精品解析： 上海外国语大学附属浦东外国语学校2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题

浦外附中2024-2025学年第二学期高二年级数学期中 2025.4 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 抛物线的准线方程是______． 2. 双曲线的焦距为_________. 3. 设函数，则______． 4. 已知点，，动点满足．则动点的轨迹方程________. 5. 已知圆，点，则经过点且与圆 相切的直线方程为_____. 6. 已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则的离心率为_________． 7. 已知为抛物线上的动点，为的焦点，若点，则的最小值为______． 8. 某高台跳水运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度（单位：）与跳起后的时间（单位：）存在函数关系，的图象如图所示，已知曲线在处的切线平行于轴，根据图象，给出下列四个结论： ①在时高度关于时间的瞬时变化率为0； ②曲线在附近比在附近下降得慢； ③曲线在附近比在附近上升得快； 其中所有正确结论的序号是_________． 9. 已知函数的导函数为，且，则的图象在处的切线方程为________． 10. 设，若函数存在两个不同的极值点，则的取值范围为__________. 11. 定义两个点集S、T之间的距离集为，其中表示两点P、Q之间的距离，已知k、，，，若，则t的值为______. 12. 已知实数满足，且，若实数使得关于的方程在区间上有解，则的最小值是__________. 二、选择题（本大题满分18分）本大题共4题，13-14题每题4分，15-16题每题5分． 13. “”是“函数是增函数”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 14. 若圆与圆外切，则实数a的值为（ ） A. 3 B. 5 C. 3或 D. 5或 15. 如图是函数的导函数的图象，则下面判断正确的是（ ） A. 在上是增函数 B. 在上是减函数 C. 当时，取得极小值 D. 当时，取得极小值 16. 已知抛物线，点为抛物线的焦点，点、在抛物线上（在第一象限），点为点关于原点的对称点，且，若，①点在一条定直线上；②是定值.则（ ） A. ①正确， ②不正确 B. ①不正确， ②正确 C. ①正确， ②正确 D. ①不正确， ②也不正确 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题． 17. 已知函数的图象过点，且. （1）求a，b的值； （2）求函数的单调区间和极值． 18. 某公司生产的某批产品的销售量x万件（生产量与销售量相等），，已知生产该批产品共需投入成本万元，产品的销售价格定为元/件. （1）将该产品的利润y万元表示为销售量x万元的函数； （2）当销售量x投入多少时，该公司的利润最大，最大值多少？ 19. 已知抛物线，定点． （1）过点且过抛物线的焦点的直线，交抛物线于、两点，求； （2）求过点且与抛物线有且仅有一个公共点的直线方程． 20. 已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线l与椭圆交于A、B两点． （1）求的短轴长及的周长； （2）若直线l过点，求弦长； （3）若直线l不平行于坐标轴，点R为点A关于x轴的对称点，直线BR与x轴交于点N，求面积的最大值． 21. 设是坐标平面上的一点，曲线是函数的图像．若过点恰能作曲线的条切线，则称是函数的“度点”． （1）判断点是否为函数的1度点，并说明理由; （2）已知，．证明：点是的0度点； （3）求函数的全体2度点构成的集合． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 浦外附中2024-2025学年第二学期高二年级数学期中 2025.4 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 抛物线的准线方程是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线的性质，求解抛物线的准线. 【详解】由，则，准线方程为 故答案为：. 2. 双曲线的焦距为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线的标准方程，求出基本量，再求得结果. 【详解】由双曲线得，则， 所以双曲线的焦距为， 故答案为：. 3. 设函数，则______． 【答案】 【解析】 【分析】求，结合导函数的定义计算可得出答案. 【详解】因为，所以， 所以. 故答案为：. 4. 已知点，，动点满足．则动点的轨迹方程________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，设点，由得方程，化简整理即可. 【详解】设，由得， 化简可得动点的轨迹方程为：. 故答案为： 5. 已知圆，点，则经过点且与圆 相切的直线方程为_____. 【答案】 【解析】 【分析】将点坐标代入圆方程，验证点在圆上，由切线垂直于圆心和切点直线，求出直线斜率后写出直线方程. 【详解】，即，， ∵，即点在圆上， 设切线为，则，， ∴， ∴切线，即. 故答案为：. 6. 已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则的离心率为_________． 【答案】 【解析】 【详解】因为直线的斜率为， 则与直线垂直的渐近线的斜率为， 所以，所以. 故答案为：. 7. 已知为抛物线上的动点，为的焦点，若点，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作，垂足为点，由抛物线的定义可得，结合图形可知，当、、三点共线时，即当时，取最小值，即可得解. 【详解】易知抛物线的焦点为，准线为， 过点作，垂足为点，如下图所示： 由抛物线的定义可得，则， 结合图形可知，当三点共线时，即当时，取最小值， 且最小值为，因此，的最小值为. 故答案为：. 8. 某高台跳水运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度（单位：）与跳起后的时间（单位：）存在函数关系，的图象如图所示，已知曲线在处的切线平行于轴，根据图象，给出下列四个结论： ①在时高度关于时间的瞬时变化率为0； ②曲线在附近比在附近下降得慢； ③曲线在附近比在附近上升得快； 其中所有正确结论的序号是_________． 【答案】①③ 【解析】 【分析】对于①，因为曲线在处的切线平行于轴，所以切线的斜率为0，即；对于②，比较，的大小即可；对于③，比较，的大小即可. 【详解】因为，所以， 对于①，因为曲线在处的切线平行于轴， 所以切线的斜率为0，即， 所以在时高度关于时间的瞬时变化率为，故①正确； 对于②，由图可知曲线在处的切线的斜率，在处的切线的斜率， 又，所以， 所以， 即曲线在附近比在附近下降得快，故②错误； 对于③，由图可知曲线在处的切线的斜率，在处的切线的斜率， 又，所以， 所以， 即曲线在附近比在附近上升得快，故③正确； 所以所有正确结论的序号是①③. 故答案为：①③. 9. 已知函数的导函数为，且，则的图象在处的切线方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】对给定的函数求导，并求出参数值，再利用导数的几何意义求出切线方程作答. 【详解】函数，求导得：，则，解得， 因此，，则， 所以所求切线方程为，即. 故答案为： 10. 设，若函数存在两个不同的极值点，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】函数存在两个不同的极值点等价于在内有两个异号零点，进而转化为在内有两个不等根即可求解. 【详解】解：易知函数的定义域为， ， 因为函数存在两个不同的极值点， 所以在内有两个不等根， 设，， 则只需，即， 所以，则的取值范围为. 故答案为： 11. 定义两个点集S、T之间的距离集为，其中表示两点P、Q之间的距离，已知k、，，，若，则t的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】集合表示双曲线上支的点，集合表示直线上的点，，故直线与渐近线平行，在渐近线下方，即，且与渐近线的距离为，计算得到答案. 【详解】，即，，故集合表示双曲线上支的点， 集合表示直线上的点， ，故直线与渐近线平行，在渐近线下方，即，且与渐近线的距离为. 双曲线的渐近线为，不妨取，则，即， 平行线的距离，故或（舍去）. 故答案为：. 【点睛】关键点睛:本题考查了集合的新定义，直线和双曲线的位置关系，意在考查学生的计算能力转化能力和综合应用能力，其中根据条件得到直线与渐近线平行，在渐近线下方，且与渐近线的距离为是解题的关键. 12. 已知实数满足，且，若实数使得关于的方程在区间上有解，则的最小值是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意整理可得，，构建函数，结合单调性可得，以为变量，则为直线上的点到原点的距离的平方，可得，构建，利用导数求最值即可得结果. 【详解】因为，则， 又因为，整理可得， 构建，则， 可知在内单调递减， 由可知，且，则， 则即为， 以为变量，则为直线上的点到原点的距离的平方， 则原点到直线的距离， 可得， 构建，则， 可知在内单调递增，则， 所以的最小值是. 故答案为：. 二、选择题（本大题满分18分）本大题共4题，13-14题每题4分，15-16题每题5分． 13. “”是“函数是增函数”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数，求出是增函数的的取值范围，再用充分性和必要性知识来进行判别即可． 【详解】是增函数，求导，即恒成立， 参变分离即恒成立，则．则“”是“函数是增函数”的充分不必要条件． 故选：A. 14. 若圆与圆外切，则实数a的值为（ ） A. 3 B. 5 C. 3或 D. 5或 【答案】C 【解析】 【分析】利用圆与圆的位置关系求解. 【详解】解：因为圆与圆外切， 所以， 解得或， 故选：C 15. 如图是函数的导函数的图象，则下面判断正确的是（ ） A. 在上是增函数 B. 在上是减函数 C. 当时，取得极小值 D. 当时，取得极小值 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数与函数单调性间的关系及极值的定义，结合图象，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】对于选项A，由图知，当时，的符号有正有负， 不是单调的函数，所以选项A错误， 对于选项B，由图知，当时，是增函数，所以选项B错误， 对于选项C，由图知，且在左侧附近，，在右侧附近，， 所以是极大值点，在处取到极大值，所以选项C错误， 对于选项D，由图知，且在左侧附近，，在右侧附近，， 所以是极小值点，在处取到极小值，所以选项D正确， 故选：D. 16. 已知抛物线，点为抛物线的焦点，点、在抛物线上（在第一象限），点为点关于原点的对称点，且，若，①点在一条定直线上；②是定值.则（ ） A. ①正确， ②不正确 B. ①不正确， ②正确 C. ①正确， ②正确 D. ①不正确， ②也不正确 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，可得点在以原点为圆心，为半径的圆上，求出点的坐标即可判断. 【详解】抛物线的焦点， 由，得共线，，即，又为中点， 则点在以原点为圆心，为半径的圆上，此圆的方程为， 由消去得，解得，， 直线的方程为，因此点在定直线上，①正确； 设直线方程为，由消去得，设， 由，得，因此，为定值，②正确. 故选：C 【点睛】思路点睛：抛物线中的定值问题，既可以由直线方程和抛物线方程联立，利用韦达定理来处理参数关系得到定值，也可以通过设点法求出动点的纵坐标（或横坐标）的关系从而得到定值. 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题． 17. 已知函数的图象过点，且. （1）求a，b的值； （2）求函数的单调区间和极值． 【答案】（1） （2）的单调递增区间为和，单调递减区间为， 极大值为，极小值为. 【解析】 【分析】（1）由联立解方程组可得的值； （2）由（1）可得的表达式，求出的零点，判断在导函数零点左右的正负即可确定的单调区间和极值. 【小问1详解】 对函数求导得，故，解得， 由题意可知，解得， 故. 【小问2详解】 由（1）可知函数，定义域为， ，令，得或， 当时，；当时，， 故函数的单调递增区间为和，单调递减区间为， 极大值为，极小值为. 18. 某公司生产的某批产品的销售量x万件（生产量与销售量相等），，已知生产该批产品共需投入成本万元，产品的销售价格定为元/件. （1）将该产品的利润y万元表示为销售量x万元的函数； （2）当销售量x投入多少时，该公司的利润最大，最大值多少？ 【答案】（1） （2）当时，利润最大，最大为520万元 【解析】 【分析】（1）根据已知条件列式得出函数； （2）先求出导函数，再根据导函数正负判断函数单调性即可得出最大值. 【小问1详解】 由题意知， ， . 【小问2详解】 ， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减， 则当时，利润最大，最大为520万元. 19. 已知抛物线，定点． （1）过点且过抛物线的焦点的直线，交抛物线于、两点，求； （2）求过点且与抛物线有且仅有一个公共点的直线方程． 【答案】（1） （2）或或 【解析】 【分析】（1）根据两点求解直线方程，联立直线与抛物线方程，即可根据焦点弦公式求解， （2）根据直线是否有斜率，即可根据方程的根即可求解. 【小问1详解】 由题意可得，直线的方程为,即， 联立解方程组,可得， 设,,,，则， ， 【小问2详解】 当直线斜率不存在时，直线方程为，与抛物线只有一个交点， 当直线斜率存在时，设直线方程为， 联立，得， 当时，方程的解为，此时直线与抛物线只有一个交点， 当时，则，解得，直线方程为 20. 已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线l与椭圆交于A、B两点． （1）求的短轴长及的周长； （2）若直线l过点，求弦长； （3）若直线l不平行于坐标轴，点R为点A关于x轴的对称点，直线BR与x轴交于点N，求面积的最大值． 【答案】（1）短轴长为2，的周长为 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由椭圆标准方程求得可得短轴长，结合椭圆定义可得的周长； （2）求出直线方程，与椭圆方程联立求得交点坐标后由两点间距离公式得弦长； （3）设直线方程为（），设，，则，直线方程代入椭圆方程，由韦达定理得，，写出直线方程求得点坐标，得线段长，由此得面积，从而可得最大值． 【小问1详解】 由题意，短轴长为， 又，，， 所以的周长为； 【小问2详解】 ，，又直线过点，所以，直线方程为， 由，得，，不妨取，， 所以； 【小问3详解】 由题意设直线方程为（），设，，则， 由，得， ，， 直线方程为， 令，得，所以， ，， 所以， 所以当是短轴端点时，，即面积的最大值为． 21. 设是坐标平面上的一点，曲线是函数的图像．若过点恰能作曲线的条切线，则称是函数的“度点”． （1）判断点是否为函数的1度点，并说明理由; （2）已知，．证明：点是的0度点； （3）求函数的全体2度点构成的集合． 【答案】（1）是，理由如下： 依题意，，则曲线在点处的切线方程为， 该切线过点当且仅当，即， 所以原点是函数的一个1度点. （2） 设，， 则曲线在点处的切线方程为， 则该切线过点，当且仅当， 设，则当时，，函数在上严格增， 因此当时，，则方程无解， 所以点是的一个0度点. （3）或. 【解析】 【分析】（1）求出曲线在点处的切线方程，该切线过点时，列出方程，求出的根判断即可. （2）求出在点处的切线方程，转化为无解，构造，求导得到其单调性，证明出无解即可. （3）求出切线方程，得到的一个2度点当且仅当关于的方程恰有两个不同的实数解，设，分，与三种情况，进行求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 函数，求导得， 对任意，曲线在点处的切线方程为， 则点为函数的一个2度点当且仅当关于的方程恰有两个不同的实数解， 设，则点为函数的一个2度点当且仅当两个不同的零点， 若，则在上严格增，只有一个实数解，不合要求； 若，求导得，当由或时，；当时，， 函数在上严格增；在上严格减． 则函数在时取得极大值，在时取得极小值， 又，， 因此当时，由零点存在定理，在、、上各有一个零点，不合要求； 当时，仅上有一个零点，不合要求； 当时，仅上有一个零点，也不合要求， 因此两个不同的零点当且仅当或， 若，同理可得两个不同的零点当且仅当或， 所以的全体2度点构成的集合为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $