 若，则是直角三角形 D. 若为锐角三角形，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据三角形的基本性质及正弦定理，二倍角公式，正弦函数的单调性，逐项分析得出结果即可． 【详解】对于A，根据正弦定理，由可得，大边对大角，所以.故A正确； 对于B，根据正弦定理，由可得，即， 则或，即或，所以是等腰三角形或直角三角形.故B错误； 对于C，，则或，即或， 所以是直角三角形或钝角三角形，故C错误； 对于D，若为锐角三角形，则，即， 因为函数在上单调递增，所以，即，故D正确. 故选：AD. 10. 函数（，，）的部分图象如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. 函数的图象关于点对称 C. 函数在上单调递增 D. 将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象 【答案】ABC 【解析】 【分析】通过图像可以确定函数的周期和值，然后利用特定定确定值，最后根据正弦函数的性质和图像变换，逐项判断即可. 【详解】对于选项A：由题意可得，故，则，故A正确； 根据图像，可得， 即，解得，又，即， 所以， 对于选项B：当时，有， 故的图象关于点对称，故B正确； 对于选项C：令，则， 当时，， 而在单调递增，故C正确； 对于选项D：将函数的图象向由右平移个单位得到 ，故D错误. 故选：ABC. 11. 如图，在长方形中，，，，则下列结论正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 对任意，不成立 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】先建立直角坐标系，再设点E的坐标分别计算向量判断A，根据数量积判断C，应用夹角公式判断B，结合基本不等式计算判断D. 【详解】 以分别为轴建立直角坐标系，则，设 又因为，则，所以，所以， 对于A：当时，，，A选项正确； 对于B:当时，，所以，所以，B选项错误； 对于C：当时，，所以，C选项错误； 对于D：， 所以，所以，， 所以，对称轴为时单调递增， 所以，D选项正确； 故选：AD. 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 若，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】由题设条件，可得且 ，解之即得. 【详解】设为与的夹角，则， 因为为锐角，所以，解得，且， 所以的取值范围是． 故答案为：. 13. 复数满足，则的最大值为________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意结合复数的几何意义，可知表示所对应的点到点的距离，从而可可求出的最大值. 【详解】满足的复数所对应的点在以原点为圆心，1为半径的圆上， 的几何意义为所对应的点到点的距离， 因为， 所以的最大值为. 故答案为： 14. 在三角形中，已知，为三角形外接圆上一点（按逆时针方向排列），则四边形面积的最大值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由余弦定理及正弦定理求出，将问题转化为求面积的最大值，利用余弦定理及基本不等式求解. 【详解】由余弦定理可得， , 所以， 所以，所以， 所以，， 在中， , 即，所以，当且仅当时等号成立， 所以， 所以四边形的面积， 所以当，即为 中点时，四边形面积最大值. 故答案为： 四、解答题（本题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 设复数，. （1）在复平面内，复数对应的点在实轴上，求； （2）若是纯虚数，求实数的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出，再由复数对应的点在实轴上，求出的值，从而可求出； （2）先化简，再由为纯虚数可求出实数的值. 【小问1详解】 因为复数，， 所以， 因为复数对应的点在实轴上， 所以，得，所以， 所以； 【小问2详解】 因为复数，， 所以 ， 因为为纯虚数，所以，解得. 16. 在中，．若， （1）求面积的最大值； （2）求周长的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，结合两角和的正弦公式求出，即可求出，再由余弦定理及基本不等式求出的最大值，即可得解； （2）结合（1）及基本不等式求出的范围，即可得解. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理可得：， 则， 所以， 所以， 因为为的内角，所以，所以. 又，所以. 由余弦定理，即． 因为，当且仅当时取“”， 所以． 所以． 当为等边三角形时，面积取得最大值为． 【小问2详解】 因为， 且，当且仅当时取“”， 所以， 又，所以， 所以， 所以周长的取值范围为. 17. 已知向量，函数. （1）求的最小正周期T； （2）求函数在的单调增区间； （3）求函数在的值域． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用数量积的坐标运算以及二倍角公式、辅助角公式化简，再利用周期公式即可求出； （2）先求的范围，再结合正弦函数图象得，即可求单增区间； （3）由的范围，再结合正弦函数图象得的范围，即可求值域. 【小问1详解】 依题意，函数 ， 故最小正周期. 【小问2详解】 因为，则， 结合正弦函数图象，令，得， 所以的单调增区间为. 【小问3详解】 由（2）知，， 结合正弦函数图象得，， 则， 所以在的值域为. 18. 在中，角的对边分别是，且. （1）求角的大小； （2）若，为边上的一点，，且______，求的面积. （从下面①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答）. ①是的平分线； ②为线段的中点. （3）若为锐角三角形，求边上的高取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据边角互化，结合三角恒等变换可得， （2）选择①，利用等面积法以及余弦定理即可求解的值，即可根据面积公式求解，选择②，利用向量的模长公式以及余弦定理可得的值，即可根据面积公式求解， （3）根据正弦定理可得外接圆半径，即可根据正弦定理边角互化，结合三角恒等变换，即可结合三角函数的性质求解的范围，即可利用三角形面积公式求解. 【小问1详解】 在中，： 结合正弦定理可得： 由得， ， ， ，又，所以． 【小问2详解】 若选①：由平分得：， ，即． 在中，由余弦定理得，则， 联立，得，解得， ； 若选②：由题设，则， 所以， 在中，由余弦定理得，则， 联立，得， ． 【小问3详解】 由正弦定理得， 故 , 由于为锐角三角形，故,故，因此， 故当，即时，此时取到最大值， 当或，即或时，此时， 因此 ， 故三角形的面积为， 故边上的高为， 19. 设平面内两个非零向量的夹角为，定义一种运算“”：.试求解下列问题. （1）已知向量满足，求的值； （2）在平面直角坐标系中，已知点，求的值； （3）已知向量，求的最小值. 【答案】（1）2 （2）7 （3）16 【解析】 【分析】（1）借助新定义计算即可得； （2）借助所给定义及三角函数间得关系，计算可得，代入数据计算可得； （3）由，代入数据，结合基本不等式计算即可得. 【小问1详解】 由已知，得， 设的夹角为，由，可得，即， 又，所以， 所以； 【小问2详解】 设，则，， 设的夹角为，则， ， 所以， 又， 所以. 【小问3详解】 由（2）得， 故， ， 当且仅当，即时等号成立. 所以的最小值是16. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $