精品解析：天津市第四十七中学2024-2025学年高一下学期5月期中考试数学试题

天津市第四十七中学2024—2025第二学期高一年级 期中考试数学试卷 第Ⅰ卷（共三部分；满分150分） 一、单选题（每题5分，共45分） 1. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，利用复数的运算法则，化简得到，结合共轭复数的概念，即可求解. 【详解】由，可得， 所以. 故选：D． 2. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】通过正弦定理将边化为角，结合两角和的正弦公式以及诱导公式化简可得或，进而可得结果. 【详解】因为，由正弦定理可得， 即，所以 所以或， 又因为，，为三角形内角，所以或， 即的形状为等腰三角形或直角三角形， 故选：D. 3. 已知一个圆锥的底面圆半径为，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出圆锥的母线长，可求出该圆锥的高，再利用锥体的体积公式可求出该圆锥的体积. 【详解】设圆锥的母线长为，高为，由于扇形的弧长等于圆锥的底面周长， 则，解得，故圆锥的高为， 因此，该圆锥的体积为. 故选：C. 4. 如图，按斜二测画法所得水平放置的平面四边形的直观图为梯形其中 以原四边形的边为轴旋转一周得到的几何体体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据斜二测画法规则还原出原图形，进而确定旋转体的形状，再根据相关特征计算几何体体积即可. 【详解】解：由题意， 所以 ， 如图，原图形 中， ， 所以直角梯形 的边 为轴旋转一周得到的几何体为圆台， ， 故选：D. 5. 已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】举反例判断A，B，C，利用平行的传递性得到，再利用面面平行的性质得到判断D即可. 【详解】对于A，若，则或，故A错误， 对于B，若，则或与异面，故B错误， 对于C，若，则或与相交，故C错误， 对于D，因为，所以，而，可得，故D正确. 故选：D 6. 已知的内角A，B，C所对的边分别为，下列四个命题中正确个数是（ ） ①若，则定为等腰三角形 ②若，则一定锐角三角形 ③若点M是边BC上的点，且，则的面积是面积的 ④若平面内有一点O满足：，且，则为等边三角形 ⑤若，则点是的内心 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用诱导公式求解判断①；利用余弦定理推理判断②；利用向量线性运算判断③；利用三角形心的向量表示判断④；利用向量数量积判断⑤即可得解. 【详解】对于①，在中，由，得或， 即或，则是等腰三角形或直角三角形，①错误； 对于②，由及余弦定理，得，则为锐角， 而否为锐角不确定，②错误； 对于③，由，得，即， 则，的面积是面积的，③错误； 对于④，由，得是的重心， 由，得是的外心， 即的重心、外心重合，则为等边三角形，④正确； 对于⑤，由，得， 则，则， 则，即平分， 由，同理得平分， 因此点O是的内心，⑤正确， 所以正确命题的个数是2. 故选：B 7. 在平行四边形中，，分别在边，上，，，与相交于点，记，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】法1：设，根据平面向量的线性运算和平面向量基本定理可得，进而可得结果；法2：建系，设，结合向量的坐标运算分析求解；法3：做辅助线，根据几何知识分析可知，进而可得结果. 【详解】法1：因为， 设，则， 因为，，三点共线，则，解得， 即，所以； 法2：坐标法（特殊化平行四边形建系） 不妨设平行四边形为矩形，建立如图所示平面直角坐标系， 设，，则， 所以直线，直线， 联立方程，解得， 可得，，， 设， 则，解得， 所以； 法3：如图，延长，，交于点， 因为为中点，所以， 又，则，可得， 可知，所以； 故选：C. 8. 若某正四面体的内切球的表面积为，则该正四面体的外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，结合正四面体的结构特征，再求出其外接球的半径即可. 【详解】正四面体的内切球与其外接球球心重合， 如图，正四面体内切球与外接球球心在其高上， 则是正四面体内切球半径，是正四面体外接球半径， 由正四面体的内切球的表面积为，得，令， ，，， 在中，，解得，， 所以该正四面体的外接球的体积. 故选：C 9. 在中，，，为线段上的动点不包括端点，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用已知条件解出，，的大小，由平面向量共线定理得到与的关系等式，再由基本不等式解题. 【详解】因为，由正弦定理可得：， 再由余弦定理可得：， 所以，三角形为直角三角形，角为直角， 因为， 由三角形面积公式， 所以，又，则， 由余弦定理可得，化简得：， 所以，， 因为，所以可得，， 因为， 又，，三点共线，所以，且，， 所以，当且仅当时取等号. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：关键是首先通过解三角形得的值，进一步得，由此即可顺利得解. 二、填空题（每题5分，共30分） 10. 已知，为虚数单位，若为实数，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数除法运算、复数为实数列方程求得. 【详解】依题意，为实数 所以. 故答案为： 11. 已知向量满足，且，则向量在向量上的投影向量的坐标是______________． 【答案】 【解析】 【分析】两边平方得，利用投影向量的公式求出答案. 【详解】两边平方得，， 即， 故向量在向量上的投影向量的坐标为. 故答案为： 12. 在三棱锥中，，，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值是______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据异面直线所成角的定义确定为异面直线与所成的角或其补角；再根据勾股定理求出，余弦定理求出.，进而得出；最后在中，利用余弦定理即可求出. 【详解】取的中点，连接，如图所示： 因为为的中点，为的中点， 则根据三角形的中位线定理可得，且. 所以为异面直线与所成的角或其补角． 因为在中，，，， 所以，则. 又，所以． 又在中，，, 所以由余弦定理可得：. 又因为在中，， 所以由余弦定理可得：. 则在中，由余弦定理可得，， 所以异面直线与所成角的余弦值为． 故答案为：. 13. 在中,内角的对边分别为,若满足的三角形有两解,则的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】 在中,,由正弦定理可得,,根据此三角形有两解,即可求得答案. 【详解】 在中,, 由正弦定理可得, . 若此三角形有两解,则必须满足的条件为, 即 故答案为:. 【点睛】本题考查了根据正弦定理解三角形有两解求边长范围,解题关键是掌握正弦定理,考查了分析能力和计算能力,属于基础题. 14. 在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，平面，若P，A，B，C四点都在表面积为的球的球面上，则三棱锥的体积为______． 【答案】## 【解析】 【分析】由题意确定三棱锥外接球球心位置，根据外接球表面积求得外接球半径，即可求得PA的长，利用三棱锥体积公式即可求得答案. 【详解】设为正的中心，M为的中点， 过点作平面的垂线l，由于平面，故， 在确定的平面内作，垂足为O，则四边形为矩形， 连接，则， 故，则O即为三棱锥外接球的球心， 因为P，A，B，C四点都在表面积为的球的球面上， 设外接球半径为R，故， 是边长为2的等边三角形，故, 故， 所以三棱锥的体积， 故答案为： 15. 在△中，角所对的边分别为，已知，.则的值为__________；若，则△周长的最大值为__________. 【答案】 ①. ； ②. . 【解析】 【分析】根据二倍角公式，结合正弦定理化简已知条件，即可求得；根据余弦定理，求得关系，结合不等式即可求得结果. 【详解】因为，，故，则， 即，也即，又，则； 若，由余弦定理可得，则， 即，即，解得， 即的最大值为，当且仅当时取得等号，故三角形周长的最大值为. 故答案为：；. 三、解答题（共75分） 16. （1）已知正四棱锥底而边长是6，侧棱长为5，求该正四棱锥的表面积． （2）在中，．在三角形内挖去半圆（圆心O在边上，半圆与分别相切于点C、M，与交于N），求图中阴影部分绕直线旋转一周所得的几何体体积． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）求出等腰的高，再计算几何体的表面积即可. （2）几何体是图中阴影部分绕直线旋转一周所得旋转体，是一个圆锥内挖去一个球后剩余部分，求出圆锥的体积减去球的体积，可得几何体的体积． 【详解】（1）正四棱锥中，底面正方形的面积， 在等腰中，，则边上的高， 因此该正四棱锥的侧面积， 所以，该正四棱锥的侧面积. （2）几何体是图中阴影部分绕直线旋转一周所得旋转体， 是一个圆锥内挖去一个球后剩余部分，球是圆锥的内切球， 所以圆锥的底面半径是1，高为， 球的半径为，， 所以圆锥的体积：， 球的体积：， 阴影部分绕直线旋转一周所得旋转体的体积为：. 17. 已知向量，，设． （1），求当取最小值时实数的值； （2）若 ①求； ②当向量与向量的夹角为，求出实数的值． 【答案】（1） （2）①； ②或 【解析】 【分析】（1）首先求出，再根据平面向量线性运算的坐标表示得到，最后求出的模； （2）根据数量积的运算律求出，，，再根据得到方程，解得即可； 【小问1详解】 当时，， 所以 所以，所以当时. 【小问2详解】 ①因为，则， 又，，所以，， 所以； ②依题意， 因为，所以， 又， 则有，且，整理得，解得或， 所以存在或满足条件． 18. 在中，角所对的边分别为，已知的面积为，，. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用同角关系可求，再利用面积公式以及条件可求的值，最后利用余弦定理即可； （2）在中利用正弦定理即可； （3）利用倍角公式计算，再利用两角和差的余弦公式计算. 【小问1详解】 中，由，得， 由面积为，有，整理得， 又，解得（负值舍去） 在中由余弦定理，可得. 【小问2详解】 在中由正弦定理，得. 【小问3详解】 因， 则. 19. 如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，分别是的中点． （1）求证: 平面平面； （2）求证: 平面； （3）求三棱锥体积． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）． 【解析】 【详解】试题分析：（1）由直线与平面垂直证明直线与平行的垂直；（2）证明直线与平面平行；（3）求三棱锥的体积就用体积公式. （1）在三棱柱中，底面ABC，所以AB， 又因为AB⊥BC，所以AB⊥平面，因为AB平面，所以平面平面. （2）取AB中点G，连结EG，FG， 因为E，F分别是、的中点，所以FG∥AC，且FG=AC， 因为AC∥，且AC=，所以FG∥，且FG=， 所以四边形为平行四边形，所以EG， 又因为EG平面ABE，平面ABE， 所以平面. （3）因为=AC=2，BC=1，AB⊥BC，所以AB=， 所以三棱锥的体积为：==. 考点：本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直与平行的证明；考查几何体的体积的求解等基础知识，考查同学们的空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力、逻辑推理能力，考查数形结合思想、化归与转化思想． 20. 的内角，，的对边分别为，，，且. （1）求； （2）若，，求内切圆的半径； （3）若为的垂心，且点在内，直线与交于点，且，求的最大值. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据已知及正弦边角关系得，再由余弦定理求角的大小； （2）由及面积公式得、，再由内切圆半径即可得； （3）设，，进而得到、，最后有即可求最大值. 【小问1详解】 因为， 所以. 由正弦定理得，所以， 因为，所以. 小问2详解】 由（1）知，代入数据得. 因为的面积， 所以内切圆的半径. 【小问3详解】 如图，设，，则，且. 因为，所以. 由正弦定理得，所以， 所以，其中， 故的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市第四十七中学2024—2025第二学期高一年级 期中考试数学试卷 第Ⅰ卷（共三部分；满分150分） 一、单选题（每题5分，共45分） 1. 若，则（ ） A. B. C. D. 2. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 3. 已知一个圆锥的底面圆半径为，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，按斜二测画法所得水平放置的平面四边形的直观图为梯形其中 以原四边形的边为轴旋转一周得到的几何体体积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 已知的内角A，B，C所对的边分别为，下列四个命题中正确个数是（ ） ①若，则定为等腰三角形 ②若，则一定是锐角三角形 ③若点M是边BC上的点，且，则的面积是面积的 ④若平面内有一点O满足：，且，则为等边三角形 ⑤若，则点是的内心 A 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 在平行四边形中，，分别在边，上，，，与相交于点，记，，则（ ） A. B. C. D. 8. 若某正四面体的内切球的表面积为，则该正四面体的外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 9. 在中，，，为线段上动点不包括端点，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题5分，共30分） 10. 已知，为虚数单位，若为实数，则______． 11. 已知向量满足，且，则向量在向量上的投影向量的坐标是______________． 12. 在三棱锥中，，，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值是______． 13. 在中,内角的对边分别为,若满足的三角形有两解,则的取值范围为________. 14. 在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，平面，若P，A，B，C四点都在表面积为的球的球面上，则三棱锥的体积为______． 15. 在△中，角所对的边分别为，已知，.则的值为__________；若，则△周长的最大值为__________. 三、解答题（共75分） 16. （1）已知正四棱锥的底而边长是6，侧棱长为5，求该正四棱锥的表面积． （2）在中，．在三角形内挖去半圆（圆心O在边上，半圆与分别相切于点C、M，与交于N），求图中阴影部分绕直线旋转一周所得的几何体体积． 17. 已知向量，，设． （1），求当取最小值时实数的值； （2）若 ①求； ②当向量与向量夹角为，求出实数的值． 18. 在中，角所对的边分别为，已知的面积为，，. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值. 19. 如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，分别是中点． （1）求证: 平面平面； （2）求证: 平面； （3）求三棱锥体积． 20. 的内角，，的对边分别为，，，且. （1）求； （2）若，，求内切圆的半径； （3）若为的垂心，且点在内，直线与交于点，且，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $