精品解析：河北省邢台市临西县翰林高级中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

2024-2025学年高一下学期期中考试 数学 本试卷共4页，19小题，满分150分. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分..在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 如图，分别用基底表示向量，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 4. 在中，角，，所对的边分别为，若，，则（ ） A. B. C. D. 2 5. 在中，内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，若的面积是，则（ ） A. B. C. D. 6. 圆锥的过高的中点且与底面平行的截面把圆锥分成两部分的体积之比是（ ） A. 1∶1 B. 1∶6 C. 1∶7 D. 1∶8 7. 已知和两点，若点在直线上，且，又是的中点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 球的表面积增大为原来的9倍，那么球的体积增大为原来的（    ） A. 9倍 B. 18倍 C. 27倍 D. 81倍 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数（为虚数单位），则下列说法正确的是（ ） A. z的虚部为 B. 复数z在复平面内对应的点位于第三象限 C. z的共轭复数 D. 10. 如图所示的圆台，在轴截面中，，则（ ） A. 该圆台的高为1 B. 该圆台轴截面面积为 C. 该圆台的体积为 D. 一只小虫从点沿着该圆台的侧面爬行到的中点，所经过的最短路程为5 11. 已知的三边长分别是，，．则下列说法正确的是（ ） A. 以所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的侧面积为 B. 以所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为 C. 以所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的全面积为 D. 以所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 已知是方程的一个虚根，则实数的值为___________. 13. 如图，在圆柱内有一个球，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱的体积为,球的体积为 ，则 的值是_____ 14. 在中，，，，若为中点，则长为________. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，，，分别是角，，的对边，且. （1）求的大小； （2）若，，求的值. 16. 已知复数． （1）求复数； （2）若，求实数，的值． 17. 如图，某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知球的直径是，圆柱筒长. （1）求“浮球”的体积： （2）要在这样个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶克，共需要胶多少克？ 18. 如图所示，四边形是直角梯形，其中，，若将图中阴影部分绕旋转一周. （1）求阴影部分形成的几何体的表面积. （2）求阴影部分形成的几何体的体积. 19. 现有一几何体由上，下两部分组成，上部是正四棱锥，下部是正四棱柱（如图所示），且正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍. （1）若，，求该几何体的体积. （2）若正四棱锥的侧棱长为，， （i）求正四棱锥的侧面积. （ii）若，分别是线段，上的动点，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年高一下学期期中考试 数学 本试卷共4页，19小题，满分150分. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分..在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 如图，分别用基底表示向量，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别表示向量，直接计算即可. 【详解】由坐标系可知，，， 则， 故选：C. 2. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】法一：根据向量线性运算与数量积的坐标运算直接计算；法二：利用转化法结合数量积的坐标运算公式直接计算. 【详解】方法一：因为，，所以， 所以； 方法二：由，， 则，， 又， 所以，即； 故选：B. 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由共轭复数的概念及复数的运算即可得解. 【详解】 故选 ：C 4. 在中，角，，所对的边分别为，若，，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】由正弦定理边角互化可得结果. 【详解】由正弦定理得，所以，， 所以. 故选：D. 5. 在中，内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，若的面积是，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正余弦定理及面积公式化简计算即可. 【详解】由余弦定理可得： 由条件及正弦定理可得： ， 所以，则． 故选：A 6. 圆锥的过高的中点且与底面平行的截面把圆锥分成两部分的体积之比是（ ） A. 1∶1 B. 1∶6 C. 1∶7 D. 1∶8 【答案】C 【解析】 【分析】设圆锥底半径OB＝R，高PO＝h，由已知可知PO′＝，再由圆锥的体积公式求得圆锥的体积，和整体的体积，进而求得圆台的体积，相比得答案. 【详解】如图，设圆锥底半径OB＝R，高PO＝h， ∵O′为PO中点，∴PO′＝， ∵＝＝，∴O′A＝， ∴圆锥的体积＝π··＝πR2h. 圆台的体积＝ ∴＝， 故选：C. 【点睛】本题考查求圆锥的体积，属于基础题. 7. 已知和两点，若点在直线上，且，又是的中点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，根据可得的坐标，再结合是的中点，即可求得点的坐标. 【详解】设，则，， 由，则，解得，，即， 设，因为是的中点， 所以，解得，， 即. 故选：A. 8. 球的表面积增大为原来的9倍，那么球的体积增大为原来的（    ） A. 9倍 B. 18倍 C. 27倍 D. 81倍 【答案】C 【解析】 【分析】根据球的表面积公式可确定变化前后球的半径的关系，结合球的体积公式，即可求得答案. 【详解】设原来球体的半径为，则原来球体的表面积为：， 原来球体的体积为：， 当球的表面积增大为原来的9倍时，则此时球的半径， 此时球体体积为：，由， 所以球的体积增大为原来的27倍. 故选：C. 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数（为虚数单位），则下列说法正确的是（ ） A. z的虚部为 B. 复数z在复平面内对应的点位于第三象限 C. z的共轭复数 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】A选项，利用复数的乘除运算和乘方运算得到，A正确；B选项，写出z在复平面内对应的点坐标，得到所在象限；C选项，根据共轭复数的定义得到C错误；D选项，利用模长公式得到D正确. 【详解】A选项，， 故虚部为-2，A正确； B选项，z在复平面内对应的点坐标为，位于第四象限，B错误； C选项，z的共轭复数，C错误； D选项，，D正确. 故选：AD 10. 如图所示的圆台，在轴截面中，，则（ ） A. 该圆台的高为1 B. 该圆台轴截面面积为 C. 该圆台的体积为 D. 一只小虫从点沿着该圆台的侧面爬行到的中点，所经过的最短路程为5 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据梯形性质利用勾股定理计算可得A错误；利用梯形面积公式计算可得B正确；代入圆台体积公式可知C正确；利用圆台侧面展开图以及勾股定理计算可得D正确. 【详解】对于A，在梯形中，即代表圆台的高， 利用勾股定理计算可得，所以A错误； 对于B，轴截面梯形的面积为，因此B正确； 对于C，易知下底面圆的面积为，上底面圆的面积为； 所以该圆台的体积为，可得C正确； 对于D，将圆台侧面沿直线处剪开，其侧面展开图如下图所示： 易知圆弧的长度分别为，设扇形圆心为，圆心角为，； 由弧长公式可知，解得； 所以可得， 设为的中点，连接，当小虫从点沿着爬行到的中点，所经过路程最短， 易知，且， 由勾股定理可知，可知D正确. 故选：BCD 11. 已知的三边长分别是，，．则下列说法正确的是（ ） A. 以所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的侧面积为 B. 以所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为 C. 以所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的全面积为 D. 以所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】以所在直线为轴旋转时，所得旋转体是圆锥，求出其侧面积；以所在直线为旋转轴，所得旋转体是具有同底的两个圆锥体的组合体，求出其体积；以所在直线为轴旋转时，所得旋转体是圆锥，求出其侧面积和体积，从而可得答案. 【详解】以所在直线为轴旋转时，所得旋转体是底面半径为，母线长为，高为的圆锥，其侧面积为，故A正确； 以所在直线为旋转轴，所得旋转体是具有同底的两个圆锥体的组合体，其半径为，故所得旋转体的体积：，故B正确； 以所在直线为轴旋转时，所得旋转体是底面半径为，母线长为，高为的圆锥，侧面积为，体积为，故C错误，D正确. 故选：ABD. 【点睛】本题考查了旋转体的概念，考查了圆锥的侧面积和体积公式，属于基础题. 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 已知是方程的一个虚根，则实数的值为___________. 【答案】26 【解析】 【分析】根据方程虚根的定义，将代入方程，计算化简即可求解. 【详解】由是方程的一个虚根， 得， 整理，得， 则，解得. 故答案为：26. 13. 如图，在圆柱内有一个球，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱的体积为,球的体积为 ，则 的值是_____ 【答案】##1.5 【解析】 【详解】设球半径为，则． 14. 在中，，，，若为中点，则长为________. 【答案】 【解析】 【分析】在中，根据面积公式可得，由余弦定理可得与，在中由余弦定理即可得长. 【详解】在中，，， 所以，则， 由余弦定理得：，故， 由余弦定理得：， 若为中点，则在中，， 由余弦定理得：， 故. 故答案为：. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，，，分别是角，，的对边，且. （1）求的大小； （2）若，，求的值. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理进行边角互化，再结合三角恒等变换可得解； （2）利用余弦定理列方程，解方程即可. 【小问1详解】 由已知， 根据正弦定理可得， 即， 则， 又在中，， 即， 又，，所以，， 由，所以； 【小问2详解】 由余弦定理可知， 即， 即， 解得或. 16. 已知复数． （1）求复数； （2）若，求实数，的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据复数乘方和除法法则计算； （2）根据复数相等列方程，解方程即可. 【小问1详解】 ． 【小问2详解】 把代入，得， 整理得，所以，解得. 17. 如图，某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知球的直径是，圆柱筒长. （1）求“浮球”的体积： （2）要在这样个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶克，共需要胶多少克？ 【答案】（1） （2）克 【解析】 【分析】（1）分别求出两个半球的体积，和圆柱体的体积，即可求出“浮球”的体积； （2）先求出一个“浮球”的表面积，再求出个的面积，即可求解. 【小问1详解】 该半球的直径，柱筒高，所以“浮球”的圆柱筒直径也是， 得球的半径与圆柱底面半径均为， 所以两个半球的体积之和为， 而， 该“浮球”的体积是； 【小问2详解】 上下两个半球的表面积是， 而“浮球”的圆柱筒侧面积为， 所以个“浮球”的表面积为， 因此，个“浮球”的表面积的和为， 因为每平方米需要涂胶克， 所以总共需要胶的质量为：（克）． 18. 如图所示，四边形是直角梯形，其中，，若将图中阴影部分绕旋转一周. （1）求阴影部分形成的几何体的表面积. （2）求阴影部分形成的几何体的体积. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）由题意知所求旋转体的表面由三部分组成：圆台下底面、侧面和半球面，求面积之和即可； （2）该几何体为圆台去掉一个半球，根据圆台、球的体积公式求解即可. 【详解】（1）由题意知所求旋转体的表面由三部分组成：圆台下底面、侧面和半球面， ， ， . 故所求几何体的表面积为. （2）， ， 所求几何体体积为. 【点睛】本题主要考查了旋转体的表面积与体积，考查了台体与球的面积、体积公式，属于中档题. 19. 现有一几何体由上，下两部分组成，上部是正四棱锥，下部是正四棱柱（如图所示），且正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍. （1）若，，求该几何体的体积. （2）若正四棱锥的侧棱长为，， （i）求正四棱锥的侧面积. （ii）若，分别是线段，上的动点，求的最小值. 【答案】（1） （2）（ⅰ）（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）代入四棱锥和四棱柱的体积公式，即可求解； （2）（ⅰ）根据条件求四棱锥的底边长以及斜高，即可求解；（ⅱ）利用展开图，即可两点间距离，即可求解. 【小问1详解】 由条件可知，正四棱柱的高， 所以正四棱柱的体积为， 三棱锥的体积为， 所以该几何体的体积为； 【小问2详解】 （ⅰ），所以， 正四棱锥侧面的高为， 所以正四棱锥的侧面积为； （ⅱ）如图，将长方形，和展开在一个平面， ，，设 ，， ，所以， 所以， ， 当四点共线时，最短， 所以 所以的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $