精品解析：上海市复旦大学附属中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题

2024-2025学年上海市复旦大学附属中学高二年级下学 3月月考数学试卷 2025.3 一､填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分. 1. 过，的直线的斜率为______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据斜率公式运算求解. 【详解】由题意可得：. 故答案为：1. 2. 过点和的直线l的一般式方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】求出直线的斜率后可求直线的一般式方程. 【详解】直线的斜率为， 故直线的方程为：， 化简后可得一般方程为：， 故答案为：. 3. 若直线的一个法向量是，则实数a的值等于______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出直线的方向向量，然后再利用法向量与方向向量垂直即可求解. 【详解】由题意可知，直线的一个方向向量为， 又因为直线的一个法向量是， 所以，解得. 故答案为：. 4. 圆的半径为__________. 【答案】1 【解析】 【分析】整理圆的方程为标准方程，可得答案. 【详解】由，则，可得半径为1. 故答案为：. 5. 直线与直线的夹角大小为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】先由斜率的定义求出两直线的倾斜角，然后再利用两角差的正切展开式计算出夹角的正切值，最后求出结果. 【详解】设直线与直线的倾斜角分别为， 则，且， 所以， 因为， 所以，即两条直线的夹角为， 故答案为：. 6. 已知点，线段的垂直平分线在轴上的截距为__________. 【答案】3 【解析】 【分析】依题意，求出线段的中点和它的中垂线斜率，即得垂直平分线方程，即可求得. 【详解】直线的斜率为，则线段的垂直平分线的斜率为， 线段的中点为，故线段的垂直平分线方程为， 令时，解得，即线段的垂直平分线在轴上的截距为3. 故答案为：3. 7. 若直线截圆所得弦长为8，则__________． 【答案】或 【解析】 【分析】由题意可得圆心到直线的距离为，解方程即可得出答案. 【详解】由圆可得：， 所以圆心，， 设圆心到直线的距离为， 由直线截圆所得弦长为8， 可得：， 又，解得：或. 故答案为：或. 8. 已知圆C与圆D：关于直线对称，则圆C的方程为_______． 【答案】 【解析】 【分析】已知圆D：，化为标准方程可得圆心坐标及半径，圆C与圆D关于直线对称，转化为两圆心关于直线对称，半径相等，求出圆C的圆心，则可得圆C的方程. 【详解】因为， 设圆C的圆心为， 又因为圆C与圆D关于直线对称， 即圆心与关于直线对称， 所以，解得， 所以，圆C的方程为 9. 在中，已知点边上的中线所在直线的方程为，的角平分线所在直线方程为，则点的坐标为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设的坐标为，即可得到的中点坐标，再根据中点在中线上，点在角平分线上得到方程组，解得即可. 【详解】设的坐标为，则的中点坐标为， 则，解得，则点的坐标为. 故答案为： 10. 在以点为圆心，2为半径的圆上取任意一点，若的取值与无关，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】先将转化为点到两直线距离之和的5倍，根据取值与无关得出距离和与位置无关，再由圆心到直线距离判断圆与直线相离，最后根据直线与圆相切求出的值并确定的取值范围. 【详解】由已知可得所在的圆的方程为， 设， 故可看作点到直线与直线 距离之和的5倍， 因为的取值与无关， 所以这个距离之和与点在圆上的位置无关， 圆心到直线的距离为， 所以圆与直线相离，如图所示，可知直线平移时， 点与直线的距离之和均为直线之间的距离，此时可得圆在两直线之间， 当直线与圆相切时， ，解得（舍去），或，所以. 故答案为： 11. 新定义：如图，圆与直线相离，过圆心作直线的垂线，垂足为，交圆于、两点（在、之间），我们把点称为圆关于直线的“近点”，把的值称为圆关于直线的“秘钥数”.根据新定义解决问题：在平面直角坐标系中，直线经过点，点是坐标平面内一点，以为圆心，为半径作圆.若与直线相离，点是圆关于直线的“近点”，且圆关于直线的“秘钥数”是，则直线的表达式为_____. 【答案】或 【解析】 【分析】分析可知，点到直线的距离为，对直线的斜率是否存在进行分类讨论，当直线的斜率不存在时，直接检验即可；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，利用点到直线的距离公式求出的值，综合可得出直线的方程. 【详解】设点到直线的距离为，因为圆关于直线的“秘钥数”是，且圆的半径为， 则根据题中定义可得，可得， 若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时，点到直线的距离为，不合乎题意； 若直线的斜率存在，设直线的方程为，即， 根据题意可得，解得或， 所以，直线的方程为或. 故答案为：或. 12. 设为正实数，圆与圆交于两点，其中，设向量，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由点在单位圆上，两圆半径均为1，易知，设圆的圆心为，由于，故，利用和差角公式展开转化为三角函数的值域问题求解即可. 【详解】点在单位圆上，两圆半径均为1，易知， 设圆的圆心为， 由于，故， 则， ， . 故答案为：. 二､选择题（本大题共有4题，满分18分，第13､14题每题4分，第15､16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 方程是直线的（ ）方程. A. 点斜式 B. 斜截式 C. 一般式 D. 点法式 【答案】D 【解析】 【分析】依次化简方程为点斜式方程、斜截式方程、一般式方程可判断ABC选项，再根据求点法式方程的方法求出点法式即可检验D选项. 【详解】将方程化简为，此为点斜式方程，故A错误； 将方程化简为，此为斜截式方程，故B错误； 将方程化简为，此为一般式方程，故C错误； 由一般式方程可知直线的方向向量为，则法向量为， 又直线过点， 设直线上任意一点,则， 又，则，故D正确. 故选：D 14. 已知直线l的倾斜角为120°，则下列直线中，与直线l垂直的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】两条直线斜率均存在时，两直线垂直，则它们斜率之积等于－1，据此即可求解. 【详解】直线l的倾斜角为120°，则其斜率为tan120°＝，则与l垂直的直线斜率为. A、B、C、D选项中的直线斜率分别为，，，， 故选：A. 15. 已知圆，则“”是“圆与轴有且仅有一个公共点”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】求出圆与轴相切的等价条件，结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】圆的标准方程为， 圆心，半径，有， 若，由，可得， 圆心到轴的距离，此时圆与轴相切； 若圆与轴相切， 则，可得， 所以“”是“圆与轴有且仅有一个公共点”的充要条件. 故选：C. 16. 设直线的方程为，圆的方程为，且直线与圆相交，令集合，设全集，集合为集合的补集，给出以下两个说法，下列选项中正确的是（ ） ①存在点使得表示一条直线 ②对于任意点，都存在圆，使得点在圆的内部，且对于圆上任意一点都有 A. ①为真命题，②为真命题 B. ①为真命题，②为假命题 C. ①为假命题，②为真命题 D. ①为假命题，②为假命题 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线与圆的位置，分别检验两个命题，直观想象，可得答案. 【详解】当圆与直线相交时，设其交点为，易知方程组的解为点的坐标， 由，此时过两点的所有圆， 由题意，得表示直线上除以外的所有点， 对于①，当为时，表示直线，故①正确； 对于②，当为或时，若包含的圆足够大时，该圆上的点不一定在上， 即圆上任意点不一定成立，故②错误. 故选：B. 三､解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 17. 已知直线． （1）求经过点，且垂直于直线的直线的方程； （2）求与直线平行，且到直线的距离为的直线的方程． 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据直线垂直的斜率关系好点斜式方程可得； （2）设出所求方程，利用平行直线的距离公式求解可得. 【小问1详解】 由题知，直线的斜率为，所以，所求直线的斜率为， 又直线过点，由点斜式方程得所求直线方程为， 整理得． 【小问2详解】 设所求直线方程为：， 则，，或， 或为所求． 18. 已知直线与圆. （1）若圆上有且仅有两个点到的距离为，求的取值范围； （2）若，设点为直线与轴的公共点，直线过点且与圆相交，求直线的倾斜角的范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出圆心到直线的距离，根据题意可得出关于的不等式，解之即可； （2）分析可知，直线的斜率存在，设直线的方程为，利用直线与圆的位置关系可得出关于的不等式，求出的取值范围，即可得出的取值范围. 【小问1详解】 圆心到直线的距离为， 若圆上有且仅有两个点到的距离为，所以， 因此，的取值范围为. 【小问2详解】 若，则圆，且，如下图所示： 若直线轴，则直线与圆相离，不合乎题意， 所以直线的斜率一定存在，设为，则直线方程为， 则. 19. 如图，某标准足球场的底宽码，球门宽码，球门位于底线的正中位置，现在攻方球员甲位于边线上的点处. （1）若球员甲直接在点起脚打门，球的轨迹为一条射线（不考虑球的飞行高度）.则为了进球，该球员需要控制球的飞出方向在多大的角度范围内（即求的大小）？ （2）若球员甲直接在点起脚打门，球的初速度方向为方向，球画出一条美妙的圆弧（不考虑球的飞行高度），挂入球门远角，则这段圆弧所在圆的半径是多少码？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分别求，再利用两角和差的正切公式即可； （2）以为原点，设球心为求出过点且与直线垂直的直线方程以及线段的垂直平分线，联立方程组即可求出点的坐标，最后利用两点间距离公式即可求. 【小问1详解】 由题意可知， ， ， . 【小问2详解】 以为原点，分别以所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 则， 则，， 因线段的中点为，则线段的垂直平分线为， 即， 设所求圆弧的圆心为， 因球的初速度方向为方向，则直线为圆的切线，则，则， 则直线的方程为， 联立得，，即， 则， 则这段圆弧所在圆的半径是码 20. 在平面直角坐标系中，曲线与坐标轴的公共点都在圆上，设是直线上的一点，过向圆引两条切线，切点为. （1）求圆的标准方程； （2）若为正三角形，求点的坐标； （3）求的取值范围. 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）求出曲线与坐标轴的交点坐标，设出圆的一般方程，利用待定系数法求解. （2）利用切线长定理，结合直角三角形边角关系列式求解. （3）求出圆心到直线的距离，设，利用切线长定理求出的范围，并用表示出，再利用数量积的定义求出函数关系，进而求出最小值即得. 【小问1详解】 依题意，当时，圆过点，当时，圆过点， 设圆的一般式方程为， 则，解得，因此， 所以圆的标准方程为. 【小问2详解】 由（1）知，圆的圆心，半径为， 由为正三角形，得，解得， 设，则，解得或， 所以点的坐标为或. 【小问3详解】 圆心到直线的距离，设， ，则， ， 设，则，， 函数在上单调递增，， 所以的取值范围为. 21. 设直线过点且与轴正半轴，轴正半轴分别交于两点. （1）若，求直线的斜截式方程； （2）设直线过点与直线垂直，与轴分别交于两点，若与的面积相等，求直线的斜率； （3）若圆的圆心在外，且与轴所在直线相切于轴正半轴上，与轴所在直线相切于轴正半轴上，与直线相切于线段上，设，求关于的函数表达式和定义域，并求圆的面积的最小值及取到最小值时的值. 【答案】（1） （2）3 （3）， 【解析】 【分析】（1）利用直线方程表示出截距，再利用截距相等建立方程，求解斜率，最后求出直线方程即可. （2）先求的方程，再求其截距，再利用三角形面积公式表示出面积，利用三角形面积相等建立方程，求解参数即可. （3）利用给定条件表示，再设出直线方程，表示并用基本不等式求解其最小值，最后利用圆的面积公式求解面积即可. 【小问1详解】 设直线的斜率为，则， 当时，，当时，， （舍）， 则直线的方程为. 【小问2详解】 由（1）知， 因为直线过点与直线垂直，则直线的斜率为， 则直线的方程为， 当时，，当时，，则， 因为与的面积相等，所以， 故，解得（舍），，则直线的斜率为3. 【小问3详解】 易知圆的半径为， 如图，设圆与轴切点为，与轴切点为，与直线的切点为， 连接，则， ， 设，则， ， ， 设直线的方程为，其中， 因为直线经过，所以有， 化简得，令，即， ， ， 当且仅当，即时，取最小值， 此时的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年上海市复旦大学附属中学高二年级下学 3月月考数学试卷 2025.3 一､填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分. 1. 过，的直线的斜率为______． 2. 过点和的直线l的一般式方程为______． 3. 若直线的一个法向量是，则实数a的值等于______． 4. 圆的半径为__________. 5. 直线与直线的夹角大小为_______． 6. 已知点，线段的垂直平分线在轴上的截距为__________. 7. 若直线截圆所得弦长为8，则__________． 8. 已知圆C与圆D：关于直线对称，则圆C的方程为_______． 9. 在中，已知点边上的中线所在直线的方程为，的角平分线所在直线方程为，则点的坐标为__________. 10. 在以点为圆心，2为半径的圆上取任意一点，若的取值与无关，则实数的取值范围是__________. 11. 新定义：如图，圆与直线相离，过圆心作直线的垂线，垂足为，交圆于、两点（在、之间），我们把点称为圆关于直线的“近点”，把的值称为圆关于直线的“秘钥数”.根据新定义解决问题：在平面直角坐标系中，直线经过点，点是坐标平面内一点，以为圆心，为半径作圆.若与直线相离，点是圆关于直线的“近点”，且圆关于直线的“秘钥数”是，则直线的表达式为_____. 12. 设为正实数，圆与圆交于两点，其中，设向量，则的取值范围是__________. 二､选择题（本大题共有4题，满分18分，第13､14题每题4分，第15､16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 方程是直线的（ ）方程. A. 点斜式 B. 斜截式 C. 一般式 D. 点法式 14. 已知直线l的倾斜角为120°，则下列直线中，与直线l垂直的是（ ） A. B. C. D. 15. 已知圆，则“”是“圆与轴有且仅有一个公共点”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分又非必要条件 16. 设直线的方程为，圆的方程为，且直线与圆相交，令集合，设全集，集合为集合的补集，给出以下两个说法，下列选项中正确的是（ ） ①存在点使得表示一条直线 ②对于任意点，都存在圆，使得点在圆的内部，且对于圆上任意一点都有 A. ①为真命题，②为真命题 B. ①为真命题，②为假命题 C. ①为假命题，②为真命题 D. ①为假命题，②为假命题 三､解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 17. 已知直线． （1）求经过点，且垂直于直线的直线的方程； （2）求与直线平行，且到直线的距离为的直线的方程． 18. 已知直线与圆. （1）若圆上有且仅有两个点到的距离为，求的取值范围； （2）若，设点为直线与轴的公共点，直线过点且与圆相交，求直线的倾斜角的范围. 19. 如图，某标准足球场的底宽码，球门宽码，球门位于底线的正中位置，现在攻方球员甲位于边线上的点处. （1）若球员甲直接在点起脚打门，球的轨迹为一条射线（不考虑球的飞行高度）.则为了进球，该球员需要控制球的飞出方向在多大的角度范围内（即求的大小）？ （2）若球员甲直接在点起脚打门，球的初速度方向为方向，球画出一条美妙的圆弧（不考虑球的飞行高度），挂入球门远角，则这段圆弧所在圆的半径是多少码？ 20. 在平面直角坐标系中，曲线与坐标轴的公共点都在圆上，设是直线上的一点，过向圆引两条切线，切点为. （1）求圆的标准方程； （2）若为正三角形，求点的坐标； （3）求的取值范围. 21. 设直线过点且与轴正半轴，轴正半轴分别交于两点. （1）若，求直线的斜截式方程； （2）设直线过点与直线垂直，与轴分别交于两点，若与的面积相等，求直线的斜率； （3）若圆的圆心在外，且与轴所在直线相切于轴正半轴上，与轴所在直线相切于轴正半轴上，与直线相切于线段上，设，求关于的函数表达式和定义域，并求圆的面积的最小值及取到最小值时的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $